Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".
Trang 1Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1 Tài liệu dễ hiểu Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này
2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc Đăng kí “Học tập từ xa”.
BÀI GIẢNG QUA MẠNG
CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH
VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG
Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”
Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 Ngõ 86 Đường Tô Ngọc Vân Hà Nội
Email: nhomcumon68@gmail.com
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
Trang 2PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc Hiểu Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4 Thực hiện bài tập lần 1
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1 Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4 Thực hiện bài tập lần 2
5 Viết thu hoạch sáng tạo
Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận
được giải đáp
Trang 3Đ4 phép quay và phép đối xứng tâm
bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. định nghĩa phép quay
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lợng giác không đổi.
Phép phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM =
OM' và (OM, OM') = đợc gọi là phép quay tâm O với góc quay .
Kí hiệu
O
Q hay Q(O, )
Hoạt động : Nêu cách tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q O
Thí dụ 1: Với hình vuông ABCD, ta nhận thấy:
) 90 , A
( 0
Q (B) = D; Q(A,900)(D) = B
) 90 , C
Q (B) = D; Q(C,900)(D) = B
) 90 , O
( 0
Q (A) = D; Q(O,900)(D) = C; Q(O,900)(C) = B; Q(O,900)(B) = A;
Q(O,900)(ABCD) = DCBA
) 180 , O
( 0
Q (A) = C; Q(O,1800)(D) = B; Q(O,1800)(C) = A; Q(O,1800)(B) = D;
Q(O,1800)(ABCD) = CBAD
Hoạt động : Phép đồng nhất có phải là phép quay không ?
2. Định lí
Định lí: Phép quay là một phép dời hình.
Hoạt động :
1 H y chứng minh định lí.ãy chứng minh định lí.
2 Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O H y chỉ ra một số phép quay biến ãy chứng minh định lí.
ngũ giác đó thành chính nó.
3. phép đối xứng tâm
Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm O là một phép dời hình biến mỗi điểm M
thành M' đối xứng với M qua O, tức là OM
+ OM ' = 0
Kí hiệu ĐO hay SO
Hoạt động : Nêu cách tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng tâm O
Thí dụ 2: Với hình vuông ABCD tâm O, ta nhận thấy:
ĐO(A) = C, ĐO(B) = D, ĐO(C) = A, ĐO(D) = B ĐO(ABCD) = CDAB
Hoạt động : Chứng tỏ rằng phép quay tâm O, góc quay = 1800 là phép đối xứng
tâm O
Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ
Oxy, cho điểm I(a; b) Phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:
A
D O
Trang 4x ' 2a x y' 2b y
Hoạt động : H y chứng minh kết quả trên.ãy chứng minh định lí.
Thí dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M’ là điểm đối xứng với
điểm M(1; 2) qua:
a Gốc O b Điểm I(3; 1) c Điểm I(2; 3)
Giải
a Ta có ngay M’(1; 2)
b Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M’(7; 0)
c Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M’(3; 4)
Thí dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (): ax + by + c = 0 và
điểm I(x0; y0) Phép đối xứng tâm ĐI biến đờng thẳng () thành đờng thẳng (') Viết phơng trình của '
Giải
Với mỗi điểm M(x0; y0) () (tức là Ax0 + By0 + C = 0), suy ra tồn tại điểm M’(x; y) (') sao cho:
0 0
y b 2 y
x a 2 x
y b 2 y
x a 2 x
0 0
Do đó, đờng thẳng (') sẽ có phơng trình:
('): A(2a x) + B(2b y) + C = 0 ('): Ax + ByC2aA2bB = 0
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O đợc gọi là tâm đối xứng của hình H nếu
phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành chính nó, tức là ĐO(H) = H.
Thí dụ 5: Chỉ ra các tâm đối xứng của các hình sau đây:
a Hình gồm hai đờng thẳng cắt nhau
b Hình gồm hai đờng thẳng song song
c Hình gồm hai đờng tròn bằng nhau
d Đờng elip
e Đờng Hypecbol
Giải
a Tâm đối xứng là giao điểm của hai đờng thẳng đó
b Tâm đối xứng là một điểm O bất kì nằm trên đờng thẳng song song và cách
đều hai đờng thẳng đó
c Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đờng tròn
d Tâm đối xứng là giao điểm của hai trục đối xứng
e Tâm đối xứng là giao điểm của hai đờng tiệm cận
4 ứng dụng của phép quay
Bài toán 1: Cho hai tam giác đều OAB và OA'B' nh hình vẽ Gọi C và D lần lợt là
trung điểm của các đoạn thẳng AA' và BB' Chứng minh rằng OCD là tam giác đều
Giải
Xét phép quay Q tâm O với góc quay bằng một góc
lợng giác (OA, OB) Rõ rằng Q biến đoạn AA' thành
đoạn BB'
Do đó:
OC = OD và CÔD = 600 OCD đều
A A'
B'
B O
C
D
Trang 5Bài toán 2: Cho đờng tròn (O ; R) và hai điểm A, B cố định Với mỗi điểm M, ta
xác định điểm M' sao cho MM' = MA MB Tìm quỹ tích điểm M' khi điểm
M chạy trên (O ; R)
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
Gọi I là trung điểm của AB thì I cố định và
MA MB
= 2MI
Do đó, MM ' = MA MB
khi và chỉ khi MM ' = 2MI , tức là MM' nhận I làm trung điểm hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M'
Vậy khi M chạy trên đờng tròn (O ; R) thì quỹ tích M' là ảnh của đờng tròn đó qua ĐI
Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O qua điểm I thì quỹ tích của M' là đ ờng tròn (O ; R)
Bài toán 3: Cho hai đờng tròn (O ; R) và (O1 ; R1) lần lợt tại M và M1 sao cho A
là trung điểm của MM1
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
Giả sử ta đã dựng đợc đờng thẳng d thoả mãn yêu cầu bài toán Gọi ĐA là phép
đối xứng qua A thì ĐA biến điểm M thành điểm M1 và biến đờng tròn (O ; R) thành đờng tròn (O' ; R)
Vì M nằm trên (O ; R) nên M1 nằm trên (O' ; R)
Mặt khác, M1 lại nằm trên (O1 ; R1) nên M1 là giao điểm khác A của hai đờng tròn (O' ; R) và (O1 ; R1)
Từ đó, suy ra cách dựng:
Dựng đờng tròn (O' ; R) đối xứng với (O ; R) qua A (O' là điểm đối xứng với O qua A)
Lấy giao điểm M1 của hai đờng tròn (O' ; R) và (O1 ; R1), M1 khác A
Đờng thẳng d là đờng thẳng đi qua A và M1
Trang 6Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 750.000đ.
1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2 Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.
LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY
Trang 7B
B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp
Bài toán 1: Tìm phép quay (phép đối xứng tâm) biến hình (H 1 ) thành hình (H 2)
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép quay (phép đối xứng tâm)
Ví dụ 1: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) lần lợt có tâm O1, O2 và đều có bán kính
R Tìm phép đối xứng tâm biến (C1) thành (C2)
Hớng dẫn: Phép đối xứng tâm biến (C 1 ) thành (C 2 ) thì cũng sẽ biến O 1 thành O 2 ,
do đó nó phải là phép đối xứng tâm O với O là trung điểm của O 1 O 2
Giải
Gọi O là trung điểm của O1O2
Lấy M1 tuỳ ý thuộc (C1) và gọi M2 là ảnh của
M qua ĐO, ta có:
OM1 = OM2,
MÔO1 = MÔO2 đối đỉnh
OO1 = OO1,
M1OO1 = M2OO2 (c.g.c)
O2M2 = O1M1 = R M2(C2)
Ngợc lại: lấy M2 là một điểm tuỳ ý thuộc (C2) và gọi M1 là tạo ảnh của nó qua
ĐO chứng minh tơng tự ta đợc M1(C1)
Vậy (C2) là ảnh của (C1) qua Đo
Bài toán 2:Giải bài toán định tính
Phơng pháp áp dụng
Ta thờng gặp các dạng yêu cầu sau:
Dạng 1: Chứng minh (H 1 ) là ảnh của (H 2) qua phép quay tâm O với góc
quay (hoặc qua phép đối xứng tâm O), ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Lấy điểm M1 tuỳ ý thuộc (H 1), ta đi chứng minh:
M2 =
O
Q (M1) (H 2) (hoặc M2 = SO(M1) (H 2))
Bớc 2: Ngợc lại, lấy điểm M2 tuỳ ý thuộc (H 2), ta đi chứng minh:
M1 =
O
Q (M2) (H 1) (hoặc M1 = SO(M2) (H 1))
Dạng 2: Chứng minh tính chất K, ta thực hiện theo các bớc:
Bớc 1: Xác định một hoặc nhiều phép quay (hoặc phép đối xứng
tâm) để thiết lập mối liên kết giữa các yếu tố
Bớc 2: Sử dụng các tính chất của phép quay để giải các yêu cầu
của bài toán
Ví dụ 1: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA'B' có chung đỉnh O sao cho
O nằm trên đoạn thẳng AB' và nằm ngoài đoạn thẳng A'B (hình bên) Gọi G và G' lần lợt là trọng tâm các tam giác OAA' và OBB' Chứng minh rằng GOG' là tam giác vuông cân
Hớng dẫn: Từ hình vẽ chúng ta dễ nhận thấy rằng cần sử
dụng phép quay để thực hiện bài toán trên Cụ thể:
0 0
90 O 90 O
Q (A) B
Q (A ') B'
0
90 O
Q ( OAA ') OBB'.
B
B'
A'
O
M1
M2 (C
1) (C2) O
Trang 8 Giải
Xét phép quay Q tâm O góc quay 900, ta có ngay:
OBB' = 900
O
Q (OAA') G' = 900
O
Q (G)
GÔG' = 900 và OG' = OG
Vậy, ta đợc GOG' là tam giác vuông cân
Bài toán 3:Giải bài toán định lợng
Phơng pháp áp dụng
Bằng việc thiết lập đợc các phép quay (phép đối xứng tâm) thích hợp, ta có thể tính toán đợc các yếu tố trong một hình
Ví dụ 1: Cho ABC có AM và CN là các trung tuyến Chứng minh rằng nếu
BAM = BCN = 300 thì ABC đều
Hớng dẫn: Sử dụng các phép đối xứng tâm.
Giải
Tứ giác ACMN có NAM = MCN = 300 nên nội tiếp trong một đờng tròn tâm O bán kính R và MON = 2NAM = 600
Xét các phép đối xứng tâm N và tâm M
S(N): A B và (O) (O1) B( O1) vì A(O)
S(M): C B và (O) (O2) B( O2) vì C(O)
Trong OO1O2, ta có nhận xét:
OO1 = OO2 = 2R,
N
O
M = 2BAM = 600,
suy ra OO1O2 là tam giác đều
Mặt khác:
O1B + O2B = R + R = 2R = O1O2 nên B là trung điểm của O1O2
Từ đó suy ra hai ABC và OO1O2 đồng dạng (vì cùng đồng dạng với BMN)
và vì OO1O2 đều nên ABC đều
Bài toán 4:Tìm tập hợp điểm M
Phơng pháp áp dụng
Bớc 1: Tìm một phép quay
O
Q (hoặc phép đối xứng tâm SO), biến điểm E
di động thành điểm M
Bớc 2: Tìm tập hợp (H) của các điểm E.
Bớc 3: Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của (H) trong phép quay
O Q (hoặc phép đối xứng tâm SO)
Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng () và điểm I Tìm điểm A trên
(O; R) và điểm B trên sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB
Giải
Ta thực hiện nh sau:
Dựng ' = ĐI() và giả sử ' cắt (O; R) tại A
Nối IA cắt tại B
Khi đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB
B
O
1 O2
O M N
Trang 9Bài toán chỉ có nghiệm khi đờng thẳng ' cắt đờng tròn (O; R).
Ví dụ 2: Cho hai điểm B và C cố định trên đờng tròn (O ; R) và một điểm A
thay đổi trên đờng tròn đó Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của ABC nằm trên một đờng tròn cố định
Hớng dẫn: Chúng ta đã từng sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục để thực hiện
bài toán quỹ tích trên, và để tận dụng kết quả đã biết đó các em chỉ cần tìm một phép đối xứng tâm biến đờng tròn (O) thành đờng tròn (O').
Giải
Gọi I là trung điểm BC và vẽ đờng kính AM
Ta có:
BH AC và MC AC BH // MC (1)
CH AB và MB AB CH // MB (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
BHCM là hình bình hành I là trung điểm HM
Vậy, trực tâm H của ABC nằm trên một đờng tròn cố định (O'; R) = ĐI((O; R))
Ví dụ 3: Cho đờng tròn (O) và dây cung AB cố định, M là một điểm di động
trên (O), M không trùng A, B Hai đờng tròn (O1), (O2) qua M, theo thứ tự tiếp xúc với AB tại A và B Gọi N là giao điểm thứ hai của (O1), (O2)
a Chứng minh rằng đờng thẳng MN luôn qua một điểm cố định
b Tìm tập hợp N khi M di động trên (O)
Hớng dẫn: Ta lần lợt chứng minh:
a MN luôn cắt AB tại một điểm cố định I.
b N (O') = S (I) (O).
Giải
a Gọi I là giao điểm của MN và AB, ta có:
IA2 = IM.IN = IB2 (1)
IA = IB, do đó I là trung điểm AB
Vậy đờng thẳng MN luôn qua một điểm cố
định I là trung điểm AB
b Gọi P là điểm chung thứ hai của MN và (O), ta
có:
IP.IM = IA.IB = IA2(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
IP.IM = IM.IN IP = IN N = S(I)(P)
Vì tập hợp các điểm P là đờng tròn (O) qua hai điểm A và B nên tập hợp các
điểm N là đờng tròn (O') bỏ đi hai điểm A và B với (O') = S(I)(O)
Bài toán 5:Dựng hình
Phơng pháp áp dụng
Ta luôn thực hiện theo 4 bớc đã biết
Ví dụ 1: Cho phép quay Q tâm O với góc quay và cho đờng thẳng d Hãy nêu
cách dựng ảnh d' của d qua phép quay Q
Giải
Lấy hai điểm phân biệt A, B trên đờng thẳng d, khi đó ta dựng:
A' = QO(A) và B' = QO(B)
Nối A' và B', đó chính là đờng thẳng d'
A
M H
O1 O2
N
M
O
O’
I
P B
A
Trang 10Ví dụ 2: Cho phép đối xứng tâm ĐO và đờng thẳng d không đi qua O Hãy nêu
cách dựng ảnh d' của đờng thẳng d qua ĐO Tìm cách dựng d' mà chỉ
sử dụng compa một lần và thớc thẳng ba lần
Giải
a Lấy hai điểm phân biệt A, B trên đờng thẳng d, khi đó ta dựng:
A' = ĐO(A) và B' = ĐO(B)
Nối A' và B', đó chính là đờng thẳng d'
b Có thể thực hiện đợc, cụ thể:
Lấy điểm A trên d, dùng thớc thẳng dựng tia AO
Dùng compa dựng đờng tròn (O; OA), đờng tròn này cắt
đờng thẳng d tại B và tia AO tại A'
Dùng thớc thẳng dựng tia BO cắt đờng tròn tại B'
Dùng thớc thẳng nối A' với B' ta đợc đờng thẳng d' cần dựng
Ví dụ 3: Cho hai đờng thẳng (d1) và (d2), hai điểm A, G không thuộc (d1), (d2)
Hãy dựng ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B và C lần lợt thuộc (d1)
và (d2)
Giải
Phân tích: Giả sử đã dựng đợc ABC có trọng tâm G, hai đỉnh B và C lần lợt
thuộc (d1), (d2) Gọi M là trung điểm cạnh BC thì M đợc xác định bởi:
AM
= 3
2 AG
Thực hiện phép đối xứng tâm M:
S(M): C B, (d2) (d’2)
Ta có B(d’2)
Vậy B là giao điểm của (d’2) và (d1)
Cách dựng: Ta lần lợt thực hiện:
- Dựng AM
= 3
2 AG
- Dựng đờng thẳng (d’2) với (d’2) = S(M)[(d2)] và giả sử (d’2) cắt (d1) tại B
- Dựng điểm C với C = S(M)(B)
thì ABC là tam giác cần dựng
Chứng minh: Dựa vào cách dựng ta có:
- B(d1);
- B(d’2);
- S(M)[(d’2)] = (d’2) và C = S(M)(B) C(d2)
- M là trung điểm cạnh BC và AM = 3
2 AG
G là trọng tâm ABC
Biện luận: Số nghiệm hinh của bài toán bằng số điểm chung của (d1) và (d’2)
Bài toán 6:Hệ toạ độ đối với phép đối xứng tâm và phép quay
Phơng pháp áp dụng
Sử dựng kết quả: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho điểm I(a; b) Phép
đối xứng tâm ĐI biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x'; y') với:
y b 2 ' y
x a 2 ' x
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm toạ độ điểm M’ là điểm đối xứng với
điểm M(1; 2) qua:
a Gốc O b Điểm I(1; 2) c Điểm I(4; 1)
A
B
A'
B'
O
B
A
C M
G
(d1) (d
2) (d’
2)
Trang 11 Giải
a Ta có ngay M’(1; 2)
b Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M’(1; 6)
c Sử dụng công thức trung điểm ta đợc M’(9; 4)
Ví dụ 2: Tìm tọa độ ảnh của điểm M(1; 0) qua phép quay:
a Tâm O góc quay 900 b Tâm O góc quay 900
c Tâm O góc quay 1350
Giải
a Từ hình vẽ, ta suy ra 90 0
O
Q (M)= M1(0; 1)
b Từ hình vẽ, ta suy ra 900
O
Q (M)= M2(0; 1)
c Từ hình vẽ, ta suy ra 90 0
O
Q (M)= M3(x3; y3) với:
x3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = 1. 2
2 = 2
2 ,
y3 = OM3.sin450 = OM.sin450 = 1. 2
2 = 2
2 Vậy, ta đợc M3 2; 2
2 2
Nhận xét: Nh vậy, việc tìm toạ độ của điểm qua một phép quay phức tạp hơn
hẳn so với phép đối xứng tâm Và khi gặp những yêu cầu này để
t-ơng minh các em học sinh tốt nhất hãy vẽ hình ra
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xác định phơng trình đờng thẳng (d1) đối
xứng với đờng thẳng (d): x2y + 2 = 0 qua điểm I(1; 1)
Hớng dẫn: Để nhận đợc phơng trình một đờng thẳng chúng ta đều biết rằng có
thể lựa chọn một trong ba cách:
a. Cách 1: Biết một điểm mà đờng thẳng đó đi qua cùng phơng của
nó Nh vậy, ta sẽ thực hiện:
Bằng việc sử dụng công thức toạ độ của phép đối xứng tâm
ta tìm một điểm mà (d 1 ) đi qua.
Sử dụng tính chất của phép đối xứng tâm biến đờng thẳng thành đờng thẳng song song hoặc trùng với nó, tức (d 1 ) song song với (d).
b. Cách 2: Biết hai điểm phân biệt mà đờng thẳng đó đi qua.
c. Cách 3: Sử dụng phơng pháp quỹ tích.
Trờng hợp đặc biệt, khi tâm đối xứng I thuộc đờng thẳng (d) thì (d 1 )
sẽ trùng với (d).
Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Lấy một điểm A(0; 1)(d), gọi A1 là điểm đối xứng với A qua I thì A1(2; 1)
Vì (d1)//(d): x2y + 2 = 0 (d): x2y + C = 0
Vì A1(d1) C = 0
Vậy phơng trình đờng thẳng (d1): x2y = 0
Cách 2: Lấy hai điểm A(0; 1) và B(2; 2) thuộc (d) ta có:
x
y
M 1 O
M1
M2 M
3
