Kinh nghiệm dạy chứng minh 3 điểm thẳng hàng giúp học sinh lớp 7 tránh sai lầm khi giải dạng toán này

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học nói chung và hình học 7 nói riêng là một nội dung khó đối với nhiều học sinh cũng một số giáo viên; mà tài liệu về nội dung này gần như chưa c

I MỞ ĐẦU.

1 Lý do chọn đề tài.

Giáo dục và đào tạo chúng ta đã qua một số lần đổi mới, thay sách giáo khoa, với định hướng chương trình giảm tải kiến thức và tăng thêm ứng dụng thực tiễn Nhưng ta thấy rằng kiến thức gần như không giảm mà chỉ là sắp xếp lại, đặc biệt là các cuộc thi chưa giảm về nội dung kiến thức và yêu cầu kĩ năng đôi lần còn thấy tăng thêm, khó thêm Chính vì vậy khi học sinh tham gia các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10, đôi khi cả bài thi học kỳ nội dung bài thi vẫn yêu cầu cao và kiến thức khó so với khả năng của học sinh đối với môn Toán nói chung, phân môn hình học nói riêng Chính vì vậy chỉ dạy đơn thuần như chương trình sách giáo khoa thì chưa đáp ứng được yêu cầu các kì thi Chính vì vậy giáo viên phải tìm tòi, nghiên cứu thêm tài liệu để soạn giảng lồng ghép vào các tiết dạy chính khóa và soạn giảng các chuyên đề bồi dưỡng đại trà (học thêm) cũng như các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi vào lớp

10 THPT, để nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường và đáp ứng nhu cầu học tập tích cực của học sinh

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học nói chung và hình học 7 nói riêng là một nội dung khó đối với nhiều học sinh cũng một số giáo viên; mà tài liệu về nội dung này gần như chưa có để đáp ứng nhu cầu dạy và học của thầy và trò Nên khi gặp dạng toán này học sinh còn lúng túng, khó tìm ra cách giải vì học sinh chưa nắm được phương pháp Khi học sinh đi thi gặp dạng toán này gần như các em không làm được

Từ những trăn trở và suy nghĩ trên tôi đã mạnh dạn tìm tòi và nghiên cứu viết chuyên đề “Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học 7”, giúp các em nắm được các phương pháp chứng minh và tránh được những sai lầm khi làm dạng toán này Tôi cũng không tham vọng nhiều mà chỉ mong giải quyết được phần lớn những khó khăn trên, vấn đề mà nhiều học sinh và thầy cô đang trăn trở

2 Mục đích nghiên cứu.

- Giúp học sinh yêu thích bộ môn Toán nói chung và phân môn hình học nói riêng Giúp các em có được phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng và tránh được những sai lầm mà nhiều học sinh khác trước đây mắc phải, hy vọng góp phần giúp học sinh có kĩ năng tốt để giải các bài toán hình học và giúp học sinh học ngày càng tốt hơn với môn hình học mà đa số các em rất sợ vì nếu không tích luỹ được một số kiến thức cơ bản, tư duy và kĩ năng thì các em sẽ không học được môn hình học Qua đó nâng cao thành tích học tập cũng như thành tích trong các kỳ thi của học sinh trong trường

- Giúp tôi cùng đồng nghiệp có thêm tài liệu về phương pháp chứng minh

3 điểm thẳng hàng để tự tin mỗi khi lên lớp, không còn ngại dạy phân môn hình

1

- Nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường

3 Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh lớp 7 trường THCS Thọ Hải học chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong phân môn hình học 7

4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế

- Phương pháp thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê

- Phương pháp xử lý số liệu

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức

và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển

Nội dung môn Toán thường mang tính trừu tượng khái quát Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “áp dụng” kiến thức vào thực tiễn giải quyết vấn

đề cụ thể

Giải toán hình học là hình thức tốt để rèn khả năng tư duy, kĩ năng vẽ hình, kĩ năng suy luận, tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh tăng cường học tập thực hành, rèn khả năng tính toán

Hình học là môn suy diễn bằng lí luận chặt chẽ, từ những nguyên nhân nhất thiết phải suy ra kết luận chính xác, không mơ hồ Mỗi một câu nói trong lúc chứng minh đều phải có lí do xác đáng, tuyệt đối không qua loa, không nói

dư Làm cho học sinh có thói quen nhìn nhận đúng sự việc Nói đến kĩ năng giải toán chứng minh hình học chính là những thao tác tư duy chính xác, khoa học, những suy diễn có logic, chứng minh hình học không giống số học chỉ áp dụng những qui tắc cố định hoặc như đại số đã có sẵn công thức, mà phải nắm vững phương pháp suy xét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một cách khoa học, logic

Môn Toán là môn học hay, có nhiều ứng dụng nhưng có nhiều nội dung còn trừu tượng khái quát nên nhiều em còn ngại học môn này, đặc biệt là phân môn hình học Vì vậy tôi đã tìm tòi và nghiên cứu về nội dung và phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng tạo hứng thú học tập cho học sinh Đặc biệt lưu

ý cho học sinh những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải dạng toán

Sau khi học xong chương II tôi đã hệ thống các bài tập có liên quan đến chứng minh 3 điểm thẳng hàng và đưa ra các phương pháp giải (6 phương pháp) như sau:

1 Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:

2 Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước.

3 Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm.

4 Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

5 Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc.

6 Chứng minh ba điểm cùng thuộc một tia của một góc.

Sang chương III tôi chỉ ra cho các em các phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng tiếp theo (5 phương pháp tiếp theo):

7 Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng.

8 Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.

9 Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của chúng.

10 Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó.

11 Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại.

Sau khi hướng dẫn học sinh các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng tôi thường lưu ý cho học sinh các sai lầm cần tránh hoặc đưa ra lời giải bài toán có sai lầm mà tưởng như đúng để các em tìm ra lỗi sai của bài toán đó Qua đó củng cố kiến thức, kĩ năng cho dạng toán này.

2 Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 7 và kết hợp tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán:

"chứng minh ba điểm thẳng hàng " thì phần lớn học sinh rất khó khăn trong việc vận dụng các kiến thức đã học để giải dạng toán này Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải bài tập của học sinh còn thiếu linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến không làm được bài hoặc giải sai

Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không tôi

đã mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi "chứng minh ba điểm thẳng hàng" vào bài kiểm tra một tiết (Tiết 46- có 1 câu 3,0 điểm/10 điểm)

Kết quả làm câu chứng minh ba điểm thẳng hàng:

3

số đúng (%) sai (%) làm (%)

3 Các giải đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

3.1 Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:

A B C

=1800  Ba điểm A, B, C thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có ABC 60 0 Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho

CE = CA Trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng

* Gợi ý: Muốn chứng minh 3

điểm E, A, F thẳng hàng ta cần chứng

minh + + = 1800

Bài giải

ABC vuông tại A, có = 600

nên = 300

BAF cân tại B, có = 1200 nên = = 300

ACE cân tại C, có = 900 – 300= 600 nên = = 600

Suy ra = + + = 1800

Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng

* Sau khi chứng minh xong GV cho Bài giải, yêu cầu các em tìm ra sai lầm trong cách chứng minh sau:

Ta có CEF vuông tại C nên + = 900

Mà BAF cân tại B (vì BA = BF) nên = ,

CAE cân tại C (vì CA = CE) nên =

60°

2 1

x

Suy ra = + + = + + = 1800

Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng

Trả lời: Sai lầm trong bài toán trên là đã thừa nhận góc BFA của ABF bằng góc CFE của CEF trong khi 3 điểm E, A, F chưa thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của

mỗi đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng

Bài giải

- GV hướng dẫn học sinh: Chứng minh + + = 180 0 suy ra 3 điểm M, C, N thẳng hàng.

- GV đưa ra 2 bài giải, yêu cầu học sinh cho biết các lời giải sau đúng hay sai?:

Bài giải 1:

Dễ dàng chứng minh

∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy ra = (đồng vị)

∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy ra = (đồng vị)

mà =

Suy ra + +

Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng

Trả lời: Bài giải này sai.

Sai lầm là đã vô tình thừa nhận 3 điểm M, C, N thẳng hàng nên mới có:

BC // AD suy ra = (đồng vị)

DC // AB suy ra = (đồng vị)

Bài giải 2:

Chứng minh DAB = CBM (c.g.c) Suy ra ABD BMC  Do đó BD // MN

Suy ra = , = (so le trong)

5

Nên + + = + 180 0 Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng

Trả lời: Bài giải sai

Sai lầm là ABD BMC  chỉ suy ra được BD//MC, chưa suy được BD // MN vì 3 điểm M, C, N chưa thẳng hàng.

- Qua đây giáo viên cần chú ý cho học sinh khi làm dạng toán này cần phải suy nghĩ 3 điểm đó(E,A,F hoặc M,C,N) chưa thẳng hàng, có những trường hợp cần

vẽ hình trên nháp 3 điểm đó không thẳng hàng để khi chứng minh không ngộ nhận các yếu tố chỉ có khi 3 điểm đó thẳng hàng.

Bài giải đúng:

∆AOD = ∆COB (c.g.c) => BC // AD suy ra = (đồng vị)

∆AOB = ∆COD (c.g.c) => DC // AB suy ra = (đồng vị)

mà =

Vậy 3 điểm M, C, N thẳng hàng

Ngoài cách giải trên ta có thể sử dụng tiên đề Ơ clit => sang phần 3.2

3.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh 3 điểm thẳng hàng

(tiếp ví dụ 2) Chứng minh: CM // BD và CN // BD từ đó suy ra M, C, N thẳng hàng.

Bài giải

Xét AOD và COD có:

OA = OC (vì O là trung điểm AC)

AOD COB  (hai góc đối đỉnh)

OD = OB (vì O là trung điểm BD)

Vậy AOD = COB (c.g.c)

Suy ra: DAO OCB  

Do đó: AD // BC Nên DAB CBM   (ở vị trí đồng vị)

Xét DAB và CBM có : AD = BC ( do AOD = COB), DAB CBM  ,

AB = BM ( B là trung điểm AM).

Vậy DAB = CBM (c.g.c) Suy ra ABD BMC  Do đó BD // CM (1)

Lập luận tương tự ta được BD // CN (2)

Từ (1) và (2), theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AC, AB Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho

M là trung điểm BD và N là trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng

Hướng dẫn: Ta chứng minh AD // BC và AE // BC suy ra 3 điểm E, A, D thẳng hàng.

Bài giải.

BMC và DMA có:

MC = MA (do M là trung điểm AC)

BMC DMA (hai góc đối đỉnh)

MB = MD (do M là trung điểm BD)

Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

Suy ra: ACB DAC  , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng

- GV hướng dẫn học sinh có thể làm bài này theo phương pháp 1, chứng minh góc EAD = 180 0

…BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: ACB DAC  (1’), tương tự = (2’)

Suy ra + + = … = 180 0 Suy ra 3 điểm D, A, E thẳng hàng.

- GV cho bài tập: Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC Chứng minh A là trung điểm của DE.

Với yêu cầu của bài toán này nhiều bạn sai lầm sẽ không chứng minh 3 điểm D,

A, E thẳng hàng mà chỉ chứng minh AD =AE rồi kết luận A là trung điểm của DE.

7

Hình 7

=

=

/

/

E

D

C B

A

Để chứng minh A là trung điểm của DE ta cần chứng minh 3 điểm D, A, E thẳng hàng và AD = AE

3.3 Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm

Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC Nếu K ’ là trung điểm BD thì K ’  K thì A, K, C thẳng hàng.

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC cân ở A Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối

tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN Gọi K là trung điểm MN Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng

BÀI GIẢI

Cách 1: Kẻ ME  BC ; NF  BC ( E ; F  BC)

BME

 và CNF vuông tại E và F có:

BM = CN (gt), MBE NCF   ( cùng bằng ACB)

Do đó: BME = CNF(Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn)

Suy ra: ME = NF

Gọi K’ là giao điểm của BC và MN

MEK’ và NFK’ vuông ở E và F có: ME = NF (cmt), EMK ' FNK '( so le trong của ME // FN) Vậy MEK’ = NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K  K’

Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng

- Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm sử dụng = = 900 để chứng minh MEK = NFK suy ra = , hai góc ở vị trí đối đỉnh nên 3 điểm

B, K, C thẳng hàng

Sai lầm là 3 điểm B, K, C chưa thẳng hàng nên = = 90 0 là chưa khẳng định.

Cách 2 Kẻ ME // AC (E  BC) ACB MEB (hai góc đồng vị)

Mà ACB ABC  nên MBE MEB   Vậy ΔMBE cân ở M.MBE cân ở M

Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta được ME = CN

Gọi K’ là giao điểm của BC và MN

ΔMBE cân ở M.MEK’ và ΔMBE cân ở M.NCK’ có:

ME = CN (chứng minh trên)

MEK NCK (so le trong của ME //AC)

Do đó : ΔMBE cân ở M.MEK’ = ΔMBE cân ở M.NCK’ (g.c.g)  MK’ = NK’

hình 11

K' K E

F

N

M

C B

A

=

=

Hình 12 E

N

M

A

K K'

=

=

E K

C H

B A

D

Vậy K’ là trung điểm MN, mà K là trung điểm MN nên K  K’

Do đó ba điểm B,K,C thẳng hàng

Lưu ý: Nhiều học sinh dễ mắc sai lầm không sử dụng điểm K’ mà sử dụng

= (so le trong của ME//AC)để chứng minh ΔMEK = ΔNCK, vô tìnhMEK = ΔMEK = ΔNCK, vô tìnhNCK, vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý nhưng không biết là sai.

- GV hướng dẫn học sinh có thể làm theo phương pháp 1, khắc phục sai lầm ở trên, kẻ hình tương tự cách 2

Kẻ ME // AC (E  BC) ACB MEB (hai góc đồng vị)

Mà ACB ABC  nên MBE MEB   Vậy ΔMBE cân ở M.MBE cân ở M

Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC

ta được ME = CN

Xét ΔMBE cân ở M.MEK và ΔMBE cân ở M.NCK có:

= (so le trong của ME //AC)

ME = CN (chứng minh trên)

MK = NK (K là trung điểm MN)

Do đó : ΔMBE cân ở M.MEK = ΔMBE cân ở M.NCK (c.g.c)  =

Mà 2 góc này ở vị trí đối đỉnh có M, K, N thẳng hàng

Do đó ba điểm B, K, C thẳng hàng

3.4 Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với một đường thẳng cho trước:

a

V

í d ụ 5 : Cho ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.

Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC Vẽ AH vuông góc BC ( H

 BC) Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK chứng minh ba điểm A, H,

K thẳng hàng

Lời giải sau đúng hay sai?

9

AB  a

A B C

Hình 12 E

N

M

A

K K'

=

=

E K

C H

B A

D

 D B 

 DE // BC  AK  BC

Suy ra góc DAK = góc BAH mà 3 điểm B, A, D thẳng hàng nên 3 điểm H, A,

K thẳng hàng

Khi có học sinh trả lời là “Lời giải sai” GV yêu cầu chỉ ra lỗi sai trong lời giải trên.

Lời giải sai ở chỗ khi DE // BC  AK  BC , nếu suy ra như vậy đã vô tình thừa nhận 3 điểm H, A, K đã thẳng hàng.

Hướng dẫn giải.

Xét  ADE và  ABC

Có AE = AC, AD = AB, DAE BAC  

nên  ADE =  ABC (c.gc

 D B 

 DE // BC

 AHB =  AKD (vì AB= AD, BH= DK, D B  )

 AKD AHB   90 0

 AK  BC

mà AH  BC suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng

- GV hướng dẫn học sinh có thể chứng minh theo phương pháp 1.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M là trung điểm BC.

a) Chứng minh AM  BC

b) Vẽ hai đườn tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng

Gợi ý:.

- Chứng minh AM , PM, QM cùng vuông góc BC

- hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.

BÀI GIẢI.

a) Chứng minh AM  BC

ΔMBE cân ở M.ABM và ΔMBE cân ở M.ACM có:

AB =AC (gt)

AM chung

/ /

=

=

Q

P

B

A