Phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán lớp 6

Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bảnmột cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứngthú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô

MỤC LỤC

MỤC LỤC : 1

1.MỞ ĐẦU: 2

1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 2

1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 3

1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: 3

1.4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 4

2 NỘI DUNG: 4

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: 4

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: 5

2.2.1 Thuận lợi: 5

2.2.2 Khó khăn : 5

2.2.3 Khảo sat học sinh 6

2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI : 7

2.3.1 Giải pháp thực hiện đề tài 7

2.3.1.a Giải pháp chung : 7

2.3.1.b Giải pháp cụ thể : 7

2.3.2 Tổ chức thực hiện đề tài: 7

2.3.2.a Bài toán mở đầu về một số dãy số đơn giản: 7

2.3.2.b Tính tổng một số dãy số dạng phân số : 13

2.3.2.c Tìm tích của dãy số : 18

2.4 HIỆU QUẢ NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: 20

3 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT : 21

- KẾT LUẬN: 21

- KIẾN NGHỊ: 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO: 24

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH

1.1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục luôn đổi mớikhông ngừng Các nhà trường luôn chú trọng đến chất lượng toàn diện bêncạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, bộmôn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tựnhiên khác

Dạy toán là một hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán làcông việc chủ yếu Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việctrang bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giáoviên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bàitoán đơn giản và xây dựng bài toán gốc để giải một loạt các bài toán liênquan Điều này giúp học sinh tự tìm tòi suy nghĩ ra những bài toán mới và cónhững cách giải sáng tạo

Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bảnmột cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứngthú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra chomình

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tậpcủa học sinh, trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức,phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quátgiúp học sinh có thể phát triển tư duy Toán học

Với mong muốn nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 nói riêng Tôi nhận thấy chương trình

toán 6 có rất nhiều nội dung hay và hấp dẫn, cách tính tổng theo quy luật và

tìm tích là một trong những nội dung thú vị, phong phú, đa dạng Để giải các

bài toán dạng này thông thường ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đốinhau sau khi thu gọn ta được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được hoặclàm xuất hiện các dãy số mà ta dễ dàng tính được hoặc là ta phải phân tích cácphân số thành một tích như thế nào đó để có thể rút gọn được Nhưng biến đổi

như thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ dàng tínhđược lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải Tôi xin đưa ra

đề tài: “Phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán số học lớp

6” Ở đề tài này tôi xin đưa ra vài bài toán mang nội dung tính tổng theo quy

luật và một số bài toán tìm tích để giới thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng

bài toán và xây dưng bài toán gốc (bài toán tổng quát) để giải một loạt các bàitoán tương tự nhằm mục đích phát huy trí tuệ sáng tạo của học sinh, rènluyện năng lực tư duy cho học sinh

1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Qua nhiều năm giảng dạy ,đứng lớp chuyên khối toán 6,thực sự rất tâmhuyết và rút ra được nhiều kinh nghiệm qua từng bài giảng, lần giảng,bản thânthấy môn toán 6 rất thú vị Đối với các em mới bước vào đầu khối đang còn

bỡ ngỡ cả về kiến thức và phương pháp học,như chúng ta đã biết:

Mọi vật thể đều được cấu tạo từ chất và mọi chất được cấu tạo từ nhữngphân tử nhỏ Trong Toán học cũng vậy mọi bài toán đều bắt nguồn từ nhữngchi tiết nhỏ nhặt và những bài toán đơn giản hơn Đối với học sinh lớp 6 cũngvậy, bước đấu làm quen với môn Toán học, việc tiếp thu môn Toán học bướcđầu còn nhiều khó khăn.Vì vậy để học sinh giỏi môn Toán học không nhữngphải yêu cầu học sinh nắm vững và biết vận dụng các bài toán cơ bản mà cònphải biết cách phát triển nó thành những bài toán mới có tầm suy luận caohơn, nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh Cách dạy học như vậy mới

đi đúng hướng đổi mới giáo dục hiện nay Có như vậy mới tích cực hóa hoạtđộng của học sinh, khơi dậy khả năng tự lập, chủ động, sáng tạo của học sinh.Nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năngvận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tâm lí, tình cảm, đem lại niềmsay mê và hứng thú học tập cho học sinh

1.3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là Phát triển tư duy cho học sinh thông

1.4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Tìm ra những phương pháp tổ chức học tập một cách có hiệu quả,giúpngười học phát huy được tính tích cực,tự giác, chủ động ,tư duy sáng tạo,bồidưỡng năng lực tự học tự rèn luyện,đó là các phương pháp:

-Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

-Phương pháp thực hành

-Phương pháp nghiên cứu sản phẩm hoạt động

-Phương pháp nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm

-Phương pháp thống kê

2 NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặtkiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bị động, người giáo viênthường chú trọng đến số lượng bài tập Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy

mà không tự giải được bài tập Việc phát triển bài toán ít được học sinh quantâm đúng mức Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn số học, giải bài tập sốhọc Thực tiễn dạy học cho thấy: HS khá - giỏi thường tự đúc kết những trithức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn họcsinh trung bình hoặc yếu, kém gặp nhiều khó khăn hoặc không thể nắm đượcbài

Để có kĩ năng giải bài tập số học cần phải qua quá trình luyện tập Tuy rằng,không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệu quả,nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ mộtbài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào

đó, rèn luyện một phương pháp học tập nào đó cho mình

Nếu người thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì họcsinh không những không có ái ngại với môn số hoc mà còn hừng thú với việchọc số học Học sinh không còn cảm thấy học số học nói riêng và toàn học

nói chung là gánh nặng, mà còn ham mê học toán, có được như thế mới làthành công trong việc dạy học môn toán.

2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

2.2.1 Thuận lợi.

- Qua nhiều năm giảng dạy Toán 6 và bồi dưỡng, nâng cao chất lượng chohọc sinh khá giỏi lớp 6 đã giúp tôi nhận thấy được một số điểm yếu trongcách tư duy, khai thác bài toán của các em học sinh

- Thư viện nhà trường luôn có một số sách bồi dưỡng toán nâng cao và các tàiliệu có liên quan

- Nhà trường luôn tạo điều kiện thuận lợi để tôi viết đề tài

- Các em học sinh học giỏi toán thì không nhiều nhưng các em rất chămngoan, chịu khó học tập, biết tiếp thu và nghe lời thầy cô giáo

- Gia đình học sinh luôn tạo điều kiện để các em học tốt môn toán cũng nhưcác môn học khác

- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều hướng khác nhau, không sửdụng hết các dữ kiện của bài toán mà đề bài đưa ra

- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương phápsuy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải mẫu hoặc ápdụng phương pháp giải một cách thụ động

- Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay

mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn

- Đặc biệt cách lập luận bài toán của học sinh không chặt chẽ logíc nghĩ

gì viết đó,dài dòng và không bám sát vận dụng được kiến thức vừa học

2.2.3 Khảo sát học sinh

Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết củacác em học sinh khối lớp 6 của nhà trường trong việc khai thác cách giải vàgiải một số bài toán sau

1 3

- Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòikiến thức mới

2.3 GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

2.3.1 Giải pháp thực hiện đề tài:

Để khắc phục một số hạn chế như trên và để nâng cao hiệu quả trongviệc bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán 6, tôi đưa ra một số giải pháp như sau:

2.3.1.a Giải pháp chung:

Giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:

- Củng cố lại các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, các phép biến đổi, quy tắcdấu và quy tắc dấu ngoặc ở môn số học lớp 6

- Rèn học sinh thói quen quan sát, nhận dạng bài toán, phân tích nhằm pháthiện quy luật của bài toán

- Rèn học sinh tính tự học, tự tìm tòi sáng tạo, biết cách tổ chức học tổ, họcnhóm một cách khoa học sáng tạo để tìm ra những cách giải hay

2.3.1.b Giải pháp cụ thể:

- Giáo viên đưa ra các bài tập để hướng dẫn cho học sinh cách làm cơ bản

- Sau khi học sinh nắm được cách làm cơ bản rồi, giáo viên khai thác các bàitoán vận dụng tương tự

- Tổ chức cho học sinh thảo luận làm một số bài toán tương tự như giáo viên

Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:

- Thay đổi giá trị các thừa số trong mỗi số hạng theo quy luật như bài tập 1

- Chứng minh rằng 100A là một số Tự nhiên hoặc chứng minh rằng A chiahết cho 3

Khai thác bài toán 1.

Trong bài toán 1 các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 đơn vịhay cách nhau 1 đơn vị Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗihạng tử ta có bài toán 2

Trong bài 4 ta nhân A với 8

Như vậy để giải bài toán dạng   



n n(n k)(n 2k)

Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán

Lưu ý ) Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng dãy tổng quát:

    2 2 2     2

.

n a n a  n  a  n  n a n a  a

a lµ kho¶ng c¸ch gi ÷ a c¸c c¬ sèThay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán 9:

Bài toán 9: Tính A 1 3 23331003

Lời giải:

Sử dụng dãy tổng quát: n 1 n n 1     n3 n n3 n n 1 n n 1     và sửdụng kết quả của bài toán 8 Ta có:

Ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7

Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán 11:

Bài toán 11: Tính A 1 2  2    2 32 3 42 99 100 2

Lời giải:

1 3 2

1 2

* Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là1.2; 2.3; 3.4; 100.101

Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cách giảibài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biếndãy tính công thành dãy tính cộng và trừ

Trước tiên, cho học sinh tiếp cận và chứng minh công thức tổng quát từnhững bài toán đơn giản Có thể yêu cầu học sinh thực hiện bài toán sau : Chứng tỏ rằng:

) 1 (

1 1

1 3

1 2

n

n

Biến đổi vế trái = vế phải Quá trình dạy học như sau :

Giải : Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái

) 1 (

1 )

1 (

1 1

1 3 2

2 3 3

1

2

1

2 1

1 2 1

1 2 2

n

n n

n

n

* Qua đó ta sẽ có cách giải Ví dụ 1 như sau :

S = 1  1  1   1

= 1001 1011 11 1011 101100

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 3 2

1 2 1

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 1

n n

b) Ví dụ 2:

Tính tổng: P = 99.2101

7 5

2 5 3

2 3 1

* Phương pháp tìm lời giải:

Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số làtích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗiphân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa sốthứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2

2 5 3

2 3

1 5

1 3

1 3

2

7 5

2 5 3

2 3 1

1 5

1 3

1 3

1 1

c) Ví dụ 3: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:

61 ; 661 ; 1761 ; 3361 ;

* Phương pháp tìm lời giải:

Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:

6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của

2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy

1 11 6

1 6 1

6

1 1

1 ( 5

1 ( 5

1 ( 5

1 66

1 6

1 11 6

1 6

1 ( 5

1

16

1 11

1 ( 5

1

501

1 496

1 ( 5

1

16

1 11

1 11

1 6

1 6

1 1

1 1

= )

6

1 1

1 ( 5

1

) 1 5 (

1 4

5 (

1 ( 5

1 1

1 4 3 2

1 3 2 1

* Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu

của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp Ta viết mỗi số hạng củatổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ củanhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếpđầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau( có 1 số giữa trùng nhau)

* Cách giải:

5 4 3

1 4 3 2

1 3

1 2

1 3 2

1 2

1 38 37

1 2 1

1 38 37

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2

1 2

1 2

1 2 1

= .74138.391

2

= .38740.392

1

= .3707412

1 4 3 2

1 3 2

.

1

1

) 2 )(

1 (

1



 n n

1 (

1 2

1 2

1

n n

1 ( 2

2 ) 2 ).(

1 (

.

2

1

n n

n n

=(n4(n1).(1).(nn2)2)2

e) Ví dụ 5 : Tìm x biết rằng : 51.8 +8.111+111.14+…+ x(x13)=

1540

101

Hướng dẫn tìm lời giải :

Ta thấy vế trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 và cùng mẫu số là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị :

1 5

1

= 51.811

1 8

1

= 8.11114

1 11

1

= 111.141

1 1

1 8

1 11

1 1

x

1540 101

14

1 11

1 11

1 8

1 8

1 5

1 5

15 9

8 4 3

*) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Các phân số đã cho trong tích đề có tử

nhỏ hơn mẫu số một đơn vị, mẫu là bình phương của một số tự nhiên n (n 2

) Nếu để cho học sinh vận dụng quy tắc nhân các phân số thì sẽ rất phức tạptrong tính toán Với đặc điểm trên A được viết như sau

100

9999

4

15 3

8 2

3

Vấn đề đặt ra là ta phải phân tích các phân số trên thành một tích như thếnào đó để có thể rút gọn được Ở đây ta cần tách mỗi số của tử thành tích củahai thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị

VD: 2 2 2

3 1 2

3

 ; 2 3 2

4 2 3

8

 ; 2 4 2

5 3 4

15

 ; 2 100 2

101 99 100

4

15 3

8 2

3

= 2 2

3 1 3 2

4 2 4 2

5 3

… 100 2

101 99

=

100

4 3 2

101

5 4 3 100

3 2

4 2 4 2

5 3

1 1 28

1 1 21

1 1

*) Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Thực hiện phép tính trong ngoặc được tích sau: 13261325

36

35 28

27 21 20

Các phân số này có tử nhỏ hơn mẫu 1 đơn vị, còn mẫu số chưa đượcviết theo một quy luật nào cả Mẫu của 3 phân số đầu tiên có thể viết được là:3.7; 4.7; 4.9 Các thừa số có lặp lại nhưng chưa theo một quy luật nào cả.Nhận thấy thừa số 4 và 7 được lặp lại các thừa số ở mỗi tích không có mốiliên hệ với nhau Vậy nếu có có các tích 6.7; 7.8; 8.9 thì các thừa số ở 3 mẫucủa 3 phân số đầu tiên đã được viết theo một quy luật nhất định, đó là dãy haithừa số là 2 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 6 Để có được như vậy ta phảinhân tử và mẫu của 3 phân số với 2 ta được:

72

70 56

10 7 8 7

9 6 7 6

8 5

Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị.Nhân tử và mẫu của phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử

và mẫu của 3 phân số đầu, ta có : 26522650 5150..5253

Như vậy tích đã cho được viết thành : .78..109

8 7

9 6 7 6

8 5

… 5150..5253 , đếnđây các thừa số viết trước ở tử và mẫu là dãy tích ở tử và mẫu của phân số thứnhất, các thừa số viết sau ở tử và mẫu là dãy các tích ở tử và mẫu của phân sốthứ 2 Từ đó ta có kết quả của bài toán

36

1 1 28

1 1 21

1

36

35 28

27 21 20

= .78..109

8 7

9 6 7 6

8 5

… 5150..5253 = .87..98..109 5253

51

8 7 6

50

7 6 5

2.4 KẾT QUẢ CỦA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI:

Sau khi đưa ra các cách khai thác bài toán tính tổng, tích Tôi đã tiếnhành ra bài kiểm tra để đánh giá kết quả tiếp thu một cách thông minh linhhoạt của học sinh và qua đó so sánh với khảo sát trước đây, rút kinh nghiệmđưa ra các giải pháp phù hợp

2 2

1 100

1

3

1 2