KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY KHỐI 12 THPT - NĂM HỌC 2009-2010

Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy Bài 1... a Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị k bé hơn 30 để cho

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC KHỐI 12 THPT - NĂM HỌC 2009-2010

Thời gian làm bài: 150 phỳt

Ngày thi: 20/12/2009 - Đề thi gồm 5 trang

Điểm toàn bài thi (Họ, tên và chữ ký) Các giám khảo (Do Chủ tịch Hội đồng thi Số phách

ghi) GK1

Bằng số Bằng chữ

GK2

Qui định: Học sinh trỡnh bày vắn tắt cỏch giải, cụng thức ỏp dụng, kết quả tớnh toỏn vào

ụ trống liền kề bài toỏn Cỏc kết quả tớnh gần đỳng, nếu khụng cú chỉ định cụ thể, được ngầm định chớnh xỏc tới 4 chữ số phần thập phõn sau dấu phẩy

Bài 1 (5 điểm) Tớnh giỏ trị của hàm số f x( ) tại x 0, 75:

2

2 2

( )

x x

f x



Bài 2 (5 điểm)

Tỡm tọa độ giao điểm của của đồ thị hai hàm số 4 2

yx  x  và

2 2

2

y x





Bài 3 (5 điểm) Tính gần đúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2

y x  x   x

Bài 4 (5 điểm) Cho dãy hai số u n xác định như sau:

2

1 1; n 5 n 1 n 1 8 ( 2, 3, 4, )

u  u  u   ku   n , k là số nguyên dương cho trước

a) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị k bé hơn 30 để cho các giá trị của dãy số đều nguyên Khi đó tính chính xác các giá trị u10;u11;u12;u13.

b) Với giá trị k tìm được ở câu a), lập công thức truy hồi tính u n2 theo u n1 và u n Chứng minh

Bài 5 (5 điểm) Tìm các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm của số tự nhiên:

2010

9

2

A 

Bài 6 (5 điểm)

Bác An gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng Sau một năm, bác An rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng Gửi đúng một số kỳ hạn 6 tháng và thêm một số tháng nữa thì bác

An phải rút tiền trước kỳ hạn để sửa chữa nhà được số tiền là 29451583,0849007 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bác An gửi bao nhiêu kỳ hạn 6 tháng, bao nhiêu tháng chưa tới kỳ hạn và lãi suất không kỳ hạn mỗi tháng là bao nhiêu tại thời điểm rút tiền ? Biết rằng gửi tiết kiệm có kỳ hạn thì cuối kỳ hạn mới tính lãi và gộp vào vốn để tính kỳ hạn sau, còn nếu rút tiền trước kỳ hạn, thì lãi suất tính từng tháng và gộp vào vốn để tính tháng sau Nêu sơ lược quy trình bấm phím trên máy tính để giải

Bài 7 (5 điểm) Cho đa thức P x( ) 2x 3  2x 322x 33  2x 320

a) Tính gần đúng 2

3

P 

b) Tìm hệ số chính xác của số hạng chứa 5

x trong khai triển và rút gọn đa thức P(x)

Bài 8 (5 điểm)

Trong ngày thi giải toán trên máy tính cầm tay (20/12/2009), bạn Bình đố bạn Châu tìm số nguyên x nhỏ nhất sao cho khi bình phương lên thì được một số nguyên có 4 chữ số đầu là 2012 và 4 chữ số cuối là 2009 Em hãy giúp bạn Bình tìm số x này và viết chính xác số 2

x Nêu sơ lược cách giải

Bài 9 (5 điểm)

Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình: 2

3 2

x x

y y





Tóm tắt cách giải: Kết quả:

Bài 10 (5 điểm) Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R 10cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h 4cm Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Tính bán kính của viên bi (kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân)

Cho biết công thức tính thể tích khối chỏm cầu của hình cầu (O, R), có chiều cao h là:

2 hom

3

c cau

h

Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh

§Ò thi chÝnh thøc Khèi 12 THPT - N¨m häc 2009-2010

Đáp án và biểu điểm

TP

§iÓm toµn bµi

2

2 2

( )

x x

f x



   Trước khi tính, cần chuyển về Mode tính đơn vị đo góc bằng Radian

(0, 75) 0, 6063

5

2

Phương trình cho hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:

yx  x  và

2 2

2

y x



 là:

Dùng chức năng SOLVE ta tìm được hai nghiệm (khi lấy giá trị đầu

là 0 và 1):

1 0, 701149664

x  và x 2 1,518991639

Dùng chức năng CALC để tính các giá trị tung độ giao điểm:

1 2, 7668

y  và y 2 2, 4018

Vậy: Hai đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại hai điểm

0, 7011; 2, 7668 , (1, 519; 2, 4018)

3

Hàm số: y x24x 3 5 2 x có tập xác định của hàm số là:

5

1;

2

Đạo hàm của hàm số:

'

2 5 2

x y

x



2x 14x 32x 23 0 (1 x 2,5)

Giải phương trình, chỉ có một nghiệm thực

 

2 1, 434802283 1; 2, 5

Dùng chức năng CALC để tính giá trị của hàm tại 2 cận và tại điểm

cực đại, ta được:

Tương tự, ta có:

3 (1, 434802283) 2, 284542897; (1) 3 1, 732050808; (2, 5) 0,866025403

2

Vậy: ( ) 2, 2845; ( ) 3 0,866

2

4

2

1 1; n 5 n1 n1 8 ( 2, 3, 4, )

u  u  u  ku    k

Để u  N2 thì k 8 0 , 1, 4 , 9 , 16k8, 9 , 12, 17 , 24 (k < 30)

Thử với k 8, 9 , 12 , 17: chỉ có u u1, 2 là số nguyên, còn u  Z3 Khi

thử với k 24 thì đúng với nhiều un liên tiếp

Với k 24: Ta có:

1 1, 2 9, 3 89; 4 881; 5 8721; 6 86329; 7 854569;

8 8459361; 9 83739041; 10 828931049.

11 8205571449; 12 81226783441; 13 804062262961;

b) Công thức truy hồi của un+2 có dạng: u n2au n1bu n2 Ta có hệ

phương trình:



Do đó: u n210u n1u n

Chứng minh sơ lược:

Ta có:

u  u  u  u  u  u  u  u u  u  

(1)

u   u u u   (2)

Trừ (1) cho (2) ta có:

Dãy số đơn điệu tăng, nên: u n1u n110u nu n110u nu n1

Hay: u n2 10u n1u n

5

2 2 512 mod 1000

 

2  2  2  512  512  512  352 (mod 1000)

 

2  2   2  352  912 (mod 1000)

 

2  2   2  912  952 (mod 1000)

   

2  2  952  312 (mod 1000) ; 2  2  312  552 (mod 1000);

2  2  312  552 (mod 1000); 2  2  552  712 (mod 1000);

2  2  712  152 (mod 1000); 2  2  152  112 (mod 1000);

2  2  152  112 (mod 1000); 2  2  112  752 (mod 1000);

 

11 10 9

2  2  752  512 (mod 1000);

Do đó chu kỳ lặp lại là 10, nên

Vậy: 92010

2

A  có ba chứ số cuối là: 752

6

Số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau 4 kỳ hạn 3 tháng và sau 1; 2; 3 ;

4; 5; 6; 7 kỳ hạn 6 tháng lần lượt là:

20000000 1 0, 72 3 100    1 0, 78 6 100    A Dùng phím CALC lần

lượt nhập giá tri của A là 1; 2; 3; 4; 5; 6 ta được: 22804326,3 đồng;

232871568,78 đồng; 24988758,19 đồng; 26158232,06 đồng;

27382437,34 đồng ; 28663935,38 đồng; 30005407,56 đồng

Ta có: 28663935,38 < 29451583,0849007< 30005407,56,

Nên số kỳ hạn gửi sáu tháng đủ là: 6 kỳ hạn

Giải phương trình sau, bằng dùng chức năng SOLVE và nhập cho A

lần lượt là 1 ; 2; 3 ; 4; 5, nhập giá trị đầu cho X là 0,6 (vì lãi suất

không kỳ hạn bao giờ cũng thấp hơn có kỳ hạn)

20000000 1 0, 72 3 100    1 0, 78 6 100    1 X 100 A 29451583.0849007  0

X = 0,68% khi A = 4

Vậy số kỳ hạn 6 tháng bác An gửi tiết kiệm là: 6 kỳ hạn ; số tháng

gửi không kỳ hạn là: 4 tháng và lãi suất tháng gửi không kỳ hạn là

0,68%

7

a) 2 68375, 2807

3

P 

b) Hệ số của số hạng chứa 5

x là:

20

5

2 3k 2 296031627712=9473012086784

k

k





8

Các số có 4 chữ số mà khi bình phương lên có 4 chữ số cuối là 2009

là:

2003, 7003, 3253, 8253, 1747, 6747, 2997, 7997

4485 2012abcd 4487; 14184 2012abcde14189

44855  2012abcdef  44866; 141844  2012abcdefg  141880

Số cần tìm là: x = 14186747

2

201263790442009

x 

9

2 3 2

x

x

y y





Đặt u 3x  0 ; v log2 y, Hệ phương trình trở thành:

12 25

 







12



Giải phương trình (2) ta được một nghiệm thực duy nhất:

6,11572639

Thay vào (1) ta được: v 5,88427361

3

3x 6,11572639 log 6,11572639 1, 6483

5,88427361 2

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm gần đúng là:

x 1, 6483; y 59, 0667

10

Gọi x là bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: 0  2x 10  0 x 5

Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào:

2

1

h

Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có

thể tích là:

2 2

2

2 2

x

Ta có phương trình:

4

3

Giải phương trình ta có các nghiệm: x 1 9, 62575 (loại);

2 2, 0940 5

Vậy: Bán kính viên bi là r2, 09cm