Chứng minh rằng: abc chia hết cho 4.. 4,5 điểm Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn I.. Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của AB, AC với đường tròn I.. Gọi M và N lần lượt là trung đ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 29/3/2019
(Đề thi này gồm 1 trang có 5 câu)
Câu 1 (4,5 điểm)
1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 1
x y m
(với m là tham số thực) Tìm m để biểu thức P x 2 8 y đạt giá trị nhỏ nhất
2) Giải hệ phương trình
1 1
(với x, y thuộc R)
Câu 2 (4,5 điểm)
1) Giải phương trình x4 9 x3 24 x2 27 x 9 0 (x R)
2) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:
3 4
Câu 3 (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa 1 1 1
a b c Chứng minh rằng: abc chia
hết cho 4
2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Câu 4 (2 điểm)
số hạng và B 2 3 4 100 là tổng của 99 số hạng
Tính A + B
Câu 5 (4,5 điểm)
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của
AB, AC với đường tròn (I) Biết ba góc BAC ABC BCA , , , đều là góc nhọn Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC
1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy
Trang 2
Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG NAI
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn Toán
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 (4,5 điểm)
1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình 1
x y m
(với m là tham số
thực) Tìm m để biểu thức P x 2 8 y đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
2
( m R) 1
y m
Ta có:
2
8 4 8( 1) 4 8 8
2 2 12 12
m
Dấu “=” xẩy ra khi 2m + 2 = 0 m 1
Giá trị nhỏ nhất của P là -12 khi m = -1
2) Giải hệ phương trình
1 1
(với x, y thuộc R)
2
2 1 1
Đặt x y S
xy P
Ta có:
2
2 2
3
1
1
2
2
S
S P
Trang 3
2
3
1
2
5 3 2 0
P
2
2
1
2
1 0
5 5 2 0 (vn)
S P
S
0 1
P S
0 1 1
1
x y
x y
x
Câu 2 (4,5 điểm)
1.Giải phương trình x4 9 x3 24 x2 27 x 9 0 (x R)
Giải: x4 9 x3 24 x2 27 x 9 0 (*)
Với x = 0, (*) 0x+9=0 (phương trình vô nghiệm
Với x 0, chia 2 vế của phương trình (*) cho x2
2 2
2
2
2
3
3 0
3
6 0
x x
x x
2.Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh:
3 4
Giải:
3 4
Trang 4 2 2 2
0
0
Luôn đúng vì a, b, c là các số dương Dấu bằng xẩy ra khi a = b = c
Câu 3 (4,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa 1 1 1
a b c Chứng minh rằng: abc chia
hết cho 4
Giải:
Cách 1:1 1 1
( ) (1)
bc a b c
TH1: Nếu a là số nguyên chẵn, suy ra a b c ( ) 2 , theo (1)Suy ra: b.c 2
Vậy abc chia hết cho 4
TH2: Nếu a là số nguyên lẻ Với b và c là hai số cũng lẻ thì: b c 2 a b c ( ) 2
Mà a b c không chia hết cho 2 (vì a, b, c đều lẻ) Suy ra mâu thuẫn
Vậy trong hai số, b, c tồn tại ít nhất 1 số chẵn
+ Với b chẵn, mà a lẻ nên c chẵn (vì b.c chẵn nên a(b+c) chẵn suy ra c chẵn, vì a lẻ)
Suy ra abc chia hết cho 4
+ Với c chẵn, tương tự abc chia hết cho 4
( ) abc=a (b+c) (2)
bc a b c
Ta thấy a, b, c không thể đều là số lẻ vì nếu vây thì abc là số lẻ, còn b+c là số chẵn Vậy trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn
Nếu a chẵn thì a2 chia hết cho 4, từ (2) suy ra abc chia hết cho 2
Nếu b chẵn, do a lẻ nên b + c chẵn (vì abc chẵn) suy ra c chẵn Vậy abc chia hết cho 2 Tương tự cho trường hợp c chẵn
2.Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Giải:
Cách 1: Dùng hàm Ơle:
Phân tích số m ra thừa số nguyên tố: mp p p1x 2y 3z
Số các số nguyên dương không vượt quá m và nguyên tố cùng nhau với m là
( ) m m 1 1 1
Trang 5Ta có: 3 1 1
999 3 37 (999) 999 1 1 648
3 37
Có 648 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 999
Vây có 649 số nguyên tố cùng nhau với 999 và không vượt quá 1000
Cách 2:
Gọi A là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 Suy ra A = 1000
B là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 mà không nguyên tố cùng nhau với 999
C là số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999
Ta có: 999 3 37 3
B = (Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3) – (Số các số
nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3)
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 3 là:999 3
1 333 3
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 là:
999 37
1 27 37
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho cả 37 và 3 (chia hết cho 111) là:999 111
1 9 111
+ Số các số nguyên dương không vượt quá 1000 và chia hết cho 37 mà không chia hết cho 3 là:27 9 18
Suy ra B = 333+ 18 = 351 Vậy C= A – B = 1000 – 351 = 649
Câu 4 (2 điểm)
số hạng và B 2 3 4 100 là tổng của 99 số hạng
Tính A + B
Giải:
2 1 2 3 2 3 4 3 98 99 98 99 100 99
1 2 3 4 99 99 100
và B 2 3 4 100
100 100 1 999
A B
Trang 62 1 2
1
S
M
N
F
E D
I A
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của
AB, AC với đường tròn (I) Biết ba góc BAC ABC BCA , , , đều là góc nhọn Gọi M
và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC
1)Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC
2)Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy
Giải:
a) Gọi F là tiếp điểm của BC với đường tròn (I)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AD = AE; BD = BF; CE = CF
Suy ra: AB + AC – BC = (AD + DB) + (AE+ CE)
– (BF + CF)
= AD + AE = 2AD
2 1 2
1
S
M
N
F
E D
I A
b) Gọi S là giao điểm của BI và MN Ta cần chứng minh: D, E, S thẳng hàng
Thật vậy:
Do MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB
1
(hai goc so le trong);
Suy ra tam giác MBS cân tại M nên MB = MS = MC
Tam giác BSC có đường trung tuyến SM=1/2BC nên tam giác BSC vuông tại S
Ta có:
Tứ giác IECF và IESC là các tứ giác nội tiếp (đường tròn đường kính IC)
Nên 5 điểm I, E, S, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính IC
Ta có:
; ( cua tam giac) (1)
Lại có tam giác ADE cân tại A
0
0
180
90
AED ADE B C (2)
Từ (1) và (2) suy ra SEC=AED mà A, E, C thẳng hàng nên
D, E, S thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy
Cách khác: Gọi P là giao điểm của DE và BI Đi chứng minh M, N, P thẳng hàng.