Bài giảng: Tích của một vectơ với một số (Hình học 10 - Chương I: VECTƠ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

1G1i1á1o1 1v1i1ê1n1 1d1¡-y1:1 1L1Ê1 1H1Ò-N1G1 1 è-C1

2 Ë-a2 2c2h2É-:2 2S2Ñ- 2n2h2à2 22202 2(2 2N2g2õ2 28262 2(2 2 ° Ý-n2g22T2ô2 2N2g2Í-c2 2V2â2n2 2(2 2H2à2 2N2Ù-i2

2P2h2å- 2h2u2y2n2h2 2 n2g2 2k2í2 2h2Í-c2 2c2h2o2 2c2o2n2 2l2i2ê2n22h2Ç- 202936546689

Đ4 tích của một vectơ với một số

Chúng ta đã xây dựng đợc phép cộng cho hai vectơ và có thể thấy ngayrằng sẽ tồn tại phép toán EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ,khi đó ta nhận đợc kết quả là hai lần vectơ EMBED Equation.3 à Đ, kí hiệu

là 2 EMBED Equation.3 à Đ Trong bài học này chúng ta sẽ xây dựng địnhnghĩa tích của một vectơ với một số

A bài giảng

Định nghĩa tích của một vectơ với một số

Định nghĩa: Tích của vectơ EMBED Equation.3 à Đ với một số thực k làmột vectơ, kí hiệu k EMBED Equation.3 à Đ đợc xác định nh sau:

Vectơ k EMBED Equation.3 à Đ cùng phơng với vectơ EMBED Equation.3

à Đ và sẽ :

Cùng hớng với vectơ EMBED Equation.3 à Đ nếu k ( 0

Ngợc hớng với vectơ EMBED Equation.3 à Đ nếu k3

333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333<ð ð03.33C3ó3 3đ3ộ3 3d3à3i3 3b3ằ3n3g3 3(3k3(3.3(33 3E3M3B3E3D33E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3(3.3

3P3h3é3p3 3l3ấ3y3 3t3í3c3h3 3c3ủ3a3 3m3ộ3t3 3v3e3c3t3ơ3 3v3ớ3i33m3ộ3t3 3s3ố3 3g3ọ3i3 3l3à3 3p3h3é3p3 3n3h3â3n3 3v3e3c3t3ơ3 3v3ớ3i33s3ố3 3(3h3o3ặ3c3 3p3h3é3p3 3n3h3â3n3 3s3ố3 3v3ớ3i3 3v3e3c3t3ơ3)3.33T3ừ3 3đ3ị3n3h3 3n3g3h3ĩ3a3 3t3r3ê3n3 3t3a3 3c3ó3 3n3g3a3y3 3c3á3c33k3ế3t3 3q3u3ả3:3

303.33 3E3M3B3E3D3 3E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3 3=3 333E3M3B3E3D3 3E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3 3,3 3 3 3 3k333E3M3B3E3D3 3E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3 3=3 33 3E3M3B3E3D33E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3;3 3

313.33 3E3M3B3E3D3 3E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3 3=3 333E3M3B3E3D3 3E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3 3,3 3(3-ð13)3.33

3E3M3B3E3D3 3E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3 3=3 3-ð3 3E3M3B3E3D33E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3.3

3H3o3ạ3t3 3đ3ộ3n3g3:3 3 3C3h3o3 3v3e3c3t3ơ3 33 3E3M3B3E3D33E3q3u3a3t3i3o3n3.333 3 3à3 3Đ3 3v3à3 3đ3i3ể3m3 3M3.3

3H3ã3y3 3n3ê3u3 3c3á3c3h3 3d3ự3n3g3 3v3e3c3t3ơ3 3333 3E3M3B3E3D33E3q3u3a3t3i3o3n.3 à Đ

Hãy nêu cách dựng vectơ (2 EMBED Equation.3 à Đ.

Cho (ABC, gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, AC Ta có ngay cáckết quả sau:

EMBED Equation.3 à Đ ( EMBED Equation.3 à Đ = 2 EMBED Equation.3

à Đ = 2 EMBED Equation.3 à Đ ( EMBED Equation.3 à Đ = EMBEDEquation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ EMBED Equation.3 à Đ

EMBED Equation.3 à Đ = (2 EMBED Equation.3 à Đ ( EMBED Equation.3

à Đ = ( EMBED Equation.3 à Đ EMBED Equation.3 à Đ

EMBED Equation.3 à Đ = 2 EMBED Equation.3 à Đ ( EMBED Equation.3

à Đ = EMBED Equation.3 à Đ EMBED Equation.3 à Đ

Hoạt động: Cho (ABC trọng tâm G Gọi M là trung điểm BC Hãy biểudiễn:

Vectơ EMBED Equation.3 à Đ theo vectơ EMBED Equation.3 à Đ

Vectơ EMBED Equation.3 à Đ theo vectơ EMBED Equation.3 à Đ

Tính chất của phép nhân vectơ với số

Với mọi véctơ EMBED Equation.3 à Đ, EMBED Equation.3 à Đ và các sốthực m, n, ta có:

m(n EMBED Equation.3 à Đ) = (mn) EMBED Equation.3 à Đ

(m + n) EMBED Equation.3 à Đ = m EMBED Equation.3 à Đ + n EMBEDEquation.3 à Đ

m( EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ) = m EMBEDEquation.3 à Đ + n EMBED Equation.3 à Đ

m EMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ khi và chỉ khiEMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ hoặc m = 0

Hoạt động: 1 Chứng minh rằng EMBED Equation.3 à Đ + EMBEDEquation.3 à Đ = 2 EMBED Equation.3 à Đ

Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi:

EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3

à Đ

Với điểm M bất kì ta luôn có:

EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ = ( EMBED Equation.3

à Đ + EMBED Equation.3 à Đ) + ( EMBED Equation.3 à Đ + EMBED

Equation.3 à Đ) = 2 EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ +EMBED Equation.3 à Đ

Gọi A1 là trung diểm của BC, do đó:

EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ = 2 EMBED

Mặt khác, ta có5:5 5

55 5E5M5B5E5D5 5E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5 5(5 52555E5M5B5E5D5 5E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5 5=5 5-ð5 5E5M5B5E5D55E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5.5 5 5 5 5 5 5(525)55T5ừ5 5(515)5 5v5à5 5(525)5 5s5u5y5 5r5a5:5

55 5E5M5B5E5D5 5E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5 5+5 555E5M5B5E5D5 5E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5 5=5 5-ð5 5E5M5B5E5D55E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5 5(5 55 5E5M5B5E5D55E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5 5+5 55 5E5M5B5E5D55E5q5u5a5t5i5o5n5.535 5 5à5 5Đ5 5+5 55 5E5M5B5E5D5 5E5q5u5ation.3 à Đ

= EMBED Equation.3 à Đ, đpcm

Ta có:

EMBED Equation.3 à Đ+ EMBED Equation.3 à Đ+ EMBED Equation.3 à

Đ = EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3

à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBEDEquation.3 à Đ

= 3 EMBED Equation.3 à Đ + ( EMBED Equation.3 à Đ + EMBEDEquation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ) = 3 EMBED Equation.3 à Đ, đpcm.( Chú ý: Thông qua kết quả của câu b), ta có thể khẳng định đợc rằng nếuEMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ

= EMBED Equation.3 à Đ thì M là trọng tâm (ABC, thật vậy:

EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3

à Đ = EMBED Equation.3 à Đ ( 3 EMBED Equation.3 à Đ = EMBEDEquation.3 à Đ ( EMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ ( M ( G

điều kiện để hai vectơ cùng phơng

Định lí (Quan hệ giữa hai vectơ cùng phơng): Vectơ EMBED Equation.3 à

Đ cùng phơng với vectơ EMBED Equation.3 à Đ( EMBED Equation.3 à Đ khi

và chỉ khi tồn tại số k sao cho EMBED Equation.3 à Đ = k EMBED Equation.3

à Đ

Hoạt động: 1 Trong định lí trên tại sao phải có điều kiện EMBEDEquation.3 à Đ( EMBED Equation.3 à Đ

2 Chứng minh định lí

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là tồn tại số

k sao cho EMBED Equation.3 à Đ = k EMBED Equation.3 à Đ

Hoạt động: Chứng minh hệ quả trên

Cho (ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm,trực tâm của (ABC Chứng minh rằng:

EMBED Equation.3 à Đ = 2 EMBED Equation.3 à Đ, với E là trung điểmBC

EMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3

à Đ + EMBED Equation.3 à Đ

Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng

( Giải

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua O, ta đợc:

EMBED Equation.3 à Đ ( A1BHC là hình bình hành

( A1, E, H thẳng hàng ( EMBED Equation.3 à Đ = 2 EMBED Equation.3 à

Đ, đpcm

Ta có:

EMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3

à Đ = EMBED Equation.3 à Đ + 2 EMBED Equation.3 à Đ = EMBEDEquation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ, đpcm

Ta có:

EMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ( EMBED Equation.3 à

Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ) = EMBED Equation.3

à Đ EMBED Equation.3 à Đ ( O, G, H thẳng hàng

Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng

Định lí (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác EMBED Equation.3 à

Đ không cùng phơng): Cho hai vectơ EMBED Equation.3 à Đ và EMBEDEquation.3 à Đ khác EMBED Equation.3 à Đ và không cùng phơng Với mọivectơ EMBED Equation.3 à Đ bao giờ cũng tìm đợc một cặp số thực m, n duynhất, sao cho:

EMBED Equation.3 à Đ = m EMBED Equation.3 à Đ + n EMBEDEquation.3 à Đ

= EMBED Equation.3 à Đ( EMBED Equation.3 à Đ + 2 EMBEDEquation.3 à Đ) = EMBED Equation.3 à Đ EMBED Equation.3 à Đ + EMBEDEquation.3 à Đ

= EMBED Equation.3 à Đ(2 EMBED Equation.3 à Đ + 2 EMBEDEquation.3 à Đ) = EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ

bài tập lần 1

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

Phép nhân vectơ với một số thực

Định nghĩa: Tích của vectơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ với một số thực

k là một vectơ k EMBED Equation.DSMT4 à Đ đợc xác định nh sau:

Với EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ và k( 0 thì vectơ k EMBED Equation.DSMT4 à Đ:

Cùng phơng với EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Cùng hớng với EMBED Equation.DSMT4 à Đ nếu k > 0

Ngợc hớng với EMBED Equation.DSMT4 à Đ nếu k < 0

7

77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777|ðp7|ð.7|ð7 7E7M7B7E7D77E7q7u7a7t7i7o7n7.7D7S7M7T747 7 7à7 7Đ7|ð.7

707.77 7E7M7B7E7D7 7E7q7u7a7t7i7o7n7.7D7S7M7T747 7 7à7 7Đ7 7=77k7.77 7E7M7B7E7D7 7E7q7u7a7t7i7o7n7.7D7S7M7T747 7 7à7 7Đ7 7=7 777E7M7B7E7D7 7E7q7u7a7t7i7o7n7.7D7S7M7T747 7 7à7 7Đ7.7

7T7í7n7h7 7c7h7ấ7t7 7c7ủ7a7 7p7h7é7p7 7n7h7â7n7 7v7e7c7t7ơ77v7ớ7i7 7s7ố7:7 7V7ớ7i7 7m7ọ7i7 7v7é7c7t7ơ7 77 7E7M7B7E7D77E7q7u7a7t7i7o7n7.7D7S7M7T747 7 7à7 7Đ7,7 77 7E7M7B7E7D77E7q7u7a7t7i7o7n7.7D7S7M7T747 7 7à7 7Đ7 7v7à7 7c7á7c7 7s7ố7 7t7h7ự7c77m7,7 7n7,7 7t7a7 7c7ó7 7c7á7c7 7t7í7n7h7 7c7h7ấ7t7 7s7a7u7:7

8T8a8 8c8ó8 818.88 8E8M8B8E8D8 8E8q8u8a8t8i8o8n8.8D8S8M8T848 88à8 8Đ8 8=8 8-ð8 8E8M8B8E8D8 8E8q8u8a8t8i8o8n8.8D8S8M8T848 8 8::17ị35::8 8;8 8(8-ð18)8.88 8E8M8B8E8D8 8E8q8u8a8t8i8o8n8.8D8S8M8T848 8 8::17ị35::8 8=8 8-ð8 8E8M8B8E8D8 8E8q8u8a8t8i8o8n8.8D8S8M8T848 8 8à8 8Đ8.8

8E8q8u8a8t8i8o8n8.8D8S8M8T848 8 8à8 8Đ8)8 8 8=8 8(8m8n8)8.888E8M8B8E8D8 8E8q8u8a8t8i8o8n8.8D8S8M8T848 8 8à8 8Đ8.8

8T8a8 8c8ó8 8(8m8 8+8 8n8)8.88 8E8M8B8ED Equation.DSMT4 à Đ = m.EMBED Equation.DSMT4 à Đ + n EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Ta có m( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ)

= m EMBED Equation.DSMT4 à Đ + n EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Nếu EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ thì haivéctơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ, EMBED Equation.DSMT4 à Đ cùng ph-

ơng khi và chỉ khi

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = m EMBED Equation.DSMT4 à Đ, m( EMBED Equation.DSMT4 à Đ

biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng

Định lý: Cho trớc hai vectơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ và EMBEDEquation.DSMT4 à Đ khác EMBED Equation.DSMT4 à Đ và không cùng ph-

ơng Với mọi vectơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ bao giờ cũng tìm đợc mộtcặp số thực (, ( duy nhất, sao cho:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ +( EMBED Equation.DSMT4 à Đ

999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999G9i9á9o9 9á9n9 9 i9Ç-n9 9t9í- 9c9ç-a9 9b9à9i99g9i9£-n9g9 9n9à9y9 9g9i9á9:9 9 919.9295909.9090909 9

919.9 9 9L9i9ê9n9 9h9Ç- 9t9h9§-y9 9L9Ê9 9H9Ò-N9G9 9 è-C9 9q9u9a9 9i9Ç-n9 9t9h9o9¡-i9 909993969594969698999

10C10h10o10 10(10O10A10B10 10v10u10ô10n10g10 10c10â10n1010v10ớ10i10 10O10A10 10=10 10O10B10 10=10 10a10.10 10H10ã10y1010d10ự10n10g10 10c10á10c10 10v10e10c10t10ơ10 10s10a10u10 10đ10â10y1010v10à10 10t10í10n10h10 10đ10ộ10 10d10à10i10 10c10ủ10a1010c10h10ú10n10g10:10

10E10q10u10a10t10i10o10n10.10D10S10M10T10410 10 10à10 10Đ10 10+10

10E10q10u10a10t10i10o10n10.10D10S10M10T10410 10 10à10 10Đ10,10 101010E10M10B10E10D10 Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ,

3 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 4 EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 2.5EMBED Equation.DSMT4 à Đ, EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

( Giải

Với C là đỉnh thứ t của hình vuông OACD, ta có ngay:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ, theo quy tắc hình bình hành

Trên tia OA lấy điểm A1 sao cho OA1 = 3OA

Trên tia OB lấy điểm B1 sao cho OB1 = 4OB

Dựng hình chữ nhật OA1C1B1

Từ đó, ta có:

3 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 4 EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

( (3 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 4 EMBED Equation.DSMT4 à Đ( =( EMBED Equation.DSMT4 à Đ( = OC1 = EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 5a

Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ EMBED Equation.DSMT4 à ĐEMBED Equation.DSMT4 à Đ + 2.5 EMBED Equation.DSMT4 à Đ và

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 2.5EMBED Equation.DSMT4 à Đ( = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Thực hiện tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ EMBED Equation.DSMT4 à ĐEMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ và

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ( = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

Chứng minh một đẳng thức vectơ

Phơng pháp thực hiện

Ta lựa chọn một trong các hớng biến đổi sau:

Biến đổi một vế thành vế còn lại (VT ( VP hoặc VP ( VT) Khi đó:

Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiện việc đơn giản biểu thức.Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ.Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn

11Q11u11y11 11t11ắ11c11 11h11ì11n11h11 11b11ì11n11h1111h11à11n11h11:11 11V11ớ11i11 11h11ì11n11h11 11b11ì11n11h1111h11à11n11h11 11A11B11C11D11 11l11u11ô11n11 11c11ó11:11

1111 11E11M11B11E11D11 11E11q11u11a11t11i11o11n11.11311 11 11à1111Đ11 11=11 1111 11E11M11B11E11D11 11E11q11u11a11t11i11o11n11.11311

11 11à11 11Đ11 11+11 1111 11E11M11B11E11D1111E11q11u11a11t11i11o11n11.11311 11 11à11 11Đ11.11

11H11i11ệ11u11 11h11a11i11 11v11e11c11t11ơ11 11c11ù11n11g1111g11ố11c11

1111 11E11M11B11E11D11 11E11q11u11a11t11i11o11n11.11311 11 11à1111Đ11 ð-ð ð11 11E11M11B11E11D11 11E11q11u11a11t11i11o11n11.11311 1111à11 11Đ11 11=11 1111 11E11M11B11E11D11 11Equation.3 à Đ

Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB luôncó:

EMBED Equation.3 à Đ = EMBED Equation.3 à Đ( EMBED Equation.3 à

Đ + EMBED Equation.3 à Đ)

Tính chất trọng tâm tam giác: Với (ABC có trọng tâm G ta có:

EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3

à Đ = EMBED Equation.3 à Đ

EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3 à Đ + EMBED Equation.3

à Đ = 3 EMBED Equation.3 à Đ, với M tuỳ ý

Các tính chất của phép cộng, trừ vectơ và phép nhân một số với một vectơ.(Bài 18/tr 17 ( Sgk_nc): Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằngEMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải

Ta biến đổi:

VT = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ) +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ, đpcm

(Bài 20/tr 18 ( Sgk_nc): Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh rằngEMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải

Biến đổi tơng đơng đẳng thức về dạng:

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ) +( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ) + ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ) = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ, đúng

(Bài 23/tr 24 ( Sgk_nc): Cho M và N lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng

AB và CD Chứng minh rằng:

2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2EMBED Equation.DSMT4 à Đ, đpcm.

(*)

Ta có:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ, đpcm (**)

Từ (*) và (**) ta đợc đẳng thức cần chứng minh

(Bài 24/tr 24 ( Sgk_nc): Cho (ABC và điểm G Chứng minh rằng:

Nếu EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ thì G là trọngtâm (ABC

Nếu có điểm M sao cho EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ) thì G là trọng tâm(ABC

( Giải ( Bạn đọc tự vẽ hình

Trớc tiên, chúng ta đi chứng minh mệnh đề:

"Nếu K là trọng tâm (ABC thì EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ"

Thật vậy, gọi A1 là trung điểm của BC, do đó:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2EMBED Equation.DSMT4 à Đ

(1)

Mặt khác, ta có:

EMBED Equation.DSMT4 µ § ( 2 EMBED Equation.DSMT4 µ § =141

414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141

Víi ®iÓm G tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi ta cã:

EMBED Equation.DSMT4 µ § = EMBED Equation.DSMT4 µ § +EMBED Equation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ § = ( EMBEDEquation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ §) + ( EMBEDEquation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ §) + ( EMBEDEquation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ §)

= 3 EMBED Equation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ § +EMBED Equation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ § = 3 EMBEDEquation.DSMT4 µ §

( EMBED Equation.DSMT4 µ § = EMBED Equation.DSMT4 µ § ( G ( K( G lµ träng t©m (ABC

Víi ®iÓm G tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi ta cã:

3 EMBED Equation.DSMT4 µ § = EMBED Equation.DSMT4 µ § +EMBED Equation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ §= EMBEDEquation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ § + EMBED

Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ

= 3 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ)

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( G là trọngtâm (ABC theo câu a)

( Chú ý: Các kết quả trên đợc sử dụng trong lời giải những bài toán khác.(Bài 3/tr 34 ( Sgk_nc): Cho O là tâm của hình bình hành ABCD Chứngminh rằng với điểm M bất kì, ta có:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ)

= 4 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ) + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ) = 4 EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ) = EMBED Equation.DSMT4 à Đ, đpcm

(Bài 5/tr 35 ( Sgk_nc): Cho đoạn thẳng AB và điểm I sao cho:

2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 3 EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Tìm số k sao cho EMBED Equation.DSMT4 à Đ = k EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải

Biến đổi giả thiết:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 3EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 5 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 3( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ) = (5 EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + 3 EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ.

Vậy, với k = EMBED Equation.DSMT4 à Đ thoả mãn điều kiện đầu bài.Biến đổi giả thiết:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 3EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ) + 3( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ)

( 5 EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + 3EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ, đpcm

Cho (ABC Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh rằng a.EMBED Equation.DSMT4 à Đ + b EMBED Equation.DSMT4 à Đ + c EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải

Dựng hình bình hành AB2IC2 có AB2 // CC1 và AC2//BB1, ta đợc:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +

EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ =

1616161616161616161616 ð-ð ð16 16E16M16B16E16D1616E16q16u16a16t16i16o16n16.16D16S16M16T16416 16 16à16 16Đ161616E16M16B16E16D16 16E16q16u16a16t16i16o16n16.16D16S16M16T16416

16 16à16 16Đ16.16 16 16(16316)16

16T16h16a16y16 16(16216)16,16 16(16316)16 16v16à16o1616(16116)16,16 16t16a16 16đ1616ợ16c16:16

16E16q16u16a16t16i16o16n16.16D16S16M16T16416 16 16à16 16Đ16 16=16

17 ð-ð ð17 17E17M17B17E17D1717E17q17u17a17t17i17o17n17.17D17S17M17T17417 17 17à17 17Đ171717E17M17B17E17D17 17E17q17u17a17t17i17o17n17.17D17S17M17T17417

17E17q17u17a17t17i17o17n17.17D17S17M17T17417 17 17à17 17Đ171717E17M17B17E17D17 17E17q17u17a17t17i17o17n17.17D17S17M17T17417

17 17à17 17Đ17 17(17 17a17.1717 17E17M17B17E17D1717E17q17u17a17t17i17o17n17.17D17S17M17T17417 17 17à17 17Đ17 17+17

17B17i17ể17u17 17d17i17ễ17n17 17m17ộ17t17 17vectơ thành tổ hợp vectơPhơng pháp chung

Ta lựa chọn một trong hai hớng:

Từ giả thiết xác định đợc tính chất hình học, rồi từ đó khai triển vectơcần biểu diễn bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùng gốc

Từ giả thiết thiết lập đợc mối liên hệ vectơ giữa các đối tợng, rồi từ đó khaitriển biểu thức này bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu của hai vectơ cùnggốc

( Chú ý: Trong một vài trờng hợp cần sử dụng cơ sở trung gian

(Bài 22/tr 23 ( Sgk_nc): Cho (OAB Gọi M, N lần lợt là trung điểm hai cạnh

OA và OB Hãy tìm các số m và n thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây: EMBED Equation.DSMT4 à Đ = m EMBED Equation.DSMT4 à Đ + nEMBED Equation.DSMT4 à Đ; EMBED Equation.DSMT4 à Đ = mEMBED Equation.DSMT4 à Đ + n EMBED Equation.DSMT4 à Đ;

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = m EMBED Equation.DSMT4 à Đ + nEMBED Equation.DSMT4 à Đ; EMBED Equation.DSMT4 à Đ = mEMBED Equation.DSMT4 à Đ + n EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Ta có:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ) = ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ

do đó đẳng thức EMBED Equation.DSMT4 à Đ = m EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + n EMBED Equation.DSMT4 à Đ sẽ có m = ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ và n = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Ta có:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ

do đó đẳng thức EMBED Equation.DSMT4 à Đ = m EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + n EMBED Equation.DSMT4 à Đ sẽ có m = (1 và n =EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Ta có:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ

do đó đẳng thức EMBED Equation.DSMT4 à Đ = m EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + n EMBED Equation.DSMT4 à Đ sẽ có m = ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ và n = 1

(Bài 25/tr 24 ( Sgk_nc): Gọi G là trọng tâm (ABC Đặt EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ và EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ Hãy biểu thị mỗivectơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ, EMBED Equation.DSMT4 à Đ,EMBED Equation.DSMT4 à Đ, EMBED Equation.DSMT4 à Đ qua các vectơEMBED Equation.DSMT4 à Đ và EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải ( Bạn đọc tự vẽ hình

Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc, ta có ngay:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

Vì G là trọng tâm (ABC nên:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

Sử dụng quy tắc hiệu của hai vectơ cùng gốc và kết quả trong b), ta có:

EMBED Equation.DSMT4 µ § = EMBED Equation.DSMT4 µ §( EMBED Equation.DSMT4 µ § = ( EMBED Equation.DSMT4 µ § ( EMBEDEquation.DSMT4 µ § ( EMBED Equation.DSMT4 µ § = ( EMBEDEquation.DSMT4 µ § ( 2 EMBED Equation.DSMT4 µ §.

Sö dông quy t¾c hiÖu cña hai vect¬ cïng gèc vµ kÕt qu¶ trong b), ta cã: EMBED Equation.DSMT4 µ § = EMBED Equation.DSMT4 µ §( EMBED Equation.DSMT4 µ § = EMBED Equation.DSMT4 µ § ( (( EMBEDEquation.DSMT4 µ § ( EMBED Equation.DSMT4 µ §) = 2 EMBEDEquation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ §

Cho (ABC, gäi I lµ ®iÓm trªn c¹nh BC sao cho 2CI = 3BI vµ J lµ ®iÓm trªn

BC kÐo dµi sao cho 5JB = 2JC

TÝnh EMBED Equation.DSMT4 µ §, EMBED Equation.DSMT4 µ § theoEMBED Equation.DSMT4 µ § vµ EMBED Equation.DSMT4 µ §

Gäi G lµ träng t©m (ABC, tÝnh EMBED Equation.DSMT4 µ § theoEMBED Equation.DSMT4 µ § vµ EMBED Equation.DSMT4 µ §

919191919191919 ð-ð ð31919 19E19M19B19E19D1919E19q19u19a19t19i19o19n19.19D19S19M19T19419 19 19µ19 19§19.19 19

20 20µ20 20§20)20 20=20 20 ð-ð ð320(2020 20E20M20B20E20D2020E20q20u20a20t20i20o20n20.20D20S20M20T20420 20 20µ20 20§20 ð-ð ð2020E20M20B20E20D20 Equation.DSMT4 µ §) ( 5 EMBED Equation.DSMT4 µ

§ = 3 EMBED Equation.DSMT4 µ § + 2 EMBED Equation.DSMT4 µ §

( EMBED Equation.DSMT4 µ § = EMBED Equation.DSMT4 µ § EMBEDEquation.DSMT4 µ § + EMBED Equation.DSMT4 µ § EMBED

20 20µ20 20§20)20 20(20 2032020 20E20M20B20E20D2020E20q20u20a20t20i20o20n20.20D20S20M20T20420 20 20µ20 20§20 20=20

20E20q20u20a20t20i20o20n20.20D20S20M20T20420 20 20µ20 20§202020E20M20B20E20D20 20E20q20u20a20t20i20o20n20.20D20S20M20T20420

21E21M21B21E21D21 21E21q21u21a21t21i21o21n21.21D21S21M21T21421

21 21à21 21Đ21 21=21 2121 21E21M21B21E21D2121E21q21u21a21t21i21o21n21.21D21S21M21T21421 21 21à21 21Đ21.212121E21M21B21E21D21 21E21q21u21a21t21i21o21n21.21D21S21M21T21421

21 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ) =EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED

Mặt khác, từ hệ tạo bởi (3) và (4), ta nhận đợc:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ và EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à

Đ2

121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212

21E21q21u21a21t21i21o21n21.21D21S21M21T21421 21 21à21 21Đ212121E21M21B21E21D21 21E21q21u21a21t21i21o21n21.21D21S21M21T21421

21E21q21u21a21t21i21o21n21.21D21S21M21T21421 21 21à21 21Đ212121E21M21B21E21D21 21E21q21u21a21t21i21o21n21.21D21S21M21T21421

21 21à21 21Đ21.21

21X21á21c21 21đ21ị21n21h21 21đ21i21ể21m21 21M21 21t21hoả một

đẳng thức vectơ cho trớc

Phơng pháp chung

Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc về dạng:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ,

trong đó điểm O cố định và vectơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ đãbiết

( Chú ý: Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằngvectơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ, khi đó điểm ngọn của vectơ này chính

là điểm M

(Bài 17/tr 17 ( Sgk_nc): Cho hai điểm A, B phân biệt.

Tìm tập hợp các điểm O sao cho EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Tìm tập hợp các điểm O sao cho EMBED Equation.DSMT4 à Đ =( EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải

Biến đổi giả thiết:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( A ( B,

điều trên mâu thuẫn bởi hai điểm A, B phân biệt

Vậy, không tồn tại điểm O thoả mãn điều kiện đầu bài

Biến đổi giả thiết:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( O là trung điểm AB

Vậy, với O là trung điểm của AB thoả mãn điều kiện đầu bài

(Bài 12/tr 14 ( Sgk_nc): Cho (ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O

Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ, EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ, EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

Chứng minh rằng EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

( Giải

Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lợt có:

Với điểm M thoả mãn:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( M là đỉnh thứ t của hình bình hành AOBM

( CM là đờng kính của (O), vì (ABC đều

Với điểm N thoả mãn:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( N là đỉnh thứ t của hình bình hành BOCN( AN là đờng kính của (O), vì (ABC đều.

Với điểm P thoả mãn:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( P là đỉnh thứ t của hình bình hành AOCP( BP là đờng kính của (O), vì (ABC đều

Vậy, các điểm M, N, P nằm trên đờng tròn (O) sao cho CM, AN, BP là các

đờng kính của đờng tròn (O)

Dựa vào kết quả câu a) và EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ, ta có ngay:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

(Bài 4/tr 34 ( Sgk_nc): Cho (ABC

Tìm các điểm M và N sao cho:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ, 2 EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Với các điểm M và N ở câu a), tìm các số p và q sao cho:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = p EMBED Equation.DSMT4 à Đ + qEMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải

Ta lần lợt thực hiện:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( M là đỉnh thứ t của hình bình hành ABCM

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = 2 EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + 2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ, với E là trung điểmBC

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( N là trung điểm của AE.

Ta có biểu diễn:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ +EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ EMBED Equation.DSMT4 à Đ

= ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ) +EMBED Equation.DSMT4 à Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBEDEquation.DSMT4 à Đ) = EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

Cho trớc hai điểm A, B và hai số thực (, ( thoả mãn ( + ((0

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có:

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = (( + ()EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( Giải

Ta có:

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ =EMBED Equation.DSMT4 à Đ ( ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + (( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ) = EMBEDEquation.DSMT4 à Đ ( (( + () EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

( (( + () EMBED Equation.DSMT4 à Đ = ( EMBED Equation.DSMT4 à

Đ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ

Vì A, B cố định nên vectơ EMBED Equation.DSMT4 à Đ EMBEDEquation.DSMT4 à Đ không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn điềukiện đầu bài

Ta có:

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ =(( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ) +(( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ) = (( + ()EMBED Equation.DSMT4 à Đ + (( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBEDEquation.DSMT4 à Đ)

= (( + () EMBED Equation.DSMT4 à Đ, đpcm

( Nhận xét quan trọng:

Nếu ( = ( = 1 thì điểm I chính là trung điểm của AB.

Bài toán trên đợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C và bộ ba số thực (, (,( cho trớc thoả mãn ( + ( + ( ( 0, tức là:

Tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn:

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ +( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = EMBED Equation.DSMT4 à Đ

Từ đó suy ra với điểm bất kỳ M, ta luôn có

( EMBED Equation.DSMT4 à Đ + ( EMBED Equation.DSMT4 à Đ +( EMBED Equation.DSMT4 à Đ = (( + ( + () EMBED Equation.DSMT4 à Đ

và khi ( = ( = ( = 1 thì I là trọng tâm (ABC

Việc mở rộng cho n điểm Ai, i = EMBED Equation.DSMT4 à Đ và bộ n sốthực (i, i = EMBED Equation.DSMT4 à Đ thoả mãn EMBED Equation.DSMT4

à Đ( 0, xin dành cho bạn đọc

Kết quả trên đợc sử dụng để giải bài toán:

“ Cho n điểm Ai, i = EMBED Equation.DSMT4 à Đ và bộ n số thực (i,EMBED Equation.DSMT4 à Đ thoả mãn EMBED Equation.DSMT4 à Đ( 0.Tìm số thực k và điểm cố định I sao cho đẳng thức vectơ

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = k EMBED Equation.DSMT4 à Đ,

(1)thoả mãn với mọi điểm M ”

Phơng pháp giải

Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M, do đó đúng với M(I, khi đó:

EMBED Equation.DSMT4 à Đ = k EMBED Equation.DSMT4 à Đ =

Cho tứ giác ABCD, M là điểm tuỳ ý Trong mỗi trờng hợp hãy tìm số k và

điểm cố định I, J, K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi điểmM

2 EMBED Equation.DSMT4 à Đ + EMBED Equation.DSMT4 à Đ = k