Biết đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8 2 3 và tồn tại một điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho góc DAI 45o và góc IDA 30 .o Tính diện tích hình chữ nhật AB
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI NGUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm: 01 trang)
Câu 1 : (1,5đ)
Cho phương trìnhx2 (m1)x m 0, m là tham số Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm trái dấux x sao cho 1, 2 2 2
x x
Câu 2 : (1,5đ)
Giải hệ phương trình sau :
97 5
x y
Câu 3 : (1,0đ)
Hay tìm các chữ số a , b , c , d biết rằng ,a ad cd abcd là các số chính phương , ,
Câu 4 (1,0đ)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình sau :x4y3 xy31
Câu 5 : (1,0đ)
Chứng minh rằng luôn tồn tại một số dạng 20162016…2016 (gồm các số 2016 viết kế tiếp nhau) mà số đó chia hết cho 2017
Câu 6 (1,5đ)
Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB , CD Biết đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng 8 2 3 và tồn tại một điểm I thuộc đoạn thẳng MN sao cho góc DAI 45o và góc IDA 30 o Tính diện tích hình chữ nhật ABCD
Câu 7 (2,5đ)
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm K Vẽ tiếp tuyến chung AD (A ∈ (O1), D ∈ (O2)) rồi vẽ đường kính AB của đường tròn (O1) Qua B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (O2) Chứng minh rằng :
a BM2 = BK.BD
b AB = BM
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN THÁI NGUYÊN Bài 1 :
Phương trình :x2 (m1)x m 0 có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 m < 0 (*) 0,5đ
Áp dụng định lý Vi – et ta có :x1x2 m 1;x x1 2 m 0,25đ
Bài 2 :
Đặt xy = a khi đó ta có :
x y x y x y
2
6
44
a
a
+ Với a = 6 , ta có hệ phương trình
2
x y
+ Với a = 44 ta có hệ phương trình : 44
5
xy
x y
vô nghiệm 0,25đ Vậy nghiệm của hệ phương trình là : (2;3) , (3;2)
Câu 3 :
Do a là chính phương nên a∈{1; 4; 9}
Ta có 92 81,102 100 nên không có số dạng 9x là chính phương suy ra a = 1 hoặc a = 4 0,25đ
+ Do ab chính phương nên ad = 16 hoặc ad = 49 suy ra d = 6 hoặc d = 9
+ Do cd chính phương nên cd =16 hoặc cd =36 hoặc cd =49 => c = 1 hoặc c = 3 hoặc c = 4 0,25đ
+ Nếu a = 1 , d = 6 và c = 1 hoặc c = 3 khi đóabcd 1 16b hoặcabcd 1 36b Do 1 6 ( 4)bc x 2hoặc1 6 ( 6)bc x 2
nên ta có 262 676;
34 1156;44 1936; 46 2126 Chỉ có 1936 là thỏa mãn yêu cầu bài toán
+ Nếu a = 4 , d = 9 và c = 4 khi đó abcd 4 49b x3 2 hayabcd x7 2
Ta có :632 3969;672 4489;732 5329 không có số nào thỏa mãn yêu cầu đề bài 0,25đ
Vậy với a = 1 , b = 9 , c = 3 , d = 6 thỏa mãn yêu cầu bài toán 0,25đ
Câu 4 :
Ta có :x4y3 xy3 1 x4 1 y3 xy3 0
Trang 33 2 3
1
1
x
+ Với x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được :1y3 y31 đúng với mọi y nguyên
Vậy (x;y) = (1;t) , ∀t ∈ Z
+ Vớix3x2 x 1 y3 (1) Khi đó :
Do x ∈ Z và x2 x 1 0 x3 y3(2)
+ Mặt khác do : x ∈ Z và x(x+1) > 0 nên ta có:
Khi x = 0 thì y = 1 thỏa mãn
Khi x = -1 thì y = 0 thỏa mãn 0,25đ
Vậy các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình đã cho là(0;1) , (-1; 0), (1; t) , ∀t ∈ Z
Câu 5 :
Ta xét 2018 số dạng a n 20162016 2016( gồm n số 2016 viết kế tiếp nhau )1 n 2018 0,25đ
Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 2 số ,a a mà có hiệu k t a k a t2017,
Do: 104t
a a a
Mà (10 , 2017) 14t 2017
k t
a
Vậy chứng tỏ tồn tại số có dạng 20162016…2016 chỉa hết cho 2017 0,25đ
Câu 6 :
Đặt AB = x , AD = y , 0 < x < y
Do đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính bằng : 8 2 3 nên ta có :
Do : DAI =45o nên tam giác MAI vuông cân tại M
Suy ra :
2
x
Ta lại có tam giác NDI vuông tại N và 60o
NDI nên trong tam giác IND có : ND =2x => 3
2
x
x x
2
y x vào (*) ta được :
Trang 4x x x x
Bài 7 :
0,25đ a) + Hình vẽ : ( BM có thể nằm giữa BA và BD )
+ Dễ dàng chứng minh được 3 điểm B , K , D thẳng hàng 0,25đ
Xét hai tam giác ΔBMK và ΔBDM có :BMK và ΔBMK và ΔBDM có :BDM có :
BDM KMB (vì cùng bằng nửa số đo cung KM của (O2) ) 0,25 đ
MBD chung 0,25đ
Suy ra : ΔBMK và ΔBDM có :BMK đồng dạng với ΔBMK và ΔBDM có :BDM 0,25đ
2
(1)
b) Có : AKB 90o ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O1) )
Có DAB 90o ( Do AD là tiếp tuyến của đường tròn (O1) ) 0,25đ
ABK KAD (Vì c ng bằng nửa số đo cung AK của (O1) ) 0,25đ
Suy ra : ΔBMK và ΔBDM có :AKB đồng dạng với ΔBMK và ΔBDM có :DAB
Từ (1) và (2) suy ra : 2 2
AB BM AB BM 0,25đ