ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011-2012 MÔN TOÁN
Trang 1Họ và tên thí sinh:……… ………… Chữ ký giám thị 1:
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)
* Ngày thi: 05/11/2011
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ
Bài 1: (5 điểm)
Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn a2 +b2+c2 = Chứng minh rằng: 3
a b c a b+ + = +b c +c a .
Bài 2: (5 điểm)
Cho dãy số ( )u n thỏa u1 = , 3 u2 = , 5 u n+2 =3u n+1−2u n (n ≥ 1)
Chứng minh rằng: u2011 ≡3 mod 2011( )
Bài 3: (5 điểm)
Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán đề thi gồm có ba câu Biết rằng mỗi thí sinh làm được ít nhất một câu, có 25 thí sinh làm được câu thứ nhất, có 20 thí sinh làm được câu thứ hai, có 14 thí sinh làm được câu ba, có 12 thí sinh làm được câu thứ nhất
và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu
thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài Hỏi có bao
nhiêu thí sinh dự thi?
Bài 4: (5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi:
JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng
hàng là: 1 1 1
β α γ= + (biết rằng α ≠0,β ≠0,γ ≠0)
HẾT
-(Gồm 01 trang)
CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012
* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)
* Ngày thi: 05/11/2011
* Thời gian: 180 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: (5 điểm)
Ta có a + b + c ≥ a 2 b2 + b2c2 + c2a2
⇔ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a + b + c) ≥ a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) (1,0đ)
⇔ a 4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ (a 2 + b2 + c2)2
⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ)
Do đó ta chỉ cần chứng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9
Mà a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 3a a a = 3a4 2 (0,5đ) Tương tự b4 + 2b ≥ 3b 2 ; c4 + 2c ≥ 3c 2 (1,0đ) Vậy a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 3(a 2 + b2 + c2) = 9 (0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 (1,0đ)
Bài 2: (5 điểm)
3 2 0
2
x
x
=
⎡
− + = ⇔ ⎢⎣ =
.2n
n
u = +a b với u1= 3 , u2 = 5 ta được : (2,0đ)
1 2n n
2011
2011 1 2
u = + ≡ 3(mod2011) (theo định lý Fecrmat) (2,0đ) Bài 3: (5 điểm)
Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất (0,5đ)
Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai (0,5đ)
Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba (0,5đ)
Ta cần tính A∪B∪C
Áp dụng công thức:
C B A C A C B B A C B A C
B
Theo giả thiết ta có: A = 25, B = 20, C = 14, A ∩ B = 12, B ∩ C = 10, A ∩ C = 7,
1
=
∩
∩B C
Do đó A∪B∪C = 25 + 20 + 14 − 12 − 10 − 7 + 1 = 31 (1,0đ) Vậy số thí sinh dự thi là 31
(Gồm 02 trang)
CHÍNH THỨC
Trang 3Bài 4: (5 điểm)
* Ta có:
à :
JJG JJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
* Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho:
( )
K F k K I
A B A D k A B k A D
k A B k A D
=
JJJG JJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG G
* Vì JJJG JJJGAB AD, không cùng phương nên:
0 0
0
k k do
⎧
⎩
−
-Hết -(1,0đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(1,0đ ) (0,5đ)
(1,0đ)
(0,5đ)
