TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮĐỀ CHÍNH THỨC Độc lập – Tự do – Hạnh phúc KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2014 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 120 phút không kể thời gian phát đề
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (2,0 điểm)
1
A
x
1 Rút gọn A.
2 Tìm giá trị của x để A > 1.
Câu 2 (2,5 điểm)
1 Giải phương trình: x22x 7 3 (x21)(x3)
2 Giải hệ phương trình:
3 2
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho phương trình (ẩn x): 2 2
3(m 1) x 2 m 5 2 0
x m Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn |x1+x2|=2|x1-x2|
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC Gọi P, Q lần lượt là chân của đường vuông góc kẻ từ H đến các cạnh AB, AC
1 Chứng minh rằng BCQP là tứ giác nội tiếp
2 Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M Chứng minh rằng MH2= MB.MC
3 Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) tại K (K khác A) Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP Chứng minh rằng ba điểm I, H, K thẳng hàng
Câu 5 (1,0 điểm)
Chứng minh rằng: 1 2 32 43 2014 20152013 2014 4
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1.
1 Ta có:
1
A
x
2
:
:
:
3( 3)
1
3(
x
x
x
1)
2 ĐKXĐ: x0;xx 1;xx 3;xx 4
1 3( 1)
0
4 2
0
2
0
A
x
x
x
x
x
x
x
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có 1 4
3
x x
là điều kiện cần tìm
Câu 2.
1.x 2x 7 3 (x 1)(x3)(1)
ĐK: x ≥ –3
2 7 ( 1) 2(x 3)
Đặt a x21(a0),b x3(b0), phương trình (1) trở thành
2
a b
Trang 32 1 3 2 1 3 ( 2)( 1) 0
2( )
1( )
Với
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là 2;x 1;x 2 15;x2 15
2
3
2
2 2
2
( )
1 1
7
I
x y
xy xy
x y xy
7
L xy
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;x1) và (–1;x–1)
Câu 3.
2 3(m 1) x 2 m2 5 2 0
Ta có:
9(m 1) 4(2m 5m 2) m 2m 1 (m 1)
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2
x x m m Khi đó, theo định lí Vi–ét, ta có:
1 2
2
1 2
3( 1)
Do đó:
Trang 41 2 1 2
2
2
( 5)(5 1) 0
5
1
5
m
m
Đối chiếu với điều kiện m ≠ 1, ta có m = –5 và 1
5
m là các giá trị cần tìm
Câu 4.
1 Tứ giác APHQ có APH +AQH 90 90 180 nên là tứ giác nội tiếp
⇒ APQ= AHQ
Ta có: AHQ =BCQ (cùng phụ với CHQ )
Do đó APQ =BCQ
Suy ra BPQC là tứ giác nội tiếp
2 Vì BPQC là tứ giác nội tiếp nên
MBP= MQC
Vì APHQ là tứ giác nội tiếp nên: MQH =BAH
Mà BAH= MHP (cùng phụ với PBH )
nên MQH= MHP
2
Từ (1) và (2) ⇒ MH2 =MB MC
3 Vì AKBC là tứ giác nội tiếp nên
Trang 5MK MA MB MC
Kết hợp với kết quả ý 2, ta có 2
.MA
⇒ HK là đường cao của tam giác vuông AHM
⇒ AK ⊥ KH
Do đó KH cắt (O) tại D (D khác K) thì AD là đường kính của (O)
Gọi J là trung điểm HD, N là trung điểm QC
Khi đó OJ là đường trung bình của ∆ AHD ⇒ OJ // AH ⇒ OJ ⊥ BC
Mà OB = OC nên OJ là trung trực BC (3)
Vì HQ // DC (cùng vuông góc AC) nên HQCD là hình thang
⇒ JN là đường trung bình của hình thang HQCD
⇒ JN // HQ ⇒ JN ⊥ QC
⇒ JN là trung trực của QC (4)
Từ (3) và (4) ⇒ J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPQC (do BPQC là tứ giác nội tiếp)
⇒ J ≡ I
Mà K, H, J thẳng hàng nên I, K, H thẳng hàng
Câu 5.
Đặt S= 32 43 2014 20152013 2014
2 2 2 2
Ta có:
S
S S
S
Ta có:
2014
1
1 ( )
1
2
Do đó: