Với những trường hợp không nêu công thức mà chỉ cho kết quả trừ ¼ số điểm 2.. Với những trường hợp thừa nghiệm do không xét điều kiện trừ ¼ số điểm của ý.. Với những đáp số không đúng q
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011- 2012
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
MÔN: TOÁN
Chú ý:
1 Với những trường hợp không nêu công thức mà chỉ cho kết quả trừ ¼ số điểm
2 Với những trường hợp thừa nghiệm (do không xét điều kiện) trừ ¼ số điểm của ý
3 Với những đáp số không đúng quy tắc làm tròn trừ ¼ số điểm của ý
3 Với những câu yêu cầu trình bày, thí sinh trình bày vắn tắt thể hiện tiến trình giải bài toán, không cần viết cách giải các phương trình và hệ mà máy tính hỗ trợ sẵn
4 Nếu học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm
Câu 1: (2 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức:
2 4 a 1) (a 3a
a
2 4 a 1) (a 3a
a
A
2 2
3
2 2
3
+
−
− +
−
−
−
− +
−
2 ) 1 (
+
−
− +
=
a a
a a A
≈0.984 994 0
1.5 0.5
Câu 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương
trình:
x + xy + y = 7
(1+x)(1+y) = 8 có 8 nghiệm:
(x, y)={(0, 7); (7, 0); (-2, -9);
(-9, -2); (1, 3); (3, 1); (-3, -5);
(-5, -3)}
0.25 /1N0
Câu 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC có AB=3cm;
BC=4cm ; CA=5cm Các đường cao BH, đường
phân giác BD, đường trung tuyến BP chia tam giác
thành 4 phần Hãy tính diện tích mỗi phần
SCBP=3 (cm)2
SBDP =
73 ≈0.428 571 4 (cm2)
SABH= 25
54 ≈ 2.16(cm2)
SBDH=
175
72 ≈ 0.411 428 6 (cm2)
0.5 0.5 0.5
0.5
Câu 4: (2 điểm) Giải phương trình:
(x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) = 3 2
13 5
x1 − −
= ≈-4.302 775 6
2
13 5
x2 = − + ≈-0.697 224 4
1.0 1.0
Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=a , góc BAC bằng 1200,
SA=SB=SC=3a
a Tính thể tích hình chóp S.ABC
b Áp dụng với a= 17
Hướng dẫn:
a Hạ SH vuông góc với mặt phẳng (ABC), AH cắt BC tại K
Vì SA=SB=SC nên các tam giác sau vuông bằng nhau
(ΔSHA=ΔSHB = ΔSHC) ⇒ HA=HB=HC
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
Mặt khác do ΔABC cân tại A và góc (BAC) tù
nên HA là phân giác trong của góc (BAC) Do ΔHAB cân tại H, và
AH
0.5
A
B
C S
H K
a a
3a 3a 3a
60 60
Trang 2Ta có: VSABC= .AB.AC.sin ( SH
2
1 3
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
= .a.a.sin12 0 2 2 a
2
1
.
3
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
6
6
a
b VSABC≈28.615 264 0
1.0 0.5
Câu 6: (2 điểm) Tính tổng:
2012 2011 2011
2012
1
3 2 2 3
1 2
2
1 S
+ +
+ +
+ +
=
Hướng dẫn:
Với ∀n ∈ N* ta có:
1 n n n 1) (n
1
+ +
1 n
1
+
− Từ đó ta có:
2
1 1
2
2
3
1 2
1 3
2
2
3
+
………
2012
1 2011
1 2012
2011 2011
2012
Vậy
2012
1 1
S= − ≈0.977 706 1
0.5
0.5
1.0
Câu 7: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA=a và
SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Kẻ AE⊥SB, AF⊥SD Gọi K là giao điểm của
SC với mặt phẳng AEF
a Tính diện tích tứ giác AEKF
b Áp dụng với a= 11
Hướng dẫn:
a) Do SA = AB = AD = a
⇒ E, F là trung điểm của SB và SD
Trong ΔSBD có EF//=
2
1
BD =
2
2
a
(0,5 điểm)
Mặt khác: Hai tam giác vuông SKE và SKF bằng nhau nên KE=KF suy ra tam giác KEF cân tại K, lại có AEF cân tại A Vậy AK là đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác chung của hai tam giác AEF và KEF.(0.5 điểm)
Trong tam giác vuông ACS có
AC AS
1 1
3
6
a
Tứ giác AEKF có EF⊥AK nên: S=
6
2 3
6 a 2
2 a 2
1 EF.AK 2
b S=
6
2
2
a ≈2.592 724 9
0.5
0.5
0.5 0.5
Trang 3Câu 8: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:
⎩
⎨
⎧
= + +
= + +
3
3
3 3
x
z y x
Hướng dẫn:
Ta có đẳng thức: (x+y+z)3 – (x3+y3+z3)=3(x+y)(y+z)(z+x) nên: (x +y)(y+z)(z+x)=8
Đặt: c=x+y, a=y+z , b=z+x thì abc= 8 Do x, y, z nguyên nên a,b,c ∈{±1, ±2, ±4, ±8}
Giả sử: x≤y≤z thì c≤b≤a Ta có: a+b+c=2(x+y+z)=6 nên a≥2
4
4
=
=
=
⇒
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
= +
z y x c
b bc
c b
+ Với a=4 ta có
⎩
⎨
⎧
=
= + 2
2
bc
c b
Không có nghiệm nguyên
1
2
=
=
−
=
⇒
−
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=
−
= +
z y x
c b bc
c b
Vậy hệ có 4 nghiệm (1 ;1 ;1) ,(4 ;4 ;-5) (4 ;-5 ;4) (-5 ;4 ;4)
1.0
1.0
Câu 9: (2 điểm) Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, BA=c Từ một điểm M
trong tam giác hạ các đường vuông góc MA1, MB1 và MC1 xuống các đường
thẳng BC, CA và AB Với vị trí nào của M thì
1 1
c MB
b MA
a
trị nhỏ nhất Xác định giá trị nhỏ nhất đó với a= 3; b= 5 và c= 7
Hướng dẫn: Đặt MA1 = x, MB1 = y , MC1 = z
Ta có: ax + by + cz = 2SΔABC
Với SΔABC=
4
) )(
)(
)(
(a+b+c a+b−c a+c−b b+c−a
Lại có: ( )(ax by cz)
z
c y
b x
) ( ) (
) (
2 2
2
z
x x
z ca y
z z
y bc x
y y
x ab c
b
=
ABC
S
c b a P c
b a ca bc ab c
b
a
Δ
+ +
≥
⇒ + +
= + + + +
+
≥
2
) (
) (
2 2 2
2 2
2
2
2
Dấu bằng đạt được x=y=z Khi đó M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Vậy khi M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thi P đạt giá trị nhỏ nhất
Pmin≈11.389 779 4
0.5
0.5
0.5 0.5
Câu 10: (2 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x≥y≥z và 32-3x2=z2
=16-4y2 Tìm giá trị lớn nhất của A=xy+yz+zx Với x, y, z bằng bao nhiêu thì A đạt giá trị
lớn nhất
Hướng dẫn:
Ta có: y2 =
4
z
-16 2
và x2 =
3
z
-32 2
Vì y≥z ⇒
4
z
-16 2
≥ z2 ⇔ 5z2 ≤ 16 ⇔0<z≤
5 4
Trang 4Mặt khác: x2-3y2 =
12
) 9 144 ( 4z -128 4
3z -48 -3
z
12
16 -5
16 5 12
16 5z2
=
≤
−
=
⇒ x2≤3y2 ⇔ x≤ 3 y
Từ đó suy ra: x⋅y ≤ 3y2
2 2
2
z 2
3 3
3 2
3 z
3 2
3 3
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
≤
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
≤
x
(cosi dấu = khi x = z
3 )
và yz ( 2 z2)
2
≤ y (dau= khi y=z)
Khi đó: A=xy + yz + zx ≤ 3y2 + ( 2 z2)
2
1 +
2
+
y
2
1 3 4
16 2
1 2
3
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ +
= 2( ) 2
8
3 3 1 3
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + +
5
16 8
3 3 2 3
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ + + +
≤
Dấu = xảy ra khi: x =
5
3
4 và y = z =
5 4
Vậy giá trị lớn nhất của A là: Amax=
5
16 3
32 +
≈14.285 125 2
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
5
4 , 5
4 , 5
3 4 z
y;
x; ≈(3,098 386 7; 1.788 854 4; 1.788 854 4)
0.5
0.5
0.5
0.5
