Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN
VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
§ 4 Thể tích khối đa diện
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Vi t thu ho ch sáng t oết thu hoạch sáng tạo ạch sáng tạo ạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận
được giải đáp
Trang 3Đ4 Thể tích của khối đa diện
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1 Thế nào là thể tích của một khối đa diện ?
Định nghĩa
Thể tích của mỗi khối đa diện là một số dơng có các tính chất sau:
a Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
b Nếu một khối đa diện đợc phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
Khi đó, thể tích của khối hộp chữ nhật đó là:
Trang 4V = MN3 =
3
a 23
Hoạt động Tính thể tích của khối lập phơng có các đỉnh là trọng tâm
các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a 2.
3 Thể tích của khối chóp
Định lí 2: Thể tích của khối chóp bằng
3
1
tích của diện tích đáy và chiều cao.
Nh vậy, với khối chóp có diện tích đáy bằng b và chiều cao bằng h ta có:
V = 3
1 b.h
Thí dụ 4: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
V = 1S BCD.AG
3 = 1 a. 2 3 a 6.
= a3 212
Chú ý: Các em học sinh hãy ghi nhớ công thức này để có thể thực hiện nhanh bài
tập trắc nghiệm
Hoạt động 1 Tính thể tích của khối tứ diện đều, biết diện tích toàn
phần của nó bằng a2 3.
2 Tính thể tích của khối tứ diện đều, biết khoảng cách từ
một đỉnh đến mặt đối diện của nó bằng 2a 6.
3 Tính thể tích của khối lục diện đều cạnh a.
Thí dụ 5: Tính thể tích của khối tám diện đều cạnh a
Giải
Với khối tám diện đều SABCDS1, chúng ta chia nó thành hai khối chóp tứ giác
đều S.ABCD và S1.ABCD cạnh a
A
S1
C
D B
Trang 5Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có:
V = 2VS.ABCD = 2 .S1 ABCD.SO
3 = 2 2 a 2
.a
= a3 23
Hoạt động 1 Tính thể tích của khối tám diện đều, biết diện một mặt
của nó bằng a2.
2 Tính thể tích của khối mời hai diện đều cạnh a.
4 Thể tích của khối lăng trụ
Định lí 2: Thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.
Nh vậy, với khối lăng trụ có diện tích đáy bằng b và chiều cao bằng h ta có:
Hoạt động 1 Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác có các cạnh
đáy bằng 3, 4, 5 và diện tích xung quanh bằng 72.
2 Một khối lăng trụ đứng tứ giác có đáy hình chữ nhật
cạnh bằng 2, 6 và diện tích một mặt chéo bằng 20 Tính thể tích khối lăng trụ đó.
Thí dụ 7: Cho hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh bằng a, góc nhọn bằng
C'
D
D'
AA'
B'
Trang 6 A'H = a 6
3.Thể tích V của lăng hộp đợc cho bởi:
V = SABCD.A'H = 2SABD.A'H = 2.a2 3 a 6.
= a3 22
Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 1.200.000đ.
1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2 Bạn gửi tiền về:
Lấ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ
3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.
LUễN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY
bài tập lần 1Bài tập 1: Khi độ dài cạnh của hình lập phơng tăng thêm 2cm thì thể tích của nótăng thêm 98cm3 Tính độ dài cạnh của hình lập phơng đã cho
Bài tập 2: Các đờng chéo của các mặt của hình hộp chữ nhật bằng 5, 10,
Bài tập 5: Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lợt là trung điểm của hai cạnh AB và
CD Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện
a Kể tên bốn khối tứ diện đó
b Chứng tỏ rằng bốn khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau
c Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trênbằng nhau
Bài tập 6: Cho khối chóp S.ABC có đờng cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân
AB = BC = a Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đờng cao hạ từ A của SAC
a Tính thể tích khối chóp S.ABC
b Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (AB'C')
c Tính thể tích khối chóp S.AB'C'
Trang 7Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là đỉnh H thuộc
4
trung điểm của SA và tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC theo a
Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và
N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AC, H là giao điểm của CN với DM.Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3. Tính thể tích khối chópS.CDNM và khoảng cách giữa hai đờng thẳng DMvà SC theo a
Bài tập 9: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 19, 20, 37, chiều caocủa khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ
Bài tập 10: Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng sáu trung điểm củasáu cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' và A'A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng
đó chia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau
Bài tập 11: Cho khối lăng trục đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác ABC vuôngtại A, AC = b, ACB = 600 Đờng thẳng BC1 tạo với mp(AA1CC1) một góc 300
a Tính độ dài đoạn thẳng AC1
b Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
Bài tập 12: Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bêntạo với mặt phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8 Tính thể tích khối lăngtrụ
Bài tập 13: Tính thể tích của khối hộp ABCD.A'B'C'D' biết rằng A.A'B'D' là khối
tứ diện đều cạnh a
Bài tập 14: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng S và AA' = h.Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA', BB', CC' tại A1, B1 và C1 Biết AA1 = a,
BB1 = b, CC1 = c
a Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ đợc phân chia bởi mặt phẳng (P)
b Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần đó bằng nhau?
Bài tập 15: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a,
điểm A1 cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA1 tạo với mặt phẳng đáy một góc
600
a Tính thể tích của khối lăng trụ đó
b Chứng minh rằng mặt phẳng bên BCC'B' là một hình chữ nhật
c Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A1B1C1 (tổng đó gọi
là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho)
Bài tập 16: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, góc
 = 600 Chân đờng vuông góc hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai
đờng chéo của đáy Cho BB1 = a
a Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b Tính thể tích hình hộp
Bài tập 17: Cho hình lập phơng có cạnh bằng a Tính thể tích của khối tám mặt
đều mà các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phơng đã cho
Bài tập 18: Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi E và F lần lợt làtrung điểm của BC và CD
a Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A1EF) và hình lập phơng
b Tính thể tích hai phần của hình lập phơng do mặt phẳng (A1EF) cắt ra
Bài tập 19: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B và AB = a.Cạnh SA = b và vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Trang 8Bài tập 20: Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD Chứng minh rằngtổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụthuộc vào vị trí của điểm M Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đềubằng a?
Bài tập 21: Một khối mời hai mặt đều H có thể tích V và diện tích mỗi mặt của nó bằng S Tính tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong H đến các mặt của nó Bài tập 22: Gọi x1, x2, x3, x4 là khoảng cách từ điểm M tuỳ ý nằm trong tứ diệnABCD đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC), còn h1, h2, h3, h4 là các đờngcao tơng ứng với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện Chứng minh rằng:
1h
xh
xh
xh
x
4 4
3 3
2 2
1
1
Bài tập 23: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V Gọi B' và D' lần lợt là trung
điểm của AB và AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành hai phần Tínhthể tích mỗi phần đó
Bài tập 24: Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tíchcủa hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trớc
Bài tập 25: Cho khối lăng trụ đều ABC.A'B'C' và M là trung điểm của cạnh AB.Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích của phần
đó
Bài tập 26: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' Gọi M là trung điểm cạnhAA' Mặt phẳng đi qua M, B', C chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thểtích của hai phần đó
Bài tập 27: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đờng thẳng SA, SB, SC lần lợtlấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V và V' lần lợt là thể tích của các khối chópS.ABC và S.A'B'C' Chứng minh rằng V SA SB SC. .
V 'SA ' SB ' SC '
Bài tập 28: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm cạnh
SC Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD, chia khối chóp thành hai phần.Tính tỉ số thể tích của hai phần đó
Bài tập 29: Chứng minh rằng nếu có phép đồng dạng tỉ số k biến tứ diện ABCDthành tứ diện A'B'C'D' thì A'B'C'D'
a Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp
b Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp đợc phân chia bởi mặt phẳng (MNP)
Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”.
bài giảng nâng cao
Bài toán 1:Thể tích khối hộp chữ nhật
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng kết quả:
Với khối hộp chữ nhật có ba kích thớc là a, b, c thì:
V = abc
Trang 9Vậy, hình lập phơng có cạnh bằng 3cm thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ví dụ 2: Các đờng chéo của các mặt của hình hộp chữ nhật bằng 5, 10,
13 Tình thể tích của hình hộp đó
Hớng dẫn: Thiết lập hệ phơng trình về ba độ dài a, b, c của khối hộp chữ nhật theo các
đờng chéo Từ đó, nhận đợc thể tích của nó.
Khi đó, thể tích của khối hộp chữ nhật đó là:
1 b.h
Để tính đợc thể tích của hình chóp ta thờng thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (nh khoảng cách, góc giữa đờng thẳng
với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ) theo các phơng pháp đã biết
Bớc 2: Dựa vào công thức, ta phân tích V thành các biểu thức chứa những đoạn
thẳng phải tính
Bớc 3: Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lợng trong tam
giác, tính chất đồng dạng
Bớc 4: Suy ra giá trị của V
Ví dụ 1: Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặtphẳng đáy một góc Tính thể tích của hình chóp đó
Hớng dẫn: Thực hiện theo các bớc:
Trang 10Bớc 1: Xác định đờng cao cho hình chóp dựa vào tính chất của hình
chóp tam giác đều Từ đó, suy ra góc giữa cạnh bên với mặt phẳng đáy.
Bớc 2: Thiết lập công thức tính thể tích của hình chóp (1) Bớc 3: Tính toán các giá trị trong (1) bằng việc sử dụng các kiến thức về
hệ thức lợng trong tam giác vuông (2) Bớc 4: Thay (2) vào (1) để nhận đợc kết quả cần tìm.
3b 3co s4
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lợt là trung điểm của hai cạnh AB và
CD Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành bốn khối tứ diện
a Kể tên bốn khối tứ diện đó
b Chứng tỏ rằng bốn khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau
c Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì bốn khối tứ diện nói trênbằng nhau
Hớng dẫn: Xem lại kiến thức trong bài học 2.
EC
C
A
Trang 11 Giải
a Bốn khối tứ diện đó là ACEF và ADEF; BCEF và BDEF
b Từ kết quả "Mặt phẳng qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện của một tứ diện sẽ phân chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện có thể tích bằng nhau".
Do đó, với V là thể tích của tứ diện ABCD thì:
c Nếu ABCD là khối tứ diện đều thì EF là trục đối xứng của tứ diện Từ đó, ta cónhận xét:
ACEF là ảnh của ADEF qua phép đối xứng qua mặt (ABF)
Từ (1), (2) và (3) suy ra bốn khối tứ diện bằng nhau
Ví dụ 4: Cho khối chóp S.ABC có đờng cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân
AB = BC = a Gọi B' là trung điểm của SB, C' là chân đờng cao hạ từ A của SAC
C'
B'
Trang 1236
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là đỉnh H thuộc
4
trung điểm của SA và tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC theo a
Hớng dẫn: Hãy phác thảo hình vẽ, rồi ta lần lợt:
1 Để chứng minh M là trung điểm của SA ta đi chứng minh:
Suy ra SCA cân tại C nên M là trung điểm của SA
b Tính thể tích khối chóp tứ diện SMBC: Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên :
1
KM SH
2
Trang 13Ta có :
3 SABC ABC
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và
N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và AC, H là giao điểm của CN với DM.Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3. Tính thể tích khối chópS.CDNM và khoảng cách giữa hai đờng thẳng DMvà SC theo a
ta có thể lựa chọn một trong hai hớng:
Hớng 1: Tách tứ giác CDNM thành các hình cơ bản, thí dụ:
S CDNM = S CDN + S CNM Hớng 2: Nhúng tứ giác CDNM trong một hình cơ bản, thí dụ:
S CDNM = S ABCD (S AMN + S BCM ) Với bài toán này ta sẽ đi chọn hớng 2 bởi các hình cơ sở trong đó là hình vuông, tam giác vuông có độ dài cho trớc.
2 Để tính khoảng cách giữa DM và SC, chúng ta chỉ cần thực hiện:
Tìm đoạn vuông góc chung của DM và SC, cụ thể với các em học sinh có kiến thức hình học phẳng vững sẽ dễ nhận thấy rằng:
DM CN DM (SHC) DM SC Suy ra, chỉ cần dựng HK vuông góc với SC chúng ta nhận đợc:
Trang 14CD2 = CH.CN
2
CDHC
CD DN
2 2 2
.5aa4
2a
a 3
2a 575
192a
Để tính đợc thể tích của hình lăng trụ ta thờng thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định các yếu tố của giả thiết (nh khoảng cách, góc giữa đờng thẳng với
mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng ) theo các phơng pháp đã biết
Bớc 2: Dựa vào công thức, ta phân tích V thành các biểu thức chứa những đoạn
thẳng phải tính
Bớc 3: Tính những đoạn thẳng ấy bằng cách sử dụng các hệ thức lợng trong tam
giác, tính chất đồng dạng
Bớc 4: Suy ra giá trị của V
khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy Tính thể tích khối lăng trụ
Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.
Giải
Gọi h là độ dài đờng cao của lăng trụ, ta có:
Trang 15V = 76
3 114 = 2888
cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' và A'A nằm trên một mặt phẳng và mặt phẳng đóchia khối hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau
Hớng dẫn: Xem lại kiến thức trong bài học 2.
Giải
a Gọi M, N, I, J, K, E theo thứ tự là trung điểm của sáu cạnh AB, BC, CC', C'D',D'A' và A'A
Nhận xét rằng:
MN, EF, KJ đôi một song song với nhau (vì chúng
cùng song song với AC)
M, O, I thẳng hàng
Từ đó, suy ra các điểm M, N, I, J, K, E đồng phẳng
b Từ kết quả câu a), ta thấy mặt phẳng (MNIJKE) đi
qua tâm đối xứng O của khối hộp nên (MNIJKE) chia khối
hộp thành hai phần có thể tích bằng nhau
A, AC = b, ACB = 600 Đờng thẳng BC1 tạo với mp(AA1CC1) một góc 300
c Tính độ dài đoạn thẳng AC1
d Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
Hớng dẫn: Thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định góc giữa cạnh BC 1 với mặt phẳng (AA 1 CC 1 ) bằng việc
sử dụng điều kiện BA(AA 1 CC 1 ).
J K
O
