“Giải pháp kết cấu và phân tích ứng suấtbiến dạng đập đá đổ bản mặt bê tông trên nền đất”

L ỜI CẢM ƠN Luận văn “Giải pháp kết cấu và phân tích ứng suất-biến dạng đập đá đổ bản mặt bê tông trên nền đất” được hoàn thành tại khoa Công Trình và Phòng đào tạo Đại học & Sau đại h

L ỜI CẢM ƠN

Luận văn “Giải pháp kết cấu và phân tích ứng suất-biến dạng đập đá

đổ bản mặt bê tông trên nền đất” được hoàn thành tại khoa Công Trình và

Phòng đào tạo Đại học & Sau đại học – Trường Đại Học Thủy Lợi Hà Nội

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Nguyễn Văn Lệ đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả hoàn thành luận văn Xin trân thành cảm

ơn các thầy cô giáo trong Khoa Công Trình – Trường Đại học Thủy Lợi Hà Nội và lãnh đạo Công ty Cổ phần Tư vấn Xây dựng Điện 1 đã cũng cấp số

liệu cho luận văn

Tác giả chân thành cảm ơn các cơ quan đơn vị và các cá nhân nói trên

đã chia sẻ những khó khăn, truyền đạt kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập và hoàn thành luận văn

Kết quả ngày hôm nay tác giả đạt được chính là nhờ sự chỉ bảo ân cần của các thầy cô giáo, cùng sự động viên nhiệt tình của cơ quan, gia đình và bạn bè đồng nghiệp trong những năm qua Một lần nữa tác giả xin ghi nhớ tất

cả các đóng góp to lớn đó

Với thời gian và trình độ có hạn, luận văn không tránh khỏi những sai sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của Quí Thầy Cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Hà Nội, tháng 3 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Hữu Cường

M ỤC LỤC

2T

MỞ ĐẦU2T 7 2T

CHƯƠNG 1:2T 2TTỔNG QUAN VỀ ĐẬP ĐÁ ĐỔ BẢN MẶT BÊ TÔNG2T 9 2T

1.1.2T 2TLịch sử phát triển đập đá đổ bản mặt bê tông (CFRD)2T 9 2T

1.1.1.2T 2TGiới thiệu về đập đá đổ bản mặt bêtông (CFRD)2T 9 2T

1.1.2.2T 2TLịch sử phát triển2T 9 2T

1.1.3.2T 2TTình hình ứng dụng đập bản mặt bê tông tại Việt Nam2T 17 2T

1.2.2T 2TTổng quan về đập đá đổ bê tông bản mặt (CFRD)2T 20 2T

1.2.1.2T 2TPhân loại đập CFRD2T 20 2T

1.2.2.2T 2TCấu tạo các bộ phận của đập CFRD2T 22 2T

1.2.3.2T 2TĐiều kiện xây dựng đập CFRD2T 24 2T

1.2.4.2T 2TVật liệu xây dựng đập2T 25 2T

1.2.5.2T 2TCông nghệ thi công đập CFRD2T 28 2T

1.2.6.2T 2TVấn đề ổn định trượt2T 29 2T

1.2.7.2T 2TVấn đề thấm2T 29 2T

1.2.8.2T 2TVấn đề ứng suất, biến dạng2T 30 2T

1.2.9.2T 2TƯu nhược điểm của đập CFRD2T 30 2T

CHƯƠNG 2:2T 2TPHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN2T 32 2T

2.1.2T 2TCác phương pháp tính toán ứng suất biến dạng2T 32 2T

2.2.2T 2TPhương pháp PTHH trong tính toán kết cấu2T 33 2T

2.2.1.2T 2TNội dung của phương pháp PTHH2T 33 2T

2.2.2.2T 2TTrình tự giải bài toán bằng phương pháp PTHH2T 34 2T

2.2.3.2T 2TTính kết cấu theo mô hinh tương thích2T 36 2T

2.2.4.2T 2TGiải hệ phương trình cơ bản2T 42 2T

2.3.2T 2TPhần tử bậc cao trong phương pháp PTHH2T 43 2T

2.3.1.2T 2TKhái niệm về phần tử bậc cao2T 43 2T

2.3.2.2T 2THệ tọa độ tự nhiên2T 43

2.4.2T 2TPhần mềm tính toán2T 47 2T

2.4.1.2T 2TPhần mềm tính toán kết cấu2T 47 2T

2.4.2.2T 2TGiới thiệu sơ lược về phần mềm – ANSYS2T 48 2T

CHƯƠNG 3:2T 2TỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ỨNG SUẤT ĐẬP BẢN MẶT

BÊ TÔNG CÔNG TRÌNH THỦY ĐIỆN TUYÊN QUANG2T 54 2T

3.1.2T 2TTổng quan về công trình2T 54 2T

3.1.1.2T 2TGiới thiệu chung2T 54 2T

3.1.2.2T 2TCác thông số kỹ thuật chính2T 57 2T

3.2.2T 2TSố liệu tính toán2T 59 2T

3.2.1.2T 2TMặt cắt và mô hình tính toán2T 59 2T

3.2.2.2T 2TSố liệu về chỉ tiêu cơ lý2T 61 2T

3.2.3.2T 2TTrường hợp tính toán2T 62 2T

3.2.4.2T 2TKết quả tính toán2T 62 2T

CHƯƠNG 4:2T 2TKẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ2T 76 2T

4.1.2T 2TNhững kết quả đạt được của luận văn2T 76 2T

4.2.2T 2TKiến nghị và tồn tại2T 76 2T

TÀI LIỆU THAM KHẢO2T 77

Hình 2.2.U 2TUSơ đồ tính toánU 41 2TU

Hình 2.3.U 2TUTọa độ tự nhiên của phần tử 3 chiềuU 44 2TU

Hình 2.4.U 2TUPhần tử lục diện 20 điểm nútU 44 2TU

Hình 2.5.U 2TUHệ tọa độ tự nhiên và phần tử chuẩnU 45 2TU

Hình 2.8.U 2TUGiao diện ANSYS xuất hiện khi mở phần mềmU 50 2TU

Hình 2.9.U 2TUCửa sổ khai báo loại phần tửU 51 2TU

Hình 2.10.U 2TUCửa sổ khai báo vật liệuU 51 2TU

Hình 2.11.U 2TUCửa sổ khai báo lựcU 52 2TU

Hình 2.12.U 2TUCửa sổ tính toánU 52 2TU

Hình 2.13.U 2TUCửa sổ biểu diễn kết quảU 53

MỞ ĐẦU

U

Đề tài:

I Tính cấp thiết của đề tài

Đập đá đổ bản mặt bêtông (CFRD) hiện nay đang được công nhận trên toàn thế giới là 1 loại đập khá kinh tế Trung bình, tổng thời gian xây dựng CFRD so với thời gian xây dựng đập đất đá là ít hơn khoảng 1 năm Thời gian xây dựng ngắn hơn giúp giảm thiểu phần lớn chi phí xây dựng và khiến các

dự án thủy điện mang lại hiệu quả kinh tế cao hơn

Hầu như tất cả CFRD được xây dựng trên nền đá Nhưng trên thực tế ở trong nước và ở nước ngoài, vị trí xây dựng công trình trên nền đá không phải lúc nào cũng có thể lựa chọn được Trong trường hợp tầng đá nằm dưới sâu, nếu bóc hết lớp đất thì phải thực hiện một khối lượng đào rất lớn, rất tốn kém Luận văn sẽ đề cập tới giải pháp thích hợp để xây dựng đập CFRD trên nền đất Mặt khác phân tích trạng thái ứng suất biến dạng của đập và phần tường

bê tông chống thấm dưới nền đất Từ những kết quả nghiên cứu đạt được sẽ đưa ra số liệu phục vụ công tác thiết kế

II Mục đích của Đề tài

Đề xuất giải pháp phù hợp xây dựng đập đá đổ bản mặt bêtông trong trường hợp tại vị trí tuyến đập có tầng đất dày trên nền đá

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phân tích ứng suất – biến dạng của đập đá đổ bản mặt bêtông và tường chống thấm đặt trong tầng đất

III Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tính toán trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đá đổ bản mặt bêtông trên nền đất và tường chống thấm đặt trong tầng đất

Cách tiếp cận và Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu, tìm hiểu về cấu tạo và công năng của các bộ phận kết cấu đập

- Sử dụng phương pháp PTHH và phần mềm sẵn có để phân tích trạng thái ứng suất – biến dạng của đập và nền

IV Kết quả dự kiến đạt được

- Lập mô hình tính toán theo thuật toán của phương pháp PTHH

- Xác định trạng thái ƯS – BD của đập đá đổ bản mặt bêtông và tường

bê tông chống thấm

Ý nghĩa của luân văn

- Kết quả đề tài có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo tính toán thiết kế đập đá đổ bản mặt bê tông cho các công trình thủy lợi - thủy điện

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐẬP ĐÁ ĐỔ BẢN MẶT BÊ TÔNG 1.1 Lịch sử phát triển đập đá đổ bản mặt bê tông (CFRD)

1.1.1 Gi ới thiệu về đập đá đổ bản mặt bêtông (CFRD)

Đập được xây dựng ngang lòng sông để chặn dòng, dâng nước thành hồ

chứa Các hồ chứa hình thành sau các con đập dùng để chứa nước phục vụ các

mục đích: cung cấp nước thuỷ lợi, thuỷ điện, điều tiết lũ và du lịch

Việc xây dựng một đập dâng là việc hết sức phức tạp và phụ thuộc rất nhiều yếu tố như: điều kiện địa hình địa chất, nhu cầu nước, nguồn kinh phí

của quốc gia và các yếu tố ảnh hưởng đến môi trường dân sinh kinh tế

Đập đá đổ bản mặt bê tông (CFRD) là loại đập có thân đập được đắp

chủ yếu bằng vật liệu đá được đầm chặt Sau đó, một tấm bê tông cốt thép được xây dựng tại bề mặt thượng lưu đập với tác dụng chống thấm Bản mặt

bê tông sẽ truyền áp lực nước thượng lưu cho vùng đất đá thân đập và cuối cùng là vùng nền đập

Với tấm bản mặt bê tông, khả năng chống thấm của đập tương đối tốt, mái dốc thượng, hạ lưu xoải đảm bảo cho sự an toàn ổn định đập Ngay cả khi

sự rò rỉ xuất hiện, các đập này cũng không dễ dàng sụp đổ Mặt khác do CFRD có móng rộng nên ứng suất đáy móng nhỏ hơn so với đập bê tông có cùng chiều cao Do vậy CFRD được xem là an toàn và kinh tế, đặc biệt là có lợi về mặt thi công so với các loại đập khác vì hầu như không phụ thuộc vào thời tiết

1.1.2 L ịch sử phát triển

Đập đá đổ bản mặt bê tông được mô tả bởi Galloway (1939), hội đập

lớn thế giới (1989a), Cooke (1984, 1993, 1999, 2000) và Regan (1997)

CFRD đầu tiên được xây dựng ở California - Mỹ vào năm 1965, là bước cải tiến từ việc xây dựng đập đá đổ bản mặt bằng gỗ được xây dựng vào

đầu những năm 1950 Trong những năm 1940, CFRD và đập đá đổ lõi đất bắt đầu phát triển Tuy nhiên, chúng bị tạm dừng xây dựng vì các thiết bị đầm lăn không đảm bảo được hệ số đầm cho phép dẫn đến thân đập biến dạng lớn gây

ra hiện tượng thấm qua thân đập Với việc sử dụng loại đầm rung, một giai đoạn mới của CFRD xuất hiện và nó phát triển nhanh chóng vào những năm

1970 Ứng dụng của loại đập tiên tiến này được áp dụng rất nhanh ở Australia

và Nam Mỹ với hơn 20 đập được xây dựng

Những tiến bộ trong việc thiết kế và xây dựng đập đã đạt được nhiều thành tích đáng kể và ngày càng hoàn thiện hơn Năm 1966 Mỹ đã xây dựng thành công đập New Exchequer cao 150m dùng kết hợp lăn ép tầng mỏng Tuy nhiên vẫn còn bị biến dạng lớn, dẫn đến hiện tượng thẩm thấu Đây là con đập cuối cùng trong thời kỳ quá độ

Năm 1971, việc xây dựng thành công đập Cethana của Úc vào 110m đã đặt nền móng kỹ thuật cho các đập CFRD sau này Qua các con đập lớn được xây dựng thành công như: Foz do Areia – Brazil cao 160m năm 1980, Salvajina – Columbia cao 148m năm 1985, Aguamilpa – Mêhicô cao 187m

năm 1993 việc thiết kế và thi công đập CFRD ngày càng hoàn thiện hơn, quy

mô công trình ngày càng lớn hơn CFRD ngày nay được xây dựng khắp nơi trên thế giới vì tính ổn định, sử dụng vật liệu tại chỗ, thi công tương đối đơn giản, không phụ thuộc vào thời tiết, tiết kiệm, thích hợp với nhiều loại địa hình - địa chất, vận hành an toàn và dễ sửa chữa

Đập đá đổ bản mặt bê tông của Trung Quốc bắt đầu từ năm 1985 So

với các nước đi đầu trong lĩnh vực xây dựng đập đá đổ bản mặt bê tông, Trung Quốc bắt đầu chậm hơn nhưng phát triển nhanh và mạnh hơn các nước trên thế giới Chỉ trong vòng 10 năm đã phổ biến ra toàn quốc Theo thống kê

chưa đầy đủ năm 2004 Trung Quốc đã xây dựng được khoảng 150 đập đá đổ

bản mặt bê tông cao hơn 30m, trong đó có 37 đập cao trên 100m

Bảng 1.1 Đập bản mặt bê tông trên thế giới cao trên 100m

(International Water Power & Dam Construction - Materon, Bayardo)

22 Ercado Colombia 2004 120

Hình 1.1 Đập Kárahnjúkar (Iceland), cao 196m

Hình 1.2 Đập El Cajon (Mexico), cao 188m

Hình 1.3 Đập Santa Juana (Chile), cao 103m

Hình 1.4 Đập Cirata (Indonesia), cao 125m - 1987

Hình 1.5 Đập Shuibuya (Trung Quốc), cao 233m

Hình 1.6 Đập Zipingpu – Trung Quốc, cao 156m

(Đã đứng vững trong trận động đất cấp 8 ngày 12/5/2008

khi chỉ cách tâm chấn Vân Xuyên, tỉnh Tứ Xuyên, Trung Quốc 17km)

1.1.3 Tình hình ứng dụng đập bản mặt bê tông tại Việt Nam

Ở Việt Nam, đập đá đổ bản mặt bê tông đã bước đầu được áp dụng vào

một số công trình Lần đầu tiên đã áp dụng vào công trình đập chính của công trình thuỷ điện Tuyên Quang (Na Hang) cao 92m, sau đó là đập Rào Quán

tỉnh Quảng Trị cao 78m và đập chính của công trình thuỷ lợi thuỷ điện Cửa Đạt tỉnh Thanh Hoá cao 117m

Đập đá đổ bản mặt bê tông chống thấm là một loại hình đập đá đổ mới được đưa vào nước ta Tuy nhiên nó đang dần từng bước chứng minh được tính ưu việt của nó so với các loại đập khác nhất là với loại đập cao Với công nghệ và trang thiết bị thi công ngày càng hiện đại, các khó khăn phát sinh trong quá trình thi công đập đá bản mặt bê tông chống thấm sẽ giảm bớt nhiều

và việc xây dựng loại hình đập này sẽ ngày càng phát triển ở nước ta

Một số công trình đập đá đổ bản mặt bê tông đã được xây dựng ở nước ta:

- Công trình thuỷ điện Tuyên Quang:

+ Chiều dài đỉnh đập : 717,90m

+ Chiều cao đập lớn nhất : 92,20m

+ Chiều rộng đỉnh đập : 10,00m

+ Mực nước dâng trung bình : 36,00m

+ Dung tích hồ chứa nước : 2,245 tỷ mP

3

+ Công suất thiết kế : 342 MW

+ Thời gian thi công : 5 năm

+ Khối lượng bêtông : 950,10 mP

+ Chiều cao đập lớn nhất : 117,00 m

+ Thời gian thi công : 2004 - 2009

+ Tổng vốn đầu tư : 547 tỷ đồng

- Công trình thuỷ điện Rào Quán:

+ Chiều dài dập : 540,00 m

+ Chiều cao đập lớn nhất : 75,00 m

+ Cao trình đỉnh đập : 121,30 m

+ Mực nước dâng bình thường : 480,00 m

+ Dung tích hồ chứa : 141,00 triệu m3

+ Công suất thiết kế : 64 MW

+ Doanh thu hàng năm : 150-200 tỷ đồng

Hình 1.7 Mái thượng lưu đập bản mặt bêtông Tuyên Quang

Hình 1.8 Thi công bản mặt đập Tuyên Quang

Hình 1.9 Mặt cắt ngang điển hình đoạn lòng sông - Cửa Đạt

Hỡnh 1.10 Thượng lưu đập Rào Quỏn

1.2 Tổng quan về đập đỏ đổ bờ tụng bản mặt (CFRD)

1.2.1 Phõn loại đập CFRD

Hiện nay đập CFRD chưa cú nhiều loại, nhỡn chung việc phõn loại thường được dựa vào cỏc tiờu chớ sau:

1.2.1.1 Phõn loại theo vật liệu đắp đập

Dựa vào vật liệu dựng để đắp đập là đỏ cứng hay cuội sỏi mà người ta phõn thành 2 loại là:

Đập đỏ đổ bản mặt cú thõn đập được đắp bằng đỏ cứng, loại đập này thường được phõn vựng vật liệu trong mặt cắt ngang như hỡnh 1.11

(dạng tam giác - góc ở đỉnh tuỳ thuộc vào vật liệu và chiều cao đập)

8 (3D) Bảo vệ mái hạ lưu

10 (3E) Vùng đá thải (thoát nước chân đập)

9 Vùng có thể biến động giữa vùng 6 và vùng 7

11 Bản mặt bê tông

7 (3C) Vùng đá đổ hạ lưu

a 2

6 5

3 11

10 8

Đập đỏ đổ bản mặt cú thõn đập được đắp bằng cuội sỏi, loại đập này thường được phõn vựng vật liệu trong mặt cắt ngang như hỡnh 1.12

Đập đỏ đổ bản mặt bờ tụng thõn đập bằng đỏ cứng thường cú hệ số mỏi đập thượng, hạ lưu (1:1,0ữ1:1,4) nhỏ hơn so với hệ số mỏi của thõn đập bằng cuội sỏi ( 1:1,5ữ1:1,6) Tuy nhiờn thõn đập đắp bằng cuội sỏi tận dụng được nhiều hơn vật liệu đào từ múng cụng trỡnh hoặc khai thỏc với giỏ thành rẻ hơn

Hỡnh 1.12 Mặt cắt ngang thõn đập đắp bằng cuội sỏi

1.2.1.2 Phõn loại theo chiều cao

Theo chiều cao đập, tiờu chuẩn thiết kế đập đất đỏ kiểu đầm nộn (SDJ

218 – 84) của Trung Quốc đó phõn thành 3 loại:

Đập thấp: chiều cao đập H < 30m

Đập vừa: chiều cao đập H từ 30 ữ 70 m

Đập cao: chiều cao đập H > 70m

Ở đõy chiều cao đập được tớnh từ đỉnh đập đến vị trớ sõu nhất của nền sau khi đó dọn sạch hố múng

8

9 7

6

11 3 5

6 2

7 (3C) Vùng đá đổ hạ lưu (cuội sỏi)

12 10

10 (3F) Vùng tiêu nước

1.2.1.3 Phân loại theo cấp công trình

Theo tiêu chuẩn xây dựng Việt Nam ( TCXDVN 285:2002) thì chiều cao đập đất đá được xác định như ở bảng 1.2

Bảng 1.2 Cấp công trình theo chiều cao đập và tính chất nền

Loại công trình Loại đất nền Cấp thiết kế

1.2.2 Cấu tạo các bộ phận của đập CFRD

Đập CFRD có cấu tạo chính là khối đá cấp phối đắp, đầm nén ở thân đập và bản bê tông cốt thép mác cao phủ trên bề mặt mái thượng lưu để ngăn nước thấm qua đập Khối đá đắp cũng được chia làm nhiều vùng khác nhau như những đập đá đổ thông thường tùy thuộc vào các loại đá dùng trong thân đập Phần tiếp giáp giữa bản mặt bê tông và khối đá đắp là lớp đệm (dày từ 2m đến 3m) và lớp chuyển tiếp (dày 4m) Mặt cắt ngang điển hình của đập CFRD được biểu diễn trong hình 1.13

Hình 1.13 M ặt cắt ngang điển hình của CFRD

Đá đắp trong thân đập thường được phân thành hai khối chính: khối đá đắp thượng lưu và khối đá đắp hạ lưu Khối đá đắp thượng lưu đòi hỏi yêu cầu kỹ thuật cao hơn khối đá đắp hạ lưu, cụ thể là cường độ kháng nén lớn hơn 30MPa cho khối thượng lưu, còn khối hạ lưu chỉ yêu cầu bằng hoặc nhỏ hơn 30 MPa, có nơi đã dùng khối đá đắp hạ lưu có cường độ kháng nén 10 Mpa với điều kiện nằm trên mực nước hạ lưu Phạm vi tiếp giáp hai khối đá này có thể thay đổi tùy thuộc tính chất của từng công trình: chiều cao đập, vật liệu đắp đập, điều kiện nền vv Phần chân hạ lưu đập có thể bố trí khối đá

đổ có kích thước lớn hơn trong thân đập để tăng khả năng ổn định cho đập

Bản mặt bê tông có tác dụng chống thấm cho đập và được liên kết với nền qua bản chân Tại điểm tiếp giáp giữa bản mặt và bản chân được bố trí khớp nối biên h.1.14a đảm bảo ngăn dòng thấm khi có chuyển dịch giữa bản mặt và bản chân Bản mặt cũng được chia làm nhiều tấm nối với nhau bằng khớp nối dọc với cấu tạo cần thiết để đảm bảo không phát sinh dòng thấm từ thượng lưu về hạ lưu khi có sự chuyển dịch khác nhau giữa các tấm bản mặt

Do bản mặt ở vùng vai đập chịu kéo còn bản mặt ở vùng giữa chịu nén theo

phương trục đập, nên khớp nối dọc cũng được chia làm khớp nối chịu kéo (h.1.14b) và khớp nối chịu nén (h.1.14c)

(a) (b)

(c)

Hình 1.14 Cấu tạo chi tiết chân thượng lưu đập

Để tăng độ an toàn về thấm cho khu vực tiếp giáp giữa bản mặt và bản chân, người ta bố trí một tầng đệm đặc biệt ngay sau hạ lưu bản chân Tầng đệm này được cấu tạo từ cát cuội sỏi hoặc đá xay và được đầm nện chặt như tiêu chuẩn của lớp đệm dưới bản mặt, nó còn có tác dụng như một lớp lọc khi

có sự cố hư hỏng của khớp nối giữa bản mặt và bản chân

1.2.3 Điều kiện xây dựng đập CFRD

Về cơ bản, điều kiện để xây dựng đập CFRD cũng tương tự như đập đá

đổ thông thường Đập CFRD đòi hỏi phải thực hiện một khối lượng công tác đất đá lớn bao gồm: khai thác, vận chuyển, đắp vật liệu vào thân đập Đặc biệt đối với đập cao thì tải trọng truyền xuống nền khá lớn, nên đòi hỏi nền phải

có đủ độ bền và ít biến dạng So với đập bê tông và đập đất, đập CFRD có yêu

cầu nền không cao Tuy vậy, phần lớn các đập đã được xây dựng cho đến hiện

nay vẫn được chọn đặt trên nền đá IIB hoặc IIA, một số đập được chọn đặt trên nền đá IB

Cũng cần nói thêm là, một số ít đập CFRD cũng đã được xây dựng ở vị trí có tầng phủ khá dày, ví dụ đập Na Lan ở Trung Quốc (cao 109m), đập Toulnustouc ở Canada (cao 75m), đập Reece của Áo (cao 122m) Trong tình

huống này, để chặn dòng thấm qua tầng phủ phải làm một tường bê tông đủ dày nối bản chân với tầng đá nằm dưới tầng phủ (Xem hình 1.15)

Hình 1.15 Mặt cắt điển hình đập Nalan – Trung Quốc

1.2.4 Vật liệu xây dựng đập

Trước hết phải có đủ vật liệu để đắp các khối cho thân đập như: đá, đất làm lõi, cát, sỏi lọc (có thể tận dụng đất đào móng) vv thường thì vẫn phải tính toán thông qua luận chứng hiệu quả kinh tế và tài chính

1.2.4.1 V ật liệu làm lớp đệm và vùng chuyển tiếp

Lớp đệm thường có chiều dày không đổi và được chọn theo kinh nghiệm, thường không nhỏ hơn 3m Lớp chuyển tiếp có chiều dày không đổi

từ 3 ÷ 4m Khi thi công, lớp đệm và lớp chuyển tiếp thường được thi công đồng thời, chiều cao của lớp đổ thường lấy bằng nửa chiều chiều cao của lớp

đá đổ của khối đá thượng lưu

Lớp đệm trong thân đập CFRD được bố trí ngay dưới tấm bản mặt bê tông Tác dụng của lớp đệm là tạo bề mặt “bằng phẳng” và tiếp xúc êm dịu cho bản mặt bê tông đồng thời nó cũng có tác dụng hỗ trợ phòng thấm Hiện nay cấp phối lý tưởng cho lớp đệm do Sherard đề nghị được dùng rất phổ biến Trong thành phần cấp phối đó, các hạt có đường kính nhỏ hơn 5mm có hàm lượng cao, nó thường chiếm từ 35% đến 55%, các hạt có đường kính nhỏ hơn 0,1mm chỉ chiếm từ 2% đến 12% Đường kính hạt lớn nhất DR max R= 80mm Cấp phối này thoả mãn yêu cầu nửa thấm và lọc các hạt bụi Lớp đệm thường được làm bằng hỗn hợp cát cuội sỏi hoặc đá xay có cấp phối liên tục Điểm yếu nhất của đập CFRD là thủng khớp nối biên dẫn đến thấm nghiêm trọng

Do vậy một vùng đệm đặc biệt với vật liệu hạt mịn có DR max R=40mm được dùng khá phổ biến dưới khớp nối biên Nó được đầm đến trạng thái chặt hơn để một mặt giảm độ lún, mặt khác có thể hạn chế, rò rỉ xuất hiện qua khớp nối biên Vùng chuyển tiếp cũng được làm bằng hỗn hợp cát cuội sỏi hoặc đá xay có cấp phối liên tục Tuy nhiên tỷ lệ hạt lớn trong vùng chuyển tiếp cao hơn lớp đệm Đường kính hạt lớn nhất DR max R=300mm Vùng chuyển tiếp này được bố trí ở giữa lớp đệm và vùng đá đắp chính Nó có tác dụng như một lớp lọc tránh sự rửa trôi các hạt nhỏ từ lớp đệm vào vùng đá chính

1.2.4.2 Vật liệu đắp đá thân đập

Vật liệu đá đắp thân đập có thể dùng đá cứng hoặc kết hợp giữa đá cứng, đá mềm và cuội sỏi Các loại đá dùng đắp đập có thể là đá vôi, đá cát kết, đá tuff, granit v.v Vật liệu dùng đắp khối đá chính cần đảm bảo các yêu cầu: kích thước đá lớn nhất không vượt quá chiều dày lớp đá đắp, thường

DR max R = 800 ÷ 1000mm; hàm lượng các hạt có đường kính nhỏ hơn 25mm không vượt quá 50%; hàm lượng các hạt có đường kính nhỏ hơn 2mm không vượt quá 10%; đá đổ phải có đặc tính thoát nước dễ dàng Thành phần cấp phối của vật liệu đá đắp thân đập cũng phải liên tục

Các chỉ tiêu của đá thông thường được xác định dựa vào các kinh nghiệm thực tế hiện có được nêu trong các tiêu chuẩn, quy phạm, sau đó xem xét điều chỉnh qua thí nghiệm hiện trường vào thời gian bắt đầu đắp đập Hầu hết đắp ở hiện trường đều được khống chế bởi các thông số đắp và bằng sự quyết định dung trọng khô với phương pháp đào hố thí nghiệm bổ sung Qua các kết quả thu được, người ta thấy rằng dung trọng khô của đá đắp thường nằm trong khoảng từ 1,79 T/mP

3

Pđến 2,39 T/mP

3

P Các loại đá mềm và cuội sỏi thường được dùng đắp trong vùng giữa đập và hạ lưu đập Sự lún của khối đá hạ lưu ảnh hưởng rất nhỏ đến tấm bản mặt bê tông nên yêu cầu về chất lượng của nó không đòi hỏi cao như khối đá chính

Có thể sử dụng các loại vật liệu đã khai thác hay lấy từ hố móng công trình, tốt nhất là sử dụng các loại đá phún xuất và đá biến chất: sức kháng nén của đá sau 50 lần nhúng nước và 26 lần phơi khô tùy theo chiều cao đập được phân theo bảng 1.3

Bảng 1.3 Sức kháng nén của vật liệu đá ứng với chiều cao đập

Đá đắp vào thân đập ngoài việc phải nằm trong đường bao vật liệu phải đảm bảo hệ số không đều hạt 5 ≤ η = DR 60 R/DR 10 R≤ 25

Vùng chuyển tiếp đá đắp có cấp phối hạt nằm từ giới hạn trên đến giới hạn trung bình Các vùng khác từ giới hạn trung bình đến giới hạn dưới Đối với lớp gia cố mái hạ lưu đường kính tính toán của viên đá không được nhỏ hơn 45cm và không lớn hơn 100cm

Gia cố mái hạ lưu đường kính tính toán của viên đá không được nhỏ hơn 45cm và không lớn hơn 100cm

1.2.5 Công nghệ thi công đập CFRD

Đập CFRD thường được thi công theo trình tự sau:

- Đào móng công trình (đào lớp đất phủ và các lớp đá phong hoá trên mặt),

- Đắp đập, kết hợp với khoan phụt tại một số vị trí nền cần xử lý,

- Thi công bản chân và khoan phụt tạo màng chống thấm,

- Thi công bản mặt kết hợp với một số hạng mục công trình khác trên đập Trong quá trình thi công theo trình tự trên, tại mỗi hạng mục công trình cần áp dụng các biện pháp thi công thích hợp để đạt được các yêu cầu thiết

kế Các biện pháp thường dùng trong quá trình thi công:

1.2.5.1 Tạo mái và đầm đá

Vùng tầng đệm (2A) cần được đầm nén đặc biệt để đạt modun cao, tạo lớp đệm đồng đều cho tấm bản mặt Thiết bị thường dùng là đầm con lăn kết hợp rung, chiều dày lớp rải cho một lần đầm phụ thuộc vào thiết bị đầm, thường bằng chiều dày của lớp chuyển tiếp 3a hay nửa lớp chuyển tiếp 3B Bề mặt tầng đệm (2A) cần được tinh chỉnh trong khoảng 5÷15cm độ phẳng thiết

kế Để đạt được điều này thường sử dụng máy xúc đặt ngay trên đỉnh đập dưới sự điều khiển của thiết bị quan trắc bằng laze

Vùng thân đập chính (3B, 3C) được đắp theo từng lớp theo kích cỡ lớn nhất của viên đá và sử dụng các thiết bị máy móc như đối với đập đá đổ truyền thống

1.2.5.2 Thi công tấm bản mặt bê tông

Dùng cốp pha trượt để tiến hành thi công các tấm bản mặt từ dưới lên trên với bộ phận giữ và kéo tấm bản mặt tại 2 tời máy đặt trên đỉnh đập, ngoại trừ các tấm đầu tiên có hình thang hoặc hình tam giác nằm kề bản chân, hoặc

2 vai đập được thi công bằng phương pháp thủ công trước tấm bản mặt chính

Cốp pha trượt có thể đạt được tốc độ thi công 1 ÷ 2m/giờ với chiều rộng 8m, 10m, 12m hoặc 16m, bê tông dày từ 40÷60mm Bê tông thường dùng là loại đạt cường độ 25 đến 30 MPa trong 28 ngày

1.2.6 Vấn đề ổn định trượt

Đập CFRD có yêu cầu về địa chất nền cao hơn đập đất đá thông thường: bản chân thường được đặt trên lớp đá tốt Nền khối đá đắp có thể đặt trên lớp đá phong hoá mạnh hoặc trên lớp đá có mô đuyn biến dạng tương đương với mô đuyn biến dạng của khối đá đắp Do các đặc điểm này mà ở đập CFRD không xảy ra hiện tượng trượt sâu Tuy nhiên do mái đập thường

có độ dốc lớn nên có thể phát sinh các cung trượt trụ tròn ở mái đập, nếu chất

lượng đầm nện không đảm bảo hoặc chịu tác động bất thường mạnh, ví dụ rút

nước đột ngột trong hồ chứa, động đất mạnh v.v

1.2.7 Vấn đề thấm

Đập CFRD có những khớp nối cấu tạo đặc biệt như đã đề cập trên Do

đó, trong quá trình làm việc của đập lượng nước thấm qua thân đập hầu như không đáng kể Tuy nhiên, với đập cuội sỏi có đặc tính cấp phối không liên

tục, nếu thân đập phát sinh thấm tập trung, có thể dẫn đến nước thấm lôi các

hạt nhỏ đi, dẫn đến xói thân đập Để tránh sự cố đó, ngoài việc làm tốt bản

mặt và hệ thống chắn nước thì các khớp nối, tầng đệm cần cấu tạo và thi công

để nó có tác dụng như một tuyến chống thấm thứ hai Còn đối với đập đắp bằng đá cuội sỏi cần cấu tạo lăng trụ thoát nước như biểu diễn ở hình 1.12

1.2.8 Vấn đề ứng suất, biến dạng

Dưới tác dụng của trọng lượng bản thân, khối nước ở thượng hạ lưu, tải trọng của các thiết bị và các loại xe đi trên mặt đập v.v bản mặt, thân đập và nền trong mối quan hệ làm việc đồng thời với nhau sẽ sinh ra ứng suất và biến dạng Do bản mặt tựa hoàn toàn lên thân đập nên trạng thái ứng suất biến dạng của nền và thân đập sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến trạng thái ứng suất biến dạng của bản mặt Để tránh biến dạng không đều của bản mặt theo phương

trục đập, người ta chia bản mặt thành các tấm có chiều rộng như nhau bằng các khớp nối chạy từ đỉnh xuống chân đập (theo chiều vuông góc với trục đập) gọi là khớp nối dọc Trong phạm vi luận văn này, tác giả tập trung vào việc phân tích để làm rõ biến dạng và ứng suất đập bản mặt bê tông cốt thép đặt trên nền đất yếu dùng tường bê tông cắm xuống nền đá để chống thấm qua nền

1.2.9 Ưu nhược điểm của đập CFRD

1.2.9.1 Ưu điểm của đập CFRD

- Tận dụng được các vật liệu tại chỗ, đặc biệt có thể tận dụng đá đào móng tràn, đường hầm, nhà máy thủy điện để đắp đập Ít phải sử dụng vật liệu hiếm hoặc vận chuyển từ xa tới nên nhìn chung đập CFRD có giá thành thấp hơn các loại đập khác như đập bê tông trọng lực, đập vòm, đập bản chống đặc biệt những vị trí xây dựng công trình hiếm đất có đủ tiêu chuẩn đắp đập đất thì đập CFRD càng có hiệu quả kinh tế hơn

- Có khả năng cơ giới hoá cao quá trình khai thác đá, vận chuyển và đắp đập, có thể thi công ngay cả trong mùa mưa Do toàn bộ dòng thấm đã được bản mặt bê tông ngăn lại và phần đá đắp trong thân đập được đầm nén chặt

nên hệ số ổn định của mái thượng hạ lưu đập khá cao và mái đập có thể nhỏ (m = 1,4 ÷ 1,5) dẫn đến khối lượng đá đắp giảm nhỏ so với đập đất, đất đá thông thường

- Yêu cầu địa chất nền thấp hơn các loại đập bê tông

- Về ổn định chống động đất, chống trượt và tuổi thọ công trình không thua kém các loại đập khác

- Đập CFRD trong nhiều trường hợp có thể xây dựng ngay trên nền cát

cuội sỏi lòng sông, mà phần lớn khối lượng cát sỏi không phải bóc bỏ khi đắp đập Trong quá trình xây dựng đập có thể cho nước tràn qua phần đập đang thi công dở, nên vấn đề dẫn dòng khi lưu lượng dẫn dòng lớn có thể được giải quyết với giá thành rẻ

1.2.9.2 Nhược điểm của đập CFRD

- Đập CFRD là loại đập mới (nhất là ở nước ta) nên kinh nghiệm thiết

kế, thi công còn có những hạn chế nhất định

- Trong thân đập có nhiều vùng vật liệu, mỗi vùng có các chỉ tiêu cơ lý khác nhau Do vậy phân bố ứng suất và biến dạng trong thân đập phức tạp, hiện tượng treo ứng suất hoặc biến dạng quá mức có thể xảy ra, đặc biệt khi

có sự chênh lệch lớn về mô đun biến dạng giữa các lớp vật liệu kề nhau

- Bản mặt bê tông chịu tác động của nhiều yếu tố, nhất là ảnh hưởng của biến dạng ở khối đá than đập Đập càng cao, thi công phải chia làm nhiều giai đoạn ảnh hưởng này càng lớn, gây uốn và nứt bản mặt Mặt khác, tấm bản mặt bê tông được thi công bằng ván khuôn trượt nên cường độ tăng nhanh, lượng nhiệt toả ra lớn có thể làm chất lượng bê tông kém, ảnh hưởng đến khả năng chịu lực và tuổi thọ của nó

- Yêu cầu về thiết bị thi công cũng như trình độ thi công cao hơn đập đá

đổ thông thường

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN

2.1 Các phương pháp tính toán ứng suất biến dạng

Tính toán trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đất đá đã được thực hiện từ những năm 40 của thế kỷ 20 ở CHLB Nga và các nước phương Tây Tuy nhiên do hạn chế về công cụ tính toán mà người ta buộc phải đưa vào quá nhiều giả thiết (trong các biểu thức giải tích) nhằm đơn giản hoá tính toán

Hiện nay, các công thức đó chỉ có ý nghĩa lịch sử

Việc tính toán trạng thái ứng suất - biến dạng của đập đất đá theo bài toán phẳng hai chiều và ba chiều chỉ thực sự được phát triển vào những năm

60 – 70 của thế kỷ trước, gắn liền với sự ra đời của các phương pháp số (phương pháp sai phân hữu han, phần tử hữu hạn v.v )

Về mặt phương pháp tính, để giải bài toán về trạng thái ứng suất - biến dạng và ổn định đập vật đất đá, nói chung chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp biến phân,

- Phương pháp sai phân hữu hạn,

- Phương pháp phần tử hữu hạn,

- Phương pháp thực nghiệm

Mỗi phương pháp đều có ưu - nhược điểm riêng Việc áp dụng phương pháp nào phụ thuộc vào yêu cầu, tính chất, mức độ của bài toán cần giải quyết

Hiện nay, phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp thích hợp

để phân tích ứng suất và biến dạng phục vụ cho quá trình thiết kế hoặc đánh giá sự an toàn của các công trình thủy lợi – thủy điện Do đó trong luận văn chọn phương pháp PTHH để tính toán

2.2 Phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu

2.2.1 Nội dung của phương pháp PTHH

Chia miền tính toán thành nhiều các miền nhỏ gọi là các phần tử Các phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút Các nút này

có thể là đỉnh các phần tử, cũng có thể là một số điểm được quy ước trên cạnh của phần tử

Trong phạm vi của mỗi phần tử giả thiết một dạng phân bố xác định nào đó của hàm cần tìm Dạng đa thức nguyên của hàm xấp xỉ phải được chọn

để đảm bảo bài toán hội tụ Nghĩa là khi tăng số phần tử lên khá lớn thì kết quả tính toán sẽ tiệm cận đến kết quả chính xác

Song để thỏa mãn chặt chẽ tất cả cá yêu cầu thì sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc lựa chọn mô hình và lập thuật toàn giải Do đó trong thực tế người

ta phải giảm bớt một số yêu cầu nào đó nhưng vẫn đảm bảo được nghiệm đạt

độ chính xác yêu cầu

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) ra đời vào cuối những năm 50 nhưng rất ít được sử dụng vì công cụ tính toán còn chưa phát triển Vào cuối những năm 60, phương pháp PTHH đặc biệt phát triển nhờ vào sự phát triển

nhanh chóng và sử dụng rộng rãi của máy tính điện tử Đến nay có thể nói rằng phương pháp PTHH được coi là phương pháp có hiệu quả nhất để giải các bài toán cơ học vật rắn nói riêng và các bài toán cơ học môi trường liên tục nói chung như các bài toán thủy khí lực học, bài toán về từ trường và điện trường

Một trong những ưu điểm nổi bật của phương pháp PTHH là dễ dàng lập chương trình để giải trên máy tính, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự động hóa tính toán hàng loạt kết cấu với kích thước, hình dạng, mô hình vật liệu và điều kiện biên khác nhau

Phương pháp PTHH cũng thuộc loại bài toán biến phân, song nó khác với các phương pháp biến phân cổ điển như phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin… ở chỗ nó không tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm cần tìm trong toàn miền nghiên cứu mà chỉ trong trong từng miền con thuộc miền nghiên cứu đó Điều này đặc biệt thuận lợi đối với những bài toán mà miền nghiên cứu gồm nhiều miền con có những đặc tính cơ lý khác nhau, ví dụ như bài toán phân tích ứng suất trong đập, trong nền không đồng chất, bài toán thấm qua đập vật liệu địa phương…

2.2.2 Trình tự giải bài toán bằng phương pháp PTHH

1) Chia miền tính toán thành nhiều các miền con gọi là các phần tử Các phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút Các điểm nút này có thể là đỉnh các phần tử, cũng có thể là một số điểm được quy ước trên mặt (cạnh) của phần tử

Các phần tử thường được sử dụng là các phần tử dạng thanh, dạng phẳng, dạng khối như trên hình 2.1

Ví dụ, hàm cần tìm là hàm chuyển vị thì các hệ số của hàm xấp xỉ sẽ được xác định qua các chuyển vị và các đạo hàm của các chuyển vị ở các nút của phần tử

Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong các bài toán kết cấu ta thường chia thành 3 loại mô hình:

a Mô hình tương thích: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange

b Mô hình cân bằng: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano

c Mô hình hỗn hợp: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử Ta coi chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisner-Hellinger

Trong 3 mô hình trên thì mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả, còn 2 mô hình sau chỉ sử dụng có hiệu quả trong một số bài toán nhất định

3) Thiết lập hệ phương trình cơ bản của bài toán

Để thiết lập hệ phương trình cơ bản của bài toán giải bằng phương pháp PTHH ta dựa vào các nguyên lý biến phân Từ các nguyên lý biến phân ta rút

ra được hệ phương trình cơ bản của bài toán dựa trên thuật toán của phương pháp PTHH có dạng hệ phương trình đại số tuyến tính:

AX = B (2.1)

4) Giải hệ phương trình cơ bản

Giải hệ (2-1) sẽ tìm được các ẩn số tại các điểm nút của toàn miền nghiên cứu

5) Xác định các đại lượng cơ học cần tìm khác

Để xác định các đại lượng cơ học cần tìm khác ta dựa vào các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi

2.2.3 Tính kết cấu theo mô hinh tương thích

1) Chia miền tính toán thành các phần tử Thông thường trong các bài toán một chiều hoặc 2 chiều ta sử dụng các phần tử dạng thanh hoặc dạng phẳng

2) Chọn ẩn là các chuyển vị nút của phần tử, cũng có thể là chuyển vị nút và chuyển vị tại một số điểm trên cạnh hoặc điểm bên trong của phần tử

Giả thiết hàm chuyển vị: Giả sử tại một điểm (x,y) nào đó trong phần tử

có chuyển vị được biểu diễn bằng hàm u(x,y) Ta xấp xỉ hàm này bằng một đa thức nguyên:

e e

αe - véc tơ các thông số của phần tử

Gọi ∆R e Rlà véc tơ chuyển vị nút của phần tử thì:

e i

trong đó: AR e Rlà ma trận tọa độ nút của phần tử

Giải (2.3) ta được:

e 1 e

α − (2.4) Đặt (2.4) vào (2.2) ta được:

1

N = M A− (2.6) gọi là hàm dạng của phần tử

Biểu thức (2.5) biểu diễn quan hệ giữa chuyển vị tại một điểm bất kỳ

trong phần tử và chuyển vị nút của nó

3) Liên hệ giữa véc tơ chuyển vị nút của phần tử và chuyển vị nút của

toàn kết cấu

Giả sử số chuyển vị nút của phần tử là nR d R, còn chuyển vị nút của toàn

kết cấu là n và véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu là ∆thì rõ ràng các thành

phần của véc tơ chuyển vị nút ∆R e R của phần tử phải nằm trong các thành phần

của véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu ∆ Nói cách khác, ta có thể biểu

diễn mối quan hệ này bằng một biểu thức toán học:

∆

=

∆e Le (2.7) trong đó

LR e R là ma trận định vị của phần tử có kích thước nR d R x n, nó cho ta hình

ảnh cách sắp xếp các thành phần của ∆R e R vào trong ∆

Các phần tử của LR e R chỉ nhận một trong 2 giá trị là 0 và 1:

L R ij R = 0 nếu ∆ ei ≠ ∆ j

L R ij R = 1 nếu ∆ ei = ∆ j

Như vậy, bằng cách sử dụng ma trận LR e R ta có thể sắp xếp các thành

phần véc tơ chuyển vị nút của phần tử (chuyển vị cá thể) vào véc tơ chuyển vị

nút của toàn kết cấu (chuyển vị toàn thể) Nói cách khác bằng việc sử dụng

ma trận định vị LR e R ta có thể biểu diễn véc tơ chuyển vị cá thể qua véc tơ

chuyển vị toàn thể

4) Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút

Gọi ε là véc tơ biến dạng thì ta có mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị :

u

∂

= ε

trong đó: ∂ là ma trận toán tử vi phân

Thay u bằng biểu thức (2.5) ta được:

e e e

5) Quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị nút

Gọi σ e là véc tơ ứng suất của phần tử, theo định luật Hooke ta có:

Về hình thức, có thể dùng (2.11) để biểu diễn (2.12) với E được thay

bởi E* và ν được thay bởi ν * Cụ thể là:

trong đó: E – mô đun Young, ν - hệ số Poisson

Đưa (2.9) vào (2.10) được:

e e

σ (2.14) Biểu thức (2.14) là biểu thức liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị nút của

phần tử

6) Thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp PTHH

Trong phần này trình bày cách thiết lập phương trình cơ bản của

phương pháp PTHH trên cơ sở của nguyên lý cực tiểu thế năng

Giả sử vật thể có thể tích V cân bằng dưới tác dụng của các lực thể tích

p trong thể tích V và lực bề mặt q trên bề mặt S, khi đó thế năng toàn phần

π =∫∫∫ ε σ −∫∫∫ −∫∫ (2.15)

Chia miền V thành nR e R phần tử, mỗi phần tử có thể tích VR e R, diện tích bề

mặt SR e R Gọi thế năng toàn phần của mỗi phần tử là π e(πecũng được tính theo

công thức (2.15)) Đặt (2.6), (2.9), (2.14) vào (2.15) được:

e T e S

T e e

T e T e V e e e T e e V

2 1

e e