Đề thi Olympic Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội

Khi đó K là giao điểm của mặt phẳng CMNvới đường thẳng B C' '.

Câu 1(3,0 ) : 2 cos5x.sinx 2sin5x.cosx sin 4 2 x

Câu 2 (2,0 )

2

2 6

3

x

x

1 3 3 1

1 ( ) :

1

n

u u

u au a ,n *

nhân

1 2 lim(u u u n n) 4

,

AB, E DD’ sao cho AI D E' x, (0 x 1)

,

' '

B K

B C

1

- -

c s d ng tài li i thích gì thêm.

H và tên thí sinh: ……… ….SBD:

– 2019

: 150 phút

TR ƯỜNG THPT KIM LI£N ĐÁP ÁN ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11

NĂM HỌC 2018 – 2019

1

(3 điểm)

2cos sin 2sin cos sin 4

2cos sin (cos sin )(cos sin ) sin 4

1 sin 2 cos 2 sin 4 sin 4 sin 4

2

1,5

sin 4 0

sin 4

24 2 6

x k

x k x

x

















1,5

2

(2 điểm )

Điều kiện xác định: x0;x9

2

1,0

2

2 6

3 1

3

x

x



 



1,0

3

( 4,0 điểm )

a) Ta có 3   3   3     3 

u au a u a u Suy ra v n1 av n 1,0 Như vậy dãy số  v n là cấp số nhân với công bội a nên nó là cấp số nhân lùi vô hạn 1,0 b) Ta được   



1 2

2 1

1

n

n

a

a

  



1 2

2 1

1

n

n

a

a

 3 3  3 

1 2



2 1

1

n

a a

1,0

Vì 0 a 1 nên 2 1  2 2 1

n

a

a



4

( 3,0 điểm )

T là phép thử ‘Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 25 học sinh’ Ta có : 3

25

C

 

Gọi A là biến cố : 3 học sinh được chọn luôn có học sinh dự thi môn Toán và học sinh dự thi môn Anh Ta có các trường hợp sau thuận lợi cho biến cố A :

0,5

 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 2 học sinh chọn môn Anh có : 1 2

6 5

C C khả năng

 Có 2 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh có : 2 1

6 5

C C khả năng

 Có 1 học sinh chọn môn Toán, 1 học sinh chọn môn Anh, 1 học sinh chọn môn khác

(Văn, Tin, Sinh học, Lịch sử, Vật Lí, Hóa, Địa lý) có : 1 1 1

6 5 14

C C C khả năng

2,0

1 2 2 1 1 1 1

6 5 6 5 6 5 14

A C C C C C C C

    Vậy xác suất của biến cố A là ( ) 555 111

2300 460

A

P A    

5

( 6,0 điểm )

Đặt A B a A D b A A c' ' ; ' ' ; '  a) Ta có: A C a b c'   

Lại có: IE IA AD DE  

(1 )

xa b x c

Xét:

(1 ) 1 (1 ) 0

A C IE a b c xa b x c

Suy ra A C IE' 

F N

M

A'

A

B'

B

D'

D

C'

C

K

M'

I

E

3.0

b) Ta có: 0

2

cos60

2

8 1 0 4 15

2

1 3

x

x

 



1,5

c) Gọi M’ là trung điểm cạnh A’B’

Trong ( ' ' ' ') :A B C D kẻ đường thẳng đi qua N và song song với C M' 'cắt đường thẳng

' '

B C tại K Khi đó K là giao điểm của mặt phẳng (CMN)với đường thẳng B C' '

Áp dụng định lí Ta-lét ta tính được: ' 5

' ' 2

B K

B C 

1,5

6

( 2 điểm )

Đặt

P

a b c   a b c  a  b  c  , theo giả thiết thì a2b2c2 3b Suy ra 3 2b a4b2 6 0c  hay 2a b 2 10 16c 

0,5

2

2



Do đó:

x  y  x y

Áp dụng (1) ta có:

2

a  b a b 

;

3

c



0,5

2

P

Theo giả thiết và chứng minh trên thì 0 2 a b 2 10 16c  , P 1

0,5