KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY KHỐI 12 BTTHPT - NĂM HỌC 2009-2010

Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy Bài 1 5 điểm... Khi sản xuất cái phểu hình nón không có nắp bằ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC KHỐI 12 BTTHPT - NĂM HỌC 2009-2010

Thời gian làm bài: 150 phỳt

Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm 5 trang

Điểm toàn bài thi (Họ, tên và chữ ký) Các giám khảo (Do Chủ tịch Hội đồng Số phách

thi ghi)

GK1 Bằng số Bằng chữ

GK2

Qui định: Học sinh trỡnh bày vắn tắt cỏch giải, cụng thức ỏp dụng, kết quả tớnh toỏn vào

ụ trống liền kề bài toỏn Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy

Bài 1 (5 điểm)

Tớnh gần đỳng nghiệm (độ, phỳt, giõy) của phương trỡnh 3cos 2x 5sin cosx x 2.

Bài 2 (5 điểm)

Tớnh gần đỳng giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số:

2

f x  x   x  x

Bài 3: (5 điểm)

Tính gần đúng giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số

2 2

y

x

 





Bài 4 (5 điểm) Khi sản xuất cái phểu hình nón (không có nắp) bằng

nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu

làm phểu là ít nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ

nhất Tính gần đúng diện tích xung quanh của phểu khi ta muốn có

thể tích của phểu là 1 3

dm

A

S O

Bài 5 (5 điểm) Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình

2

6 log 13log 6 0

3y 2x 12



 



Bài 6 (5 điểm) Đa thức 4 3 2

( )

P x x ax bx cxdcó giá trị là 8; 0;  4;  4 khi x lần lượt nhận giá trị là 1; 2; 3; 4

a) Xác định các hệ số a b c d, , , của đa thức P x( )

b) Tính chính xác các giá trị của P x( ) ứng với các giá trị của x 15; 27 ; 159; 2009

Bài 7 (5 điểm)

Cho tứ diện ABCD có AB = 12 dm; AB vuông góc với mặt

(BCD); BC = 7 dm; CD = 9 dm và góc CBD = 520 Tính gần đúng

thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABCD

Bài 8 (5 điểm) Cho dãy hai số u n xác định như sau:

2

1 1; n 5 n 1 24 n 1 8 ( 2,3, 4, )

a) Tính chính xác các giá trị u2;u u u3; 4; 5;u10;u11;u12;u13.

b) Từ đó dự đoán rằng dãy số luôn luôn nhận giá trị nguyên Hãy thiết lập công thức truy hồi để tính u n2 theo u n1 và u n

Bài 9 (5 điểm) Tìm giá trị gần đúng của a và b để đường thẳng yax b là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

2

y



  tại điểm trên (C) có hoành độ x  0 2

Bài 10 (5 điểm)

Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của đường tròn có tâm I(3; 0), bán kính R 4 và đường elip

25 9

Hết

Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh

§Ò thi chÝnh thøc Khèi 12 BTTHPT - N¨m häc 2009-2010

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

TP

§iÓm toµn bµi

1

5 3cos 2 5sin cos 2 3cos 2 sin 2 2 6 cos 2 5sin 2 4

2

cos 2 sin 2

cos 2xcos sin 2 sinx  cos

2

1 49 29 '57" 180 ; 2 9 41'37" 180

5

2

2

f x  x   x  x có tập xác định là: 5; 1

2

D  

2

4 3 '( ) 2

x

f x

 

f x    x  x  x  x  x  (x  -0,75)

Giải phương trình bậc hai ta được:

2,178869017 0, 75; 0, 6788690166 1

Do đó phương trình chỉ có một nghiệm trong tập xác định là:

2

9 7 6

0, 6788690166 12

Dùng chức năng CALC tính:

 

f    f   f      

Vậy:

3 Hàm số

2

2x 5x 3

y   có tập xác định là R

 

2 2 2

'

y

x





;

2

Lập bảng biến thiên của hàm số, ta xác định được:

Hàm số đạt cực tiểu tại 1 4 66

10

x   và giá trị cực tiểu của hàm số là:

0, 03100960116

CT

Hàm số đạt cực đại tại 2 4 66

10

x    và giá trị cực đại của hàm số là:

4, 031009601

CD

4

Gọi x = OA (dm) là bán kính đáy của hình nón (x > 0), hSO là

chiều cao, lSA là đường sinh của hình nón

Ta có thể tích của hình nón là:

2

1

1 3

V   x h (giả thiết) h 32

x



Đường sinh của hình nón:

2 6





Diện tích xung quanh của hình nón là:

2



2 5

2 6

2 6

2 6

3

9

9 '( )

9

x

x x

S x

















6 2

9 ' 0

2



Do đó 6

2

9 0,8773080777 2

x



  là điểm cực tiểu của hàm số và:

2 6

2

9

2



5

2

6 log 13log 6 0 (1)

3y 2x 12 (2)



 



Điều kiện để hệ phương trình có

A

S O

nghiệm là: x 0

Đặt ulog2x0 phương trình (1) trở thành: 2

6u 13u 6 0 Giải phương trình ta được: 1 2 ; 2 3

Suy ra:

3 2

1 2u 2 2 1.587401052; 2 2u 2 2 2 2,828427125

Thay x1 vào phương trình (2):

3y  12 2   y log 12 2   1, 99948657

Thay x2 vào phương trình (2):

3y  12 2   y log 12 2   1, 446028009

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:

( ;x y ) 4; 1,9995 , x ; y  2 2 ; 1, 4460

6

( )

P x x ax bx cxdcó giá trị là 8; 0; 4; 4 khi x lần lượt nhận giá trị là 1; 2; 3; 4

Ta có hệ phương trình:

4 4 4

7

   







     





Giải hệ ta có: a 10;b37 ;c 64; d44

b)

P(x) 24284 359900 599857436 16029014177736

7

Xét tam giác BCD, ta có:

14 cos 52 7 9 0

Giải phương trình bậc hai theo BD, ta có hai nghiệm:

1 2,801833204 0

Do đó: BD11, 42109386dm

0 2

1

sin 52 31, 49980672 2

BCD

Thể tích của tứ diện ABCD:

3

1

125, 9992

3 BCD

7 12 193

2 2 16,56627251

Nửa chu vi của tam giác ACD: 19, 72935825

2

62, 51590057

ACD

Vậy diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là: 2

204, 5423

tp

8

a) u11,u2 9,u3 81;u4 881;u5 8721;u6 86329;u7 854569;

8 8459361; 9 83739041; 10 828931049

11 8205571449; 12 81226783441; 13 804062262961;

b) Công thức truy hồi của un+2 có dạng: u n2 au n1bu n2 Ta có hệ

phương trình:

10; 1

89 9 881



Do đó: u n2 10u n1u n

9

2

y



  (C)

Dùng chức năng tính đạo hàm của hàm số tại điểm x  0 2 ta có:

2

2

2, 802469236

a



 

Dùng chức năng CALC tính được tung độ của tiếp điểm:

0

34 ( 2)

9

y  f  

Đường thẳng tiếp tuyến đi qua điểm 2; 34

9

M 

  nên

34 34

9   a b b 9  a 

Vậy: a  2,8025 và b  1,8272

10

Phương trình đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 4 là:

Tọa độ giao điểm của đường tròn và elip (E) là nghiệm của hệ

6 7 (1)

1

25 9



Giải phương trình (2) ta dược hai nghiệm:

0,3461112533; 9, 028888747

Thay vào (1):

75 5 193

8,95687452 2,992803789 16

Với 2 75 5 193 22 20,34749952

16

Vậy: Đường tròn cắt elip tại hai điểm: M(0,3461 ; 2,9928) và

N(0,3461 ; 2,9928)