PHÁT TRIỂN tư DUY CHO học SINH từ một bài TOÁN THI học SINH GIỎI cấp TỈNH THANH HOÁ

Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức là một yêu cầu tất yếu đối với giá

Mục lục Trang

1 Mở đầu 01

1.1 Lý do chọn đề tài 02

1.2 Mục đích nghiên cứu 03

1.3 Đối tượng nghiên cứu 03

1.4 Phương pháp nghiên cứu 03

2 Nội dung 04

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 04

2.2 Thực trạng vấn đề 04

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:……… .05

Bài toán 1 05

Bài toán 2 06

Bài toán 3 07

Bài toán 4 09

Bài toán 5 10

Bài toán 6 11

Bài toán 7 12

Bài toán 8 13

Bài toán 9 13

Bài toán 10 13

Bài toán 11 14

Bài tập rèn luyện 15

2.4.Kết quả đạt được……… 17

3 Kết luận 18

Tài liệu tham khảo 19

Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh.

Trong chương trình Toán THCS khối lượng kiến thức rất phong phú và đadạng, các dạng toán cũng đề cập không ít Trong số đó có bất đẳng thức là mộtdạng toán quan trọng và khá phổ biến Trong các kì thi hoc sinh giỏi các cấp và thiváo lớp 10 chuyên thì bất đẳng thức thường hay gặp trong các đề thi Bởi vậy muốnbồi dưỡng và phát triển các đối tượng học sinh khá, giỏi bản thân người dạy phảinghiên cứu tài liệu, tìm tòi các phương pháp giải Nhằm bổ trợ và nâng cao kịp thờicho các em

Ở dạng toán bất đẳng thức thì mỗi bài toán với số liệu riêng của nó, đòi hỏi taphải vận dụng cách giải phù hợp Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toánhọc linh hoạt và sáng tạo của người học

Không những thế bất đẳng thức luôn là một đề tài thú vị của môn Đại số, vì nócòn tiếp tục được giới thiệu và nghiên cứu ở cấp THPT Do đó bất đẳng thức mãimãi là đối tượng nghiên cứu của Toán học, là vấn đề đa số người học quan tâmtrong các kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và thi vào lớp 10

Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó Tôi đã tìm tòi và nghiên cứu đề tài

“ PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH TỪ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC

SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HOÁ’’

Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu nhất để có một phương án đúng đắn giúp

học sinh tiếp cận với các bài toán về bất đẳng thức chủ động hơn, có hứng thú trong quá trình học

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng là một số vấn đề, thực trạng về dạy và học bất đẳng thức của họcsinh THCS

Một số tài liệu được tham khảo được sử dụng cho học sinh THCS, hiện đangđược nghiên cứu, thử nghiệm tại trường THCS

Tôi áp dụng đề tài này trong qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môntoán lớp 9 trường THCS Lê Đình Kiên và đội tuyển Toán huyện Yên Định

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp tôi sử dụng để nghiên cứu trong đề tài này chủ yếu là các phươngpháp sau:

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp điều tra.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinhcác phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và

tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết vô cùng trong việc học toán

Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải,đồng thời người thầy giáo cũng phải gợi ý

và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải.Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lí nhất.Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quát đường lối

chung.Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quát hoá bài toán thành bài toán tổng quát và xây dựng bài toán tương tự

Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng học sinh khá giỏi từ trước tới nay Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Qua các năm giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi thì bản thân nhận thấy trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào trường chuyên, hầu hết đều cócác bài toán về bất đẳng thức nhưng các em học sinh đang còn lung túng, chưa xácđịnh rõ cách làm như thế nào Xuất phát từ điều mong muốn học sinh rèn luyện được khả năng sáng tạo, tìm được và xác định được cách giải Do đó bản thân người thầy phải tìm tòi,tổng hợp các dạng khác nhau để giúp các em học sinh hiểu

và biết vận dụng thành thạo các dạng toán

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:

Trong đề thi HSG lớp 9 tỉnh Thanh Hóa năm học 2015- 2016 có bài toán sau:

Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab2bc2ca2  3 Chứng minh rằng:

Bài toán 1:

Cho a b c, , 0, chứng minh rằng:

Có nhiều cách giải cho bài toán này, cách đơn giản thường gặp ở đây là sử dụngbất đẳng thức Côsi hoặc bất đẳng thức Bunnhiacopxki Chẳng hạn, sử dụng bấtđẳng thức Côsi, ta ghép cặp như sau:

Tương tự, ta cũng có:

Cộng (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh

Ở đây có một câu hỏi đặt ra là, nếu không sử dụng bất đẳng thức Côsi thì có tìm được đánh giá (1) hay không? Nếu được thì làm như thế nào?

Câu trả lời là có và ta sẽ làm như sau:

Ta đi tìm các hệ số m, n sao cho:

Chú ý rằng bất đẳng thức trong bài toán trên xảy ra dấu đẳng thức khi a b c 

Phân tích:

Dự đoán dấu “ = ” xảy ra khi a b c 

Tiếp theo tìm m, n sao cho

Nếu (8) đúng với mọi t 0 thì 4(1 m t) 2  (4m 3)t 8m  2 0 phải có nghiệm t1

Thay t 1 vào phương trình ta được

9 16

m

Với

9 16

Bài toán 3: (HSG toán 9, Thanh Hóa năm học 2015 - 2016)

Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab2bc2ca2 3 Chứng minh rằng:

b 

ta được: 2t5mt4 pt2  �nt 3 0 (11)Dấu “ = ” xảy ra ở (13) khi t 1

Do đó để (13) đúng thì vế trái của nó phải có nhân tử ( 1)t 2 , suy ra

Cộng theo vế các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 4 (Đề dự bị HSG lớp 9 cấp tỉnh, Thanh hoá năm học 2014-2015)

Cho ba số dương x y z, , thay đổi thỏa mãn điều kiện x2y3z3

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài này có cùng ý tưởng giống bài trên, sau khi đặt

4

Bất đẳng thức này đúng, vì nó tương đương với (a b a b ) (2  �) 0

Cũng thế cho các đánh giá khác, có ngay điều cần chứng minh

Có lẽ, biểu thức Q ban đầu giống như (*), nhưng người ra đề muốn gây một chút khó khăn cho thí sinh, bằng cách đặt ngược lại trên

Cũng tương tự đối với học sinh giỏi cấp huyện yên định năm học 2016-2017 như sau:

Cho ba số thực x, y, z thoả mãn điều kiện:

Tiếp theo ta xét bài toán sau không còn là đồng bậc nữa nhưng vẫn giải được với ý tưởng trên tuy nhiên cần thêm đánh giá phụ:

Bài toán 5 (Chọn đội tuyển quốc gia Moldova 2005)

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a4  b4 c4 3 Chứng minh rằng:

Sau khi biến đổi và rút gọn ta có (12)�mt34mt2 nt 4n1 0�

Đến đây thực hiện giống như trên tìm được

1 18 5 18

m n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c   1.

Có những BĐT không thể xây dựng ngay các đánh giá trực tiếp như trên mà cần thông qua một số đánh giá trung gian Bài toán sau đây là một ví dụ

Bài toán 6 Cho a b c, , 0 thỏa mãn a b c   9 Chứng minh rằng:

a b

ma b n ab

1( )

( ) 4

( )

3 (14) ( ) 36

a b

a b i ab

b c b c ii bc

 �  



3 3

3( ) 9

c a c a iii ca

 �  



Cộng các các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) theo vế được điều chứng minh

Qua một số bài toán trên chắc hẳn bạn đọc đã hình dung được phương pháp giải

và cảm nhận được tính đơn giản, hiệu quả của nó Vẫn với suy nghĩ đó, ta sẽ giảiquyết một lớp các bài toán dạng (phân li các biến):

f a  f b  f c �m

(Có thể coi lớp bài này là một trường hợp đặc biệt của lớp các bài trên)

Bài toán 7 Cho a b c d, , , là các số thực dương thỏa mãn a b c d    4

Tương tự với các biến còn lại Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c d    1

Dễ dàng tìm được m6,n 4 Ta sẽ chứng minh điều đó, thật vậy:

2a � 6a 4 � 2(a 1) (a 2) 0 �

Điều này hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c d    1.

Bài toán 10 (HSG Toán 9, Hà Nội 2016)

Cho a b c, , là độ dài 3 cạnh một tam giác Chứng minh:

Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c  1.

Khi cho a 1 thì ta có thể dự đoán rằng m 2,n 7 Ta sẽ chứng minh rằng với

2, 7

m n thì bất đẳng thức (16) đúng Thật vậy:

Do Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia b c   1.

Như vậy chúng ta đã cùng nhau trải qua một số các bài toán thú vị, tuy

không nhiều nhưng có lẽ bạn đọc đã nắm được ý tưởng của phương pháp… Tất nhiên, trong một bài viết nhỏ không thể nói được nhiều những vấn đề liên quan, chẳng hạn sự mở rộng, kết nối phương pháp với các kỹ thuật khác (như kết hợp cácbất đẳng thức cổ điển, Schur hoặc phân tích bình phương …) để có thể xử lý nhữngbài toán có độ phức tạp cao hơn, nhưng hy vọng bài viết nhỏ này đem lại cho bạn đọc được một vài điều bổ ích nho nhỏ và niềm vui giải các bài toán bất đẳng thức

Để củng cố phương pháp chúng tôi nêu một số bài tập tương tự để bạn đọc rèn luyện

Bài 5 (Olympic toán Mỹ 2003)

Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

Bài 7 Cho a b c d e, , , , là các số thực không âm thỏa mãn a3  b3 c3 d3 e3 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Qua điều tra học sinh đội tuyển Toán Huyện Yên định (35 học sinh) năm học2017-2018 thì kết quả đạt được trước và sau khi dạy xong nội dung này thì kết quảđạt được như sau:

Số học sinh Số HS làm được trước khi dạy Số HS làm được sau khi dạy

Trong năm học 2017-2018 tôi được nhà trường và phòng giáo dục giao nhiệm

vụ là bồi dưỡng học sinh lớp 9 đi thi cấp huyện và cấp tỉnh:

+) Cấp huyện: 2 giải nhì, 2 giải ba và 5 khuyến khích

Đồng đội xếp thứ nhất cấp huyện

+) Cấp tỉnh: 4 giải nhì, 3 giải ba và 2 khuyến khích

Đồng đội xếp thứ 2 toàn tỉnh

3.KẾT LUẬN:

- Giảng dạy áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây đã mang lại hiệu quả của

việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán.Nhiều học sinh đã chủ động tìm tòi,địnhhướng và sáng tạo ra nhiều cách giải toán không cần sự góp ý của giáo viên.Từ đógiúp các em phát triển năng lực tư duy hơn trong quá trình học toán

- Ngoài ra mức độ yêu thích môn toán của học sinh được nâng lên và các em saysưa hứng thú học toán nhiều hơn

- Đa số các em đã nắm được các phương pháp giải,biết sử dụng các phương pháphợp lý vào từng bài cụ thể

- Các em đã từng bước khai thác bài toán đã cho thành các bài toán khác nhằm

và các em học sinh góp ý

Tài liệu tham khảo:

1 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh Thanh hoá

2 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Yên Định

3 Tuyển tập các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

4 Toán Nâng cao và phát triển lớp 9( Vũ Hữu Bình)

5 Sáng tạo bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng)

6 Những viên kim cương trong bất đẳng thức (Trần Phương)

Các đề tài SKKN đã được đánh giá xếp loại:

1 Một vài ý kiến về dạy phương pháp hình học

cho học sinh thông qua một bài toán

Loại A cấp huyện nămhọc 2008 - 2009

2 Rèn luyện khả năng tìm lời giải bài toán hình

học cho học sinh khá, giỏi lớp 9

Loại A cấp huyện nămhọc 2010 – 2011

3 Dạy một định lí toán học như thế nào để phát

huy tính tích cực của học sinh

Loại B cấp huyện nămhọc 2011 – 2012

4 Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình

quy về phương trình bậc hai

Loại A cấp huyện nămhọc 2013 – 2014

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Yên Định, ngày 10 tháng 4 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của

người khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Tiến Long