Báo cáo thực tập tốt nghiệp giải tích

Giới thiệu bài toánTrong tiểu luận này, chúng tôi kiểm chứng chi tiết các chứng minh trong bài báo "Multiple positive solutions for quasilinear problems with indefinite sublinear nonline

Nghiệm bội dương của bài toán tựa tuyến tính với

bước nhảy phi tuyến vô định á tuyến tính

Đặng Trường - Trần Hòa Phú

Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TPHCM

1 Giới thiệu bài toán

2 Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii

3 Điểm tới hạn và nghiệm yếu

Giới thiệu bài toán

Trong tiểu luận này, chúng tôi kiểm chứng chi tiết các chứng minh

trong bài báo "Multiple positive solutions for quasilinear problems

with indefinite sublinear nonlinearity" của Francisco Odair de Paiva

công bố trên Nonlinear Analysis 71 (2009) trang 1108-1115 Trong

bài báo đó, người ta tìm nghiệm bội không tầm thường và không

âm của bài toán tựa tuyến tính

Giới thiệu bài toán (tt)

g : Ω × R → R Caratheodory sao cho g (x, t) = 0, với mọi t ≤ 0

Giả sử g subcritical growth, tức là

|g (x, t)| ≤ c |t|q−1+ b(x ), a.e in Ω, t ∈ R (1.3)

với q ∈ (p, p∗), b ∈ Lq0(Ω), q = p∗/s và p < s < p∗, c là một

hằng số

Giới thiệu bài toán (tt)

Giả sử có hai hàm k và L thuộc Lr với r > N/p nếu 1 < p ≤ N và

r = 1 nếu p > N, k và L được định nghĩa bởi

Giới thiệu bài toán (tt)

|g (x, t)| ≤ a(x) |t|p−1+ d (x ) (1.6)

Cho µ1(k) < 1 < µ1(L), thì tồn tại λ > 0 sao cho bài toán của

chúng ta có ít nhất hai nghiệm không âm không tầm thường nếu

(a) 1 < α < p và kh+kLσα < λ, hoặc

(b) α = 1, h(x ) ≥ 0 và khkLσα < λ

Đây là kết quả chính trong bài báo của Francisco Odair de Paiva

nói trên

Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii

Định nghĩa (Hàm Caratheodory)

Caratheodory nếu

(i) Với mỗi s ∈ R thì ánh xạ x → f (x, s) đo được trong Ω

(ii) Với hầu hết x ∈ Ω thì ánh xạ s → f (x , s) là liên tục trong R

Hàm Caratheodory và toán tử Nemytskii (tt)

Điểm tới hạn và nghiệm yếu

Định nghĩa (Điểm tới hạn)

Cho E là không gian Banach và Φ : E → R là hàm khả vi Frechet

Khi đó u ∈ E được gọi là điểm tới hạn (critical point) của Φ nếu

DΦ(u)(v ) = 0 ∀v ∈ E

Điểm tới hạn và nghiệm yếu (tt)

Định lý Mountain Pass

Định nghĩa (Điều kiện Palais-Smale)

{Φ(un)} bị chặn và Φ0(un) → 0 trong E thì có dãy con hội tụ

Với điều kiện (1.3),kh+kLσα đủ nhỏ và µ1(L) > 1 thì sẽ tồn tại

a > 0, p > 0 sao cho nếu kuk = p thì Φ(u) ≥ a > 0

Chứng minh định lý

Do bổ đề 2 nên hàm Φ thỏa điều kiện Mountain Pass và tồn tại

Φ(u1) > 0

Do bổ đề 3 kết hợp Φ thỏa Palais-Smale nên cực tiểu của Φ trong

hạn u2 không tầm thường của Φ với Φ(u2) < 0 và ku2k < ρ

Kết luận

Trong luận văn này chúng tôi đã làm được những công việc sau:

tục, nhúng compact Rellich-Kondrachov vốn là những công cụ đắc

lực trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng, nhất là các

phương trình đạo hàm riêng phi tuyến mà phương trình p-Laplace

trong luận văn của chúng tôi là một ví dụ điển hình Hơn nữa

chúng tôi chỉ rõ trong bài toán đang xét, với các điều kiện của Ω

được kết hợp với định lý Dunford-Pettis (sẽ nói rõ hơn ngay sau

đây) để chứng minh bổ đề 1 trang 29 của luận văn

Kết luận (tt)

2 Phát biểu định lý Dunford-Pettis (định lý 1.21 trang 23 của luận

hội tụ yếu cùng hệ quả của định lý này (hệ quả 1.2 trang 23 của

luận văn), được sử dụng trong chứng minh hàm Φ thỏa điều kiện

Palais-Smale (bổ đề 1 trang 29 của luận văn) Cụ thể hơn, dùng

hệ quả của định lý Dunford-Pettis, chúng tôi chứng minh được

Kết luận (tt)

(mệnh đề 2 trang 25của luận văn) Trong bài báo của mình, tác giả Fancisco Odair de

Paiva chỉ nói lướt qua chỗ này mà không đưa ra chứng minh cụ

thể Từ việc tính cụ thể đạo hàm Fréchet của hàm Φ, chúng tôi

xây dựng dạng hình học Mountain pass của phiếm hàm năng lượng

Φ Một lần nữa bài báo của tác giả Fancisco Odair de Paiva không

nhắc đến điều này

4 Chúng tôi kiểm chứng các điều kiện để có thể dùng định lý

Fatou cho liminf (trang 38 và trang 40 của luận văn) Trong bài

báo của mình, do cấp độ là một công trình khoa học cấp cao nên

tác giả Fancisco Odair de Paiva không đưa ra chứng minh cụ thể

trong việc kiểm chứng các điều kiện để có thể dùng định lý Fatou

cho liminf

Kết luận (tt)

5 Phát hiện và chỉnh sửa một số lỗi sai trong bài báo của tác giả

Fancisco Odair de Paiva Các lỗi này là thiếu hoặc dư số α trong

các đẳng thức (trang 1112 dòng cuối từ dưới đếm lên của [10]

trong phần Tài liệu tham khảo), chủ yếu do việc đánh máy nhầm

gây nên

Ngoài ra còn rất nhiều chỗ chỉ nêu quá ngắn gọn mà chưa có

chứng minh chi tiết Trong bài báo của mình đăng trên Nonlinear

Analysis TMA, chứng minh định lý 1 của tác giả Fancisco Odair de

Paiva chỉ dài gần 6 trang Sau khi cô đọng lại các chứng minh của

Kết luận (tt)

(chưa tính phần kiến thức chuẩn bị cùng nhiều kiến thức bổ trợ có

trong các tài liệu mà chúng tôi nghiên cứu, mà thời gian và khuôn

khổ của luận văn chưa cho phép chúng tôi trình bày cặn kẽ hết

được), chúng tôi nhận thấy độ dài phần chính trong luận văn

(chương Áp dụng giải bài toán p-Laplace) là 17 trang

Tài liệu tham khảo

Robert A Adams, John J F Fournier: Sobolev Spaces,

Second Edition, Academic Press, Pure and Applied

Mathematics, Volume 140, 2003

Haim Brezis: Analyse Fonctionelle, Theorie et Applications,

Masson A., 1987

F.E Browder: Fixed point theory and nonlinear problems,

Proc Symp Pure Math 39 (1983) 4986

Dương Minh Đức: Giải tích hàm, ĐHQG Thành phố Hồ Chí

Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh,

Đặng Đức Trọng: Giải tích hàm, 2008

N.S.Papageorgiou, S.T.Kyritsi-Yiallourou: Handbook of

Applied Analysis, Advances in Mechanics and Mathematics,

Springer 2009

I Peral: Multiplicity of Solutions for the p-Laplacian,

International center for theoretical physics trieste, Second

School of Nonlinear Functional Analysis and Applications to

Differential Equations (1997)

I.V Skrypnik: Methods for analysis of nonlinear elliptic

boundary value problems, Am Math Soc Transl., Ser II 139

(1994)

Francisco Odair de Paiva: Multiple positive solutions for

quasilinear problems with indefinite sublinear nonlinearity,

Nonlinear Analysis TMA 71 (2009) 1108-1115

Dương Minh Đức, Nguyễn Quang Huy: Non-uniformly

asymptotically linear p-Laplacian problems, Nonlinear Analysis

TMA 92 (2013) 183-197

G Dinca, P Jebelean and J Mawhin: Variational and

topological methods for Dirichlet problems with p-Laplacian,

Portugaliae Mathematica Vol 58 Fasc 3 - 2001, Nova Série

H L Royden, P M Fitzpatrick: Real Analysis (Fourth

Edition), Pearson Education Asia Limited and China Machine

Press, 2010

Haim Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial

Differential Equations, Springer 2011