Đề thi chọn lọc học sinh giỏi cấp tỉnh An Giang năm học 2012- 2013 môn toán

Đề thi chọn lọc học sinh giỏi cấp tỉnh An Giang năm học 2012- 2013 môn toán

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

AN GIANG Năm học 2012 – 2013

Môn : TOÁN (vòng 1) Lớp : 12 Thời gian làm bài : 180 phút

(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (3,0điểm)

Cho hàm số ( m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu lần lượt là và đồng thời tam giác cân tại với

Bài 2: (3,0 điểm)

Giải phương trình :

Bài 3: (3,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Bài 4: (4,0 điểm)

Tìm số các nghiệm nguyên dương của phương trình:

Trong số các nghiệm này có bao nhiêu nghiệm trong đó đôi một khác nhau

Bài 5 : (3,0 điểm)

Tìm tọa độ các đỉnh của một hình thang cân ABCD biết rằng CD=2AB, phương trình hai đường chéo , các tọa độ hai điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36

Bài 6: (4,0 điểm)

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc hợp bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng , cho a cố định, thay đổi Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất

(Cho biết: )

-Hết -

ĐỀ CHÍNH THỨC

SBD : ………… PHÒNG :……

…………

ebooktoan.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI LỚP 12

AN GIANG Năm học 2012 – 2013

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN VÒNG 1

A.ĐÁP ÁN

Bài 1

 Đ



 Để hàm số có hai điểm cực trị thì và ta có bảng biến

thiên sau

0 0

 Ta có hai điểm cực đại và cực tiểu là

 Tam giác ABC cân tại C(-4;-2) ta được

ạ

 Vậy thỏa đề

3,0 điểm

Bài 2

Giải phương trình

 Nhận xét: Nếu viết phương trình trên lại là

thì phương trình có nghiệm khi do vế phải dương

 Đặt

phương trình trở thành

3,0 điểm

 Lại đặt phương trình trở thành

ạ

 Với

vậy là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có hai nghiệm

Cách khác: + Nhận xét không là nghiệm của phương trình + Nếu phương trình trên viết lại là :

So với điều kiện phương trình có hai nghiệm

Bài 3

 TXĐ:

 Đặt

Vậy

 Xét hàm số

3,0 điểm

ebooktoan.com

Vậy

Bài 4

 Mỗi bộ ba số nguyên dương thỏa mãn tương

ứng với bộ

ố

ố

ố

trong đó có đúng 2012 số1 và 2 số 0

Như vậy số bộ ba số cần tìm chính là số các cách sắp xếp hai chữ số 0 và

2012 chữ số 1 vào 2013 vị trí sao cho hai số 0 không đứng cạnh nhau và

không được đứng đầu và đứng cuối

 Để sắp xếp các số như trên ta thực hiện

* Sắp xếp 2012 chữ số 1 có 1 cách sắp xếp

* Sắp xếp số 0 đầu tiên vào giữa 2012 số1 có 2011 cách sắp xếp (trừ đi vị trí

đầu và cuối)

* Sắp xếp số 0 thứ hai vào giữa 2013 số trên có 2010 cách sắp xếp ( không

sắp đầu và cuối và không sắp bên trái, bên phải số 0 vừa sắp)

* Vì hai số 0 có thể đổi chổ cho nhau nên có các bộ số cần tìm

Ta có nhận xét 2012 không chia hết cho 3 nên phương trình không có ba

nghiệm bằng nhau

 Ta đếm các nghiệm trong đó

Để có nghiệm loại này ta thấy mỗi cặp có duy nhất một số nguyên

với để chọn nghiệm loại này ta thực hiện

* Chọn một số nguyên thuộc vào hai vị trí có 1005 cách

chọn

* Số còn lại là có đúng một cách chọn

Vậy có 1005 bộ ba số trong đó

* Vì vai trò đỗi chổ cho nhau nên có 3.1005 các nghiệm có hai số

giống nhau

Vậy có các bộ nghiệm trong

đó đôi một khác nhau

4,0 điểm

Bài 5

* Gọi M là giao điểm hai đường chéo hình thang, tọa độ M là nghiệm của hệ

* Ta có nhận xét hai đường thẳng vuông góc nhau CD=2AB suy ra hình thang cân có hai đáy là AB; CD * Vậy diện tích hình thang cân ABCD là:

* Ta lại có Vậy

Vậy tọa độ điểm A là (loại) Với do

*

Ta lại có

Vậy tọa độ B là (loại)

Với do

Vậy tọa độ các đỉnh của hình thang là

3,0 điểm Bài 6 * Do hình chóp đều nên H là giao điểm của AC và BD Gọi M là trung điểm của CD dể thấy CD (SHM) nên (SHM) (SCD) hay SM là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (SCD) vậy ớ

* Đặt

* Tam giác SHM vuông tại H ta được

* Đặt ớ

4,0 điểm

M H

A

D S

ebooktoan.com

Xét hàm số :

Bảng biến thiên

+ -

Vậy

B HƯỚNG DẪN CHẤM

+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+ Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và không làm tròn