Ôn thi Toán THPT 2019 Bài Toán tiếp tuyền sự tiếp xúc

Bộ GDĐT đã đưa ra bộ đề thi mẫu cho 14 môn học giúp học sinh xác định được cấu trúc và dạng bài cần ôn tập. Dựa trên đề Toán mẫu, nhiều giáo viên tổ Toán đã xây dựng bảng phân tích ma trận kiến thức thi THPT quốc gia 2019 môn Toán. Các phân tích cụ thể này sẽ hỗ trợ học sinh trong việc tự học và ôn thi THPT quốc gia 2019. Mỗi bản phân tích ma trận kiến thức gồm có các nội dung: cấu trúc, dạng bài, so sánh đề thi 2018 và định hướng, lưu ý dành cho các thí sinh.

Câu 1: [2D1-7-3] [THPT Chuyên NBK(QN) – 2017] Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị  C Tiếp tuyến với đồ thị  C tại M 2;5 cắt hai đường tiệm cận tại E và F Khi đó

độ dài EF bằng

Lời giải Chọn B

y x



 

 Tiếp tuyến với  C tại M 2;5 là: yy 2 x 2 5

Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng suy ra E 1;8

Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang suy ra F 3; 2

x





 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số Khoảng cách

từ I đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng

Tọa độ giao điểm 3 1;

1

;

x x x





(Theo bất đẳng thức Cô si)

Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi  2 0 0

x có

đồ thị là  C , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d y:  1 2x sao cho qua M

có hai tiếp tuyến của  C với hai tiếp điểm tương ứng là A, B Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là K Độ dài đoạn thẳng OK là

Lời giải Chọn D

4

21

x

x

k x

Vậy phương trình đường thẳng AB là: 2mxm1y m  7 0

Gọi K x y là điểm cố định mà đường thẳng  0; 0 ABđi qua Ta có

Câu 4: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp - QB - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho

hàm số yx33x có đồ thị  C và điểm A a ; 2 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để có đúng ba tiếp tuyến của  C đi qua A Tập hợp S bằng

S   

Lời giải Chọn C

Giả sử  là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k, khi đó phương trình đường thẳng  là yk x a   2

Để  là tiếp tuyến của  C

thì hệ phương trình    

 

3 2

Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị  C

a a a

Ta có I1;1

 2

1'

1

y x



 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A,Bsao cho côsin góc ABI bằng 4

I 2; 2 , gọi 0

0 0

0 0

1

2( 2)

x

x x

Câu 7: [2D1-7-3] Cho hàm số yx42x21 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến

của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với  C tại hai điểm phân biệt

A y 2x B y  2x 1 C. y 2 D y 4

Lời giải Chọn C



 có đồ thị là  C Tìm điểm M thuộc  C sao cho

tiếp tuyến của  C tại M vuông góc với IM , I là tâm đối xứng của  C

A y  x 1,y  x 4 B y  x 3,y  x 5

C y  x 1,y  x 3 D. y  x 1,y  x 5

Lời giải Chọn D

Gọi M x y là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến ( ;0 0)  tại M

0 0 2

0 0

1

1( 1)

x

x x

A

:

4:

:

9 81

y x y

Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A với hệ số góc k có dạng: 4 4

Chọn D

Điểm cực tiểu của  C là A 0; 3   

Phương trình tiếp tuyến d của  C có dạng : yy x'( )(0 x x 0)y x( )0

( trong đó x là hoành độ tiếp điểm của 0 d với  C )

m 

24; ;63

m 

  C m0; 4;6 D

20; ;63

m 

Lời giải Chọn D

 C m tiếp xúc đường thẳng y 1 tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm 0

x

3

2 0

3 2

Câu 12: [2D1-7-3] Cho hàm số yx33x2 Tìm trên đường thẳng d y: 4 các điểm mà

từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với  C

Gọi M m ; 4d Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: yk x m  4

 là tiếp tuyến của  C  hệ phương trình sau có nghiệm x :

+ TH1:  4 có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng    1 m 1

Câu 13: [2D1-7-3] Cho hàm số y  x3 3x22 Tìm trên đường thẳng  d :y2 các điểm

mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị

A M m ; 2d với

12

32

32

32

Chọn D

Gọi M m( ; 2)( )d

Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M có dạng: yk x( m)2

 là tiếp tuyến của  C  hệ phương trình sau có nghiệm x :

Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C  hệ  * có nghiệm x phân biệt đồng

thời  2 có 3 giá trị k khác nhau   3 có hai nghiệm phân biệt khác 2 và có giá trị x thỏa phương trình  2 có 3 giá trị k khác nhau

5

3(2) 0

32

có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với  C

Câu 14: [2D1-7-3] Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị  H :  2 2

Phương trình của đường thẳng  d đi qua M có hệ số góc k: ykxm

Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với  H tại điểm   2 2

M m m  Khi đó đường thẳng d có phương trình:  2     2 2

y m m  x m  m  Đường thẳng d tiếp xúc với  H tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương

trình:

Vậy y0 thỏa đề bài.

Câu 15: [2D1-7-3] Cho hàm số yx42x23, có đồ thị là  C Tìm trên đồ thị  C điểm

B mà tiếp tuyến với  C tại điểm đó song song với tiếp tuyến với  C tại điểm

Phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm A 1; 2 là y3 Do đó B 0;3

Câu 16: [2D1-7-3] Cho hàm số yx42x23, có đồ thị là  C Tìm trên đường thẳng

2

y những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị  C

A M   0; 2 ,M 1; 2 B M   0; 2 ,M 3; 2 C M   5; 2 ,M 1; 2 D. Không tồn tại

Lời giải Chọn D

Gọi M m ; 2 là điểm thuộc đường thẳng y2 Phương trình đường thẳng đi qua

Qua M kẻ được 4 tiếp tuyến đến  C khi phương trình   có 4 nghiệm phân biệt

và phương trình  2 có 4 giá trị k khác nhau

x     k k , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau

để thỏa bài toán Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán.

Câu 17: [2D1-7-3] Cho hàm số : yx42x2 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến

của  C biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ

Gọi A x y 0; 0   C Phương trình tiếp tuyến  t của  C tại A là:

Câu 18: [2D1-7-3] Cho hàm số: yx42x2 có đồ thị là  C Tìm những điểm M trên trục

Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến  C

k x  x nên hai giá trị khác nhau của x cho 0

hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau

Vậy từ M0;m kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị   C khi và chỉ khi phương trình

 * có 4 nghiệm phân biệt

m m

Câu 19: [2D1-7-3] Cho hàm số: yx42x2 có đồ thị là  C Tìm những điểm N trên

đường thẳng  d :y3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến  C

A N n ;3 , n  3 B N n ;3 ,n 3 C N n ;3 ,n 2 D

 ;3 , 13

Lời giải Chọn A

k  x  x nên hai giá trị khác nhau của x cho hai 0

giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau

Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C khi và chỉ khi phương trình  * có

4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  ** có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình *** có 2 nghiệm phân biệt 2

' 4n 12 0

    2

các giá trị m sao cho trên đồ thị  C m tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d :x2y 3 0

Theo bài toán, phương trình   có đúng một nghiệm âm

Nếu m0 thì        2x 2 x 1 (không thỏa)

Nếu m0 thì dễ thấy phương trình   có 2 nghiệm là x1 hay x 2 3m

các giá trị m sao cho trên đồ thị  C m tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương

mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d :x2y 3 0

Ta có: y mx22(m1)x 4 3m; : 1 3

2 2

d y  x Theo yêu cầu bài toán  phương trình y 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt

m

S P

2

m m

4 23

x

y  x  x , gọi đồ thị của hàm số là  C Viết

phương trình tiếp tuyến của  C đi qua điểm A 2;9

A y  x 2 B y 8x5 C y x 25 D.

8 25

y  x

Lời giải Chọn D

Phương trình đường thẳng  d đi qua điểm A 2;9 có hệ số góc k là

( 2) 9

yk x 

 d tiếp xúc với  C tại điểm có hoành độ x 0 khi hệ

3 2 0

Thay x0 3 vào  2 ta được k 8

Vậy phương trình tiếp tuyến  d là y 8x25

Câu 23: [2D1-7-3] Cho hàm số

3 22

4 23

x

y  x  x , gọi đồ thị của hàm số là  C Viết

phương trình tiếp tuyến của  C đi qua điểm A2; 2 

Phương trình tiếp tuyến  d của  C đi qua A2; 2  có dạng: yk x  2 2

 d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2 0

0 0

2

2 0

( 2) 2 (1)2

4(2 )

x

k x x

k x

4( 2) 2

4 23

x

y  x  x , gọi đồ thị của hàm số là  C Gọi

M là một điểm thuộc  C có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần

khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phương

trình tiếp tuyến của  C tại M

A y 9 B y 64 C y 12 D. y 8

Lời giải

2

42

x x y

Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình: 0

2

2

0 0

2

0 2 0

1

(1)1

2

2 (2)( 1)

3 2

(C ) :y3mx 3(1 2 ) m x4m2 tiếp xúc với nhau

Lời giải Chọn D

x x y

y  x

Lời giải Chọn D

Ta có

2 2

2( 1)

y x



 

 Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với ( ;0 0)  C

2 2

0 2

x   Phương trình tiếp tuyến y 3x

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M( 1;3) , có hệ số góc k , khi đó phương trình

2

2 0

1( 1) 3 (1)1

2

(2)( 1)

k x x

k x

x x y

x

 



 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của

 C đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của  C

A y2x1 B y3x2 C y4x3 D. Không tồn tại

Lời giải

Chọn D

Ta có

2 2

2( 1)

y x

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I

Cách 2: Gọi  d là đường thẳng đi qua I , có hệ số góc k d y: k x(  1) 1

 d tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2

0 0

2

2 0

1( 1) 11

2( 1)

k x x

k x

       (phương trình vô nghiệm)

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I

Câu 29: [2D1-7-3] Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị là  C và điểm A0;m Xác định m để

từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai

phía đối với trục Ox

A

113

m m

m m

m m

Cách 1: Gọi điểm M x y( ;0 0)( )C Tiếp tuyến  tại M của  C có phương trình:

0 0 2

23

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A , hệ số góc k có phương trình: ykxm

d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

0

0 0

2 0

213

( 1)

x

kx m x

k x

m m

3

m 

Lời giải Chọn D

 C tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

Câu 31: [2D1-7-3] Gọi  C m là đồ thị của hàm số yx4(m1)x24m Tìm tham số m

để  C m tiếp xúc với đường thẳng  d :y3 tại hai điểm phân biệt

3

m m

m m

m m

m m

 C m tiếp xúc với  d tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

Khi m1 thì 2

x  x   , suy ra  C m tiếp xúc với  d tại hai điểm ( 1;3 )

Khi m13 thì x02  7 x0   7 ,suy ra  C m tiếp xúc với  d tại hai điểm

 7;3

Vậy các giá trị m cần tìm là m1;m13

Câu 32: [2D1-7-3] Cho hàm số: y 4x33x2, có đồ thị là  C Tìm những điểm trên

đường thẳng y3 để từ đó có thể vẽ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị  C

Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt ,A B có hệ số góc là 2 1

1

x k x

Theo bài toán, g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k k A B  1, tìm được 1

5

m 

Câu 34: [2D1-7-3] Cho hàm số

222

x y x



 có đồ thị là  C Tìm trên đường thẳng y x

những điểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C , đồng thời 2 tiếp tuyến

đó vuông góc với nhau

A m  5 3 B m  5 53 C m  6 23 D.

5 23

m  

Lời giải Chọn D

Đường thẳng  d đi qua điểm M m m có hệ số góc là k , phương trình có dạng:  ; 

0 0

2

2 0

22

nghiệm x , từ đây ta tìm được 0 m  5 23

Câu 35: [2D1-7-3] (SGD - Bắc Ninh - 2017 - 2018 - BTN) Gọi S là tập các giá trị của tham

số m để đồ thị hàm số yx42x2 m 2 có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox Tìm tổng các phần tử của S

Lời giải Chọn B

M x x  x  m là tiếp điểm

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M có dạng: k 4x034x0

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với trục Ox thì

0 0 0

Tại A0;m2 thì phương trình tiếp tuyến là  d1 : y m 2

Tại B1;m3 thì phương trình tiếp tuyến là  d2 : y m 3

Tại C1;m3 thì phương trình tiếp tuyến là  d3 : y m 3

Theo đề, chỉ có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox nên:

Câu 36: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - LẦN 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số

)

(x f

y xác định và có đạo hàm trên thỏa mãn  2  3

)1()

21

Từ giả thiết  2  3

)1()

21

 Xét a0 thay vào 4ab 1 3a b2 vô lý







có đồ thị  C Một tiếp tuyến của  C cắt hai tiệm cận của  C tại hai điểm A, B

và AB2 2 Hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng

y x

Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có phương trình

0 0

22

x x

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến với đường tiệm cận ngang thì B2x02; 2

0 0

32

12

x

x x



          Với x0 3 thì y 3  1





 có đồ thị là  C Gọi điểm M x y 0; 0 với

x   là điểm thuộc  C ,biết tiếp tuyến của  C tại điểm M cắt trục hoành,

trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A B, và tam giác OAB có trọng tâm G

nằm trên đường thẳng d : 4x y 0 Hỏi giá trị của x0 2y0 bằng bao nhiêu?



Lời giải Chọn A

Gọi

0 0

0

14

 



 có đồ thị là  C , đường thẳng d : y x m Với mọi m ta luôn có d cắt  C tại 2 điểm phân biệt A B, Gọi k k lần lượt là 1, 2

hệ số góc của các tiếp tuyến với  C tại A B, Tìm m để tổng k1k2 đạt giá trị lớn nhất

A.m 1 B.m 2 C.m3 D.m 5

Lời giải Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C là

1

2 1

x

x m x

   

12

Câu 40: [2D1-7-3] Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị  C Biết khoảng cách từ I1; 2đến tiếp tuyến của  C tại M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở góc phần tư

thứ hai, gần giá trị nào nhất?

Lời giải Chọn C

Phương pháp tự luận

Ta có

 2

31

y x

0 2 0

11

x

x x

1

x A x





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm

M bất kỳ của  C luôn cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Độ dài ngắn nhất

của đoạn thẳng AB là

Lời giải Chọn D

Tiếp tuyến tại M có phương trình

22

m m

Gọi d là đường thẳng qua A m ; 10  có hệ số góc k

1 212

m m m

3

13

m 

Lời giải Chọn C

x

 

Tiếp tuyến d của  C m có hệ số góc nhỏ nhất là 7

3

m

Bài ra d  nên 7

.3 13

x y

Hướng dẫn giải Chọn A

Tập xác định: D \ 2 ;

 2

42

y x

24

:

22

x

x x

0 0

12;

2

x A

Câu 46: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 - BTN) Tiếp

tuyến của đồ thị hàm số 4 3

2 1

x y x

Lời giải Chọn C

Gọi M x y 0; 0 là điểm nằm trên đồ thị hàm số , 0 1

4 81

;

2 2 1

x A

102

B

   Vậy 4 0 1

; 22





 có

đồ thị  C và đường thẳng d y:    2x m 1 (m là tham số thực) Gọi k1, k2 là

hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của d và  C Khi đó k k1 2 bằng

4 D 2

Lời giải Chọn B

 2

3 22

Câu 48: [2D1-7-3] (CỤM CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU

LONG-LẦN 2-2018) Cho hàm số yx33x23mx 1 m Có bao nhiêu giá trị thực của m để đồ thị tiếp xúc với Ox

Lời giải Chọn B

Vì hàm số đã cho là hàm số bậc ba nên đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành khi phương trình 3 2

  

 có hai nghiệm phân biệt (

13

x không thỏa mãn phương trình)

Câu 49: [2D1-7-3] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Q Trị - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tìm

tham số m để đồ thị hàm số y x3 m3x2 3m2x2m tiếp xúc với trục

2 2

2 0

12

x

m x

x m m x

x m x m

yx  mx  m  x m , với m là tham số; gọi  C là đồ thị của hàm số

đã cho Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực đại của đồ thị  C luôn nằm trên một đường thẳng d cố định Xác định hệ số góc k của đường thẳng d

x y

x



 có đồ thị  C và điểm M x y 0; 0   C x0 0 Biết rằng khoảng cách

từ I2; 2 đến tiếp tuyến của  C tại M là lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

A 2x0y0 0 B 2x0y0 2 C 2x0y0  2 D

2x y  4

Lời giải Chọn D

Phương trình tiếp tuyến của  C tại M có dạng d y:  y x  0 xx0y0

Ta có M x y 0; 0   C 0

0 0

22

x y

x

Lại có

 2

42

y x

24

22

x

x x