Chuyên đề 5Hàm Số Lũy Thừa... Chứng minh rằng abca+b+c3 ≤ aabbcc.. Từ đó ta có bất đảng thức cần chứng minh.. Hàm Số Lũy Thừa... Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ Bài tập 5.18... Vì f0x
Trang 1Chuyên đề 5
Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm
Số Lôgarit
§1 Lũy Thừa
Bài tập 5.1 Tính giá trị các luỹ thừa sau:
a) (0, 04)−1,5− (0, 125)−2 b) 1
16
−0,75
+ 1 8
− 4
c) 272 + 1
16
−0,75
− 250,5 d) (−0, 5)−4− 6250,25−
21 4
−1 1
e) 81−0,75+
1 125
− 1
− 1 32
− 3
2+ √ 7
22+ √
7.51+
√
7 g) 42
√
3− 4
√ 3−1.2−2
√
6
q
25 + 4√
6 − 3 q
1 + 2√ 6
3
q
1 − 2√ 6
Lời giải
a) (0, 04)−1,5− (0, 125)−2 = 1
25
− 3
− 1 8
− 2
= 5−2−
3
− 2−3− 2
= 53− 22= 121
b) 1
16
−0,75
+ 1 8
− 4
= 2−4− 3
+ 2−3− 4
= 23+ 24= 24
c) 272 + 1
16
−0,75
− 250,5= 33
2
+ 2−4−
3
− 521
= 32+ 23− 5 = 12
d) (−0, 5)−4− 6250,25−
21 4
−1 1
=
−1 2
−4
− 541
− 9 4
− 3
= 24− 5 − 2
3
3
= 289
27 .
e) 81−0,75+
1 125
− 1
− 1 32
− 3
= 34− 3
+ 5−3− 1
− 2−5− 3
= 3−3+ 5 − 23= −80
27.
f) 10
2+ √
7
22+ √
7.51+ √
7 = 2
2+ √
7.52+
√ 7
22+ √
7.51+ √
7 = 5(2+
√ 7)−(1+ √ 7)= 5
g) 42
√
3− 4
√ 3−1.2−2
√
3=24
√
3− 22 √ 3−2.2−2
√
3= 24
√ 3−2 √
3− 22 √ 3−2−2 √
3= 22
√
3−1
4.
h)
6
q
25 + 4√
6 − 3 q
1 + 2√ 6
3
q
1 − 2√
6 = 6
r
1 + 2√
6
2
− 3 q
1 + 2√ 6
!
3
q
1 − 2√
6 = 0
Bài tập 5.2 Rút gọn các biểu thức sau:
a) x
5
y + xy5
4
√
x +√4
a1√
b + b1√
a
6
√
a +√6
b .
c)
√
a −√
b
4
√
a −√4
b−
√
a +√4
ab
4
√
a +√4
b .
d) a − b
3
√
a −√3
b − a + b
3
√
a +√3
b.
e)
a2 √
3− 1 a2 √
3+ a
√
3+ a3 √
3
a4 √
3− a√3 f)
a + b
3
√
a +√3
b −√3
ab
:√3
a −√3
b
2
g) a − 1
a3 + a1.
√
a +√4
a
√
a + 1 .a
1
3
a1
!2
a1 − b1
a1 +
b1
a1 − b1
!− 2
Trang 2
Lời giải.
a) x
5
y + xy5
4
√
x +√4
y =
x.x1y + xy.y1
x1 + y1 =
xyx1 + y1
x1 + y1 = xy.
b) a
1√
b + b1√
a
6
√
a +√6
b =
a1b1 + b1a1
a1 + b1 =
a1b1b1 + b1a1a1
a1+ b1 =
a1b1 b1 + a1
a1 + b1 = a
1
b1 =√3 ab
c)
√
a −√
b
4
√
a −√4
b−
√
a +√4
ab
4
√
a +√4
b =
4
√
a −√4
b √4
a +√4
b
4
√
a −√4
4
√
a√4
a +√4
b
4
√
a +√4
b =
4
√
a +√4
b −√4
a =√4 b
d) a − b
3
√
a −√3
b − a + b
3
√
a +√3
b =
3
√
a −√3
b √3
a2+√3
ab +√3
b2
3
√
a −√3
3
√
a +√3
b √3
a2−√3
ab +√3
b2
3
√
a +√3
3
√ ab
e)
a2
√
3− 1 a2
√
3+ a
√
3+ a3
√
3
a4 √
3− a√3 =
a
√
3− 1 a
√
3+ 1a
√
3a
√
3+ 1 + a2
√
3
a
√
3a
√
3− 1 a2 √
3+ a
√
3+ 1
= a
√
3+ 1
f)
a + b
3
√
a +√3
b−√3
ab
:√3
a −√3
b
2
=
3
√
a +√3
b √3
a2−√3
ab +√3
b2
3
√
a +√3
b −√3
ab
:√3
a −√3
b
2
= 1
g) a − 1
a3 + a1.
√
a +√4
a
√
a + 1 .a
1
+ 1 = (
√
a − 1) (√
a + 1)
√
a (√4
a + 1) .
4
√
a (√4
a + 1)
√
a + 1 .
4
√
a + 1 =√
a
h) a + b
3
a1
!2
a1 − b1
a1 +
b1
a1 − b1
!− 2
=
√
a3+√
b3
√
a .
√
a (a − b)
√
a3+√
b3
!2
= (a − b)2
Bài tập 5.3 Hãy so sánh các cặp số sau
a) √3
10 và √5
13 và √5
23
c) 3600 và 5400 d) √3
7 +√
15 và√
10 +√3
28
Lời giải
a) Ta có:√3
10 >√3
8 = 2 và √5
20 <√5
32 = 2 Do đó √3
10 >√5
20
b) Ta có: √4
13 = 20√
371293 và √5
23 = 20√
279841 Do đó√4
13 >√5
23
c) Ta có: 3600= 27200 và 5400= 25200 Do đó 3600> 5400
d) Ta có: √3
7 +√
15 <√3
8 +√
16 = 6 và√
10 +√3
28 >√
9 +√3
27 = 6 Do đó: √3
7 +√
15 <√
10 +√3
28
Bài tập 5.4 Tính A =pa + b + c + 2√
ab + bc +pa + b + c − 2√
ab + bc, (a, b, c > 0, a + c > b)
Lời giải Ta có: A =
r
√
a + c +√
b
2
+
r
√
a + c −√
b
2
= 2√
a + c
§2 Lôgarit
Bài tập 5.5 Tính
a) log3√4
3 b) 2log27log 1000 c) log258.log85
d) log 45 − 2 log 3 e) 3log2log416 + log12 f) log248 −1
3log227
g) 5 ln e−1+ 4 ln e2√
e h) log 72 − 2 log25627 + log√
108 i) log 0, 375 − 2 log√
0, 5625
Lời giải
a) log3√4
3 = log331
b) 2log27log 1000 = 2log33log 103=2
3log33 = 2
3 c) log258.log85 = log528.log85 = 12log58.log85 = 12
d) log 45 − 2 log 3 = log 45 − log 9 = log45
9 = log 5
e) 3log2log416 + log12 = 3log2log442+ log2−12 = 3log22 − log22 = 2
f) log248 −13log227 = log248 − log23 = log2483 = log216 = 4
g) 5 ln e−1+ 4 ln e2√
e = −5 ln e + 4 ln e5
= −5 + 10 ln e = 5
h) log 72 − 2 log25627 + log√
108 = log (8.9) − 2 (log 27 − log 256) +12log(4.27) = 20 log 2 −52log 3
i) log 0, 375 − 2 log√
0, 5625 = log3
8− log 9
18 = log2
3 Bài tập 5.6 Đơn giản biểu thức
a) log24 + log2
√ 10 log220 + log28 . b)
log224 −12log272 log318 −13log372. c)
log72 + 1
log57
log 7
Trang 3d) loga a
2.√3
a.√5
a4
4
√ a
! e) log5log5 5
r
5
q .√5
5
| {z }
n dấu căn
f) 92log34+4log812 g) 161+log4 5+ 41log2 3+3log55 h)811−1log9 4+ 25log125 849log7 2 i) 72491log7 9−log76+ 5−log√5 4 Lời giải
a) log24 + log2
√ 10 log220 + log28 =
log2 4√
10 log2160 =
1
2log2160 log2160 =
1
2.
b) log224 −
1
2log272 log318 −13log372 =
log2(8.3) −12log2(8.9) log3(2.9) −13log3(9.8) =
3 2 4 3
=9
8.
c)
log72 + 1
log57
log 7 = log 7.log72 + log 7.log75 = log 2 + log 5 = 1
d) loga a
2.√3
a.√5
a4
4
√ a
!
= logaa
47
a1 = logaa
173
60 =173
60.
e) log5log5 5
r
5
q .√5 5
| {z }
n dấu căn
= log5log555n1 = log5 1
5n = −n
f) 92log3 4+4log812= 9log3 16+log32= 9log3 32= 3log3 322
= 1024
g) 161+log4 5+ 41log2 3+3log55= 16.16log4 5+ 2log2 3.43= 16 4log4 52
+ 3.64 = 448
h) 811−1log9 4+ 25log125 849log7 2= 81
1
811log9 4 + 25log5 2
!
7log7 22
= 3
4+ 4
4 = 19
i) 72491log7 9−log76+ 5−log√5 4= 72 7log79
49log7 6+ 1
5log516
= 72 9
36 +
1 16
= 45
2 .
Bài tập 5.7 So sánh các cặp số sau:
a) log365 và log356 b) log1e và log1π c) log210 và log530.
d) log53 và log0,32 e) log35 và log74 f) log310 và log857
Lời giải
a) Vì 6
5 >
5
6 và 3 > 1 nên log3
6
5 > log3
5
6. b) Vì e < π và 1
2 < 1 nên log1e > log1π.
c) Ta có: log210 > log28 = 3 và log530 < log5125 = 3 Do đó log28 > log530
d) Ta có: log53 > log51 = 0 và log0.32 < log0.31 = 0 Do đó log53 > log0.32
e) Ta có: log35 > log33 = 1 và log74 < log77 = 1 Do đó log35 > log74
f) Ta có: log310 > log39 = 2 và log857 < log864 = 2 Do đó log310 > log857
Bài tập 5.8 Tính log41250 theo a, biết a = log25
Lời giải Ta có: log41250 = 12log2 2.54 = 1
2(1 + 4log25) = 12(1 + 4a)
Bài tập 5.9 Tính log54168 theo a, b, biết a = log712, b = log1224
Lời giải Ta có: log54168 = log7168
log754 =
log7(3.7.23) log7(2.33) =
log73 + 1 + 3log72 log72 + 3log73 . Lại có:
a = log712
ab = log724 ⇔
a = log7(22.3)
ab = log7(23.3) ⇔
a = 2log72 + log73
ab = 3log72 + log73 ⇔
log72 = ab − a log73 = 3a − 2ab .
Từ đó ta có: log54168 = 3a − 2ab + 1 + 3(ab − a)
ab − a + 3(3a − 2ab) =
ab + 1 a(8 − 5b).
Bài tập 5.10 Tính log14063 theo a, b, c, biết a = log23, b = log35, c = log72
Lời giải Ta có: log14063 = log263
log2140 =
log2(9.7) log2(4.5.7) =
2log23 + log27
2 + log25 + log27 =
2log23 + log27
2 + log23.log35 + log27. Theo giả thiết a = log23, b = log35, c = log72, do đó: log14063 = 2a +
1 c
2 + ab +1
c
= 2ac + 1 2c + abc + 1.
Bài tập 5.11 Tính log√ 3
25135 theo a, b, biết a = log475, b = log845
Trang 4Lời giải Ta có: log√ 3
25135 = 3
2.log5135 =
3
2.
log2135 log25 =
3
2.
log2(27.5) log25 =
3
2.
3log23 + log25 log25 . Lại có:
a = log475
b = log845 ⇔
a = 12log2(3.25)
b = 13log2(9.5) ⇔
a = 12log23 + log25
b = 23log23 + 13log25 ⇔
log23 = 2b −23a log25 = 43a − b .
Do đó: log√ 3
25135 = 3
2
3 2b −23a +4
3a − b
4
3a − b =
3
2.
15b − 2a 4a − 3b.
Bài tập 5.12 Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log1218, b = log2454
Lời giải Ta có: a = log1218 = log218
log212 =
1 + 2log23
2 + log23 ⇒ log23 = 2a − 1
2 − a.
Và b = log2454 = log254
log224 =
1 + 3log23
3 + log23 ⇒ log23 = 3a − 1
3 − a.
Do đó: 2a − 1
2 − a =
3b − 1
3 − b ⇔ (2a − 1) (3 − b) = (2 − a) (3b − 1) ⇔ ab + 5 (a − b) = 1 (đpcm)
Bài tập 5.13 Cho y = 101−log x1 , z = 101−log y1 Chứng minh rằng x = 101−log z1
Lời giải Ta có: z = 101−log y1 ⇔ log z = 1
1 − log y ⇔ log y = 1 − 1
log z =
log z − 1 log z . Lại có: y = 101−log x1 ⇔ log y = 1
1 − log x ⇔ log x = 1 − 1
log y = 1 −
log z log z − 1 =
1
1 − log z ⇔ x = 101−log z1 (đpcm) Bài tập 5.14 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng (abc)a+b+c3 ≤ aabbcc
Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
lnh(abc)a+b+c3
i
≤ ln aabbcc ⇔ a + b + c
3 (ln a + ln b + ln c) ≤ a ln a + b ln b + c ln c
⇔ 3(a ln a + b ln b + c ln c) ≥ a ln a + a ln b + a ln c + b ln a + b ln b + b ln c + c ln a + c ln b + c ln c
⇔ (a ln a + b ln b − a ln b − b ln a) + (b ln b + c ln c − b ln c − c ln b) + (c ln c + a ln a − c ln a − a ln c) ≥ 0
⇔ (a − b)(ln a − ln b) + (b − c)(ln b − ln c) + (c − a)(ln c − ln a) ≥ 0
Xét hàm số y = ln x đồng biến trên (0; +∞) nên với mọi x, y > 0 ta có: (x − y)(ln x − ln y) ≥ 0
Từ đó ta có bất đảng thức cần chứng minh
§3 Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Bài tập 5.15 Tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y = x2− 2−2
b) y = 2 − x22
c) y = x2− x − 2
√ 2
d) y = log2(5 − 2x) e) y = log3 x2− 2x f) y = log0,43x+21−x
Lời giải
a) D = R\±√2 b) D = −√
2;√ 2 c) D = (−1; 2)
d) D = −∞;5
2 e) D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞) f) D = −2
3; 1
Bài tập 5.16 Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = 3x2− 4x + 1
√ 2
b) y = 3x2− ln x + 4 sin x c) y = 2xex+ 3 sin 2x
d) y = log x2+ x + 1 e) y = ln1+eexx f) y = x2−1
4 e2x g) y = e4x+ 1 − ln xπ h) y = 2 ln x+14 ln x−5 i) y = ln 2ex+ ln x2+ 3x + 5 Lời giải
a) y0=√
2 (6x − 4) 3x2− 4x + 1
√ 2−1
b) y0= 6x −1x+ 4 cos x
c) y0= 2ex+ 2xex+ 6 cos 2x
d) y0= 2x + 1
(x2+ x + 1) ln 10.
e) y = x − ln (1 + ex) ⇒ y0 = 1 − e
x
1 + ex = 1
1 + ex f) y0= 1
2e
2x+ 2 x
2 −1 4
e2x= xe2x g) y0= π 4e4x−1
x
π−1
Trang 5
h) y0 =
2
x(4 ln x − 5) −4x(2 ln x + 1)
(4 ln x − 5)2 = −
14 x(4 ln x − 5)2. i) y0 = 2e
x+ 2x+3
x 2 +3x+5
2ex+ ln (x2+ 3x + 5)= −
2ex x2+ 3x + 5 + 2x + 3 (x2+ 3x + 5) (2ex+ ln (x2+ 3x + 5)). Bài tập 5.17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) y = x − e2x trên [0; 1] b) y = e2x− 2extrên [−1; 2] c) y = (x + 1) ex trên [−1; 2]
d) y = ln 3 + 2x − x2 trên [0; 2] e) y = ln 4 − 3x2− x4 f) y = x2− ln (1 − 2x) trên [−2; 0] g) y = x2e−x trên [0; ln 8] h) y = x2ln x trên [1; e] i) y = 5x+ 51−x trên [0; log58] Lời giải
a) Ta có: y0= 1 − 2ex; y0= 0 ⇔ x = ln12 (loại)
Lại có: y(0) = −1; y(1) = 1 − e2 Vậy max
[0;1]
y = y(0) = −1; min
[0;1]
y = y(1) = 1 − e2 b) Ta có: y0= 2e2x− 2ex; y0 = 0 ⇔ x = 0 (thảo mãn)
Lại có: y(−1) = e−2− 2e−1; y(2) = e4− 2e2; y(0) = −1 Vậy max
[−1;2]y = y(2) = e4− 2e2; min
[−1;2]y = y(0) = −1 c) Ta có: y0= (x + 2)ex; y0= 0 ⇔ x = −2 (loại)
Lại có: y(−1) = 0; y(2) = 3e2 Vậy max
[−1;2]y = y(2) = 3e2; min
[−1;2]y = y(−1) = 0
d) Ta có: y0= 2 − 2x
3 + 2x − x2; y0= 0 ⇔ x = 1 (thảo mãn)
Lại có: y(0) = ln 2; y(2) = ln 3; y(1) = ln 4 Vậy max
[0;2]
y = y(1) = ln 4; min
[0;2]
y = y(0) = y(2) = ln 3
e) Tập xác định: D = (−1; 1) Ta có: y0= −6x − 4x3
4 − 3x2− x4; y0 = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn)
Vậy ta có max
D y = y(0) = ln 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất
f) Ta có: y0= 2x + 2
1 − 2x; y
0= 0 ⇔
x = 1(loại)
x = −12 . Lại có: y(−2) = 4 − ln 5; y(0) = 0; y −12 = 1
4− ln 2 Vậy max
[−2;0]
y = y(−2) = 4 − ln 5; min
[−2;0]
y = y(0) = 0
g) Ta có: y0= 2xe−x− x2e−x; y0= 0 ⇔
x = 0
x = 2 (thỏa mãn).
Lại có: y(0) = 0; y(ln 8) = −ln88; y(2) = 4e−2 Vậy max
[0;ln 8]y = y(2) = 4e−2; min
[0;ln 8]y = y(ln 8) = −ln828 h) Ta có: y0= 2x ln x + x; y0= 0 ⇔
x = 0
x = √1 e
(loại)
Lại có: y(1) = 0; y(e) = e2 Vậy max
[1;e]y = y(e) = e2; min
[1;e]y = y(1) = 0
i) Ta có: y0 = 5xln 5 − 51−xln 5; y0 = 0 ⇔ x = 12 (thỏa mãn)
Lại có: y(0) = 6; y (log58) = 698; y 12 = 2√5 Vậy max
[0;log58]
y = y (log58) = 698; min
[0;log58]
y = y 12 = 2√5
§4 Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ
Bài tập 5.18 Giải các phương trình sau
a) 22x−1= 3 b) 2x 2 −x= 4
c) 2x 2 −x+8= 41−3x d) 3x.2x+1= 72
e) 32x−1+ 32x= 108 f) 2x+ 2x+1+ 2x+2= 3x+ 3x−1+ 3x−2
g) 3 + 2√
2x+1= 3 − 2√
22x+8 h) 5 − 2√
6x
2 −3x+2
− 5 + 2√6
1−x2
2 = 0
Lời giải
a) 22x−1= 3 ⇔ 2x − 1 = log23 ⇔ x = 12+12log23
b) 2x2−x= 4 ⇔ x2− x = 2 ⇔
x = 2
x = −1 .
c) 2x2−x+8= 41−3x⇔ 2x2−x+8 = 22−6x⇔ x2− x + 8 = 2 − 6x ⇔ x2+ 5x + 6 = 0 ⇔
x = −2
x = −3 . d) 3x.2x+1= 72 ⇔ 3x.2x.2 = 72 ⇔ 6x= 36 ⇔ x = 2
e) 32x−1+ 32x= 108 ⇔ 32x.13+ 32x= 108 ⇔ 43.32x= 108 ⇔ 32x= 81 ⇔ x = 2
f) Phương trình tương đương 2x+ 2.2x+ 4.2x= 3x+13.3x+19.3x⇔ 7.2x= 139.3x⇔ 2
3
x
=1363 ⇔ x = log2 13
63 g) 3 + 2√
2x+1= 3 − 2√
22x+8⇔ 3 + 2√2x+1= 3 + 2√
2−2x−8⇔ x + 1 = −2x − 8 ⇔ x = −3
h) Phương trình tương đương 5 − 2√
6x
2 −3x+2
= 5 − 2√
6
x2 −1
2 ⇔ x2− 3x + 2 = x2−1
2 ⇔
x = 1
x = 5 .
Trang 6Bài tập 5.19 Giải các bất phương trình sau
a) 2−x2+3x< 4 b) 3x+2+ 3x−1≤ 28
c) 2x+2− 2x+3− 2x+4> 5x+1− 5x+2 d) 2x+ 2x+1+ 2x+2< 3x+ 3x−1+ 3x−2
e) x2x−1< xx2 f) √
5 + 2x−1≥ √5 − 2
x−1
g) 32x+5 > 0, 25.128x+17x−3 h) 2x2.7x2+1< 7.142x2−4x+3
Lời giải
a) 2−x2+3x< 4 ⇔ −x2+ 3x < 2 ⇔ 1 < x < 2
b) 3x+2+ 3x−1≤ 28 ⇔ 9.3x+1
3.3x≤ 28 ⇔ 28
3.3x≤ 28 ⇔ x ≤ 1
c) 2x+2−2x+3−2x+4> 5x+1−5x+2⇔ 4.2x−8.2x−16.2x> 5.5x−25.5x⇔ −20.2x> −20.5x⇔ 2
5
x
< 1 ⇔ x > 0 d) Bất PT tương đương 2x+ 2.2x+ 4.2x< 3x+13.3x+19.3x⇔ 7.2x< 139.3x⇔ 2
3
x
<1363 ⇔ x > log2 13
63 e) Điều kiện x > 0; x 6= 1 Khi đó x2x−1< xx2 ⇔ (x − 1) 2x − 1 − x2 < 0 ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1
f) Bất PT tương đương √
5 + 2x−1
≥ √5 + 21−x
⇔ x − 1 ≥ 1−x
x+1 ⇔ x2+x−2
x+1 ≥ 0 ⇔
−2 ≤ x < −1
x ≥ 1 .
g) Bất PT tương đương 25x+25x−1 > 25x+125x−3 ⇔ 5x+25
x−1 >5x+125x−3 ⇔ −110x+50
(x−1)(x−3) > 0 ⇔
x < 115
1 < x < 3 .
h) 2x 2
.7x 2 +1< 7.142x 2 −4x+3⇔ 14x 2
< 142x 2 −4x+3⇔ x2< 2x2− 4x + 3 ⇔
x > 3
x < 1 .
Bài tập 5.20 Giải các phương trình sau
a) 64x− 8x− 56 = 0 b) (TN-08) 32x+1− 9.3x+ 6 = 0
c) 22+x− 22−x= 15 d) (TN-07) 7x+ 2.71−x− 9 = 0
e) (D-03) 2x 2 −x− 22+x−x 2
= 3 f) 32x+1= 3x+2+√
1 − 6.3x+ 32(x+1) Lời giải
a) 64x− 8x− 56 = 0 ⇔
8x= 8
8x= −7(vô nghiệm) ⇔ x = 1
b) 32x+1− 9.3x+ 6 = 0 ⇔ 3.32x− 9.3x+ 6 = 0 ⇔
3x= 1
3x= 2 ⇔
x = 0
x = log32 . c) 22+x− 22−x= 15 ⇔ 4.2x− 4
2 x = 15 ⇔ 4.22x− 15.2x− 4 = 0 ⇔
2x= 4
2x= −14(vô nghiệm) ⇔ x = 2
d) 7x+ 2.71−x− 9 = 0 ⇔ 7x+714x − 9 = 0 ⇔ 72x− 9.7x+ 14 = 0 ⇔
7x= 7
7x= 2 ⇔
x = 1
x = log72 . e) PT ⇔ 2x2−x− 4
2 x2 −x = 3 ⇔ 4x2−x−3.2x 2 −x−4 = 0 ⇔
"
2x2−x= 4
2x2−x= −1 ⇔ x2−x = 2 ⇔
x = 2
x = −1(vô nghiệm) . f) Đặt 3x= t, t > 0 Phương trình trở thành: 3t2= 9t +√
9t2− 6t + 1 ⇔ 3t2− 9t = |3t − 1| (1)
Với t ≥1
3, ta có: (1) ⇔ 3t2− 9t = 3t − 1 ⇔
"
t = 6+
√ 33 3
t = 6−
√ 33
3 (loại) ⇒ 3x= 6+ √
33
3 ⇔ x = log36+ √
33
3 Với 0 < t < 1
3, ta có: (1) ⇔ 3t2− 9t = −3t + 1 ⇔ t = 3±2 √
3
3 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = log36+
√ 33
3 Bài tập 5.21 Giải các bất phương trình sau
a) 4x− 3.2x+ 2 > 0 b) 32.4x+ 1 < 18.2x
c) 5x+ 51−x> 6 d) 2 +√
3x+ 2 −√
3x> 4
Lời giải
a) 4x− 3.2x+ 2 > 0 ⇔
2x> 2
2x< 1 ⇔
x > 1
x < 0 . b) 32.4x+ 1 < 18.2x⇔ 1
16< 2x< 12 ⇔ −4 < x < −1
c) 5x+ 51−x> 6 ⇔ 5x+55x > 6 ⇔ 52x− 6.5x+ 5 > 0 ⇔
5x> 5
5x< 1 ⇔
x > 1
x < 0 .
d) BPT ⇔ 2 +√
32x
− 4 2 +√3x
+ 1 > 0 ⇔
2 +√
3x> 2 +√
3
2 +√
3x< 2 −√
3 ⇔
x > 1
x < −1 .
Bài tập 5.22 Giải các phương trình sau
a) 5 − 2√
6x
+ 5 + 2√
6x
= 10 b) (B-07) √
2 − 1x
+ √
2 + 1x
− 2√2 = 0
c) 7 + 3√
5x+ 5 7 − 3√
5x= 6.2x d)p5 + 2√
6
x
+p5 − 2√
6
x
= 10
e) 7 + 4√
3x
− 3 2 −√3x
+ 2 = 0 f) 26 + 15√
3x
+ 2 7 + 4√
3x
− 2 2 −√3x
= 1
Trang 7Lời giải.
a) PT ⇔ 5 − 2√
62x
− 10 5 − 2√6x
+ 1 = 0 ⇔
5 − 2√
6x
= 5 + 2√
6
5 − 2√
6x= 5 − 2√
6 ⇔
x = −1
x = 1 .
b) PT ⇔ √
2 − 12x
− 2√2 √
2 − 1x
+ 1 = 0 ⇔
√
2 − 1x
=√
2 + 1
√
2 − 1x=√
2 − 1 ⇔
x = −1
x = 1 .
c) PT ⇔7+3
√ 5 2
x
+ 5.7−3
√ 5 2
x
= 6 ⇔7+3
√ 5 2
2x
− 6.7+3 √
5 2
x
+ 5 = 0 ⇔
"
x = log27+3
√ 5 2
x = log37+3
√ 5 2
d) PT ⇔p5 + 2√
6
2x
− 10.p5 + 2√
6
x
+ 1 = 0 ⇔
p
5 + 2√
6
x
= 5 + 2√
6
p
5 + 2√
6
x
= 5 − 2√
6
⇔
x = 2
x = −2 .
e) PT ⇔ 7 + 4√
3x
− 3 2 −√3x
+ 2 = 0 ⇔ 2 +√
33x
+ 2 2 +√
3x
− 3 = 0 ⇔ 2 +√3x
= 1 ⇔ x = 0 f) PT ⇔ 2 +√
34x
+ 2 2 +√
33x
− 2 +√3x
− 2 = 0 ⇔ 2 +√
3x
+ 2 2 +√
33x
− 1= 0 ⇔ x = 0 Bài tập 5.23 Giải các phương trình sau
a) 3.4x− 2.6x= 9x b) 2.16x+1+ 3.81x+1= 5.36x+1
c) 4x+
√
x 2 −2− 5.2x−1+ √
x 2 −2− 6 = 0 d) 5.2x= 7√
10x− 2.5x e) 27x+ 12x= 2.8x f) (A-06) 3.8x+ 4.12x− 18x− 2.27x= 0
Lời giải
a) 3.4x− 2.6x= 9x⇔ 3 2
3
2x
− 2 2 3
x
− 1 = 0 ⇔
2 3
x
= 1
2 3
x
= −13(vô nghiệm) ⇔ x = 0
b) 2.16x+1+ 3.81x+1= 5.36x+1⇔ 2 16
81
x+1
− 5 4 9
x+1
+ 3 = 0 ⇔
"
4 9
x+1
= 1
4 9
x+1
=32 ⇔
x = −1
x = −32 . c) Ta có phương trình tương đương
4x+
√
x 2 −2−5
2.2
x+ √
x 2 −2− 6 = 0 ⇔
"
2x+
√
x 2 −2= 4
2x+ √
x 2 −2= −32 ⇔ x +px2− 2 = 2
⇔
x ≤ 2
x2− 2 = x2− 4x + 4 ⇔ x =
3 2
d) 5.2x= 7√
10x− 2.5x⇔ 5 2
5
x
− 7.q2
5
x
+ 2 = 0 ⇔
q
2 5
x
= 1
q
2 5
x
=25
⇔
x = 0
x = 2 .
e) 27x+ 12x= 2.8x⇔ 3
2
3x
+ 32x
− 2 = 0 ⇔ 3
2
x
= 1 ⇔ x = 0
f) 3.8x+ 4.12x− 18x− 2.27x= 0 ⇔ 3 233x+ 4 232x− 2
3
x
− 2 = 0 ⇔
2 3
x
= 2 3 2 3
x
= −1 ⇔ x = 1
Bài tập 5.24 Giải các bất phương trình sau
a) 27x+ 12x< 2.8x b) 252x−x2+1+ 92x−x2+1≥ 34.152x−x2
c) 9x1 − 13.6x1−1+ 41x < 0 d)√
9x− 3x+1+ 2 > 3x− 9
e) 52x −54−5x+1x+6 ≤ 1 f) 52x+14−7.5−12.5xx +4 ≤ 2
3 Lời giải
a) 27x+ 12x< 2.8x⇔ 3
2
3x
+ 32x
− 2 < 0 ⇔ 3
2
x
< 1 ⇔ x < 0
b) PT ⇔ 25 2592x−x 2
− 34 5 3
2x−x 2
+ 9 ≥ 0 ⇔
"
5 3
2x−x 2
≥ 1
5 3
2x−x2
≤ 9 25
⇔
2x − x2≥ 0 2x − x2≤ −2 ⇔
0 ≤ x ≤ 2
x ≥ 1 +√
3
x ≤ 1 −√
3
c) 9x1 − 13.6x1−1+ 41x < 0 ⇔ 94
1
x−13
6 32
1
x + 1 < 0 ⇔ 23 < 32
1
x < 32⇔ −1 < 1
x < 1 ⇔
x > 1
x < −1 .
d) BPT ⇔
3x− 9 < 0
9x− 3.3x+ 2 ≥ 0
3x− 9 ≥ 0
9x− 3.3x+ 2 > 9x− 18.3x+ 81
⇔
x < 2
0 ≤ x ≤ log32
x ≥ 2
x > log37915
⇔
0 ≤ x ≤ log32
x ≥ 2 .
e) 4 − 5
x
52x− 5x+1+ 6 ≤ 1 ⇔ −5
2x− 6.5x− 2
52x− 5.5x+ 6 ≤ 0 ⇔
5x≤ −3 −√7
−3 +√7 ≤ 5x< 2
5x> 3
⇔
5x< 2
5x> 3 ⇔
x < log52
x > log53 . f) 4 − 7.5
x
52x+1− 12.5x+ 4 ≤2
3 ⇔ −10.5
2x+ 3.5x+ 4 5.52x− 12.5x+ 4 ≤ 0 ⇔
5x≤ −1 2 2
5< 5x≤ 4
5
5x> 2
⇔
log5 < x < log5
x > log52 .
Trang 8Bài tập 5.25 Giải các phương trình sau
a) 12 + 6x= 4.3x+ 3.2x b) 52x+1+ 7x+1− 175x− 35 = 0
c) 2x2−5x+6+ 21−x2 = 2.26−5x+ 1 d) (D-06) 2x2+x− 4.2x2−x− 22x+ 4 = 0
e) 4x2+x+ 21−x2= 2(x+1)2+ 1 f) x2.2x−1+ 2|x−3|+6= x2.2|x−3|+4+ 2x+1
Lời giải
a) PT ⇔ 4 (3 − 3x) + 2x(3x− 3) = 0 ⇔ (3x− 3) (2x− 4) = 0 ⇔
3x= 3
2x= 4 ⇔
x = 1
x = 2 .
b) PT ⇔ 52x(5 − 7x) + 7 (7x− 5) = 0 ⇔ (7x− 5) 7 − 52x = 0 ⇔
7x= 5
52x= 7 ⇔
x = log75
x = 1
2log57 . c) PT ⇔ 2x2−5x+61 − 21−x2+ 21−x2− 1 = 0 ⇔1 − 21−x2 2x2−5x+6− 1= 0 ⇔
x = ±1
x = 2
x = 3
d) PT ⇔ 22x2x 2 −x− 1− 42x 2 −x− 1= 0 ⇔2x 2 −x− 1 22x− 1 = 0 ⇔
2x 2 −x= 1
22x= 1 ⇔
x = 0
x = 1 .
e) PT ⇔ 4x 2 +x1 − 21−x 2
+ 21−x 2
− 1 = 0 ⇔1 − 21−x 2
4x 2 +x− 1= 0 ⇔
"
21−x2= 1
4x 2 +x= 1 ⇔
x = ±1
x = 0 .
f) PT ⇔ x2 2x−1− 2|x−3|+4 + 4 2|x−3|+4− 2x−1 = 0 ⇔ 2x−1− 2|x−3|+4
x2− 4 = 0 ⇔
x = ±2
x = 4 .
Bài tập 5.26 Giải các bất phương trình sau
a) 12 + 6x> 4.3x+ 3.2x b) 4x 2 +x+ 21−x2 ≥ 2(x+1) 2
+ 1
c) 52x+1+ 6x+1> 30 + 5x.30x d) 52x−10−3 √
x−2− 4.5x−5< 51+3 √
x−2 Lời giải
a) BPT ⇔ 4 (3 − 3x) + 2x(3x− 3) > 0 ⇔ (3x− 3) (2x− 4) > 0 ⇔
3x− 3 > 0
2x− 4 > 0
3x− 3 < 0
2x− 4 < 0
⇔
x > 2
x < 1 .
b) BPT ⇔ 4x2+x1 − 21−x2+21−x2−1 ≥ 0 ⇔1 − 21−x2 4x2+x− 1≥ 0 ⇔
(
21−x2≤ 1
4x 2 +x≥ 1 (
21−x2≥ 1
4x2+x≤ 1
⇔
x ≥ 1
x ≤ 0 .
c) BPT ⇔ 52x(5 − 6x) + 6 (6x− 5) > 0 ⇔ (5 − 6x) 52x− 6 > 0 ⇔
6x< 5
52x> 6
6x> 5
52x< 6
⇔ 1
2log56 < x < log65 d) Ta có bất phương trình tương đương
52(x−5−3
√ x−2) − 4.5x−5−3 √
x−2− 5 < 0 ⇔ 5x−5−3 √
x−2< 5 ⇔ 3√
x − 2 > x − 6
⇔
x < 6
x ≥ 2
x ≥ 6 9x − 18 > (x − 6)2
⇔
2 ≤ x < 6
6 ≤ x < 18 ⇔ 2 ≤ x ≤ 18
Bài tập 5.27 Giải các phương trình sau
a) 3x= 11 − x b) 2x= x + 1
c) 3x+ 4x= 5x d) 1 + 8x2 = 3x
e) 5x 2 −2x+2+ 4x 2 −2x+3+ 3x 2 −2x+4= 48 f) 2
√ 3−x= −x2+ 8x − 14
Lời giải
a) Ta có y = 3x là hàm số đồng biến trên R còn y = 11 − x là hàm số nghịch biến trên R
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
b) Ta có phương trình tương đương 2x− x − 1 = 0
Xét hàm số f (x) = 2x− x − 1 có f0(x) = 2xln 2 − 1; f0(x) = 0 ⇔ log2 1
ln 2
Vì f0(x) có một nghiệm nên f (x) có tối đa hai nghiệm
Hơn nữa f (0) = f (1) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 0
c) Ta có phương trình tương đương 35x
+ 45x
= 1
Lại có y = 3
5
x
+ 4 5
x
là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Trang 9d) Ta có phương trình tương đương 1
3
x
+2
√ 2 3
x
= 1
Lại có y = 13x+2
√ 2 3
x
là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
e) Đặt x2− 2x + 2 = t, phương trình trở thành 5t+ 4.4t+ 9.3t= 48 (∗)
Ta có y = 5t+ 4.4t+ 9.3tlà hàm số đồng biến trên R còn y = 1 là hàm hằng
Do đó phương trình (∗) có nghiệm duy nhất t = 1 Với t = 1 ⇒ x2− 2x + 2 = 1 ⇔ x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
f) Ta có phương trình tương đương x2− 8x + 2√3−x+ 14 = 0
Xét hàm số f (x) = x2− 8x + 2√3−x+ 14 trên (−∞; 3]
Ta có f0(x) = 2x − 8 −2
√ 3−x ln 2
2 √ 3−x < 0, ∀x < 3 nên f (x) nghịch biến trên (−∞; 3]
Lại có y = 0 là hàm hằng, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Bài tập 5.28 Giải các phương trình sau
a) 4x+ (2x − 17) 2x+ x2− 17x + 66 = 0 b) 9x+ 2 (x − 2) 3x+ 2x − 5 = 0
c) 9x2+ x2− 3 3x2− 2x2+ 2 = 0 d) 32x− (2x+ 9) 3x+ 9.2x= 0
Lời giải
a) Đặt 2x= t, t > 0, phương trình trở thành t2+ (2x − 17) t + x2− 17x + 66 = 0 (∗)
Ta có: ∆ = (2x − 17)2− 4 x2− 17x + 66 = 25 Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = 11 − x
t = 6 − x . Với t = 11 − x ⇒ 2x= 11 − x ⇔ x = 3; với t = 6 − x ⇒ 2x= 6 − x ⇔ x = 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và x = 2
b) Đặt 3x= t, t > 0, phương trình trở thành t2+ 2 (x − 2) t + 2x − 5 = 0 (∗)
Ta có: ∆0= (x − 2)2− (2x − 5) = (x − 3)2 Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = −1(loại)
t = 5 − 2x . Với t = 5 − 2x ⇒ 3x= 5 − 2x ⇔ x = 1 Vậy phương trình đã cho nghiệm duy nhất x = 1
c) Đặt 3x2 = t, t > 0, phương trình trở thành t2+ x2− 3 t − 2x2+ 2 = 0 (∗)
Ta có: ∆ = x2− 32
− 4 −2x2+ 2 = (x2+ 1)2 Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = 2
t = 1 − x2 Với t = 2 ⇒ 3x2 = 2 ⇔ x = ±plog32; với t = 1 − x2⇒ 3x2= 1 − x2⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0 và x = ±plog32
d) Đặt 3x= t, t > 0, phương trình trở thành t2− (2x+ 9) t + 9.2x= 0 (∗)
Ta có: ∆ = (2x+ 9)2− 36.2x= (2x− 9)2 Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = 9
t = 2x Với t = 9 ⇒ 3x= 9 ⇔ x = 2; với t = 2x⇒ 3x= 2x⇔ x = 0
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 0
Bài tập 5.29 Giải các phương trình sau
a) 22x−√2x+ 6 = 6 b) 32x+√
3x+ 7 = 7
c) 27x+ 2 = 3√3
3x+1− 2 d) 7x−1= 6log7(6x − 5) + 1
Lời giải
a) Đặt u =√
2x+ 6, u > 0, phương trình đã cho trở thành
(
22x− u = 6 (1)
u2− 2x= 6 (2). Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 22x− u2− u + 2x= 0 ⇔ (2x− u) (2x+ u + 1) = 0 ⇔ u = 2x
Với u = 2x⇒√2x+ 6 = 2x⇔ 4x− 2x− 6 = 0 ⇔
2x= 3
2x= −2(loại) ⇔ x = log23
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log23
b) Đặt u =√
3x+ 7, u > 0, phương trình đã cho trở thành
(
32x+ u = 7 (1)
u2− 3x= 7 (2). Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 32x− u2+ u + 2x= 0 ⇔ (3x+ u) (3x− u + 1) = 0 ⇔ u = 3x+ 1
Với u = 3x+ 1 ⇒√
3x+ 7 = 3x+ 1 ⇔ 9x+ 3x− 6 = 0 ⇔
3x= 2
3x= −3(loại) ⇔ x = log32
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log32
c) Đặt u = √3
3.3x− 2, u > 0, phương trình đã cho trở thành
(
33x+ 2 = 3u (1)
u3+ 2 = 3.3x (2). Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 33x− u3= 3u − 3.3x⇔ (3x− u) 32x + 3x.u + u2+ 3 = 0 ⇔ u = 3x
Với u = 3x⇒√3
3.3x− 2 = 3x⇔ 27x− 3.3x+ 2 = 0 ⇔
3x= 1
3x= −2(loại) ⇔ x = 0
Trang 10Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
d) Đặt u − 1 = log7(6x − 5), phương trình trở thành
(
7x−1= 6u − 5 (1)
7u−1 = 6x − 5 (2). Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 7x−1− 7u−1= 6u − 6x ⇔ 7x−1+ 6x = 7u−1+ 6u (∗)
Xét hàm số f (t) = 7t−1+ 6t trên R có f0(t) = 7t−1ln 7 + 6 > 0, ∀t ∈ R nên đồng biến trên R
Do đó (∗) ⇔ f (x) = f (u) ⇔ x = u ⇒ 7x−1= 6x − 5 ⇔ 7x−1− 6x + 5 = 0
Xét g(x) = 7x−1− 6x + 5 có g0(x) = 7x−1ln 7 − 6; g0(x) = 0 ⇔ x = 1 + log7ln 76
Vì g0(x) có một nghiệm nên g(x) có tối đa hai nghiệm
Nhận thấy g(1) = g(2) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2
Bài tập 5.30 Giải các phương trình sau
a) 2x2 = 3x b) 2x2−4= 3x−2
c) 5x.8x−1x = 500 d) 8x+2x = 4.34−x
Lời giải
a) 2x2 = 3x⇔ x2= xlog23 ⇔ x (x − log23) = 0 ⇔
x = 0
x = log23 . b) 2x2−4= 3x−2⇔ x2− 4 = (x − 2) log23 ⇔ (x − 2) (x + 2 − log23) = 0 ⇔
x = 2
x = −2 + log23 . c) 5x.8x−1x = 500 ⇔ 5x−3.2x−3x = 1 ⇔ x − 3 +x−3
x log52 = 0 ⇔ (x − 3) (x − log52) = 0 ⇔
x = 3
x = log52 . d) 8x+2x = 4.34−x⇔ 2x−4 = 34−x⇔ x−4
x+2log32 = 4 − x ⇔ (x − 4) (log32 + x + 2) = 0 ⇔
x = 4
x = −2 − log32 . Bài tập 5.31 Giải các phương trình sau
a) 3x2 = cos 2x b) 2|x|= sin x
c) 2x−1− 2x2−x= (x − 1)2 d) 22x+1+ 23−2x= log3(4x 28−4x+4)
Lời giải
a) Ta có
3x2 ≥ 1 cos 2x ≤ 1 Do đó phương trình tương đương với
3x2 = 1 cos 2x = 1 ⇔ x = 0
b) Ta có
2|x|≥ 1 sin x ≤ 1 Do đó phương trình tương đương với
2|x|= 1 sin x = 1 (vô nghiệm).
c) Ta có: (x − 1)2≥ 0 ⇒ x2− x ≥ x − 1 ⇒ 2x2−x≥ 2x−1⇒ 2x−1− 2x2−x≤ 0
Do đó phương trình tương đương với
2x−1− 2x2−x= 0 (x − 1)2= 0 ⇔ x = 1
d) Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: 22x+1+ 23−2x≥ 2√22x+1.23−2x= 8
Lại có: 4x2− 4x + 4 = (2x − 1)2+ 3 ≥ 3 ⇒ log3(4x4− 4x + 4) ≥ 1 ⇒ 8
log3(4x 4 −4x+4) ≤ 8
Do đó phương trình tương đương với
22x+1+ 23−2x= 8
8 log3(4x 4 −4x+4) = 8 ⇔ x = 1
2
§5 Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit
Bài tập 5.32 Giải các phương trình sau
a) log3(x − 2) = 2 b) log3(5x + 3) = log3(7x + 5)
c) log2 x2− 1 = log1(x − 1) d) log2x + log2(x − 2) = 3
e) log2 x2+ 8 = log2x + log26 f) log3(x + 2) + log3(x − 2) = log35
g) log3x + log4x = log5x h) log2x + log3x + log4x = log20x
Lời giải
a) log3(x − 2) = 2 ⇔ x − 2 = 9 ⇔ x = 11
b) Điều kiện: x > −35 Khi đó log3(5x + 3) = log3(7x + 5) ⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = −1 (loại)
c) Điều kiện: x > 1 Khi đó ta có phương trình tương đương:
log2 x2− 1 + log2(x − 1) = 0 ⇔ log2
x2− 1 (x − 1) = 0 ⇔ x3− x2− x = 0 ⇔
x = 0(loại)
x = 1+
√ 5 2
x = 1−
√ 5
2 (loại) Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ √
5
2