Gọi H, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD a Chứng minh rằng OHIK là hình bình hành.. Gọi E, F là hình chiếu của M trên AB và BD.. Xác định vị trí của M trên O để EF lớn n
Trang 1ĐỀ CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN ĐÀ NẴNG
NĂM HỌC 2014-2015 Bài 1 (2điểm)
a) Cho biểu thức P = 3 2n - 5 8n + 7 18n + 28 , với n là số tự nhiên Tìm tất cả các số n sao cho n < 100 và P là số nguyên
b) Cho các số x, y, z đều khác 0 thỏa điều kiện x + y + z = 0 Chứng minh rằng:
z y x z
y
x
1 1 1 1
1
1
2
2
2
Giải phương trình 12
x + ( 1 ) 2
1
Bài 2 (2điểm)
a) Giải hệ phương trình:
3 1
1 )
2
(
2 2
2 2
2
2 2
xy y
x
y x xy
xy
y
x
b) Giải phương trình: 5x2 – (3x + 1) 2 2 3
x - 21 x + 3 = 0
Bài 3 (2,5điểm)
a) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + 2013x + 2 = 0, x3, x4 là các nghiệm của pt x2 + 2014x + 2 = 0 Tính giá trị của biểu thức
Q = (x1 + x3) (x2 - x3) (x1 + x4) (x2 – x4)
b) Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (Dab) có phương trình y = ax + b với a,b là tham số Với mỗi giá trị b > 0, có thể
có bao nhiêu giá trị của a để (Dab) và (P) cắt tại hai điểm A, B sao cho AB = 2?
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) với tâm O, AB và CD không song song, I là giao điểm của AC và BD Gọi H, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD
a) Chứng minh rằng OHIK là hình bình hành
b) Giả sử M là một điểm tùy ý chạy trên (O) Gọi E, F là hình chiếu của M trên AB và BD Xác định vị trí của M trên (O) để EF lớn nhất
Bài 5 (1 điểm)
Với 13 số nguyên dương bất kì khác nhau, mỗi số nguyên dương đó có 3 chữ số, lấy 2 số bất
kì trong 13 số đó viết liền kề nhau (số này viết trước hoặc sau số kia) ta được một số có 6 chữ
số (ví dụ với 2 sốabc, def ta có thể viết thành abcdef hoặc defabc Hỏi có ít nhất bao nhiêu số được viết liền kề nhau chia hết cho 11?
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN ĐÀ NẴNG
NĂM HỌC 2014-2015 Bài 1 (2điểm)
Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An 1
Trang 2a) Cho biểu thức P = 3 2n - 5 8n + 7 18n + 28 , với n là số tự nhiên Tìm tất cả các số n sao cho n < 100 và P là số nguyên
Để P là số nguyên thì 2n, 8n, 18n đều là số chính phương
Giả sử 2n = k2 ; i2 = 18n = 9k2 => i = 3k => i chia hết cho 2 và 3 => i chia hết cho 6 (1) do (2, 3) = 1
Mặt khác do n là số tự nhiên và n < 100 nên 0 i 42
Từ (1) và (2) => i {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42}
Vậy n {0; 2; 8; 18; 32; 50; 72; 98}
b) Cho các số x, y, z đều khác 0 thỏa điều kiện x + y + z = 0 Chứng minh rằng:
z y x z
y
x
1 1 1 1
1
1
2
2
2
( 1x1y1z ) 2 = 2 2 2
1 1 1
z y
x +xy2 yz2 xz2
= 2 2 2
1 1 1
z y
x +2xxyz yz
1 1 1
z y
x (Vì x + y + z = 0) Giải phương trình 12
x + ( 1 ) 2
1
ĐK: x 0 và x -1
12
x + ( 1 ) 2
1
=> ( ) 2
1
x
1
x + ( 1 ) 2
1
=>
2
1
1 1
1
1
x x = 4 vì – x + x + 1 – 1 = 0
1 1
1
1
x
x 2 hoặc
1 1
1 1
x
=> 1 11
x x = 3 => 1 11
x x = -1
=> - x - 1 + x = 3x2 + 3x => - x - 1 + x = - x2 - x
=> 3x2 + 3x + 1 = 0 vô nghiệm => x2 + x – 1 = 0
x1 =
2
5
1
2
5
1
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 =
2
5
1
2
5
1
Bài 2 (2điểm)
a)Giải hệ phương trình:
3 1
1 )
2
(
2 2
2 2
2
2 2
xy y
x
y x xy
xy
y
x
ĐK: xy ≠ 0
b) Giải phương trình: 5x2 – (3x + 1) 2 2 3
x - 21 x + 3 = 0
Bài 3 (2,5điểm)
a) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + 2013x + 2 = 0, x3, x4 là các nghiệm của pt x2 + 2014x + 2 = 0 Tính giá trị của biểu thức
Q = (x1 + x3) (x2 - x3) (x1 + x4) (x2 – x4)
Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An 2
Trang 3b) Trên mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = x2 và đường thẳng (Dab) có phương trình y = ax + b với a,b là tham số Với mỗi giá trị b > 0, có thể
có bao nhiêu giá trị của a để (Dab) và (P) cắt tại hai điểm A, B sao cho AB = 2?
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dab) là:
x2 = ax + b x2 – ax – b = 0 (1) Do b > 0 nên – b < 0
=> PT (1) luôn luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt
=> Theo định lý Vi-ét ta có x1 + x2 = a ; x1 x2 = - b
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2 = a2 + 4b
Gọi A(x1; x12); B(x2; x22) là hai giao điểm của (P) và (Dab)
2 1 2 2 2
a2 + 4b + a4 + 4a2b = 4
a4 + (4b+1) a2 + 4b - 4 = 0
Bài 4 (2,5 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) với tâm O, AB và CD không song song, I là giao điểm của AC và BD Gọi H, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD
a) Chứng minh rằng OHIK là hình bình hành
b) Giả sử M là một điểm tùy ý chạy trên (O) Gọi E, F là hình chiếu của M trên AB và BD Xác định vị trí của M trên (O) để EF lớn nhất
Giải:
a) C/m OHIK là hình bình hành.
Gọi IK cắt AB tại P; HI cắt DC tại Q
Ta có ABD = ACD =
2
1
IKD PIB = KID = KDI =
2
1
(180 0 – IKD) = 90 0
-2
1
IKD
=> PBI + PIB = 90 0
=> IK AB mà OH AB
=> OH//IK Tương tự HI//OK Vậy OHIK là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của M trên (O) để EF lớn nhất.
Ta có: BEM = BFM = 90 0 => tứ giác BEFM nội tiếp trong đường tròn đường kính BM gọi
L là tâm
=> ELF = 2EBF mà EBF = ABD không đổi
=> Nên ELF không đổi
Vẻ LJ EF => JE = JF =
2
1
EF
=> EF = 2EJ = 2ELsinELJ = BMsinABD
EF lớn nhất khi BM là đường kính của đường tròn (O).
Vậy vị trí của điểm M trên đường tròn sao cho
BM là đường kính thì EF lớn nhất bằng 2RsinABD
Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An 3
Trang 4Bài 5 (1 điểm)
Với 13 số nguyên dương bất kì khác nhau, mỗi số nguyên dương đó có 3 chữ số, lấy 2 số bất kì trong 13 số đó viết liền kề nhau (số này viết trước hoặc sau số kia) ta được một số có 6 chữ số (ví dụ với 2 sốabc, def ta có thể viết thành
abcdef hoặc defabc Hỏi có ít nhất bao nhiêu số được viết liền kề nhau chia hết cho 11?
Giải:
Ta có:
abcdef = 100000a + 10000b +1000c + 100d + 10e + f
= 99990a + 10a + 9999b + b + 990c + 10c + 99d + d + 10e + f
= B(11) – a + b – c + d – e + f
Do abcdef 11 nên – a + b – c + d – e + f 11
Mặt khác def - abc = 100d + 10e + f - 100a – 10b - c
= 99d + d + 10e + f – 99a – a – 10b - c
= B(11) + d + f + b – a – e – c 11 Hoàn toàn tương tự trong trường hợp viết ngược lại
Trong 13 số khác nhau có 3 chữ số thì có ít nhất có 2 cặp số có cùng số dư khi chia hai số đó cho 11 Do đó có thể có ít nhất hai cặp số có hiệu chia hết cho 11 Vậy: với hai cặp số đó ta có thể viết được ít nhất 4 số có 6 chữ số chia hết cho
11 (kể cả viết trước và sau)
Nguyễn Văn Tín- Trường THCS Quế An 4