Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN
VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận
được giải đáp
2
Trang 3Đ 1 Khái niệm về khối đa diện
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1 Khối đa diện Khối chóp, khối lăng trụ
Thí dụ 1: Chúng ta hãy quan sát các hình sau:
chúng ta nhận thấy:
Hình 1 đợc gọi là tứ diện (hay hình chóp tam giác).
Hình 2 đợc gọi là chóp tứ giác.
Hình 3 đợc gọi là chóp cụt có đáy là lục giác.
Hình 4 đợc gọi là lăng trụ đứng có đáy là tam giác.
Hình 5 đợc gọi là lăng trụ có đáy là tứ giác (hay hình hộp).
Hình 6 đợc gọi là bát diện.
Tất cả chúng đợc gọi chung là hình đa diện.
Định nghĩa
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng
thoả mãn hai điều kiện:
a Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác nh thế gọi là một mặt của hình đa diện Các đỉnh, cạnh của các đa
giác ấy theo thứ tự đợc gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài
Định nghĩa
Hình đa diện và phần bên trong của nó gọi là khối đa diện.
Từ định nghĩa trên, ta thấy:
Khối đa diện đợc gọi là khối chóp, khối chóp cụt nếu nó đợc giới hạn bởi
một hình chóp (hình 1 và hình 2), hình chóp cụt (hình 3) Nh vậy, ta có thể nói về khối chóp ngiác, khối chóp cụt ngiác, khối chóp đều, khối tứ diện,
Khối đa diện đợc gọi là khối lăng trụ nếu nó đợc giới hạn bởi một hình lăng
trụ (hình 4 và hình 5) Nh vậy, ta có thể nói về khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phơng,
3
Hình 1 Hình 2 Hình 3
Hình 4
Hình 6 Hình 5
Trang 4II.Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Thí dụ 2: Cho tứ diện ABCD và E một điểm trên cạnh AB Ta xét hai khối tứ diện ACDE và BCDE và nhận thấy rằng:
1 Hai khối tứ diện đó không có điểm trong chung
(nghĩa là điểm trong của khối tứ diện này không phải
là điểm trong của khối tứ diện kia)
2 Hợp của hai khối tứ diện ACDE và BCDE chính là
khối tứ diện ABCD
Trong trờng hợp đó, ta nói rằng:
Khối đa diện ABCD đợc phân chia thành hai khối đa diện ACDE và BCDE Ngợc lại hai khối đa diện ACDE và BCDE đợc ghép lại thành khối đa diện ABCD
Hoạt động H y phân chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi haiãy phân chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai
mặt phẳng.
Kết quả
Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia đợc thành các khối tứ diện
(bằng nhiều cách khác nhau)
Thí dụ 3: Hãy phân chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành ba khối tứ diện
Giải
Để phân chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành ba khối tứ
diện, ta có thể sử dụng những cách sau:
Cách 1: Ta có ba khối tứ diện là A'ABC, CA'B'C' và A'B'BC.
Cách 2: Ta có ba khối tứ diện là A'ABC, CA'BC' và A'B'BC'.
Hoạt động Các em học sinh h y đề xuất những cách phân chia khác.ãy phân chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai
bài tập lần 1
Bài tập 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là
đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện
Bài tập 2: Chứng minh rằng một khối đa diện bất kì có ít nhất bốn mặt
Bài tập 3: Hãy phân chia một khối hộp thành 5 khối tứ diện
Bài tập 4: Hãy phân chia một khối hộp có ba kích thớc là a, 2a, 2a thành bốn khối lập phơng
Bài tập 5: Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng
Bài tập 6: Hãy phân chia khối lăng trụ ABC.A'B'C' thành ba khối tứ diện
Bài tập 7: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh a, một cạnh bên a và vuông góc với đáy Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phơng
bài giảng nâng cao
A Tóm tắt lí thuyết
1 Khối đa diện Khối chóp, khối lăng trụ
Định nghĩa
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng
thoả mãn hai điều kiện:
4
A
B D
C E
C
A'
A
B'
B
C'
Trang 5c Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
d Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Mỗi đa giác nh thế gọi là một mặt của hình đa diện Các đỉnh, cạnh của các đa
giác ấy theo thứ tự đợc gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài
Định nghĩa
Hình đa diện và phần bên trong của nó gọi là khối đa diện.
Từ định nghĩa trên, ta thấy:
Khối đa diện đợc gọi là khối chóp, khối chóp cụt nếu nó đợc giới hạn bởi
một hình chóp (hình 1 và hình 2), hình chóp cụt (hình 3) Nh vậy, ta có thể nói về khối chóp ngiác, khối chóp cụt ngiác, khối chóp đều, khối tứ diện,
Khối đa diện đợc gọi là khối lăng trụ nếu nó đợc giới hạn bởi một hình lăng
trụ (hình 4 và hình 5) Nh vậy, ta có thể nói về khối hộp, khối hộp chữ nhật, khối lập phơng,
III.Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Kết quả
Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia đợc thành các khối tứ diện
(bằng nhiều cách khác nhau)
B
B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp Bài toán 1:Chứng minh một số tính chất liên quan đến các đỉnh, các cạnh,
các mặt của khối đa diện
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng các tính chất a), b) trong định nghĩa của hình đa diện
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là các tam giác thì số mặt phải là số chẵn Hãy chỉ ra những khối đa diện nh thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10
Hớng dẫn: Thiết lập biểu thức về mối quan hệ giữa số cạnh (giả sử là C) và số mặt
của khối đa diện (giả sử là M), thí dụ:
M = k.C Tính chất chẵn, lẻ của số M.
Giải
Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện theo thứ tự là C và M
Ta có nhận xét với mỗi mặt là các tam giác (ba cạnh) nên M mặt có 3M cạnh, nhng mỗi cạnh lại chung cho hai mặt nên ta có:
3M = 2C M là số chẵn
Từ kết quả trên, ta lần lựot có:
Với 4 mặt ta có một tứ diện (hình 1)
Với 6 mặt ta có một lục diện (hình 2)
Với 8 mặt ta có một bát diện (hình 3)
Với 10 mặt ta có một thập diện (hình 4)
5
Hình 4 Hình 1 Hình 2 Hình 3
Trang 6Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn
Hớng dẫn: Thiết lập biểu thức về mối quan hệ giữa số cạnh (giả sử là C) và số đỉnh
của khối đa diện (giả sử là Đ), thí dụ:
Đ = k.C Tính chất chẵn, lẻ của số Đ.
Giải
Gọi số cạnh và số đỉnh của khối đa diện theo thứ tự là C và Đ
Ta có nhận xét với mỗi đỉnh là đỉnh chung cho ba cạnh nên Đ đỉnh có 3Đ cạnh, nhng mỗi cạnh lại đi qua hai đỉnh nên ta có:
3Đ = 2C Đ là số chẵn
Ví dụ 3: Chứng minh rằng không tồn tại một hình đa diện có số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh
Hớng dẫn: Sử dụng nhận xét "Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh".
Giải
Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện theo thứ tự là C và M
Ta có nhận xét:
Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên nó có 2C mặt
Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh nên có ít nhất 3M cạnh
Từ đó, suy ra:
2C ≥ 3M C > M
Bài toán 2:Phân chia hoặc lắp ghép các khối đa diện
Phơng pháp áp dụng
Bài toán phân chia khối đa diện đợc thực hiện bằng việc lựa chọn mặt phẳng thích hợp để phân chia khối đa diện đó
Bài toán chứng minh rằng có thể lắp ghép các khối đa diện ( H1), (H2), ,
(Hn) thành khối đa diện (H) thờng đợc chuyển về việc chứng minh rằng có thể phân chia khối đa diện (H) thành các khối đa diện (H1), (H2), , (Hn)
Ví dụ 1: Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng
Hớng dẫn: Để chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện chúng ta chỉ cần sử dụng
một mặt phẳng chứa một cạnh và đi qua một điểm thuộc cạnh đối diện.
Giải
Lấy điểm E, F theo thứ tự thuộc cạnh AD và BC
Khi đó, hai mặt phẳng (ADF) và (BCE) chia khối tứ diện
ABCD thành bốn khối tứ diện sau:
ABEF và DBEF; ACEF và DCEF
Ví dụ 2: Hãy phân chia một khối hộp thành 5 khối tứ diện
Hớng dẫn: Sử dụng các mặt phẳng chéo trong khối hộp.
Giải
Xét khối hộp ABCD.A1B1C1D1 đợc chia thành năm khối tứ
diện bởi bốn mặt chéo tam giác BDA1, BDC1, A1C1B, A1C1D
Khi đó, ta đợc năm khối tứ diện là:
ABDA1, CBDC1, B1A1C1B, D1A1C1D
6
A
C
E
F
A
A1 D
D1
C
C1
B
B1
Trang 7Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh a, một cạnh bên a và vuông góc với đáy Chứng minh rằng có thể dùng ba hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phơng
Hớng dẫn: Bài toán đợc chuyển về dạng "Hãy phân chia một hình lập phơng thành
ba hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông và một cạnh bên vuông góc với đáy".
Giải
Xét hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1, ta có nhận xét về ba
hình chóp:
A1.ABCD, A1.CDD1C1, A1.BCC1B1,
thỏa mãn điều kiện đầu bài Và ba hình chóp đó phủ đầy hình
lập phơng ABCD.A1B1C1D1
Vậy, có thể dùng ba hình chóp đã cho để ghép lại thành một hình lập phơng
C bài tập rèn luyện
Bài tập 1: Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k ≥ 3 luôn tồn tại một hình đa diện
có 2k cạnh
Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là
đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện
Bài tập 3: Chứng minh rằng một khối đa diện bất kì có ít nhất bốn mặt
Bài tập 4: Hãy phân chia một khối hộp có ba kích thớc là a, 2a, 2a thành bốn khối lập phơng
Bài tập 5: Hãy phân chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng
Bài tập 6: Cho hình chóp tam giác có đáy là tam giác vuông cân cạnh a, một cạnh bên a và vuông góc với đáy tại đỉnh của tam giác vuông cân Chứng minh rằng có thể dùng bốn hình chóp bằng hình chóp trên để ghép lại thành một hình lập phơng
D hớng dẫn đáp sốp số
Bài tập 1: Chúng ta thấy ngay hình chóp có đáy là đa giác k cạnh chính là một hình
đa diện có 2k cạnh
Bài tập 2: Gọi A là một đỉnh của khối đa diện và A là đỉnh chung của ba cạnh AB,
AC, AD Khi đó:
Mặt phẳng chứa AB, AC phải là ABC
Mặt phẳng chứa AB, AD phải là ABD
Mặt phẳng chứa AC, AD phải là ACD
Từ đó, suy ra mặt phẳng thứ t là (BCD)
Vậy, khối đa diện có các mặt là tam giác và mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì đó là khối tứ diện
Bài tập 3: Với khối đa diện (H) có M1 là một mặt nên có ít nhất ba cạnh c1, c2, c3
Theo tính chất b) thì:
Có một mặt M2 chung cạnh c1 với M1 và M1 M2
Có một mặt M3 chung cạnh c2 với M1 và M1 M3 và M2 M3 vì M3 không chứa
c1
Có một mặt M4 chung cạnh c3 với M1 và M1 M4 và M2 M4, M3 M4 vì M4
không chứa c1, c2
Vậy, khối đa diện (H) có ít nhất bốn mặt.
Bài tập 4: Xét khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có AB = AA1 = 2a,
AD = a, đợc chia thành bốn khối lập phơng bởi hai mặt
phẳng trung trực của các cạnh AB và AA1
Khi đó, ta đợc bốn khối lập phơng là:
7
A
A1
D
D
1
C
C1
B
B
1
A
A
1
D
D
1
C
C
1
B
B
1
A
0
D
0
B
0
C
0
N M
M
1
N
1
M
0
N
0
Trang 8AMND.A0M0N0D0, A1M1N1D1.A0M0N0D0,
BCNM.B0C0N0M0, B1C1N1M1.B0C0N0M0
Bài tập 5: Lấy điểm E, F theo thứ tự thuộc cạnh AD và BC
Khi đó, hai mặt phẳng (ADF) và (BCE) chia khối tứ diện
ABCD thành bốn khối tứ diện sau:
ABEF và DBEF; ACEF và DCEF
Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 450.000đ.
1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2 Bạn gửi tiền về:
Lấ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhỏnh NHN0 & PTNT Tõy Hồ
3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.
LUễN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY
8
A
C E
F
