Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một phòng họp có 440 ghế mỗi ghế một chỗ ngồi được xếp thành từng dãy, mỗi dãy có số ghế bằng nhau.. Trong một buổi họp có
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH BÌNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi : TOÁN Ngày thi: 11/6/2014
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm).
1 Rút gọn các biểu thức sau:
4
M
a
a
2 Giải hệ phương trình: 3 24
x y
x y
3 Giải phương trình: 2 5 2 4 13
x x x x
Câu 2 (1,5 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 3 (m là tham số)
a) Khi m = – 2, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P)
b) Tìm m để đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2 thỏa mãn điều kiện: x13x23 10
Câu 3 (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một phòng họp có 440 ghế (mỗi ghế một chỗ ngồi) được xếp thành từng dãy, mỗi dãy có số ghế bằng nhau Trong một buổi họp có 529 người tham dự nên ban tổ chức phải kê thêm 3 dãy ghế và mỗi dãy tăng thêm 1 ghế
so với ban đầu thì vừa đủ chỗ ngồi Tính số dãy ghế có trong phòng họp lúc đầu
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn lấy điểm M (M khác A), Từ M kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB) Dt MB cắt (O) tại điểm Q (Q khác B) và cắt
CH tại điểm N Gọi I là giao điểm của MO và AC
a) Chứng minh AIQM là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh OM // BC
c) Chứng minh tỉ số CN
CH không đổi khi M di động trên tia Ax (M khác A).
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng:
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1
1 Ta có:
3 5 7 5 4 5
3 5 7 5 4 5 6 5
4
4 3
2
3
a N
a
a a
2 Ta có:
3
7
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (3;–7)
x x x x (1)
ĐK:
2
2
1 0
x x
Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) nên x ≠ 0 Do đó
Đặt t x 1
x
, điều kiện |t| 2; t4, phương trình (2) trở thành
Trang 33( 21) 13( 3 4)
( 5)(13 23) 0
5( )
23
( ) 13
t TM
2
x
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là {5 21 5; 21}
Câu 2
a) Khi m = –2, ta có (d): y = –2x + 3
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là (1;1) và (–3;9)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x mx x mx
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2
m
(luôn đúng với mọi m)
Khi đó, theo định lý Vi–ét: 1 2
x x
Do đó:
2 2
0
1 0
1
m
m
m
Vậy m = –1 là giá trị cần tìm
Câu 3
Gọi số dãy ghế ban đầu là x (dãy) (x ∈ ℕ*)
Gọi số ghế trong mỗi dãy ban đầu là y (ghế) (y ∈ ℕ*)
Số ghế trong cả phòng họp là x.y (ghế) Theo bài ra ta có phương trình
xy=440 (1)
Trang 4Khi kê thêm 3 dãy ghế và mỗi dãy tăng thêm 1 ghế so với ban đầu thì tổng số ghế trong phòng họp là (x + 3)(y + 1) (ghế) Số ghế này vừa đủ chỗ ngồi cho 529 người nên:
(x+3)(y+1)=529 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
2
86 3
(86 3 ) 440(*)
( 22)(3 20) 0
22( ) x 20
20
( )
3
y y
Vậy lúc đầu có 20 dãy ghế, mỗi dãy có 20 ghế
Câu 4.
a) Vì Q thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên
AQB=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒ AQ ⊥ QM
Xét hai tam giác vuông AMO và CMO có chung cạnh huyền MO, hai cạnh góc vuông AO và CO bằng nhau suy ra ∆ AMO = ∆ CMO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ MA = MC
⇒ MO là trung trực của đoạn thẳng AC
⇒ I là trung điểm AC và MI ⊥ AI
Trang 5Tứ giác AIQM có AIM=AQM=90o nên là tứ giác nội tiếp.
b) Vì C thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên ACB=90o
⇒ AC ⊥ BC
Mà OM ⊥ AC (cmt)
Suy ra OM // BC (cùng vuông góc AC)
c) Vì AIQM là tứ giác nội tiếp (câu a) nên
IQN=MAI (góc ngoài và góc trong đỉnh đối diện)
Vì AM // CN (cùng vuông góc AB) nên MAI=ICN
Do đó IQN=ICN ⇒ IQCN là tứ giác nội tiếp
=>CQN=CIN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN)
Vì AQCB là tứ giác nội tiếp (O) nên CQN=CAB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
Do đó CIN= CAB ⇒ IN // AB
Xét ∆ CAH có IN // AH nên theo định lý Ta–lét ta có:
1
2
CN CI
CH CA (do I là trung điểm AC)
Vậy CN
CH không đổi khi M di động trên tiếp tuyến Ax của (O).
Câu 5
Áp dụng BĐT Cô–si cho ba số dương, ta có:
3
3
Ta có hai BĐT tương tự
3
3
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta có:
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1