CHUYÊN đề quan he duong thang va pa ra BOL

b Gọi là hoành độ các giao điểm của và Tìm đểLời giải: a Xét phương trình hoành độ giao điểm của và Suy ra phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi hay luôn cắt tại hai điểm p

CHUYÊN ĐỀ : SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

Bài 1. TS LỚP 10 Bình Định 2017 - 2018

a) Chứng minh rằng với mọi đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt

b) Tìm các giá trị của để đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt

y y

+

= +

Cho parabol và đường thẳng (với là tham số )

a) Tìm tọa độ giao điểm của và khi

b) Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt taị hai điểm phân biệt có

Bài 5. TS LỚP 10 Đà Nẵng 2017 - 2018

Cho hai hàm số và , với là tham số

a) Khi , tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị , đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tạihai điểm phân biệt và Tìm tất cả các giá trị của sao cho

Bài 6. TS LỚP 10 Phú Thọ 2017 - 2018

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol có phương trình và hai điểm

thuộc có hoành độ lần lượt là

a) Tìm tọa độ của hai điểm

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

c) Tính khoảng cách từ điểm (gốc tọa độ) tới đường thẳng

Bài 7. TS LỚP 10 Quãng Ngãi 2017 – 2018

Cho hàm số có đồ thị là và hàm số có đồ thị là

a) Vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Bằng phép tính, tìm tọa độ các giao điểm của và ; (hoành độ của nhỏhơn hoành độ của ) Gọi và lần lượt là hình chiếu vuông góc của và trên

trục hoành, tính diện tích của tứ giác

Bài 8. TS LỚP 10 Thừa Thiên Huế 2017 – 2018

Cho hàm số có đồ thị

a) Vẽ đồ thị của hàm số

b) Cho đường thẳng Tìm để đường thẳng song song vớiđường thẳng và có duy nhất một điểm chung với đồ thị

Bài 9. TS LỚP 10 Tiền Giang 2017 – 2018

a) Vẽ đồ thị của và trên cùng hệ trục tọa độ

b) Bằng phép tính, xác định tọa độ giao điểm và của và Tính độ dàiđoạn thẳng

AB

.

Oxy

a) Vẽ đồ thị của hàm số:

b) Cho đường thẳng đi qua điểm Tìm tọa độ giao điểm của

và

Bài 11. TS LỚP 10 Yên Bái 2016 – 2017

Cho đường thẳng có phương trình và parabol có phương trình

a) Vẽ đường thẳng và parabol trên cùng hệ trục tọa độ

b) Đường thẳng cắt tại hai điểm và (với có hoành độ âm, cóhoành độ dương) Bằng tính toán hãy tìm tọa độ các điểm và

( )P ,

MAB 30

a) Vẽ đồ thị

Bảng giá trị

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Trường hợp 1: thuộc đoạn : Ta có

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol

a) Chứng minh luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi

M OD S AMB =S ABDC−S ACM −S BDM

ABDC AC= 2cm BD, = 8cm CD, = 6cm

2

(2 8).6

30(cm ) 2

b) Gọi là hoành độ các giao điểm của và Tìm để

Lời giải:

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của và

Suy ra phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi hay luôn cắt

tại hai điểm phân biệt với mọi

0

Đồ thị

b) Tìm tọa độ giao điểm của và bằng phép tính

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ đồ thị Parabol

b) Bằng phương pháp đại số, hãy tìm tọa độ giao điểm của và

c) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và có điểm

chung với parabol tại điểm có hoành độ bằng

Vậy giao điểm của và và

c) Phương trình đường thẳng có dạng:

Gọi là điểm thuộc có

có chung với điểm nên:

b) Gọi là đường thẳng có phương trình

Vì đi qua gốc tọa độ nên

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Vì cắt tại điểm có hoành độ là nên:

Bài 17. TS LỚP 10 Bình Thuận 2015 – 2016

a) Vẽ đồ thị của hàm số

b) Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân

biệt với mọi

b) PT hoành độ giao điểm của và

Vì với mọi giá trị

Nên với mọi giá trị

với mọi giá trị

Vậy đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt với mọi

Bài 18. TS LỚP 10 Đà Nẵng 2015 – 2016

Cho hàm số có đồ thị

a) Vẽ đồ thị

b) Cho các hàm số và (với là tham số) lần lượt có đồ thị là

và Tìm tất cả các giá trị của để trên một mặt phẳng tọa độ các đồ

thị của và cùng đi qua một điểm

b) Phương trình hoành độ giao điểm của và :

Phương trình (*) có dạng : nên có 2 nghiệm :

Ta có cắt tại hai điểm và

Để và cùng đi qua một điểm thì hoặc hoặc

b) Xác định toạ độ các giao điểm của đường thẳng và Tìm

toạ điểm trên sao cho tam giác cân tại

b) Viết phương trình đường trung trực của , tìm giao điểm của và ta

tìm được hai điểm

Hoành độ các giao điểm của đường thẳng và là nghiệm của

+ Với , thay vào ta có: , ta có:

+ Với , thay vào ta có: , ta có:

Suy ra trung điểm của là:

Đường thẳng vuông góc với có dạng:

Vì đi qua nên:

Bài 20. TS LỚP 10 Kiên Giang 2015 – 2016

Cho parabol : và đường thẳng

c) Vẽ và trên cùng một hệ trục toạ độ

d) Xác định đường thẳng biết đường thẳng song song với đường thẳng

và cắt parabol tại điểm có hoành độ bằng

Vậy

Bài 21. TS LỚP 10 Lạng Sơn 2015 – 2016

a) Vẽ đồ thị của các hàm số và trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Xác định tọa độ các giao điểm của hai đồ thị trên

b) Tính tọa độ giao điểm

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

có nên phương trình có nghiệm

Tại ta có , tọa độ thứ 2 là

Bài 22. TS LỚP 10 Long An 2015 – 2016

Cho các hàm số và

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng phép tính

c) Viết phương trình đường thẳng , biết rằng song song với và

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị bằng phép tính

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

* Với giao diểm thứ nhất là

* Với giao diểm thứ hai là

c) Viết phương trình đường thẳng , biết rằng song song với và

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Đường thẳng song song đường thẳng

f) Tính độ dài đường cao của tam giác (điểm là gốc tọa độ).

Lời giải:

a) Ta có: có hoành độ

có hoành độ

Vì đường thẳng đi qua 2 điểm và nên ta có hệ:

Vậy với thì đi qua 2 điểm

b) Vẽ và trên cùng 1 hệ trục tạo độ như hình vẽ

Dễ thấy cắt tại và cắt tại

Độ dài đường cao của tam giác chính là độ dài đường cao của tam giác

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Vậy

Bài 24. TS LỚP 10 Thanh Hóa 2015 – 2016

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol

a) Tìm để đi qua điểm

b) Tìm để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Lời giải:

a) Thay vào phương trình đường thẳng ta được:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Để cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm

Khi đó theo định lý Vi-ét ta có:

Theo đề bài:

Vậy là giá trị cần tìm

Bài 25. TS LỚP 10 Tiền Giang 2015 – 2016

Cho parabol và đường thẳng

g) Vẽ đồ thị của và trên cùng mặt phẳng tọa độ

h) Bằng phép tính, xác định tọa độ các giao điểm của và

i) Tìm tọa độ điểm trên cung của đồ thị sao cho tam giác có diện

6 0 ( : m 1) 3( )

b) Phương trình hoành độ giao điểm của và :

+ Phương trình hoành độ giao điểm giữa và

Do đó: có phương trình:

+ phương trình hoành độ giao điểm giữa và :

+ Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và MH:

phương trình có nghiệm kép: (thỏa điều kiện)

Khi đó: (thỏa điều kiện)

Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng

(với là tham số)

a Tìm để đường thẳng đi qua điểm

b Xác định các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho tổng 2

tung độ của hai giao điểm đó bằng

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua nên

b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và Parabol là:

Ta có , với mọi nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Do đó, đường thẳng và Parabol cắt nhau tại hai điểm và

m

Trong mặt phẳng tọa độ , cho parabol và đường thẳng

( là tham số)

l) Vẽ đồ thị parabol

m) Biết đường thẳng luôn cắt parabol tại hai điểm phân biệt Gọi hoành độ

giao điểm của đường thẳng và parabol là Tìm để

Theo định lý Vi-ét:

Theo đề bài, ta có:

Vậy: hoặc

Bài 29. TS LỚP 10 Phú Thọ 2015 – 2016

Cho parabol và đường thẳng có phương trình:

a Tìm tọa độ giao điểm của và với

b Chứng minh và luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và với mọi

c Gọi là hoành độ giao điểm của và Tìm để

Lời giải:

a) (1 điểm)

Thay ta được

Phương trình hoành độ giao điểm và khi là

Giải phương trình ta được

Tọa độ giao điểm của và là

(1)

Nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt suy ra và luôn cắt nhau

tại 2 điểm phân biệt với mọi

c) (0,5 điểm)

Ta có: là nghiệm phương trình (1) vì Theo Vi-et ta có:

Bài 30. TS LỚP 10 An Giang 2015 – 2016

Cho hàm số có đồ thị là Parabol

a Vẽ đồ thị hàm số đã cho trên mặt phẳng tọa độ

b Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm nằm trên Parabol có hoành

độ và có hệ số góc Với giá trị nào thì tiếp xúc

Đường thẳng tiếp xúc khi đó phương trình sau có nghiệm kép

Phương trình có nghiệm kép khi

Phương trình hoành độ giao điểm của và

Giải phương trình ta được:

Tọa độ giao điểm là: và

Bài 32. TS LỚP 10 Bình Phước 2014– 2015

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một hệ trục toạ độ

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng và tiếp xúc với

a) + Bảng một số giá trị của

0+ đi qua 2 điểm và

Cho hàm số có đồ thị và hàm số có đồ thị

a) Vẽ đồ thị

b) Tìm tất cả các giá trị của sao cho và cắt nhau tại hai điểm phân biệt,

trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị

b) Phương trình hoành độ giao điểm của và đường thẳng là :

(1) có

Để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì

Yêu cầu của bài toán tương đương với

Bài 34. TS LỚP 10 Hà Nam 2014– 2015

Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol có phương trình và đường thẳng

có phương trình: (với là tham số)

a) Tìm giá trị của để cắt tại điểm có hoành độ là 2

b) Tìm giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn

Lời giải:

a) Điểm thuộc Parabol có hoành độ nên tung độ

cắt tại điểm có hoành độ bằng 2

2 15 0 4

3 5

m

m hay m m

cắt tại hai điểm phân biệt

Với thì cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Nên theo hệ thức Vi-ét:

mà

Vậy là các giá trị cần tìm

Bài 35. TS LỚP 10 Hà Nội 2014– 2015

Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng và parabol

a) Tìm tọa độ các giao điểm của và

b) Gọi là hai giao điểm của và Tính diện tích tam giác

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy cắt tại 2 điểm phân biệt và

b) Gọi lần lượt là hình chiếu của và xuống trục hoành

Ta có

Ta có :

Diện tích hình thang :

Bài 36. TS LỚP 10 Kon Tum 2014– 2015

a) Vẽ đồ thị hai hàm số: và trên cùng hệ trục tọa độ

b) Xác định đường thẳng biết rằng đường thẳng này song song với đường

Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng

a) Hãy vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của và

c) Viết phương trình đường thẳng Biết rằng song song với

và cắt tại điểm có hoành độ là

Lời giải:

a) Hãy vẽ và

b) Tìm tọa độ giao điểm của và

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: hai giao điểm và

c) song song với

Ta có thuộc

Bài 38. TS LỚP 10 Thái Bình 2014– 2015

a) Với , tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng

b) Chứng minh rằng: với mọi parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai

điểm phân biệt Tìm sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương

m

c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi

Lời giải:

a) Với có phương trình

Hoành độ giao điểm của và là nghiệm phương trình:

Vậy với thì và cắt nhau tại hai điểm

b) Hoành độ giao điểm của và là nghiệm phương trình:

Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi suy ra và cắt nhau tại hai điểm

phân biệt

là hai nghiệm của phương trình (1), áp dụng định lý Viet ta có:

Hai giao điểm đó có hoành độ dương khi và chỉ khi

Vậy với thì và cắt nhau tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương.

c) Gọi điểm cố định mà đường thẳng đi qua với mọi là ta có:

Vậy với mọi thì đường thẳng luôn đi qua

Bài 39. TS LỚP 10 Thanh HÓa 2014– 2015

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng tham số và Parabol

a) Tìm để đường thẳng đi qua điểm

b) Tìm để đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần

lượt là thỏa mãn

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua điểm nên có

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa và :

a Tìm để đồ thị đi qua điểm

b Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt

và với mọi giá trị của

c Gọi và lần lượt là hoành độ của hai điểm và Tìm các giá trị của

Do đó, đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và với mọi

giá trị của

c Áp dụng định lí Vi-ét ta có:

Theo giả thiết

Vậy với thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 41. TS LỚP 10 Tiền Giang 2014– 2015

Trong mặt phẳng tọa độ cho Paradol và đường thẳng

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Ta có: nên phương trình có nghiệm 2 nghiệm

Từ đó tính được:

Vậy tọa độ giao điểm giữa và là:

Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

Bài 42. TS LỚP 10 Bà Rịa Vũng Tàu 2014– 2015

Cho parabol và đường thẳng (với là tham số)

a) Vẽ Parabol

b) Tìm tất cả các giá trị của để cắt có đúng một điểm chung

c) Tìm tọa độ các điểm thuộc có hoành độ bằng hai lần tung độ

Vậy với thì và có một điểm chung.

c) Điểm thuộc mà hoành độ bằng hai lần tung độ nghĩa là nên ta có:

Vậy điểm thuộc mà hoành độ bằng hai lần tung độ là

LỜI GIẢI

Sự tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d) Bài 1. TS LỚP 10 Bình Định 2017 - 2018

c) Chứng minh rằng với mọi đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt

d) Tìm các giá trị của để đường thẳng luôn cắt tại hai điểm phân biệt

Lời giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm

Ta có

Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt

b) Vì là nghiệm của phương trình nên Mặt khác

m=

( )P y x: = 2 ( )d :y= 4x+ 9

( )P .

d) Viết phương trình đường thẳng biết song song với đường thẳng (d) và

tiếp xúc

Lời giải:

a) Vẽ đồ thị

Ta có đồ thị hàm số

b) Gọi phương trình đường thẳng có dạng:

Vì song song với nên ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Vì tiếp xúc với nên (*) có nghiệm kép

Vậy phương trình đường thẳng là:

Bài 3. TS LỚP 10 Bình Phước 2017 - 2018

Cho parabol và đường thẳng

a) Vẽ parabol và đường thẳng trên cùng một trục tọa độ

b) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và đi qua

a

d y x b b

a) Cho parabol và đường thẳng

y y

+

= +

Vậy .

Bài 5. TS LỚP 10 Chuyên ĐHSP Hà Nội 2017 - 2018

Cho parabol và đường thẳng (với là tham số )

c) Tìm tọa độ giao điểm của và khi

d) Tìm tất cả các giá trị của để đường thẳng cắt taị hai điểm phân biệt có

để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2

nghiệm phân biệt

Với theo Viét

4 2

9 252

8

x x T

a a

<



 >



Với :

Với :

Bài 6. TS LỚP 10 Đà Nẵng 2017 - 2018

Cho hai hàm số và , với là tham số

c) Khi , tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên

d) Chứng minh rằng với mọi giá trị , đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và Tìm tất cả các giá trị của sao cho

3 2