Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một hàm số

Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai hoặc ba biến số, đó lại thường là các bài toán hay và khó đối với mỗi học sinh. Để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức có rất nhiều phương pháp nhưng không có phương pháp nào là vạn năng, mỗi phương pháp chỉ phù hợp với một nhóm bài mà thôi. Một trong các phương pháp khá hiệu quả là dùng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Chính vì thế tác giả đã chọn đề tài “Vận dụng phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức”. Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bài toán trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng tương đối điển hình nhằm bước đầu tạo cho học sinh những cách suy luận, cách biến đổi để vận dụng một cách có hiệu quả phương pháp khảo sát hàm số vào bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến. Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh được những hạn chế, thiếu sót. Tác giả rất mong muốn nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn. Xin chân thành cảm ơn

PHẦN MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ thực tế giảng dạy của mình, tôi thấy học sinh rất lúng túng khi gặp phải cácbài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thứccó hai hoặc ba biến số, đó lại thường là các bài toán hay và khó đối với mỗi họcsinh Để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thứccó rất nhiều phương pháp nhưng không có phương pháp nào là vạn năng, mỗi

phương pháp chỉ phù hợp với một nhóm bài mà thôi Một trong các phương pháp

khá hiệu quả là dùng đạo hàm khảo sát sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn

nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Chính vì thế tác giả đã chọn đề tài “Vận dụng

phương pháp khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức”.

Trong đề tài, tác giả đã cố gắng đưa ra một số bài toán thường gặp, các bàitoán trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng tương đối điển hình nhằmbước đầu tạo cho học sinh những cách suy luận, cách biến đổi để vận dụng mộtcách có hiệu quả phương pháp khảo sát hàm số vào bài toán tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức nhiều biến

Trong quá trình thực hiện đề tài này, mặc dù đã rất cố gắng nhưng không thểtránh được những hạn chế, thiếu sót Tác giả rất mong muốn nhận được sự đónggóp ý kiến của thầy giáo, cô giáo để đề tài này tốt hợn

Xin chân thành cảm ơn!

II ĐÔI TƯỢNG THỰC NGHIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA

ĐỀ TÀI.

1) Đối tượng thực nghiệm:

Trong năm học 2011-2011 tác giả đã chọn học sinh lớp 12A2 và 12A5 đểthực nghiệm, học sinh lớp 12A2 được học các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtdựa vào ứng dụng của đạo hàm theo hướng của đề tài và học sinh lớp 12A5 đượcchọn làm đối chứng, thì kết quả cuối năm học 2011-2012 có 80 - 90% học sinh

lớp 12A2 giải quyết tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức,trong khi đó chỉ có khoảng 30% học sinh lớp 12A5 làm tốt việc đó.

Trong năm học vừa qua, tác giả đã trao đổi đề tài với các đồng nghiệp trong tổchuyên môn để áp dụng vào giảng dạy tại các lớp khối 12 và kết quả đạt được đềurất tốt và đề tài được đánh giá cao

2) Phương pháp nghiên cứu của đề tài:

Tác giả đã lựa chọn các phương pháp như:

+) Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

+) Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm

+) Phương pháp phân loại, hệ thống hóa

Các phương pháp này đan xen lẫn nhau, bổ xung cho nhau nhằm mục đích giúp tácgiả hệ thống hóa, tổng kết, phân tích, phân loại từ lý thuyết đến các dạng bài tập

PHẦN NỘI DUNG

I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.

Để có thể giải tốt các bài toán bằng phương pháp khảo sát hàm số yêu cầutrước tiên là học sinh phải nắm vững và biến vận dụng các kiến thức ban đầu vềhàm số, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm của một số hàm số thường gặp, quy tắc tìmgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến bằng phương pháp đạo hàm.Ngoài ra học sinh cần nắm chắc và biết vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo mộtsố bất đẳng thức cơ bản

2 '

ln ' ( ) 0 sinu ' '.cos

u u

u n u u

u u

2 2

1

os 1

2 2

osu ' '.s inu

'

t anu ' ' 1 tan

os '

3 Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập D

+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x( )trên D nếu

4 Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất trên đoạn đó

5 Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số liên tục trên đoạn

+) Tính f a f x( ), ( ), ( ), , ( ), ( )1 f x2 f x n f b

+) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Khi đó: M max ( )D f x , mmin ( )D f x

Đối với việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảngthì ta khảo sát sự biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên hoặc tính đơnđiệu của hàm số, để kết luận Ngoài ra, ta còn sử dụng một số các kiến thức có liênquan như bất đẳng thức Cauchy, các bất đẳng thức đúng

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

1 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.

Trước hết, tác giả cho học sinh làm quen và vận dụng một cách nhuần nhuyễn bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số bằng phương pháp khảo sát hàm số Sau đây là một số ví dụ.

Ví dụ 1: ( Đề thi Đại học Khối D - 2011)

Ví dụ 2: ( Đề thi Đại học Khối B - 2003)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x( ) x 4 x2 (1)

 

-2   2Từ bảng biến thiên suy ra :

 ; 2 

15 ( ) ( 8)

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng  ; 2

2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến.

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến, ta có thể đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức một biến số bằng phương pháp thể, phương pháp đặt ẩn phụ và khảo sát theo một biến.

2.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến bằng phương pháp thể.

Với bài toán cho điều kiện như trên ta có thể rút x theo y hoặc y theo x thế vào

biểu P ta sẽ có biểu thức với một biến số Đặc biệt lưu ý phải tìm điều kiện của biến cần khảo sát.

f x + 0 -

( )

f x  

5

Từ bảng biến thiên suy ra : 0;5

Ví dụ 2: Cho x y R,  thỏa mãn: y 0 và x2   x y 12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P xy x    2 y

Rõ ràng với bài toán cho điều kiện như trên ta nên rút y theo x.

Bài làm: Từ giả thiết x2    x y 12  y x  2   x 12

Do y 0 nên x2   x 12 0      4 x 3 Khi đó P x 3 3x2  9x 24

Xét hàm số f x( )x33x2  9x 24 trên   4;3 

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -29 khi x  1, y  10

P đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x  3, y  6 hoặc x  3, y  0

Bài làm:

1

P



Do x y , 0 và x y 1 nên 0 x y, 1

( )

1

f x



'( )

f x

2

B ng bi n thiên: ảng biến thiên: ến thiên:

x 0 1

2 1

f x '( ) - 0 +

f x ( )  

2

Từ bảng biến thiên suy ra :

 0;1 

1

2

f x f   

2

x y

2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đối xứng có hai biến bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Với các bài toán có biểu thức đối xứng với hai biến ta thường đặt ẩn phụ

t  x y hoặc t xy  , tuy nhiên phải căn cứ vào giả thiết đề bài cho, để tìm điều kiện của biến mới.

Ví dụ 1: Cho x y R,  thỏa mãn: 2x2 2y2  x y

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P x 3  y3 x y xy2  2

Bài làm: Đặt t   Từ giả thiết x y 2x2 2y2  x y

12

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P x 2  2y2  3x y2 2

Nhận xét: Thoạt nhìn thấy biểu thức P là không đối xứng, xong nhìn vào giả thiết

ta thấy biểu thúc P hoàn toàn có thể đưa về một biểu thức đối xứng, Hơn nữa đây lại là bài toán có biểu thức đối xứng với hai biến với x2 và y2 nên ta có thể đặt ẩn phụ t x2 y2 để làm giảm bậc của biểu thức.

P đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi t  1 x0;y1.

Ví dụ 3: Cho x y R,  thỏa mãn: x y 1 và x2  y2 xy x y  1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

1

xy P

2'( )

dùng bất đẳng thức Cauchy ngay, chỉ lưu ý rằng x

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P x 2  y2  xy.

Nhận xét: Hãy lưu ý rằng ta luôn có một bất đẳng thức đúng ( )2

 1;2 

1min ( ) (1)

Ví dụ 6: Cho x y R,  thỏa mãn: x y ; 0 và (xy1)(x y )x2  y2 2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 1

x y

Bài làm:

Đặt t   x y Từ giả thiết (xy1)(x y )x2  y2 2

22

2 2

2( )

Hãy lưu ý rằng ta chỉ tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên   ; 2 2;

Ví dụ 7: ( Đề thi Đại học Khối D - 2009)

Cho các số thực x y, không âm thay đổi và thỏa mãn: x y 1

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P 4x2 3y 4y2 3x25xy.Bài làm:

2 34

x y

2 3 4

x y

Ví dụ 9: Cho x y, không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: x y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

; 2

Từ bảng biến thiên suy ra :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 1y y 1x

2

2 2 ( ) 2 1 ( ) ( 1) 1

Ví dụ 1: Cho x y , 0 thỏa mãn: x2  y2  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  y x y  Bài làm:

Ví dụ 2: Cho x y, là các số thực không đồng thời bằng không

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

2 2

4

x y P

1 ( )

2 2

2(3 2 1)lim ( ) lim 6

Ví dụ 4: Cho x y, là các số thực dương thoả mãn: x2  1 y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có ba biến.

Trong phần này tác giả muốn trình bày một số bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một số biểu thức chứa ba biến bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc phương pháp dồn biến thông qua một biến còn lại, rồi chuyển bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Ví dụ 1: Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn x2 y2z2 3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2(x y z  )xy yz zx 

Ta có '( )f t  t 2; f t'( ) 0  t 2

Nhận xét: Từ bảng biến thiên, ta thấy giả thiết đề bài có thể thay đổ thành tìm

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.

Ví dụ 2: Cho x y z, , là các số không âm trong đó không có hai số nào đồng thời

bằng không Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu bằng xảy ra khi x=0; y=z hoặc y=0, x=z hoặc z=0, x=y

Vậy biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất là 6

Ví dụ 3: Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác thỏa mãn: a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P3a2b2 c2 4abc

P  f c    f   1  13 Dấu bằng xảy ra khi a b c   1.

Ví dụ 4: Cho x y z , , 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Nhận xét: Đôi khi thay bằng việc yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một

biểu thức ta có thể yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức.

Ví dụ 5: Cho x y z  , , 0 thỏa mãn x y z    1 Chứng minh rằng:

*) Do giả thiết nên xy yz zx    2 xyz xy  (1  z )  yz (1  x )  zx  0

*) Không mất tính tổng quát giả sử x y z  ,

Nhận xét: Trong bài toán trên tác giả đã chọn một biến đại diện , tìm điều kiện

của các biến còn lại và đánh giá biểu thức thông qua biến đại diện đó.

Ví dụ 6: Cho 0x y z, , 1 thỏa mãn xy yz zx    1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Khi đó suy ra:

2

2 2

3 321

3 321

3 321

Nhận xét: Trong một số trường hợp ta có thể khảo sát lần lượt từng biến một,

bằng cách chọn một biến là tham số biến thiên và các biến còn lại coi là hằng

số như ví dụ sau đây:

Ví dụ 7: ( Đề thi Đại học Khối A - 2011)

Cho x y z R , ,  thỏa mãn: x y z  , ,  1;4  và x y x z  , 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Suy ra : 2 2

x y



14 32'( ) 1

92

Dấu bằng xảy ra khi 5 2 1 4 3

Bài 1: Cho x y , 0 thỏa mãn: x y 1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2: Cho x y R,  thỏa mãn: x y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 3  y3 3(x2  y2) 3( x y )

Bài 3: Cho  3 x y, 2 thỏa mãn: x3  y3 2

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P x 2  y2

Bài 4 ( Đề thi Đại học Khối A- 2006)

Cho hai số thực khác không x y, thay đổi và thỏa mãn (x y xy x )  2 y2  xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 13 13

A

x y

Bài 5 ( Đề thi Đại học Khối D- 2008)

Cho hai số thực x y, không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu

x y xy P



Bài 6 ( Đề thi Đại học Khối B- 2011)

Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 b2)ab(a b ab )( 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P 2(x3 y3) 3 xy.

Bài 8 ( Đề thi Đại học Khối B- 2012)

Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện x y z    0 và x2  y2 z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của P x 5  y5 z5

Bài 9: Cho x y, là các số thực dương và thỏa mãn x y xy2  2  x y3xy Tìm

giá trị nhỏ nhất của

Bài 12: Cho x y, là các số thực tùy ý sao cho: x2 y2  1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2( )

xy y P

Bài 17: Cho x y z, , là các số thực không âm và có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất

PHẦN THỨ BA: KẾT QUẢ VÀ KHUYẾN NGHỊ

Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm ” Vận dụng phương pháp khảo sát

hàm số tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức” tác giả đã rút ra một số

ý kiến sau:

+) Trước tiên phải làm cho học sinh nắm thật chắc các kiến thức về đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, một số các bất đẳng thức quen thuộc, các quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

+) Nên tạo điều kiện cho học sinh tiếp xúc với các bài toán hay và khó với nhiều hướng giải nhằm phát huy hết năng lực sáng tạo của học sinh trong giải toán +) Trong quá trình thực hiện đề tài, năm học 2011 – 2012 tác giả đã vận dụngvào các tiết tự chọn nâng cao của lớp 12A2 và học sinh lớp 12A5 làm đối chứngthì thấy có sự khác nhau rõ rệt Học sinh được học theo hướng của đề tài, có từ 80đến 90% học sinh làm tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểuthức, trong đó chỉ có 30 đến 35% học sinh lớp 12A5 giải được các bài toán này

Thường Tín, ngày 19 tháng 5 năm 2013

Tác giả

Đỗ Thị Phương Thỏa

PHẦN THỨ TƯ: TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sáng tạo Bất đẳng thức – Phạm Kim Hùng – Nhà xuất bản Hà Nội

2 Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp- Phan Đức Chính,Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn- Nhà xuất bản Giáo dục

3 Chuyên đề Bất đẳng thức- Võ Giang Giai - Nhà xuất bản Thành phố Hồ ChíMinh

4 Ba thập kỉ đề thi toán vào các trường Đại học Việt Nam – Trần Nhà xuất bản Đaị học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh

Phương-5 Ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp- Nguyễn Phụ Hy – Tạ Ngọc Trí –Nguyễn Thị Trang- Nhà xuất bản Giáo dục

NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

Chủ tịch hội đồng

MỤC LỤC

Phần thứ nhất: Sơ yếu lý lịch Phần thứ hai: Nội dung đề tài

I Lý do và mục đích chọn đề tài

II Đối tượng thực nghiệm và phương pháp nghiên cứu của đề tài

1 Đối tượng thực nghiệm của đề tài

2 Phương pháp nghiên cứu của đề tài

III Những kiến thức chuẩn bị

IV Một số bài toán điển hình

1 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến

2.1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến bằng phương pháp thế

2.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có hai biến bằng phương pháp đặt ẩn phụ

2.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đẳng cấp với hai biến bằng phương pháp đặt ẩn phụ

3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức có ba biến

V Một số bài tập kiến nghị

Phần thứ ba: Kết quả và khuyến nghị

Phần thứ tư: Tài liệu tham khảo

Nhận xét và đánh giá của hội đồng khoa học cấp trường

Trang 1 2 2 2 2 3 3 5 5 6

7

9

19 22 31 34 35 36