Đề thi môn toán lớp 10 vào các trường chuyên của các tỉnh từ năm 2012 đến 2018 có đáp án chi tiết

Câu 4 4 đ Câu 4 : 4 điểm Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn O.Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng : a bMA.MP =B

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)

Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu

Câu 1 (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol (P): y = - x2

a Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);

b Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2)

a Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E

lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất.

b Với x là số thực Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 3x2 4

a Chứng minh tam giác EAI cân;

b Chứng minh: IC.IE = IA.ID;

c Giả sử biết BI = a, AC = b Tính AB theo a, b

Câu 5 (1 điểm)

Chứng minh trong các số có dạng 20142014 2014 có số chia hết cho 2013

Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5 0,25 Hay: (x1 + x2)2- 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25

B

A

C M

Vậy: tam giác EAI cân tại E 0,25

EAIDCI (cùng chắn cung DE) 0,25

Suy ra: IC ID IC.IE IA.ID

c

AC cắt BD tại F Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao

Do: DIBIBA IAB 450 nên BID vuông cân

(loại), x =

b b 4a2

  Vậy AB =

b b 4a2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN

Năm học 2010- 2011 Môn thi: TOÁN

(Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề)

a) b)MA.MP =BA.BM

Câu 5 : ( 3 điểm )

a) Cho phương trình ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên Chứng minh rằng là hợp số

b) Cho hai số dương a,b thỏa Tính P=

Câu 6 : ( 2 điểm )

Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường

tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 7: ( 2 điểm)

Cho a , b là các số dương thỏa  Chứng minh 

1 đ

1 đ

Câu 4

( 4 đ)

Câu 4 : ( 4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính giữa của

cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng :

a) b)MA.MP =BA.BM

a)Cho phương trình ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả

sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên Chứng minh rằng là hợp

  là các số nguyên lớn hơn 1 nên là hợp số 0,5 đ

Câu 6

( 2 đ)

Câu 6: ( 2 điểm)

Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường tròn tâm O

bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D, với C là trung điểm của OA.Gọi E là trung

điểm của OC

*Trường hợp M không trùng với C vá D

Hai tam giác OEM và OMA đồng dạng ( do    )

* Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM

* Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM

MA+2.MB=2(EM+MB) 2.EB = hằng số

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O)

Vậy MA +2.MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O)

Bài 1: ( 2,5 đ) Cho biểu thức: Q x 2 x 2 x x

2.Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình:

Bài 4: (3 đ) Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng (d) không đi qua O cắt đường tròn tại hai

điểm A,B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn ( C,D là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của AB

1 CMR các điểm M,D,O,H cùng nằm trên một đường tròn

2 Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD

3 Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất

Bài 5: (1 đ) : Không dùng máy tính, hãy rút gọn biểu thức: A 7 13 7 13 2

-* -

Vậy với x   0;2;3  thì Q nhận giá trị nguyên

Bài 2: (2 đ) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (13;14)

Bài 3: (1,5 đ) Cho a,b,c là các số thực dương CMR : bc ca ab a b c

a  b  c    a,b,c là các số thực dương => Theo BĐT Cô-Si ta được:

P

Q

I H

C

D

B A

O

M

Lại có ODM = 900

( Tính chất tiếp tuyến) Suy ra OHM = ODM = 900 => H,D cùng nhìn đoạn OM dưới 1 góc vuông => H,D cùng

nằm trên đường tròn đường kính OM => các điểm M,D,O,H cùng nằm trên đường tròn đường

kính OM

2 Đoạn OM cắt đường tròn tại điểm I CMR I là tâm đường tròn nội tiếp ∆MCD

Ta có: COIDOI( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)=> CI DI => CDIDIM=> DI là phân giác trong của ∆ MCD (1)

Lại có MI là đường phân giác trong của ∆ MCD ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ MCD

3 Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P và Q

Tìm vị trí điểm M trên (d) sao cho diện tích ∆ MPQ bé nhất

Ta có ∆MOD = ∆MOP (g-c-g) => S∆ MPQ= 2 S∆ MOQ =OD.MQ = R.MQ

=> S∆ MPQ nhỏ nhất  MQ nhỏ nhất (3)

Theo BĐT Cô – si cho hai số không âm ,

ta có: MQ = MD+DQ ≥2 MD.DQ  2 OD2  2OD  2R

( Vì ∆ MOD vuông tại O có đường cao OD nên OD2=MD.DQ )

Dấu “=” xảy ra MD= DQ ∆OMQ vuông cân tại O

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2012- 2013 KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN

Môn thi: TOÁN (chuyên)Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi 25 tháng 6 năm 2012

Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm)

Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trực tâm H, nội tiếp đường tròn tâm O,

đường kính AA’.Gọi AD là đường phân giác trong của góc BAC ( D  BC ) M,I lần lượt là trung điểm của BC và AH

1) Lấy K đối xứng với H qua AD.Chứng minh K thuộc đường thẳng AA’

2) Gọi P là giao điểm của AD với HM.Đường thẳng HK cắt AB và AC lần lượt tại Q

và R.Chứng minh rằng Q và R lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên AB,AC

Câu V (3,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4  y4  z4  2012

2) Cho hình vuông 12x12, được chia thành lưới các hình vuông đơn vị Mỗi đỉnh của hình vuông đơn vị này được tô bằng một trong hai màu xanh đỏ Có tất cả 111 đỉnh màu đỏ Hai trong số những đỉnh màu đỏ này nằm ở đỉnh hình vuông lớn, 22 đỉnh màu đỏ khác nằm trên cạnh cạnh của hình vuông lớn (không trùng với đỉnh của hình vuông lớn ) hình vuông đơn

vị được tô màu theo các quy luật sau: cạnh có hai đầu mút màu đỏ được tô màu đỏ, cạnh có hai đầu mút màu xanh được tô màu xanh, cạnh có một đầu mút màu đỏ và một đầu mút màu xanh thì được tô màu vàng Giả sứ có tất cả 66 cạnh vàng Hỏi có bao nhiêu cạnh màu xanh

-Hết -

Họ và tên thí sinh……… Số báo danh……… ………… Chữ kí của giám thị 1: ……….……… Chữ kí của giám thị 2: ………

ĐỀ CHÍNH THỨC

*) Nếu 2x + 2b = 1 thì hệ vô nghiệm

Vậy hệ có hai nghiệm ( 1 , 2)

2

( ;2) 2 Câu V

1)

Giả sử một số nguyên là số chẵn có dạng 2k thì 4 4

(2 ) k  16 k  0(mod8) Nếu Số nguyên là số nguyên lẻ có dạng 2k + 1 thì

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

2) Có 111 đỉnh màu đỏ,trong đó có 22 đỉnh nằm trên cạnh của hình vuông,, 87 đỉnh nằm lọt trong hình vuông lớn.Từ đó ta thấy có hai điểm màu xanh ở hai góc của hỉnh vuông lớn, 22 điểm màu xanh trên các cạnh của hình vuông lớn không nằm trên đỉnh của hình vuông lớn còn lại có 34 điểm màu xanh nằm lọt trong hình vuông.Với 312 cạnh của cả hình, ta cho đình của mỗi cạnh như sau: trong 2 mút của nó có i điểm màu xanh thì cho

i điểm.Gọi tổng số điểm là S, ta có S = 2 ( số cạnh màu xanh) + số cạnh vàng.Ta lại có thể đếm số S theo cách khác:Mỗi điểm xanh ở góc là mút của hai đoạn, các điểm còn lại

là mút của 4 đoạn.Vậy S = 2 x 2 + 22 x 3+ 34 x 4 = 206, suy ra số cạnh xanh là : ( 206 – 66):2 = 70 cạnh màu xanh

Câu III: Chứng minh rằng:

D

o A

A' B

C

Lại có

A AC  A BC ( cùng chắn cung ' A C ) nên BAN  A AC '

Cũng có BAD  CAD  BAD  BAN  CAD CAN  

Mặt khác H đối xứng với K qua AD  HAD  KAD , H thuộc AN nên K thuộc AA’ 2) Bạn tự giải nhé

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM 2017

Môn thi: Toán (chuyên)

(Dành cho thí sinh thi vào trường THPT Chuyên Hạ Long)

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh

(Hướng dẫn này có 03 trang)

33

x x

x

3

33)

33)(

3(

33)3

+ n + 1 > 1 và A > n2 + n + 1 nên A là hợp số

I

A

1 Gọi F là giao điểm của OC và AM, ta có OCAM

Ta có, CM = CA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hai tam giác vuông AME và AFC đồng dạng,

Tam giác COD vuông tại O (vì OC, OD là hai phân giác của hai

góc kề bù), có OM là đường cao nên OM2 = CM.MD

3 Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất

trong cả tổ chấm Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn.

Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài I (3 điểm)

1) Tìm các số nguyên dương n để A= (n-8)

2

-48 n+5 có giá trị là số nguyên dương 2) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn đẳng thứcx2+y(y2+y-3x)=0

Bài II (2 điểm)

Giải hệ phương trình (x, y, z là ẩn)

Bài III (3 điểm)

Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O) Gọi BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC

Bài IV (1 điểm)

……… Hết………

Họ và tên thí sinh : ……… Số báo danh: ……… Chữ kí giám thị số 1……… Chữ kí giám thị số 2……….……

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN

*Nếu y≥2 thì <0 phương trình (1) vô nghiệm 0.25

*Với y=1 phương trình (1) trở thành x2-3x+2=0 x1=1; x2=2 0.25

II

*Nếu một trong 3 số x, y, z bằng 0 thì hai số còn lại bằng 0

A2 Q

đồng dang với tam giác ACE

0.50

Chứng minh được AD.AC=AE.AB

0.50

2 Chứng minh … (1 điểm)

*Gọi H là trực tâm của ABC

tia AH cắt BC tại J và cắt cung BC tại Q CM được: A1A2

*Tương tự chứng minh đượcB1B2

B1B =

SAHCSBAC ,C1C2C1C =

SAHBSBAC

*ABC nhọn nên điểm H nằm trong tam giác Suy ra

SBHC+SBHA+SAHC=SBAC

3 Chứng minh tia Ax …(1 điểm)

*tia BD cắt cungAC tại R, tia CE cắt cung AB tại L

Chứng minh được DE//RL suy ra LRAx

*cung AL=cungAR chứng minh Ax di qua tâm O khi A di động t

*Gọi đường tròn ngoại tiếp ABC là (I), I nằm trong ABC

Nếu A, B, C nằm trên (O) thì (I) và (O) trùng nhau

*Nếu (O) đựng (I) hoặc (O) và(I) tiếp xúc trong với nhau thì đường kính của (I)

nằm trong (O) suy ra chu vi của (I) nhỏ hơn chu vi của (O)

*Nếu (O) và (I) cắt nhau tại M, N Vì ABC có ba góc nhọn nên số đo cung nhỏ

MN< 1800 Suy ra cung lớn MN>1800, ắt tồn tại đường kính của (I) nằm trong

a Chứng minh rằng: 2

EB ED EA và BA CA

BD CD

b Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua một điểm

c Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BCQP

d Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân

Câu 6 (1,0 điểm)

a Chứng minh rằng: 3 3

a b ab a b , với a, b là hai số dương

b Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a b 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  3 3 2 2 2 3

.2

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……….………SBD: …………

Họ và tên giám thị 1: ……… chữ kí: …….…

Họ và tên giám thị 2: ……… chữ kí: …….…

ali

GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH 10 TỈNH BÌNH PHƯỚC

Câu 2 (1,0 điểm)

Cho phương trình: 2

x  x m  , (1) với m là tham số Tìm các giá trị của m để phương trình (1)

có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn: 1, 2 3 x1 x2 x x1 217

Giải

Chú ý Vì x x nằm trong các căn bậc hai nên phải có điều kiện 1, 2 x10,x2 0

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 1

2

16 28 0

14

m m

x x

14 2 462

Bình luận: Với cách làm trên ngắn gọn, đầy đủ song một số học sinh cảm thấy hơi trừu tượng ( do nguyên lí Đirichlet học sinh ít ôn tập không nằm trong chương trình SGK mà ở sách tham khảo) bài toán trên có thể

trình bày như sau:

Trong ba số nguyên tùy ý luôn tồn tại hai số hoặc chẵn hoặc lẻ

Gọi hai số chính phương chọn ra là 2

Vậy trong ba số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4.

NGUYỄN ANH TUẤN 0985.767.113

b Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2

Bình luận:

Với cách làm trên là hoàn hảo song nhiều học sinh lại thắc mắc tại sao thầy Quý lại chuyển số 7 sang và

phân tích vế trái thành nhân tử, vì việc xác định nhân tử chung không hề đơn giản Sau đây tôi nêu một kỷ thuật làm như vậy: Ta xem vế trái là pt bậc hai ẩn x:

Nhằm tạo ra đen ta là bình phương của một biểu thức( có thể thêm bớt số tự do vào hai vế của (1))

Từ đó ta suy ra được: x2y  x 2y0 từ đó phân tích như trên ( nhớ vét hết từ trái qua phải)

Trên đây xem như làm nháp

NGUYỄN ANH TUẤN 0985.767.113

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại E; AE cắt đường tròn (O) tại D (khác điểm A) Kẻ đường thẳng (d) qua điểm E và song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), đường thẳng (d) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại N (khác điểm A)

+) Ta có Ax // PQ BPEBAx (so le trong), mặt khác AxB ADB( cùng bằng nửa số đo cung AB) Do

đó ta có BPEADB BDEP là tứ giác nội tiếp

+) Ta có Ax // PQ CQECAy (so le trong), mặt khác CAy ADC( cùng bằng nửa số đo cung AC) Do

đó ta có CQEADC CDEQ là tứ giác nội tiếp

Vậy ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, BPE, CQD cùng đi qua điểm D, (đpcm)

c Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BCQP

+) Ta có BPEBAxADBABzEBP EBP cân tại E EBEP, (1)

+) Ta có CQECAyADCACt ECQ ECQ cân tại E ECEQ, (2)

t z

Nhận xét Đường thẳng AD được gọi là đường đối trung của tam giác ABC Nó chính là đường thẳng đối

xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác trong của tam giác ABC tại đỉnh A Nó có nhiều tính chất rất và ứng dụng rất thú vị, là một kiến thức quan trọng trong bồi dưỡng học sinh giỏi hình học, đặc biệt

ở bậc THPT Câu (d) của đề thi được khai thác từ định nghĩa của đường đối trung là sự đối xứng của AD và

AM qua phân giác trong tại đỉnh A

+) Trước hết ta đi chứng minh kết quả: Cho tam giác ABC ta luôn có 2

sin A sin B sin C

R

   , với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Thật vậy kẻ đường kính BD của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có: A BDC , xét tam giác vuông

A Ta sẽ chứng minh M’ trùng với điểm M

Thật vậy áp dụng kết quả chứng minh ở trên cho các tam giác ABM’, ACM’, ABE, ACE ta có và lưu ý

Ta thấy với a, b là hai số dương nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng

Dấu “=” xảy ra khi a = b

NGUYỄN ANH TUẤN 0985.767.113

b Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 3 3 2 2 2 3

.2

11

24

a b

a b ab

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2015-2016 Môn Toán

(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

Thời gian àm bài: 150 hút, không kể thời gian giao đề

Đề thi có 01 trang -

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n n hơn 1 thoả mãn n2 4 và n2 16 là các

số nguyên tố thì n chia hết cho 5

b) Tìm nghiệm nguyên của hương trình: x2  2 ( y x  y )  2( x  1)

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC  R 3 cố định Điểm A i đ ng trên cung

n BC sao cho tam gi c ABC nhọn Gọi E là điểm đối ứng i B qua AC và F à điểm đối ứng i C qua AB C c đường tròn ngoại tiế c c tam gi c ABE à ACF cắt nhau tại

K (K không tr ng A) Gọi H à giao điểm của BE và CF

a) Chứng minh KA à hân gi c trong góc BKC à tứ gi c BHCK n i tiế

b) c định ị trí điểm A để iện tích tứ gi c BHCK n nh t, tính iện tích n nh t của tứ gi c đó theo R

c) Chứng minh AK uôn đi qua m t điểm cố định

Họ và tên thí sinh: anh:

Thí sinh không được sử ụng tài liệu C n ộ c i thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)

(Hướng ẫn ch m gồm 05 trang)

I Một số chú ý khi chấm bài

 ư ng n ch m thi ư i đây ựa ào ời giải sơ ư c của m t c ch, khi ch m thi, c n b ch m thi cần b m s t yêu cầu trình bày ời giải đầy đủ, chi tiết, h ô-gic à có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm

 Thí sinh àm bài th o c ch kh c i ư ng n mà đúng thì t ch m cần thống nh t cho điểm tương ứng i thang điểm của ư ng n ch m

 Điểm bài thi à t ng điểm c c câu không àm tròn số

II Đ -tha g điểm

Câu 1 (1,5 điểm)

a) Chứng minh rằng nếu số nguyên n n hơn 1 thoả mãn n2 4 và n2 16 à c c số

nguyên tố thì n chia hết cho 5

b) Tìm nghiệm nguyên của hương trình: x2  2 ( y x  y )  2( x  1)

a) (0,5 điểm)

Ta có i mọi số nguyên m thì 2

m chia cho 5 ư 0 , 1 hoặc 4

+ Nếu n chia cho 5 ư 1 thì 2 n2  5 k   1 n2  4 5 k  5 5; k  *.

nên n2 4 không à số nguyên tố

0,25

+ Nếu n chia cho 5 ư 4 thì 2 n2  5 k   4 n2  16 5 k  20 5; k  *.

nên n2 16 không à số nguyên tố

x    x Vậy hương trình (1) có 4 nghiệm nguyên :          x y ;   0;1 ; 4;1 ; 4;3 ; 0; 1   

0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC

x   y có 2 nghiệm hân biệt, o

đó hương trình (1) có 4 nghiệm hân biệt  hương trình (2) có 2 nghiệm ương hân

V i x   y 0 không thỏa mãn hương trình (2)

Trường h 2: x  2 y thay ào hương trình (2) ta có:

0,25

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC  R 3 cố định Điểm A i đ ng trên cung n

BC sao cho tam gi c ABC nhọn Gọi E à điểm đối ứng i B qua AC và F là điểm đối ứng i

C qua AB C c đường tròn ngoại tiế c c tam gi c ABE à ACF cắt nhau tại K (K không tr ng A)

Gọi H à giao điểm của BE và CF

a) Chứng minh KA à hân gi c trong góc BKC à tứ gi c BHCK n i tiế

b) c định ị trí điểm A để iện tích tứ gi c BHCK n nh t, tính iện tích n nh t của tứ

gi c đó theo R

c) Chứng minh AK uôn đi qua điểm cố định

4

P Q

N M

A

a) (1,5 điểm)

Ta có AKB AEB  ( ì c ng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiế tam gi c AEB)

à ABE  AEB (tính ch t đối ứng) suy ra AKB ABE  (1)

AKC  AFC ( ì c ng chắn cung AC của đường tròn ngoại tiế tam gi c AFC)

ACF  AFC (tính ch t đối ứng) suy ra AKC  ACF (2)

0,5

ặt kh c ABE  ACF (c ng h i BAC ) (3) T (1), (2) , ( ) suy ra AKB AKC 

Gọi P, Q ần ư t à c c giao điểm của BE i AC à CF i AB

AQH  APH   PAQ  PHQ   PHQ   BHC  (đối đ nh) 0,25

Ta có AKC  ABE  300, AKB  ACF  ABE  300 (th o chứng minh hần a)

Gọi M à giao điểm của AH à BC thì MH uông góc i BC, k KN uông góc i BC

(N thu c BC), gọi I à giao điểm của HK à BC

Khi HK à đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I à trung điểm

của BC nên ABC  cân tại A Khi đó A à điểm chính giữa cung n BC 0,25

c) (0,5 điểm)

Ta có BOC  120 ;0 BKC  600suy ra BOC  BKC  1800

nên tứ gi c BOCK n i tiế đường tròn

0,25

Ta có OB=OC=R suy ra OBOCBKOCKO hay KO à hân gi c góc BKC

th o hần (a) KA à hân gi c góc BKC nên K ,O, A th ng hàng hay AK đi qua O cố định 0,25

ĐỀ Câu 1

Câu 4 Giải pt trên tập số nguyên x2015 y y( 1)(y2)(y 3) 1 (1)

Câu 5 Cho tam giác ABC nhọn AB AC  nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Gọi M là trung điểm của BC

HE Chứng minh rằng: ACH ADK.

Câu 6 1) Cho a, b là các số thực dương Chứng minh rằng: (1a)(1b) 1  ab

2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b ab  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( vế phải của pt (1) ta thường hay gặp trong các bài toán giải hệ pt ta cần chú ý)

SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016

(Cách khác: có thể tách ra rồi sử dụng bđt côsi và xét thấy dấu bằng không xảy ra suy ra Q 1 )

2 Cho phương trình x22(m1)x m 2 0 (1) Tìm m để pt có 2 nghiệm x x1 2, thỏa mãn

     Khi đó theo vi-ét ta có: x1x2 2m2; x x1 2 m2

Vì x1 là nghiệm của pt (1) nên x12 2(m1)x m1 2 thay vào (2) ta được x2 1x2 m 2

Từ vi-ét và giả thiết, ta có

ĐK: x

y 0 (*)0

Vậy nghiệm của hpt là:    x y;  1;1

4 Giải pt trên tập số nguyên x2015  y y( 1)(y2)(y 3) 1 (1)

Vậy pt có 4 nghiệm nguyên          x y ; : 1;0 , 1; 1 , 1; 2 , 1; 3   

( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dưới dấu căn cộng 1 là số chính phương)

6 1) Cho a, b là các số thực dương Chứng minh rằng: (1a)(1b) 1  ab

Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương

2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

dưới dấu căn Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo thì quá rõ, sau đó dùng ppháp dồn biến)

3) Gọi N là giao điểm của AH và đường tròn tâm O (N khác A) Gọi D là điểm bất kỳ trên cung nhỏ

NC của đường tròn tâm O (D kác N và C ) Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của

AC và HE Chứng minh rằng: ACH ADK.

Quá trình làm và đánh máy không tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa!

Tiếp tục cập nhật!