Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 9 sử dụng ẩn phụ để giải một số dạng phương trình

Trong quá trình giảng dạy toán ở trường THCS Cẩm Tú-Cẩm Thủy, bảnthân tôi thấy phương trình vô tỷ là mảng kiến thức quan trọng và khó với họcsinh kể cả học sinh khá giỏi môn toán.Có nhiề

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 22.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 22.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải

quyết vấn đề

2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

13

1.MỞ ĐẦU

1.1.Lí do chọn đề tài.

Dạy toán ở trường phổ thông ngoài mục đích cung cấp tri thức toán chohọc sinh,còn phải chú ý dạy cho học sinh biết phương pháp phân tích, nghiêncứu, tìm tòi đào sâu khai thác, tìm mối liên hệ giữa các đại lượng, các biểu thức

có trong bài toán để có cách giải quyết tốt nhất Đồng thời phát triển bài toán đểtổng quát hoá, khái quát hoá kiến thức nhằm phát huy tính sáng tạo,năng lực tưduy,tạo điều kiện để các em lớn lên có thể nhanh chóng hội nhập với sự pháttriển của khoa học kĩ thuật

Trong quá trình giảng dạy toán ở trường THCS Cẩm Tú-Cẩm Thủy, bảnthân tôi thấy phương trình vô tỷ là mảng kiến thức quan trọng và khó với họcsinh kể cả học sinh khá giỏi môn toán.Có nhiều dạng phương trình vô tỷ khácnhau và cũng có nhiều phương pháp để giải phương trình vô tỷ Tuy nhiên một

bộ phận lớn các phương trình vô tỷ được giải bằng phương pháp dùng ẩn phụ,nhiều bài toán trong các đề thi học sinh giỏi toán các cấp phải dùng ẩn phụ đểgiải,trong khi đó thời lượng học chính khóa về vấn đề này rất ít và chỉ đòi hỏi ởmức độ đơn giản, chủ yếu là giải phương trình vô tỷ bằng các phương phápthông thường như: Nâng lên lũy thừa, đưa phương trình vô tỷ về phương trìnhchứa dấu giá trị tuyệt đối.Do đó nhiều học sinh gặp khó khăn về phương phápgiải cũng như cách suy nghĩ dẫn đến không thích học toán Vì vậy, tôi đãnghiên cứu đề tài: " Hướng dẫn học sinh khá giỏi môn toán lớp 9 trường THCSCẩm Tú -Cẩm Thủy giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ "

1.2.Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài: " Hướng dẫn học sinh khá giỏi môn toán lớp 9trường THCS Cẩm Tú -Cẩm Thủy giải phương trình vô tỷ bằng phương phápđặt ẩn phụ “ giúp học sinh hiểu được:

Các phương trình có dấu hiệu nào thì dùng phương pháp đặt ẩn phụ đểgiải ?

Cách tìm mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình để đặt ẩnphụ?

Cách suy nghĩ để biến đổi phương trình vô tỷ nhằm làm xuất hiện ẩn phụnhư thế nào?

1.3.Đối tượng nghiên cứu

Học sinh lớp 9 trường THCS Cẩm Tú năm học 2017-2018

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo

Nghiên cứu qua trao đổi, học hỏi đồng nghiệm

Nghiên cứu qua quá trình đúc rút kinh nghiệm trực tiếp giảng dạy

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Giải phương trình vô tỷ bằng cách đạt ẩn phụ giống như việc đáng lẽ ra taphải đi đường thẳng nhưng ta lại đi đường vòng để đến đích nhưng đường vòng

dễ đi hơn đường thẳng, hoặc cũng có thể xem như một công việc khó được táchlàm các công đoạn dễ làm hơn

Ẩn phụ không phải là ẩn ban đầu của bài toán.Với ẩn ban đầu, bài toán rấtkhó giải, cũng có thể không giải được nhưng bằng cách thay ẩn đã cho bởi một

ẩn khác (ẩn phụ) bài toán trở nên dễ dàng hơn.Và do đó,đáng lẽ ra phải đi tìm ẩn

đã cho của bài toán ta lại đi tìm ẩn phụ, sau khi tìm được ẩn phụ trở về tìm ẩn

ban đầu

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế qua một số năm giảng dạy bộ môn toán tại trường THCS CẩmTú-Cẩm Thủy, thông qua việc khảo sát đối tượng học sinh lớp 9 hàng năm tạitrường THCS Cẩm Tú, tôi nhận thấy phần lớn các em trong đó có cả học sinhkhá, giỏi không biết nhận dạng cụ thể phương trình cần phải dùng ẩn phụ đểgiải.Chính vì vậy mà khi găp dạng bài tập này các em thường không làmđược.Điều này đã làm cho các em gặp nhiều khó khăn và nản lòng khi học toánđặc biệt khi các em học lên các cấp học cao hơn.Năm học 2017-2018, tôi khảosát 20 học sinh khá,giỏi khối 9 trường THCS Cẩm Tú-Cẩm Thủy một số bàitoán về giải phương trình vô tỷ bằng cách dùng ẩn phụ ,kết quả như sau:

Số lượng %

Số lượng %

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của bài toán.

Đây là việc làm bắt buộc trước khi giải phương trình vô tỷ, tìm điều kiện xác định

là tìm miền xác định của bài toán ,giúp chúng ta loại các giá trị không thõa mãn củaphương trình

Bước 2:Nhận dạng xem phương trình vô tỷ có thể dùng ẩn phụ để giải không

bằng cách xem xét mối liên hệ giữa các biếu thức có trong phương trình

Chỉ có những phương trình mà các đại lượng tham gia có một mối liên hệnào đó (được biểu hiên bằng các hệ thức toán học) mà nhờ mối liên lệ này đạilượng này được biểu diễn qua đại lượng kia (hoàn toàn hoặc không hoàn toàn)mới có khả năng dùng được ẩn phụ.

Bước 3: Đặt ẩn phụ (hoặc biến đổi để xuất hiện các đại lượng liên quan có thể đặt

ẩn phụ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ

Có phương trình vô tỷ ẩn phụ xuất hiện ngay từ đầu song phần lớn cácphương trình ẩn phụ thường xuất hiện qua một số phép biến đổi, có những mốiliên hệ của các đại lượng tham gia trong bài toán lại "ẩn nấp" khá kín đáo đòi hỏi ngườigiải toán cần có cái nhìn tinh vi, linh hoạt, sáng tạo mới phát hiện ra những điều mà cácđại lượng tham gia trong bài toán "muốn nói"

Sau khi đặt ẩn phụ chuyển một bài toán từ ẩn ban đầu thành một bài toánvới ẩn phụ thì một việc quan trọng không thể quên đó là: Tìm điều kiện cho ẩnphụ-đây chính là miền xác định của bài toán.Việc tìm điều kiện cho ẩn phụ phảilinh hoạt,tùy từng ẩn phụ,tùy từng bài toán mà việc chuyển điều kiện cho ẩn phụphải hợp lí và chính xác

Bước 4: Giải phương trình để tìm ẩn phụ, sau đó tìm ẩn ban đầu rồi kết luận

nghiệm

Khi đã đặt ẩn phụ và đưa phương trình về các dạng phương trình quen thuộc thìviệc giải phương trình để tìm ẩn phụ rồi tìm ẩn ban đầu trở nên rất dễ dàng song khi kếtluận nghiệm cần lưu ý đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ và điều kiện của phương trình

2.3.2.Một số dạng phương trình vô tỷ giải bằng cách đặt ẩn phụ

Có nhiều dạng phương trình vô tỷ giải được bằng cách đặt ẩn phụ và cũng cónhiều cách đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ nhưng với học sinh trung học cơ sở đềtài chỉ đề cập đến ba cách đặt ẩn phụ thường gặp nhất ở chương trình toán lớp 9, đó là:

Dạng 1: Dùng ẩn phụ chuyển các bài toán giải một phương trình vô tỷ ẩn x thành

bài toán giải một phương trình ẩn y

Dạng 2: Dùng ẩn phụ chuyển bài toán giải một phương trình vô tỷ ẩn x

thành một hệ nhiều phương trình nhiều ẩn

Dạng 3:Dùng ẩn phụ để chuyển bài toán giải một phương trình vô tỷ ẩn x

thành phương trình ẩn phụ t nhưng vẫn chứa ẩn x

2.3.2.1 Dạng 1: Dùng ẩn phụ chuyển các bài toán giải một phương trình vô tỷ ẩn

x thành bài toán giải một phương trình ẩn y

Đối với cách làm này có phương trình ẩn phụ xuất hiện ngay hoặc sau một bướcbiến đổi đơn giản

Khi đó ẩn phụ xuất hiện ngay là x2  7x 7

-Đặt x2  7x 7=y (y0) ta được phương trình bậc hai ẩn y:

 x=- hoặc x=- (cả hai giá trị này thõa mãn ĐKXĐ)

Vậy tập nghiêm của phương trình đã cho là S=

Song cũng có phương trình ẩn phụ chỉ xuất hiện sau một số bước biến đổi đòihỏi người học phải linh hoạt trong việc xem xét mối liên hệ giữa các biểu thức

-Suy nghĩ ta thấy phương trình (3) khó có thể giải bằng các phương pháp thông thường

vì chứa căn bậc 4 Tiếp tục suy nghĩ ta thấy mối liên hệ giữa các biểu thức: x- và x+ đólà: (x-) (x+) =1

Chỉ có y=1 là thõa mãn điều kiện y1

-Tìm x bằng cách giải phương trình:=1 ta được x=1 ( thõa mãn điều kiên)

-Tìm mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình ta thấy :

(4)  10 x 2 x2  2x 4 3 (   x 2) (  x2  2x 4) 

 (Cả hai nghiệm đều thõa mãn điều kiện x 2)

Vậy phương trình có 2 nghiệm :x=11 177

(x-1)(x2+x+1)=x3-1

2(x-1)+x2+x+1=x2+3x-1

Do đó ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:

= 2(x-1)+x2+x+1

Chia 2 vế của phương trình cho x2+x+1>0 ta được:

=2 +1 Khi đó ẩn phụ xuất hiện là

Giải: Điều kiện: x 1

2.3.2.2.Dạng 2: Dùng ẩn phụ chuyển bài toán giải một phương trình ẩn x

thành một hệ nhiều phương trình nhiều ẩn

Ở cách làm này ta lại đi chuyển từ bài toán một ẩn thành bài toán nhiều

ẩn, từ bài toán một phương trình thành bài toán nhiều phương trình, có vẻ như talại đang làm phức tạp bài toán? Không Thực chất ta đang chuyển một bài toánkhó thành một bài toán dễ hơn Để làm được điều này ta phải tìm được mối liên

hệ giữa các biểu thức có trong phương trình Thông thường sau khi đặt ẩn phụ

từ phương trình ban đầu ta thu được một phương trình của hệ, còn từ mối liên hệgiữa các ẩn ta thu được một phương trình khác của hệ

3 3

-Giải hệ phương trình (7.1) ta tìm được a=1 và b=2

-Tìm x bằng cách giải hệ :

2 2

(Sách nâng cao và phát triển toán 9- tập 1)

-Suy nghĩ ta thấy phương trình này không thể giải bằng các phương pháp thôngthường

-Xem xét mối liên hệ giữa các biểu thức trong phương trình ta thấy:

-Těm mối lięn hệ giữa các biểu thức trong phương trình ta thấy:

(7x+4)-(2x-2)=(8x+1)-(3x-5)

hay ( 7x 4)2-( 2x  2)2=( 8x 1)2-( 3x  5)2

Do đó:

đặt 7x 4=a (a0) ; 2x  2=b (b0) ; 8x 1=c (c0) ; 3x  5=d (d0) tađược hệ phương trình: a b c d2 2 2 2

 ( Vì a0; b0; a, b không đồng thời bằng 0 nên a+b>0)

 a=c  7x 4= 8x 1  x=3 ( thõa mãn điều kiện )

Vậy nghiêm duy nhất của phương trình là x=3

 a=b hoặc a=1 hoặc b=1

 Với a=b ta có x 5= x 2 ( phương trình vô nghiệm)

 Với a=1 ta có x 5=1  x=-4 ( loại )

 Với b=1 ta có x 2 =1 x=-1 ( thõa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-1

2.3.2.3 Dạng 3: Dùng ẩn phụ để chuyển bài toán giải một phương trình

vô tỷ ẩn x thành phương trình ẩn phụ t nhưng vẫn chứa ẩn x

-Có những phương trình vô tỷ không giải được bằng các phương pháp thôngthường nhưng khi ta chọn ẩn phụ thì lại không biểu diễn triệt để được qua ẩnphụ, hoặc nếu biểu diễn triệt để qua ẩn phụ thì công thức biểu diễn lại phức tạphơn phương trình ban đầu Trong trường hợp này ta chọn sử dụng ẩn phụ nhưngvẫn chứa cả ẩn ban đầu

Ví dụ 11: Giải phương trình: 2x2  2x  1 (2x 3)( x2   x 2 1) (11)

(Trích đề thi học sinh giỏi toán tỉnh Thái Bình)

để giải một số dạng phương trình vô tỷ toán 9" ;

Tổng số

HS

Loại giỏi Loại khá trung bình Loại yếu

Số lượng % lượng Số % lượng Số % lượng Số %

Sau khi áp dụng đề tài phần lớn các em đã biết nhận dạng, phát hiện ẩnphụ, biết xem xét mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình vô tỷ đãcho để biến đổi làm xuất hiện ẩn phụ rồi đặt ẩn phụ giúp giải bài toán một cách

dễ dàng Các em cũng đã trình bày bài toán chặt chẽ, rõ ràng Một số em đã nhìnnhận bài toán rất nhanh và có những biến đổi rất linh hoạt kể cả với những bàitương đối phức tạp Vì vậy, nhiều em yêu thích học toán và có những kỹ năngquan sát, phân tích, biến đổi, kỹ năng suy nghĩ khoa học khi học các dạng toánkhác cũng như khi làm việc

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

3.1.Kết luận

Giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ là một nội dung rộng, đãđược nhiều người đề cập đến và đối với học sinh giải phương trình vô tỷ bằngcách đạt ẩn phụ là những bài toán khó nó bổ trợ cho sự rèn luyện, phát triểnnăng lực tư duy sáng tạo và trí thông minh của học sinh

Mỗi dạng bài toán về giải phương trình vô tỷ bằng cách đạt ẩn phụ đều cómột phương pháp riêng để đưa về các phương trình đơn giản hơn hoặc dễ giảihơn Trong khuôn khổ của đề tài mang nội dung rộng và khó, tôi mới chỉ đưa ramột số cách giải phương trình bằng cách đạt ẩn phụ mà tôi đúc rút được qua việcgiải bài tập, qua nghiên cứu các tài liệu, qua quá trình giảng dạy và trao đổi vớicác đồng nghiệp

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài chắc chắn còn có nhữngthiếu sót Rất mong được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo, các bạn đồngnghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạycủa giáo viên và chất lượng học tập học sinh

3.2.Kiến nghị

Hội đồng khoa học ngành giáo dục nên phổ biến những sáng kiến kinhnghiệm hay của ngành để các đồng chí giáo viên trao đổi, học hỏi thêm kinhnghiệm

Cẩm Thủy, ngày 20 tháng3 năm 2018

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Người viết

Nguyễn Thị Hiền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.Sách giáo khoa toán 9: Duy thuận, Trần Kiều

2 Nâng cao và phát triển toán 9: Vũ Hữu Bình

3 Toán nâng cao và các chuyên đề đại số: Ngọc Đạm

4 1001 Bài toán sơ cấp: Nguyễn Văn Vình - Nguyễn Đức Đồng

5.Dùng ẩn phụ để giải toán :Nguyễn Thái Hòe

6.Lời giải đề thi học sinh giỏi toán 9: Trần Tiến Tự

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGHÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH

VÀ CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hiền

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Trường trung học cơ sở Cẩm Tú, CẩmThủy

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết quả đánh giá xếp loại

Năm học đánh giá xếp loại

1

Hình thành các phương

pháp suy luận trong

giải toán cho học sinh

lớp 6

Ngành giáodục huyệnCẩm Thủy

minh tứ giác nội tiếp và

các bài toán liên quan

Ngành giáodục huyệnCẩm Thủy

………

………

………

………

………

………

………

………

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH CẤP HUYỆN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH CẤP TỈNH

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM THỦY

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 9 TRƯỜNG THCS CẨM TÚ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH