KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY QUẢNG NGÃI CẤP TỈNH - NĂM HỌC 2008-2009

a Viết công thức tính độ dài các cạnh của hình thang vuông ABCD theo r và .. b Tìm công thức tính chu vi P của hình thang vuông ABCD và công thức tính diện tích S của phần mặt phẳng giớ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY QUẢNG NGÃI CẤP TỈNH - NĂM HỌC 2008-2009

ĐỀ CHÍNH THỨC Lớp 9

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề thi) Ngày thi : 18/01/2009

Chú ý : - Đề thi có 7 trang

- Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi này

(họ tên và chữ ký)

SỐ PHÁCH (Do CTHĐ ghi)

Bằng số Bằng chữ

Qui ước : Trong mỗi bài nếu không có yêu cầu khác thì phần kết quả ghi đủ các chữ số ngầm định trên màn hình

Bài 1 : ( 5,0 điểm )

Cho biểu thức :

Tính giá trị của biểu thức A với a = 3,33

Bài 2 : ( 5,0 điểm )

a) Tính tổng :

A = 1,(1) + 1,(12) + 1,(123) + 1,(1234) + 1,1(2) + 1,1(23) + 1,12(34) b) Cho 20082009 = a + 1

1

1

c +

1

d +

1

e +

1

f + g

Tính giá trị của a; b; c; d; e; f; g

a)

b)

Bài 3 : (5 điểm)

Tìm số dư trong phép chia đa thức: f(x) = x2009 + x2008 + + x + 1 cho x2

– 1

Bài 4 : (5 điểm)

Cho hình thang vuông ABCD có góc nhọn BCD =  ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r

a) Viết công thức tính độ dài các cạnh của hình thang vuông ABCD theo r và  b) Tìm công thức tính chu vi P của hình thang vuông ABCD và công thức tính diện tích S của phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm (O) và hình thang vuông ABCD

c) Cho biết  = 650 và r = 3,25 (cm) tính P và S

Bài 5 : (5 điểm)

Giải phương trình x22003 x 20020

Trong đó  x là ký hiệu phần nguyên của x

Bài 6 : (5 điểm)

Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số u n n 20032

n

 

Bài 7: (5điểm)

Cho tam giác ABC có AB = 3,14 cm; BC = 4,25 cm; CA = 4,67 cm Tính diện tích tam giác có đỉnh là chân ba đường cao của tam giác ABC

Bài 8 : (5 điểm)

Viết quy trình ấn phím để tìm một nghiệm dương và một nghiệm âm gần đúng của phương trình x3 3x  bằng phương pháp lặp 1 0

Bài 9 : (5,0 điểm)

Cho hình thang ABCD, có AB//CD và góc A, góc B là các góc tù Kẻ đường phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại E ( với E CD ) Tính các cạnh của hình thang ABCD; biết chiều cao của hình thang bằng 12 cm, các phân giác AE = 13,6cm và BE = 16,9cm

Bài 10 : (5,0 điểm)

Cho dãy số:

3 3 4

3 3

2 4

3 3

3

2 4

3 U

n n

n































a) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy này

b) Lập công thức truy hồi để tính: Un+2 theo Un+1 và Un

c) Lập qui trình ấn phím liên tục để tính Un

Tóm tắt cách giải và kết quả

a)

b)

c)

-/) -

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY QUẢNG NGÃI CẤP TỈNH - NĂM HỌC 2008-2009

HƯỚNG DẪN CHẤM - LỚP 9

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 : ( 5,0 điểm )

Cho biểu thức :

Tính giá trị của biểu thức A với a = 3,33

Biến đổi các mẫu từng số hạng của A ta được :

a a +1 a +1 a + 2 a + 2 a + 3 a + 3 a + 4

+

a + 4 a + 5 a + 5 a + 6



Viết phân tích từng phân số và ước lượt, ta được :

a a + 6 a a + 6 Thế số vào và tính được A  0,193119164

2,5 điểm

2,5 điểm

Bài 2 : ( 5,0 điểm )

a) Tính tổng :

A = 1,(1) + 1,(12) + 1,(123) + 1,(1234) + 1,1(2) + 1,1(23) + 1,12(34)

b) Cho 20082009 = a + 1

1

1

c +

1

d +

1

e +

1

f + g

Tính giá trị của a; b; c; d; e; f; g

a) A = 1 + 0,(1) + 1 + 0,(12) + 1 + 0,(123) + 1 + 0,(1234) + 1,1 +

0,1x 0,(2) + 1,1 + 0,1x 0,(23) + 1,12 + 0,01x 0,(34)

34 +1,12 + 0, 01×

99

Kết quả : A = 7,847747586

b) Dùng máy ấn tìm số dư và viết được :

1,0 điểm

1,0 điểm 0,5 điểm

20082009 1

= 83327 +

1

1

5 +

1

5 +

1 1+

1 1+

3

Do đó : a = 83327; b = 1; c = 5; d = 5; e = 1; f = 1; g = 3

2,5 điểm

Bài 3 : (5 điểm)

Tìm số dư trong phép chia đa thức: f(x) = x2009 + x2008 + + x + 1 cho x2

– 1

Ta có: f(x) = x2009 + x2008 + + x + 1















0 ) 1 ( f

2010 )

1 f

( I )

Đa thức dư có dạng: ax + b ( vì đa thức chia có bậc là 2)

Ta có: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax+b





















b a ) 1 ( f

b a ) 1 ( f

( II )

Kết hợp ( I ) và ( II ) ta được a b 1005

0 b a

2010 b

a























Vậy đa thức dư cần tìm là: 1005x + 1005

1,5 điểm

1,5 điểm

2,0 điểm

Bài 4 : (5 điểm)

Cho hình thang vuông ABCD có góc nhọn BCD =  ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r

a) Viết công thức tính độ dài các cạnh của hình thang vuông ABCD theo r và  b) Tìm công thức tính chu vi P của hình thang vuông ABCD và công thức tính diện tích S của phần mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm (O) và hình thang vuông ABCD

c) Cho biết  = 650 và r = 3,25 (cm) tính P và S

Hình 0,5 điểm



C

D

O

r

H

E

F

G

I

a) Kẻ BH  DC Khi ấy BH = AD = 2r

Suy ra

BC

Sinα

2r SinHCB

BH





HC = BH.cotgHCB = 2rcotg

Gọi E, F, G, I là tiếp điểm của đường tròn với các cạnh AB, BC,

CD, DA

Vì góc BCD =, nên góc

2

α EOB   AB = AE+EB = r + EO

tgEOB = r(1+tg

2



)

Tương tự CD = CG + GD = r + OG cotgOCG = r(1+cotg

2



) b) Do BE + CG = BF + FC = BC nên

P = AB + BC + CD + DA = 4r + 2BC = 4r + 2 2

sin

r

 = =4r(1+

1 sin )

S = 1

2(AB + CD)AD - S(o)

r

c) Áp dụng bằng số với  = 65o và r = 3,25 (cm)

Trên máy Casio fx-570MS

* Tính P ta được P = 27,34391294 (cm)

* Tính S ta được S = 11,25078613 (cm)

0,25 điểm 0,25 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

0,75 điểm

0,75 điểm

0,75 điểm 0,75 điểm

Bài 5 : (5 điểm)

Giải phương trình 2  

Trong đó  x là ký hiệu phần nguyên của x

Gọi x là nghiệm của phương trình (1) và ký hiệu  x = n

(1) x2 20022003n (2) Chứng tỏ n > 0

Vì nx n 1

Nên n2 2002x2 2002(n1)2 2002 (3)

Thay (2) vào (3) ta được n2 20022003n(n1)22002

Bất đẳng thức này tương đương với :

2

2001 2003 0





1,0015; 1999,998

n





 Suy ra 1n1,0015 hoặc 1999,998n2002

Do n nguyên nên n = 1; 2000; 2001; 2002

Thay vào phương trình x2 20022003n ta được

Với n =1; x  vậy 2 1 x 1( n dương nên x cũng chỉ lấy giá trị

dương)

Với n =2000; x 2 4003998 vậy x  40039982000,99250

Với n = 2001; vậy x 2001, 499687

Với n = 2002; vậy x 2002

1

2

3

4

1

2000,999250

2001, 499687

2002

x

x

x

x









1,25 điểm 1,25 điểm 1,25 điểm 1,25 điểm

Bài 6 : (5 điểm)

Tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy số u n n 20032

n

 

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương

3

3

n

3 4

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi :

2

2003

2

n

n

 hay n  3 2003 2 15,88

Vì n nguyên nên n chỉ có thể là 15 hoặc 16

So sánh hai số u15 = 23,90222222 và

u16 = 23,82421875 (Tính trên máy)

Ta được n = 16

1,0 điểm

1,0 điểm

1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm

Bài 7: (5điểm)

Cho tam giác ABC có AB = 3,14 cm; BC = 4,25 cm; CA = 4,67 cm Tính diện tích tam giác có đỉnh là chân ba đường cao của tam giác ABC

H

M N

Tính S ABC = P(P - AB)(P - BC)(P - AC) = 6, 49511781

Với P = AB + BC + AC= 6,03

2 ABC

2S

BC

BH = AB - AH

CH = AC - AH





Mặt khác tam giác BHN đồng dạng với tam giác BAC nên :

Chứng minh tương tự, ta có : HM = 2,374028266 và MN = 1,971709244

Vậy S = P'(P' - NH)(P' - HM)(P' - MN)

HMN

Với

 2

HMN

NH + HM + MN

2

S =1, 043631644 Cm



1,0 điểm

1,0 điểm

1,0 điểm

2,0 điểm

Bài 8 : (5 điểm)

Viết quy trình ấn phím để tìm một nghiệm dương và một nghiệm âm gần đúng của phương trình x3 3x  bằng phương pháp lặp 1 0

Từ phương trình đã cho ta có x 33x 1

* Nhập x   , ấn phím 0 2 SHIFT 3 (3.Ans-1)

và lặp lại dãy phím  , ta có nghiệm gần đúng x  1 1,879385242

* Nhập x  , ấn phím 0 2 SHIFT 3 (3.Ans-1)

và lặp lại dãy phím  , ta có nghiệm gần đúng x 2 1,532088886

2,5 điểm

2,5 điểm

Bài 9 : (5,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB//CD) và góc A, góc B là các góc tù Kẻ đường phân giác của góc A, góc B cắt nhau tại E ( với E CD ) Tính các cạnh của hình thang ABCD; biết chiều cao của hình thang bằng 12 cm, các phân giác AE = 13,6cm và BE = 16,9cm

Vẽ AH và BK cùng vuông góc với CD

Ta có : EH = 6,4 cm

EK = 11,9 cm (Pitago)

Ta lại có tam giác ADE cân tại D;

đặt AD = DE = x

Suy ra DH = x - HE = x - 6,4

Xét tam giác vuông DHA, có :

DH2 + AH2 = AD2

Suy ra (x - 6,4)2 + 122 = x2

Ta được x = 14,45

Chứng minh tương tự cho tam giác BCE cân tại C

Đặt y = BC = CE

Ta có CK = y - EK = y - 11,9

Khi đó : (y - 11,9)2 + 122 = y2

Ta tính được y = 12,00042017

Kết quả : BC = 12,00042017 cm AB = 18,3 cm

CD = 26,45042017 cm AD = 14,45 cm

Hình 0,5 đ

1,5 điểm

1,5 điểm

1,5 điểm

Bài 10 : (5,0 điểm)

Cho dãy số:

3 3 4

3 3

2 4

3 3

3

2 4

3 U

n n

n































d) Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy này

e) Lập công thức truy hồi để tính: Un+2 theo Un+1 và Un

f) Lập qui trình ấn phím liên tục để tính Un (trên máy f(x)-570MS)

a) U0 = 0; U1 = 1; U2 = 1,5;

U3  3,020833333; U4 = 5,6875 U5  10,85980903;

U6 20,67382813; U7  39,38184498 1,5điểm b) Lập công thức truy hồi:

Đặt

3 3 4

3 3

2 4

3 b

; 3 3 4

3 3

2 4

3

a

n

n

n

n































3

2 4

3 a

3 3

2 4

3 U

b a



































n n

2 n

2 2

48

91 a

3 48

91 b

3 3

2 4

3 a

3 3

2 4

3































































E

 n n n 1 n

n

48

37 U

2

3 b

a 48

37 b

3 3

2 4

3 2

3 a 3 3

2

4

3

2

3







































Vậy: Un+2 = Un+1 – 18Un n 2 n 1 Un

48

37 U

2

3

2,0 điểm c) Ấn 1

2

3

48

37

Rồi lặp lại dãy phím:

2

3

48

37

2

3

48

37

Ghi chú :

- Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau, nếu kết quả đúng chính xác thì vẫn cho điểm tối đa;

- Đối với các câu yêu cầu viết, lập, xác định công thức hay viết qui trình ấn phím tổ giám khảo cần thống nhất quan điểm trước khi chấm;

- Yêu cầu của đề là viết kết quả bằng tất cả các chữ số ngầm định trên màn hình, nếu học sinh tự làm tròn số thì cũng phải thống nhất quan điểm chung trong tổ giám khảo

- Đồng thời giám khảo cần thử các loại máy tính trước khi chấm vì trong thực tế giữa loại máy giòng MS và ES có khác nhau từ 2 đến 3 đơn vị của chữ số cuối cùng

+

+

+

STO

B

STO

Shift

B

ANLPHA

A

STO

Shift

A

ANLPHA

B

Shift

A

STO

Shift