Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực

PHÒNG GD&ĐT HẬU LỘC TRƯỜNG THCS LÊ HỮU LẬP SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Người thực hiện: Lê Thị Dung Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trườ

PHÒNG GD&ĐT HẬU LỘC

TRƯỜNG THCS LÊ HỮU LẬP

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Người thực hiện: Lê Thị Dung

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Hữu Lập

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

HẬU LỘC NĂM 2018

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong quá trình học toán, các em học sinh có thể gặp đây đó những bài toán mà

đầu đề có vẻ “lạ” , “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng cách áp

dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc Những bài toán như vậy

thường được gọi là “không mẫu mực” (non standard problems), giải các bài toán

dạng này có tác dụng không nhỏ trong việc tư duy toán học và thường là sự thử tháchđối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên lớp chọn

Đương nhiên, quen thuộc hay “không mẫu mực” chỉ là tương đối, phụ thuộc vào trình

độ, vào kinh nghiệm của việc giải toán Có bài toán “lạ”, “không mẫu mực” đối với

người này, nhưng lại là quen thuộc đối với người khác Trong thực tế giảng dạy ởtrường THCS việc làm cho học sinh nhận dạng và biết vận dụng các phương phápvào giải các bài toán có liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu đượccủa người dạy toán, thông qua đó rèn luyện tư duy logic khả năng sáng tạo cho họcsinh Để làm được điều đó, đòi hỏi người thầy giáo cần phải cung cấp cho học sinhmột số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về phương trình vàphương trình không mẫu mực

Qua đây, tôi cũng rất mong được sự đóng góp quý báu của quí bạn đọc nhằmxây dựng nên một nguồi tư liệu quý giá giúp học sinh cũng như các bạn đồng nghiệpkhác có cái nhìn toàn diện hơn về mảng phương trình này Vì vậy tôi đã chọn đề tài

“Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực”

- Cung cấp cho các em một vốn kiến thức cần thiết trong bộ môn toán

- Nhằm trang bị cho các em học sinh một kiến thức để các em ôn thi vào các kỳthi học sinh giỏi các cấp và thi vào các trường chuyên lớp chọn, đặc biệt là các

em có kiến thức vào học ở bậc THPT

- Góp phần không nhỏ trong việc rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

1.3- Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh khá, giỏi lớp 9A, 9D Trường THCS Lê Hữu Lập

1.4- Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận

- Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp chủnhiệm cùng khối để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớpvới kinh nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp

- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi

- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê sosánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài Từ đókiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài

- Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận:

Việc giải các bào toán về phương trình không mẫu mực được dựa trên hệ thốngkiến thức trong cấp THCS Như sử dụng các phép biến đổi tương đương, các hằngđẳng thức, các quy tắc về dấu Các phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ) Phương phápgiải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai một ẩn và phương trình quy vềphương trình bậc hai Các kiến thức trên dựa trên trình độ và khả năng tư duy của họcsinh khá và giỏi

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết có liên quan đến phương trình và phương trìnhdạng không mẫu mực: các khái niệm; phương pháp giải

Nghiên cứu cơ sở thực tiễn

Đề xuất hệ thống bài tập nhằm nâng cao chất lượng dạy và học phương trìnhkhông mẫu mực

2.2 Thực trạng:

Có thể nói Phương trình là một mảng kiến thức vô cùng quan trọng trongchương trình Toán phổ thông Hơn thế nữa nó cũng góp phần không nhỏ để giải cácbài toán liên quan trong các môn khoa học tự nhiên khác Tuy vậy, hiện nay trongchương trình Toán THCS mới chỉ dừng lại ở một số phương trình cơ bản nhưphương trình bậc nhất, bậc hai hoặc phương trình vô tỉ nhưng ở dạng không phức tạo

Bên cạnh đó, hiện nay hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh đặc biệt là các kỳtuyển sinh vào trường chuyên, lớp chọn, ở mảng phương trình đều ra ở dạng kháphức tạp và không mẫu mực Vì vậy đối với những học sinh chưa được tiếp cận vớicác dạng toán này đều tỏ ra lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn

2.3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

PHẦN I : KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH

D = Df∩ Dg Mệnh đề chứa biến x∈D có dạng :

f(x) = g(x) (1)

được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay biến số).

+ D = Df∩ Dg gọi là tập xác định (hay miền xác đinh) của phương trình (1)

+ Nếu tồn tại xo∈ D sao cho f(xo) = g(xo) thì xo gọi là một nghiệm của phương

trình (1) Tập T = {xo∈ D / f(xo) = g(xo) } gọi là tập nghiệm của phương trình (1) + Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

+ Nếu tập nghiệm là này tập rỗng, ta nói phương trình đó vô nghiệm.

2- Hai phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương

nếu chúng có cùng tập nghiệm

3- Phép biến đổi tương đương : Các phép biến đổi phương trình mà không làm

thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là các phép biến đổi tương đương.Một số phép biến đổi tương đương:

• f(x) = g(x) ⇔ f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

• f(x) = g(x) ⇔ f(x) h(x) = g(x) h(x), h(x) ≠ 0

• f(x) = g(x) (với f(x) ≥0, g(x) ≥0 ) ⇔ [f(x)]2k = [g(x)]2k với k∈ N.

• f(x) = g(x) ⇔ [f(x)]2k+1 = [g(x)]2k+1 với k∈ N

4- Các phép biến đổi phương trình làm mở rộng thêm tập nghiệm gọi là các phép

biến đổi hệ quả Khi sử dụng các phép biến đổi hệ quả phải chú ý đặt thêm điều kiện

để phép biến đổi trở thành phép biến đổi tương đương hoặc phải kiểm tra các nghiệm của phương trình hệ quả để phát hiện ra các nghiệm không phải là nghiệm của

phương trình ban đầu (nghiệm ngoại lai)

PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

từ định lí trên ta suy ra hệ quả sau :

Hệ qủa 1: Nếu phương trình (1) có tổng hệ số : an + an-1 + + a1 + a0 = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

Hệ qủa 2: Nếu phương trình (1) có tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì

phương trình có một nghiệm x = -1

PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH :

Bằng cách biến đổi thích hợp để đưa phương trình ban đầu về phương trình

dạng : f(x).g(x) h(x) = 0 (gọi là phương trình tích) Từ đó suy ra : f(x) = 0; g(x) =

0; ; h(x) = 0, là những phương trình quen thuộc Nghiệm của phương trình là tậphợp các nghiệm của phương trình f(x) = 0; g(x) = 0; ; h(x) = 0 thuộc tập xác định

a> Phân tích : Ta nhận thấy tổng các hệ số của phương trình (1) bằng 0, theo hệ qủa

1 thì phương trình sẽ có một nghiệm bằng 1 Do đó ta sẽ phân tích được vế trái

của (1) về tích của một đa thức bậc ba với nhị thức (x-1) :

(1) ⇔ x3(x-1) + 2x2(x-1) -5x(x-1) - 6(x-1) = 0

⇔ (x-1)(x3 + 2x2 - 5x - 6) = 0

x x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {±1; -3; 2}

b>Phân tích: Theo định lí trên, nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ p

q thì p phải là ước của 12 còn q là ước của 2 Vậy p chỉ có thể lấy một trong các giá trị sau : ±1;

±2; ±3; ±4; ±6; ±12, còn q chỉ có thể lấy một trong các giá trị sau : ±1; ±2

Bằng lược đồ Hoocne, hoặc thay trực tiếp các giá trị q p vào phương trình (2), ta thấy

x = 2 là một nghiệm Từ đó ta phân tích được phương trình (2) như sau:

(2) ⇔ (x-2)(2x2 + 11x - 6) = 0 ⇔ (x-2)(2x-1)(x+6)=0

⇔

2 1 2 6

x x x

b1 : Đặt ẩn phụ hợp lý và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có).

b2 : Giải phương trình đối với ẩn phụ

b3 : Thay nghiệm thích hợp của ẩn phụ vào cách đặt ban đầu để tìm nghiệm của phương trình ban đầu

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {± 3; ± 5}

b> Đặt y = x2, y≥0 phương trình đã cho tương đương với :

Phương pháp: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của

phương trình cho x2 ta được phương trình :

2 2

+ = t2 - 2

Chú ý : Nếu phương trình đưa về có dạng :

2 2

+ = y2 - 2 Khi đó ta có phương trình bậc hai đối với y : 2y2 + 3y - 20 = 0 ⇔ y1 = -4 và y2 = 5

2

Giải tiếp hai phương trình : x 1

+ = y2 + 2 Khi đó ta có phương trình bậc hai đối với y :

y2 - 7y + 12 = 0 ⇔ y1 = 3 và y2 = 4 Giải tiếp 2 phương trình : x 1

Dễ thấy phương trình (3) có một nghiệm bằng -1 , nên ta có thể phân tích (3) về phương trình :

+ = y2 - 2 Khi đó ta có phương trình bậc hai đối với y :

y2 - 2y + 3 = 0

Dễ thấy phương trình này vô nghiệm

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -1

+ = y2 + 10 Khi đó ta được phương trình :

2y2 - 21y + 94 = 0

Dễ thấy phương trình này vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e, e ≠ 0 có a+b = c+d thì ta đặt:

Phương pháp giải : Đối với phương trình dạng này, nếu ta cứ để nguyên như vậy

để khai triển thì sẽ đưa về phương trình bậc 4 Khi đó việc giải phương trình này

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : (x-6)4 + (x-8)4 = 16 (1)

Đặt y = x - 3 ta được phương trình đối với ẩn y:

(1-y)5 + (y+1)5 = 32 ⇔ y4 + 2y2 - 3 = 0 ⇔ (y2 - 1)(y2 + 3) = 0

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :

4 16

x x

Suy ra : x =-13; x = 2 thoả mãn đkxđ Vậy phương trình có 2 nghiệm : -13 và 2.

Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:

PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

I- Phương trình chứa căn bậc hai:

Đối với dạng phương trình này, chúng ta cần chú ý tới điều kiện của ẩn Sử dụng các phép biến đổi sau để đưa về phương trình dạng quen thuộc:

3 1

2 3 0

3

x x

x x

⇔ x+ = − + 4 1 x 1 2 − x ⇔ + = − +x 4 1 x 2 (1 −x)(1 2 ) 1 2 − x + − x

⇔ 2

1 2 + x= (1 −x)(1 2 ) − x ⇔ + (1 2 )x = − (1 x)(1 2 ) − x

⇔2x2 +7x = 0 ⇔

0 7 2

x x

3

( 1) 3 ( 1)( 1)( 1 1) ( 1) 5 ( 1)( 1) 5 (4 5) 0

0 5 2

x x

Các bước giải :

b1 : Đặt ẩn phụ hợp lý và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có).

b2 : Giải phương trình đối với ẩn phụ

b3 : Thay nghiệm thích hợp của ẩn phụ vào cách đặt ban đầu để tìm nghiệm của phương trình ban đầu

I- ĐƯA VỀ DẠNG ĐƠN GIẢN

3 5 2

3 1 4 2

x

t x

3 2 3 0 2

Tìm điều kiện tồn tại của phương trình

Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung

Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc

Chú ý: Đối với phương trình có dạng n a f x− ( ) +m b f x+ ( ) =c ta thường đặt :

( ); ( )

u= a f x v− = b f x+ Khi đó ta được hệ phương trình :

 giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được u và v từ đó tìm

được giá trị của x.

.Ví dụ1: Giải phương trình sau: 2x+ x+ + +1 1 2x− x+ =1 2 x+ +1 1 (1)

1 , 0

0

3 0

3

x x

x x

x x

x

x

x x

1 13 2

x x

3 3 2 2 4 3( ) ( ) 2( ) ( )

IV- PHƯƠNG PHÁP ĐƯA ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp giải: Sử dụng các phương pháp sau:

• Biến đổi phương trình về đạng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ a; g(x) ≥ a (a là hằng số)

• Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a

• Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) ≥ m hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra

Suy ra với 1 ≤ x, x ≠2 đều không phải là nghiệm của (3).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận:

Trong quá trình giảng dạy mảng đề tài về phương trình, tôi đã lồng ghép vàotiết luyện tập các dạng phương trình khác nhau Hầu hết các em đều tỏ ra hứng thú

và hào hứng tham gia giải các bài toán Với mỗi bài các em thường nhận dạng được

và vận dụng khá linh hoạt các phương pháp giải khác nhau, thậm chí có em đã có thểđưa ra được nhiều cách giải khá đặc biệt Điều đó thể hiện sự hiệu quả của cácphương pháp mà tôi đã đưa ra Tuy nhiên bên cạnh đó, với thời lượng của mỗi tiếthọc không nhiều, việc nêu ra được hết các phương pháp trong một số tiết hạn chế làviệc khó có thể làm được Hơn nữa, đối tượng nghiên cứu chủ yếu lại là các em họcsinh khá, giỏi Vì vậy đòi hỏi người đạy phải có sự phân loại đối đượng học sinh(nhằm đưa ra những dạng thích hợp với từng đối tượng ) mới nhằm đạt hiệu quả caođược

3.2 Kiến nghị:

Trong quá trình thực hiện đề tài, thực tế khi giảng dạy cho học sinh để nângcao được chất lượng giảng đại trà cũng như chất lượng mũi nhọn tôi có một số đềnghị sau:

- Biết cách phân loại ra từng đối tượng học sinh, từ đó có thể đưa ra nhữngdạng toán thích hợp

- Với mỗi dạng toán nên đưa các bài tập từ đơn giản đến phức tạp để các em cóthể dễ dàng tiếp cận từ đó các em có thể phá huy được tính sáng tạo của các em

- Đối với người dạy phải biết vận dụng linh hoạt các phương pháp phù hợp vớitừng chủ đề, từng đối tượng

- Hơn hết, người dạy phải luôn có tinh thần học hỏi, tìm tòi sách vở, tài liệucũng như học hỏi các bạn đồng nghiệp thậm chí ngay cả đối với học sinh

Trên đây là những đánh giá mang tính chất chủ quan dựa vào quá trình tự mày

mò tìm hiểu và đã trải qua quá trình thực nghiệm giảng dạy thực tế Với khả năng vàtrình độ có hạn, chắc chắn còn nhiều thiếu sót Rất mong sự đóng góp chân thành củaquí bạn đọc đặc biệt là các bạn đồng nghiệp để đề tài có những cải tiến tốt hơn !

Hậu Lộc, ngày 20/03/2018

Người viết

Lê Thị Dung

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1> Sách giáo khoa Toán lớp 8, lớp 9

2> Sách tham khảo :

a Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS

b Nâng cao và phát triển Toán 8, 9

c Một số phương pháp giải các bài toán sơ cấp

d Tuyển chọn các bài toán thi học sinh giỏi Toán THCS

e Tạp chí Toán học tuổi thơ; Toán học tuổi trẻ

Phương pháp 1: Phương trình đưa về phương trình tích 3