Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC.. Xác định vị trí của M để tam giác MDE của chu vi nhỏ nhất Câu 4: 2 điểm.. Gọi H là giao điểm của AB vơi OM, I là trung điể
Trang 1THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN NGÀY THI: 22–6–2014 THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 PHÚT Câu 1: (2 điểm)
a) Giải phương trình: x 2x 3 3x4
b) Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức
P
Câu 2: (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1 9
4 4
x y
y x y
x y
x x
�
�
�
�
�
Câu 3: (1,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC và M là một điểm bất kì trên cạnh BC Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC Xác định vị trí của M để tam giác MDE của chu vi nhỏ nhất
Câu 4: (2 điểm).
a) Cho x, y là 2 số thực khác 0 Chứng minh rằng:
y x �y x
b) Cho a, b là hai số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
a ab b P
ab a b
Câu 5: (2 điểm)
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của AB vơi OM, I là trung điểm của MH Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm K (K khác A)
a) Chứng minh HK vuông góc AI
b) Tính số đo góc MKB
Câu 6: (1 điểm)
Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: 2015(x2y2) 2014(2 xy 1) 25
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
) 2 3 3 4
a x x x (ĐKXĐ: x ≥ 3/2)
3
(2 3) (3 4)
2 12 24 16 0
2( 2) 0
2( )
x
Vậy S = {2}
b)Ta có
0
( ) ( )
2
x y z
Tương tự:
2 2
P
Mà
z xy x y z xy
xyz
P
xyz
Câu 2
ĐKXĐ: x, y ≠ 0
2
1 9
(1)
4 4
(2)
x y
y x
y
x y
x x
�
�
�
�
�
Lấy (1) trừ (2) ta được:
2
2
1 4 9 4
4 5 1
0
( 4 )( ) 0
4
y
y x x x
y
x y x y
x y
�
��
Với x = y, thế vào (1) có 2x 8 0 x y 2
x
�
Trang 3Với x = 4y, thế vào (1) có 5 0 2
y
� �
Vậy (2; 2);( 2; 2);(2; );( 2;1 1)
S�� ��
�
Câu 3:
( )sin 60 sin 60
o MDE
o
Mà BC.sin600 không đổi nên chi vi tam giác MDE nhỏ nhất ⇔ DE nhỏ nhất
Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn đường kính AM ADM =AEM 90 nên tam giác ADE cũng nội tiếp đường tròn đường kính AM, tâm I là trung điểm AM
Gọi K là trung điểm DE, suy ra IK ⊥ DE và ( )
2
DIE EIK BAC Gọi R là bán kính đường tròn tâm I đường kính AM thì
0,5 sin
2 sin sin 60o
KIE
Vì sin60o không đổi nên DE nhỏ nhất ⇔ AM nhỏ nhất ⇔ M ≡ H (H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống
BC, mà tam giác ABC đều nên H là trung điểm BC)
Vậy khi M là trung điểm BC thì chu vi tam giác MDE nhỏ nhất
Câu 4
Trang 42 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
0
0
0
0
( )
0
x y x y xy
x y
x y x y
x y
x y x xy y
x y
x y
�� � �
(luôn đúng ∀ x,y ≠ 0)
c) Tìm minP (a, b > 0)
2
2 2
3
( )
( )
(a b)
( )
1
4
2 2
a ab b
P
ab a b
a b ab
ab
ab a b
a b ab
Dấu bằng xảy ra
2
1 ( )
4 a b ab a b
a b
�
�
�
2
MinP a b
*Cách khác
P
Câu 5
Trang 5nên DH ⊥ AO
⇒ DH // AM (1)
Ta có BDH= EAH =HMB nên tứ giác HMDB nội tiếp
⇒ HM ⊥ MD ⇒ DM // AH (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AHDM là hình bình hành
⇒ AD đi qua trung điểm I của HM
⇒ K’ là giao của AI với (O)
⇒ K’ ≡ K
⇒ HK ⊥ AI
b) Ta có IAM =ABK (cùng chắn cung AK)
AMI= OBA (OAMB nội tiếp)
Nên
IAM+AMI=ABK+OBA
AIH=OBK
Mặt khác
AIH+KHI=90o
OBK+KBM=90o
=>KHI=KBM
⇒ Tứ giác HKMB nội tiếp
=>BKM=BHM=90o
Câu 6
2015( ) 2014(2 xy 1) 25
2014(x y) 2039
x y
x y
Đặt t=|x-y| , t N� do x, y nguyên
Xét các trường hợp:
TH1: t = 0, tức x = y ⇒ phương trình vô nghiệm
TH2: t = 1, tức là x – y = ±1
+ Với x – y = 1 hay x = y + 1, phương trình trở thành:
Trang 62 2 2
3
4
y
y
�
� �
Với y = 3 thì x = 4; với y = –4 thì x = –3
+ Với x – y = –1 hay x = y – 1, phương trình trở thành:
3
4
y
y
�
� �
Với y = –3 thì x = –4; với y = 4 thì x = 3
TH3: t ≥ 2, VT > VP ⇒ phương trình vô nghiệm
Vậy các cặp (x;y) thỏa là (4;3), (–3;–4), (–4;–3), (3;4)
Cách khác: Sử dụng phương pháp biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương Vế phải là tổng của các số chính phương, hoặc cách điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai cũng có thể giải ra đáp số