b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.. Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt
Trang 1SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Dành cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3,0 điểm).
Cho biểu thức:
2
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của thức P khi x 3 2 2
c) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của x để biểu thức P có nghĩa thì biểu thức 7
P chỉ nhận một giá trị
nguyên
Bài 2 (2,0 điểm).
Cho phương trình x2 – 2mx+ (m – 1)3 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = –1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại
Bài 3 (1,0 điểm).
Giải phương trình: 2 2
1 0
x
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH, tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F Gọi M là trung điểm của cạnh HC
a) Chứng minh AE.AB = AF.AC
b) Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH
c) Chứng minh HAM HBO
d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM
Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:
a b c
Trang 2
-Hết -SỞ GD-ĐT THÁI BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2015-2016
DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN TOÁN CHUNG
( 0; 1)
=2x 2 x x 1 x x 1
0,25
0,5
=2x 2 x x 1 x x 1
2
Thay vào biểu thức
2 2( 2 1) 2
2 1 2( 2 1)
2 2 2 2
( 2 1)( 2 1)
2 2 2 2 2
0,25
4 2 2
1c
Đưa được 7 7
x
P x x
0,25
6
x
0,25
Vậy 7
P chỉ nhận một giá trị nguyên đó là 1 khi
4 2
4 2
x x
x x
0,25
Ta có: =1+8=9>0
Giải phương trình ta được hai nghiệm: x12;x2 4
0,5
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m2 (m1)30(*) 0,25
Trang 3Gọi x1;x2 là hai nghiệm của phương trình, theo Viet ta có:
1 2
3
1 2
2 (1) (m 1) (2)
x x
1 ( )2
2 1; 1 ( 1)
Thay hai nghiệm x1;x2 vào (1) ta được:
2 2
0 3
m m
Khẳng định hai giá trị m vừa tìm được thỏa mãn điều kiện (*), kết luận 0,25 3
Điều kiện: x 0, đưa phương trình trở thành:
2
0,25
Đặt ẩn phụ: 2
x
t
x , phương trình trở thành:
2
1 1
2
t
0,25
x
x
0,25
4a
Xét hai tam giác: AEF và ACB có góc A chung
0,25
Trang 4(hoặc AFE=AHE ;AHE= ABC ; suy ra AFE= ABC )
Từ tỷ số đồng dạng AE AF
AC AB ta có AE.AB = AC.AF
0,25
Có MF = MH (vì tam giác HFC vuông tại F, trung tuyến FM) 0,25
Từ đó MFO=90o , MF là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH 0,25
Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH có
2
0,25
4d Gọi K là giao điểm của AM với đường tròn
Mà HK AM, suy ra BO AM, suy ra O là trực tâm của tam giác ABM 0,25
5 Giả sử ab c , từ giả thiết suy ra ab 1 Ta có bất đẳng thức sau:
2
0
b ab
Vậy ta cần chứng minh: 2 1 2 3
1ab1c 2
0,25
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì
2
2 3
3 ( )
ab bc ca abc
Hay a+b+c 33abc
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
0,25
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+ b +c 3.Chứng minh rằng:
3 2
c a b
Ta có:
2
3 3
a b c
ab bc ca ab bc ca
Ta có
2
3
a c b c
a c b c
a b c
a c b c c a b a c b a b
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25