Chuyên đề giáo án thầy đặng việt đông lớp 10 năm 2018 DS c3 he phuong trinh

0 0 0 Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta cĩ thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số... Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn

PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 5 hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn



HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:

 Định nghĩa:

Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn x và y là hệ cĩ dạng 1 1 1

( ) :I a x b y c

a x b y c

  





 



(1) (2) với

2 2

1 1

2 2

2 2

0 0

a b

a b

  







 



Cặp số ( ;x y o o) đồng thời thỏa cả 2 phương trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ

 Cơng thức nghiệm: Quy tắc Crame.

0

0

0

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta cĩ thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số

 Biểu diễn hình học của tập nghiệm:

Nghiệm ( ; )x y của hệ ( )I là tọa độ điểm M x y( ; ) thuộc cả 2 đường thẳng:

( ) :d a x b y c và ( ) :d2 a x b y2  2 c2

 Hệ ( )I cĩ nghiệm duy nhất  ( )d1 và ( )d2 cắt nhau

 Hệ ( )I vơ nghiệm  ( )d1 và ( )d2 song song với nhau

 Hệ ( )I cĩ vơ số nghiệm  ( )d1 và ( )d2 trùng nhau

1 1

2 2

a b

a b c

a b c

HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN

3

Chương

y

x

O

1

2

O

y

x

1

2

O

y

1

2

M

o

x

o

y

Hệ cĩ dạng:

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d



   





Một nghiệm của hệ là bộ 3 số ( ;x y z o o; )o thỏa cả 3

phương trình của hệ Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt

ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình cĩ số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta

cũng cĩ thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

§ 6 hệ phương trình bậc hai hai ẩn số



HỆ GỒM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

dx exy fy gx hy i

  





(2)

 Phương pháp giải: Từ phương trình bậc nhất (1), rút x theo y (hoặc y theo x) và thế vào

phương trình cịn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I

 Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ khơng thay đổi và trật tự các phương trình cũng khơng thay đổi

 Phương pháp giải: Biến đổi về dạng tổng và tích 2 biến.

Đặt S x y P, xy.

Giải hệ với ẩn S P, với điều kiện cĩ nghiệm ( ; )x y là 2

4

S  P

Tìm nghiệm ( ; )x y bằng cách thế vào phương trình 2

0.

X  SX P 

 Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp:

 2 2 2 2

( ) 3 ( ) 3

x y x y  xy x y S  SP

(x y )  (xy)  4xyS  4 P 

x y x y  x y S  S P P

 4 4 2 2 2 2 2 2

x y x y x  xyy x xyy 

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

 Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí x và y cho nhau thì hệ phương trình khơng thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia)

dạng (x y f x ) ( ) 0,  tức luơn cĩ xy.

 Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

 Dạng tổng quát:

a x b xy c y d

a x b xy c y d





 Phương pháp giải:

( )

d a x b xy c y d d i

d a x b xy c y d d



 

(2)

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

(1) (2)   (a d  a d ) x  (b d  b d ) xy (c d  c d) y  0. Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ x y, .

( ; ) ( ; )

m

f x y a

f x y f x y







 với f x y f x y f x y m( ; ), ( ; ), ( ; )n k là các biểu thức đẳng cấp bậc

, ,

m n k thỏa mãn m n k. Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải Tức biến đổi hệ

( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

m

a f x y

f x y f x y a f x y

a f x y a f x y

 



   



và đây là phương trình đẳng cấp bậc

k.

Câu 1. Nghiệm của hệ: 2 1

x y







là:

Lời giải Chọn C

Ta có : y 1 2x   x 2 1  2x 2  x 2 2  y 3 2 2

Câu 2. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm  ; : 2 3 5

x y

x y

x y







Lời giải Chọn A

Câu 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình: 3 4 1

x y

x y







A. 17; 7 .

23 23



23 23

23 23

Lời giải Chọn A

4

x

4

x

23

x

23

y 

Câu 4. Tìm nghiệm x y của hệ : ;  0,3 0, 2 0,33 0







Lời giải Chọn C

0, 2



0, 2



Câu 5. Hệ phương trình: 2 1

x y

x y





Lời giải Chọn D

Câu 6. Hệ phương trình :

x y

x z

y z









  



có nghiệm là?

Lời giải Chọn D







x z

Câu 7. Cho hệ phương trình

2 2

16 8

x y

x y



nào sau đây ?

,

S  x y P xy

Lời giải Chọn A

Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai

Câu 8. Hệ phương trình 9

x y

x y







Lời giải Chọn C

Ta có : y x  9 x x  9 90  x2 9x 90 0  x15;x6

Câu 9. Nghiệm của hệ phương trình  

 

x y







là:

A. 1; 1

2



2

Lời giải Chọn D

Ta có : y 2 1   2 1 x  2x  2 1   2 1   2 1 x 2 2

1

x

   y 2

Câu 10.Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:







x my

mx y m

A. m 3 hay m 3 B. m 3 và m 3.

Lời giải Chọn B

9 3





m

m

Câu 11. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau trùng nhau

   2 

giá trị m

Lời giải Chọn A

1





2

2

3 1

1 5

m m

















2 2

m m





 



Câu 12.Để hệ phương trình :

x y S

x y P







A. 2

S P 

Lời giải Chọn D

Câu 13.Hệ phương trình .2 2 11

30

x y x y

x y xy







Lời giải Chọn D

Đặt S  x y P xy ,  S2  4P0

30

S P SP







Khi S 5 thì P6 suy ra hệ có nghiệm 2;3 , 3; 2  

Khi S 6 thì P5 suy ra hệ có nghiệm 1;5 , 5;1   

Câu 14.Hệ phương trình

2 2 1

x y

y x m



 

Lời giải Chọn C

Ta có : x2x m 2 1  2x 2 2mx m 21 0  *

Câu 15.Hệ phương trình :    

   





A. 1 13;

2 2

2 2

Lời giải Chọn B

Đặt u x y v x y  ,  

u v

u v





7 6

x y

x y



 

2

x

2

y

Câu 16.Hệ phương trình: 1 0

x y





A. x3;y2 B. x2;y1 C. x4;y3 D. x4;y3

Lời giải Chọn B

x



Câu 17.Phương trình sau có nghiệm duy nhất với giá trị của m là : 3 2 1







Lời giải Chọn D

Ta có : Dmm2 3m22m 3

Câu 18.Cho hệ phương trình :  

 

1





2

2

m  hay

3

m 

Lời giải Chọn A

 





  D m m  1 m m 4 3m

Thử lại thấy m0 thoả điều kiện.

Câu 19.Cho hệ phương trình

8

x y



phương trình sau đây ?

khác

Lời giải Chọn D

Câu 20.Hệ phương trình

x y





có nghiệm là :

Lời giải Chọn C

Ta có : y2x 3 x2 3x2x 3  2x 322x32x 3 6 0

2 5 6 0

Câu 21.Hệ phương trình 2 21

5

x y

x y





Lời giải Chọn B

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

Câu 22.Hệ phương trình

2 3

13

3 2

12

x y

x y







  



có nghiệm là:

x y B. 1; 1

Lời giải Chọn B

Ta có :

2 3

13

3 2

12

x y

x y







  



1 2 1 3

x y







 



,

Câu 23.Hệ phương trình 2 210

58

x y

x y







có nghiệm là:

7

x y









3

x y









7

x y









3

x y









khác

Lời giải Chọn C

4

S x y P x y S P

S









21

P

Vậy nghiệm của hệ là 7;3 , 3;7   

Câu 24.Tìm a để hệ phương trình

2

1

ax y a

x ay





vô nghiệm:

Lời giải Chọn C

 

y

D a a

1



1



Câu 25.Nghiệm của hệ phương trình :

9

1 1 1

1

27

x y z

x y z

xy yz zx

   











Lời giải Chọn D

x yz   xy yz zx xyz    xyz27

, y, z

Câu 26. Hệ phương trình 2 2 5

5

x y xy

x y







có nghiệm là :

Lời giải Chọn C

4

S x y P x y S P







S P

S P  S2 25 S 5 S22S15 0  S5;S 3

5 10

  

3 2

  

Vậy hệ có nghiệm 2;1 , 1; 2   

Câu 27.Hệ phương trình

7 2 5 2

x y xy

x y xy









có nghiệm là :

A. 3;2 ; 2;1    B. 0;1 , 1;0    C. 0; 2 , 2;0    D. 2;1 ; 1; 2

Lời giải Chọn D

Đặt S  x y P x,  y S 2 4P0

Ta có :

7 2 5 2









S P SP

 S P là nghiệm của phương trình,



2

2



Câu 28.Hệ phương trình 2 2 5

7

x y xy

x y xy







có nghiệm là :

C. 2; 3  hoặc 3; 2   D. 1; 2  hoặc 2; 1  

Lời giải Chọn B

Đặt S  x y P x,  y S 2 4P0

7









S P

S  S2 5 S 7  S2S12 0  S 3;S 4

2 3X   2 0 X 1;X 2

X

Khi S  2 P3 (loại)

Vậy hệ có nghiệm là 1; 2 hoặc  2;1 

Câu 29.Hệ phương trình 2 2 11

x y xy





C. 3; 2 ; 3; 7     D. 3; 2 , 2;3 , 3; 7 , 7; 3         

Lời giải

Chọn D

Đặt S  x y P x,  y S 2 4P0







S P

2 5X   6 0 X 2;X 3

X

2

21 0

X

Vậy hệ có nghiệm 3; 2 , 2;3 , 3; 7 , 7; 3         

Câu 30.Hệ phương trình

3 3





Lời giải Chọn A

Ta có :

3 3







 x3 y3 5x5y  x y x   2xy y 25 0

2  25 0







 

x y

Khi xy thì x311x 0 x0;x 11

Khi

2

Câu 31.Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:

2 2







C. 1;1 , 2;2 , 3;3      D. 2; 2 , 1; 2 , 6;3      

Lời giải Chọn A

Ta có :

2 2







2 2

x   

  x y x y     70 Khi xy thì x2 3x0 x0;x3

Khi y 7 x thì x2 7x140 (phương trình vô nghiệm)

Câu 32.Hệ phương trình

2 2

6 6

x y

y x





 

Lời giải

Chọn C

Ta có :

2 2

6 6

x y

y x





 



x  y  y 

  x y x y     1 0 Khi xy thì x2 x 6 0  x3;x2

Khi y 1 x thì x2 x 7 0 (phương trình vô nghiệm)

Câu 33.Hệ phương trình

2 2

3 3





Lời giải Chọn B

Ta có :

2 2

3 3







2 2

x  y  x yX

  x y x y    1 0 Khi xy thì x2 2x0 x0;x2

Khi y 4 x thì x2 4x 4 0  x2

Câu 34.Cho hệ phương trình x y2 24 2







Khẳng định nào sau đây là đúng ?

Lời giải Chọn B







2

2

16 2

m

16

Câu 35.Cho hệ phương trình :

2 2

16

x xy y

y x





từ hệ phương trình là ?

2

y

2

y

2

y

2

y

x 

2

y

2

y

13

5

x y

Lời giải Chọn

Ta có :

2 2

16

x xy y

y x





13x 5y 5x 3y 0

13

5

x y

Câu 36.Cho hệ phương trình : 3

mx y

x my m





hệ phương trình có nghiệm nguyên là :

C. m0,m2 D. m1, m–3,m4

Lời giải Chọn A

Ta có : D m 21 , D x  m 1, D y 2m2m 3



y

Câu 37.Các cặp nghiệm x y của hệ phương trình : ;  2 3

x y





A. 1;1 hay  11 23;

19 19

11 23

19 19

C. 1; 1  hay 11 23;

19 19



19 19

Lời giải Chọn C







x y

x





x y







x y







x y

x y

;

Câu 38.Nghiệm của hệ phương trình : 2 2 5

6

xy x y

x y y x





A. 1; 2 , 2;1    B. 0;1 , 1; 0    C. 0; 2 , 2;0    D. 2;1 , 1; 2

Lời giải Chọn A

Đặt S  x y P x,  y S 2 4P0

Ta có : 5

6









P S PS

,

 S P là nghiệm của phương trình X2 5X   6 0 X 2;X 3

Khi S 2,P3 (loại)

Vậy nghiệm của hệ là 1;2 , 2;1   

Câu 39.Cho hệ phương trình :

2 2

2 2

x y xy

x y y





phương trình là:

A. 1; 2 ,  2; 2  B. 2;1 ,  3; 3  C. 2;3 , 3, 2

Lời giải Chọn A

Ta có :

2 2

2 2

x y xy

x y y





2 2

2

2



 

x y xy

y xy x

2 2

x

2 2

4

x

2 2

1 2

x x







 



Câu 40.Hệ phương trình

6 6

27

x y





Lời giải Chọn

Ta có : x3 3xy3 3y x y x   2xy y 2 3x y 0

    2 2 30

3 0







 

x y

;

27

x y 

x2 y2 x4 x y2 2 y4 27

 2

0 9

xy xy





 



Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

Câu 41.Hệ phương trình 2 1 1

x y

y x







Lời giải Chọn A

Điều kiện : ,x y1

x y

y x







y x

x y



  2 1 0

x y

Khi xy thì 2x x1 1  x1 1 2  x

 2

1 2

x







 

   

1 2

x x







 





0

x

 

2

Câu 42.Cho hệ phương trình 2 2 1 2

x y m

x y y x m m





2

m 

Các mệnh đề nào đúng ?

Lời giải Chọn D

0







x y

x y y x  hệ có vô số nghiệm ( )I đúng.

x y m

x y y x m m





 2  

Câu 43.Hệ phương trình

2 2

xy y x y





A. x bất kỳ,y  ;2 x1,y  3

B. 3, 2; 3, –1; 2, – 1

2

x y x y x y

2

x y x y x y

2

x y x y x y

Lời giải Chọn A

Ta có :

2 2

xy y x y







2 2



 



xy y x y

2

Khi y3 thì x1

Khi y2 thì x tuỳ ý

Câu 44.Cho hệ phương trình 2 2 2 21

x y a





cho hệ có nghiệm x y và tích ;  x y. nhỏ nhất là :

Lời giải Chọn B

4

S x y P x y S P

Ta có :

2

2

1

3

2 2







P S

a

2 8 2

 2

2

1





Câu 45.Cho hệ phương trình :    

 3 3  3 3  2 2

2

a b x a b y





 Với ab, a b  0, hệ có nghiệm duy nhất bằng :

A. x a b y a b  ,  – B. x 1 ,y 1

C. x a ,y b

Lời giải Chọn B

2

 3 3 2 2 2    

x

 2 2 2 2 3 3 2  

y

y

D

Câu 46.Cho hệ phương trình : 2 2

x y a





tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất :

2

2

a 

Lời giải Chọn C

Ta có : 2 2

x y a







x y a



 



5 5 3 5

a x

a y









 

 



2

a

2



a

Câu 47.Cho hệ phương trình :









x my m

x y

Để hệ phương trình có nghiệm, giá

A. 5

2

2

5

5

m 

Lời giải Chọn C

x

y

D m m

2

y

2 5

Câu 48.Cho hệ phương trình : ( 2) 5

x my m





2

2

m

2

Lời giải Chọn D

x

D m m , D y 2m23m 5







m

m

m m

Hệ phương trình có nghiệm âm khi

2 2

2 0

m m

m m







1

m

m m

 





 5

1 2

Câu 49.Cho hệ phương trình :







x xy y

A. 2; 2 , 3; 3      B. 2; 2 , 3;3    C. 1; 1 , 3; 3      D. 1;1 , 4; 4   

Lời giải Chọn C

Phương trình  1  x y  2x y  0

2

x y

x y





3

x

x





phương trình có hai nghiệm là 1; 1  , 3; 3 

không có nghiệm nguyên

3; 3 

Câu 50.Nếu x y là nghiệm của hệ phương trình: ; 

x xy y

y xy





nhiêu ?

Lời giải Chọn D

 

2 2

1 2

1 6



 



 2  y 3xy4  x y   x y  8xy 4 0

x y x y2 x y x y2 2 0

0

không