Ôn thi Toán THPT 2019 Bài Toán tiếp tuyền sự tiếp xúc

Bộ GDĐT đã đưa ra bộ đề thi mẫu cho 14 môn học giúp học sinh xác định được cấu trúc và dạng bài cần ôn tập. Dựa trên đề Toán mẫu, nhiều giáo viên tổ Toán đã xây dựng bảng phân tích ma trận kiến thức thi THPT quốc gia 2019 môn Toán. Các phân tích cụ thể này sẽ hỗ trợ học sinh trong việc tự học và ôn thi THPT quốc gia 2019. Mỗi bản phân tích ma trận kiến thức gồm có các nội dung: cấu trúc, dạng bài, so sánh đề thi 2018 và định hướng, lưu ý dành cho các thí sinh.

Câu 1: [2D1-7-4] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hàm số

1

x y

Hoành độ giao điểm của  d và  C là nghiệm của phương trình 2 1

Để  d cắt  C tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình  * phải có hai

nghiệm phân biệt khác 1 thì:

9 241803



Do đó tổng của các giá trị của tất cả các phần tử của S bằng 6

Câu 2: [2D1-7-4] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hàm số

1

x y

Để  d cắt  C tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình  * phải có hai

nghiệm phân biệt khác 1 thì:

Khi đó, gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình  * thì:

Câu 3: [2D1-7-4] (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Cho hàm số y f x 

có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn     2

2f 2x  f 1 2 x 12x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

Lời giải Chọn B

Ta có:   2

3 12

Phương trình tiếp tuyến tại M x o;y o có dạng:   :y f x o xx o f x o

Do tiếp tuyến qua M m ; 2 nên ta có:

Để kẻ được đúng hai tiếp tuyến từ M thì phương trình  1 có 2 nghiệm

Trường hợp 1: Phương trình  2 có nghiệm kép khác 0

m m

Lời giải Chọn C

:2

11

11

d d

d

x x



Câu 6: [2D1-7-4](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hàm số

21

x y

x



 có đồ thị  C và điểm A(0; )a Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của

a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM , AN đến  C với M , N là các tiếp điểm

vàMN4 Tổng các phần tử của S bằng

Lời giải Chọn D

(Câu này giải không ra được đúng đáp án C của đề gốc nên đã phải sửa đáp án

D cho phù hợp)

21

x y

x



21

y x



Phương trình đường thẳng qua A(0; )a có hệ số góc k : ykxa (d)

(d) là tiếp tuyến của (C)

 

2

11

2

21

x

x

k x

Câu 7: [2D1-7-4] Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Tìm trên hai nhánh của đồ thị  C , các điểm M ,

N sao cho các tiếp tuyến tại M và N cắt hai đường tiệm cận tại 4 điểm lập thành

Gọi M m y( ; M), ( ;N n y N) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của  C

Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B Tiếp tuyến tại N cắt hai tiệm cận tại C ,

Câu 8: [2D1-7-4] Cho hàm số 3

1

x y x

M M M M

M M M M

M M M M

Câu 9: [2D1-7-4] Cho hàm số yx33x29x1có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp

tuyến của  C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : d y  x 1 một góc  thỏa

5cos

Ta có: y' 3( x2 2x3) Gọi M x y là tiếp điểm ( ;0 0)

Phương trình tiếp tuyến  tại M : yy x'( )(0 x x 0)y0

Câu 10: [2D1-7-4] Gọi  C là đồ thị của hàm số y = 2

2

x m x



 ,m là tham số khác – 4 và  d

là một tiếp tuyến của  C Tìm m để (d) tạo với hai đường tiệm cận của  C một

tam giác có diện tích bằng 2

m

35

m m

  

  

Lời giải Chọn D

Hai đường tiệm cận đứng và ngang của  C có phương trình lần lượt là x = 2, y = 2

,suy ra giao điểm của chúng là I 2; 2

Tịnh tiến OI Hệ trục Oxy Hệ trục IXY

Công thức chuyển hệ tọa độ : 2

Hai đường tiệm cận đứng và ngang của  C có phương trình lần lượt là X 0,

 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của  C

Tìm m để tiếp tuyến tại một diểm bất kì của  C cắt hai tiệm cận tại A và B sao cho IAB có diện tích S22

A m 5 B m 6 C m 7 D m 4

Lời giải Chọn D

(C) có tiệm cận đứng xm, tiệm cận ngang y2m

Giao điểm 2 tiệm cận là ( ; 2 ) và 0

0 0

2

0 0

 2  0 0

0 0

1

22

x

x x

  B2x02; 2

Dễ thấy M là trung điểm AB và I 2; 2 là giao điểm hai đường tiệm cận

Tam giác IABvuông tại Inên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

Bài toán có thể mở rộng : Tìm những điểm trên  C có hoành độ x2sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

HD: theo trên ta có : 0  

0 0





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến

của  C , biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

A :y  x 21 và :y  x 7 B :y  x 3 và :y  x 2

C :y  x 1 và :y  x 17 D :y  x 1 và :y  x 7

Lời giải Chọn D

Hàm số xác định với mọi x1

Ta có:

2

4'

( 1)

y x





Tiệm cận đứng: x1; tiệm cận ngang: y2; tâm đối xứng I(1; 2)

Gọi M x y là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của ( ;0 0)  C :

0 0 2

0 0

4

1( 1)

x

x x

0

0 0

0 2

0 0

2

1( 1)

y

x x

x x

Mà IA IB 2 IA IB 8; IA2IB22IA IB 32

Nên P 8 32 8 4 2

 có đồ thị  C Giả sử tồn tại phương trình tiếp

tuyến của  C , biết khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn nhất, thì hoành

độ tiếp điểm lúc này là:

A x0 0,x0  4 B x0 0,x0  3 C x0 1,x0  4 D

0 1, 0 3

Lời giải Chọn A

Hàm số xác định với mọi x 2

Ta có: 4 2

'( 2)

y x



Gọi M x y( ;0 0) ( ) C Tiếp tuyến  của  C tại M có phương trình

24

Giả sử  C cắt Ox tại M m( ; 0) và N n( ; 0) cắt Oy tại A(0; )c

Tiếp tuyến tại M có phương trình: y(3m2 2am b x m )(  )

Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3m32am2bm c 0

Mà  C cắt Ox tại hai điểm nên  C tiếp xúc với Ox

Nếu M là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có  C tiếp xúc





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến

của  C , biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

14

Gọi M x y là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ( ;0 0)  tại M

0 0 2

0 0

2 11

1( 1)

x

x x

1

x A

x  cắt đường tiệm cận ngang tại 0

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: 1 13





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến

của  C , biết khoảng cách từ tâm đối xứng I đến tiếp tuyến tạo lớn nhất

54

Gọi M x y là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ( ;0 0)  tại M

0 0 2

0 0

2 11

1( 1)

x

x x

Gọi H là hình chiếu của I lên  Ta có d I( , ) IH

Trong tam giác vuông IAB ta có:

y x và d là một tiếp tuyến của  C ,

d cắt hai trục tọa độ tại A và B Viết phương trình tiếp tuyến d khi tam giác

OAB có diện tích nhỏ nhất ( O là gốc tọa độ)

A

4

515

4

512

4

55

4

5125

Lời giải Chọn D

Phương trình tiếp tuyến d có dạng : 3 4 3 4

trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với  C

A là giao điểm của d với trục Ox  04

3 0

; 04

x A x

B là giao điểm của  C với trục Oy B(0; 3 x041)

Diện tích của tam giác vuông OAB :

Xét trường hợp x0 0, khi đó

0 3 0

Bảng biến thiên của f x ( )0

Từ bảng biến thiên suy ra 0

4

64min ( )

5 5

f x  đạt được khi và chỉ khi 0

4

15

Suy ra

4

8minS

5 5

4

15

Phương trình hoành độ giao điểm của  C m và trục hoành là

4   2

x 3 m 1 x 3m 2 0  (1)

Đặt 2

tx , t 0 Phương trình (1) trở thành : 2  

t 3 m 1 t 3m 2 0    (2)

 C m cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Vì (2) luôn có hai nghiệm là t 1, t 3m 2 với mọi m và vì m0 (giả thiết) nên

ta có 1 3m 2  , suy ra với mọi tham số m0,  C m cắt Ox tại 4 diểm phân biệt

và nếu gọi A là giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là xA  3m2

f(x) x 3 m 1 x 3m 2 , phương trình tiếp tuyến d của  C m tại A là

3'( A)( A) ( A) [4 A 6( 1) A]( A)

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy thì B 0 ; 6m 2 3m 2      

Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB (vuông tại

O ) , theo giả thiết ta có : S OAB24OA OB 48 x A y B 48

f 



 

  , do đó phương trình (3) chỉ có một nghiệm là 2

Tiếp tuyến  d của đồ thị  C tại điểm M có hoành độ a 2 thuộc  C có

a

a a



Tâm đối xứng của  C là I2; 2



 có đồ thị  C Tìm trên  C những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của  C cắt hai tiệm cận của  C tại A,B sao cho AB

ngắn nhất

A M(3; 3) hoặc 5

( 1; )3

( 1; )3

M  D M(3; 3) hoặc M(1; 1)

Lời giải Chọn D

2( 2)

m m



Giao điểm của  d với tiệm cận đứng là: 2; 2 2

Câu 22: [2D1-7-4] Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị yx3mx m 1 tại điểm M có

hoành độ x 1 cắt đường tròn  C có phương trình (x2)2 (y 3)2 4 theo

một dây cung có độ dài nhỏ nhất

A m3 B m6 C m8 D m2

Lời giải Chọn D

3: 2 2

23: 2 2

3

23

21: 2

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có hệ số góc k có đạng: 3





 M 0;m là một điểm thuộc trục Oy Tìm tất cả các giá trị nào của m để luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của

 C đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với  C có hoành độ dương

Lời giải

Chọn D

Phương trình của đường thẳng  d đi qua M có hệ số góc k: ykxm

 d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ x khi hệ sau 0

0

0 0

2 0

2

(1)

2 13

(2)(2 1)

x

x

k x

20

4 2

m

m m

Vậy, với mọi m0 luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của  C đi qua M và hoành

độ tiếp điểm của tiếp tuyến với  C là số dương.

Câu 25: [2D1-7-4] Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị là  C Cho điểm A(0; )a Tìm a để từ

A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị  C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2

phía của trục hoành

Chọn D

Phương trình đường thẳng  d đi qua A(0; )a và có hệ số góc k y: kxa

 d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ x khi hệ:

2

213( 1)

x

kx a x

k x

Để qua A có 2 tiếp tuyến thì  1 phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2

23a 6 0

a 

Đối chiếu với điều kiện  2 ta được: 2 1

  

Câu 26: [2D1-7-4] Gọi  C m là đồ thị của hàm số y2x33(m1)x2mx m 1 và  d

là tiếp tuyến của  C m tại điểm có hoành độ x 1 Tìm m để  d tạo với hai

trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

3

A

50

Ta có y 6x26(m1)x m , suy ra phương trình tiếp tuyến  d là:

05

4

x

y  x  , có đồ thị là  C Gọi  d là tiếp tuyến của

 C tại điểm M có hoành độ xa Tìm a để  d cắt lại  C tại hai điểm , E F

khác M và trung điểm I của đoạn EF nằm trên parabol  P :y  x2 4

A a0 B a 1 C a2 D a1

Lời giải Chọn A

Phương trình tiếp tuyến  d :

 d cắt  C tại hai điểm , E F khác M Phương trình  3 có hai nghiệm phân

I I

So với điều kiện (*) nhận a0

Câu 28: [2D1-7-4] Tìm tham số m để đồ thị  C m của hàm số yx34mx27mx3m

tiếp xúc với parabol   2

12; ;14

Lời giải Chọn D

 C m tiếp xúc với  P tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

m x m

Xét M(0; )m Oy Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình:

f x  0 

0( )

f x

1 12

2 (*) có nghiệm 1 1

y x x có đồ thị  C và điểm M m ;0 sao cho từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến

đồ thị  C , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau Khi đó khẳng định nào sau đây đúng

2

  D

11;

Ta có y 3x26x

A a a  a thuộc đồ thị hàm số

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại A là:

Khi a0 ta có phương trình tiếp tuyến y0

Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với y0 nên yêu cầu

bài toán tương đương phương trình  1 có hai nghiệm a1 và a2 khác 0 thỏa