Câu 1: (Tham khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3 m+33 m+3sinx =sinxcó nghiệm thực
Lời giải
Ta có: 3 m+33m+3sinx =sinx⇔ +m 33m+3sinx =sin3x.
Đặt 3 m+3sinx u= ⇒ +m 3sinx u= 3 thì phương trình trên trở thành m+3u=sin3x
Đặt sin x v= thì ta được
3
3
3
3
+ =
Do 3+ + +v2 uv u2 > ∀0, u v, nên phương trình trên tương đương u=v.
Suy ra 3 m+3sinx =sinx⇔ =m sin3x−3sinx.
Đặt sinx t= − ≤ ≤( 1 t 1) và xét hàm f t( ) = −t3 3t trên [ ]−1;1 có f t′( ) =3t2− ≤ ∀ ∈ −3 0, t [ ]1;1 Nên hàm số nghịch biến trên [ ]−1;1 ⇒ − =1 f ( )1 ≤ f t( ) ≤ f ( )− = ⇒ − ≤ ≤1 2 2 m 2.
Vậy m∈ − −{ 2; 1;0;1;2} .