Định lý forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ LOAN ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC Ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ LOAN

ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

VÀO KHÔNG GIAN PHỨC

Ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

THÁI NGUYÊN - 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực

và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái nguyên, tháng 9 năm 2018

Người viết luận văn

Phạm Thị Loan

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất

đối với cô

Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em suốt khóa học

Em chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên khích

lệ trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2018

Tác giả luận văn

Phạm Thị Loan

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực 3

1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới 3

1.2.2 Tập đa cực 4

1.2 Ánh xạ chỉnh hình 5

1.3 Không gian phức 5

1.4 Không gian phức lồi chỉnh hình 7

1.5 Không gian phức có tính chất thác triển Hartogs 7

1.6 Không gian K𝑎̈hler phức 9

1.6.1 Dạng Kähler 9

1.6.2 Không gian Kähler 9

1.7 Không gian Stein 12

Chương 2: ĐỊNH LÝ FORELLI ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC 16

2.1 Không gian phức có tính chất Forelli 16

2.2 Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartog 20

2.3 Định lý Forelli đối với đa tạp K𝑎̈hler phức compact lồi chỉnh hình 24

2.4 Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình 25

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

MỞ ĐẦU

Ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức từ lâu đã trở thành những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới Một số tác giả nổi tiếng như Đỗ Đức Thái, Nguyễn Thanh Vân, J Sicial, Shiffman, T.Terada,

đã chứng minh được một số kết quả đẹp đẽ và sâu sắc về ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức Những công trình đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ Ngày nay, nhiều nhà toán học trên thế giới vẫn quan tâm đến vấn đề trên bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra trong lĩnh vực đó

Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs khẳng định rằng nếu một hàm giá trị phức 𝑓(𝑧1, … , 𝑧𝑛) được xác định bởi 𝑧 = (𝑧1, … , 𝑧𝑛) ∈ 𝑈 ⊂ ℂ𝑛, (𝑛 ≥2) là hàm chỉnh hình tách, tức là chỉnh hình theo từng biến khi các biến khác nhau là cố định thì 𝑓 là chỉnh hình thực sự Đây là một trong số những kết quả quan trọng của giải tích phức nhiều biến

Năm 1978, Forelli đã chứng minh được kết quả đáng chú ý sau đây:

Nếu f là một hàm được xác định trong hình cầu đơn vị 𝔹𝑛 ⊂ ℂ𝑛, chỉnh hình trên giao của 𝔹𝑛 với mỗi đường thẳng phức l đi qua điểm gốc và nếu f khả

vi lớp 𝐶∞trong lân cận của điểm gốc thì f chỉnh hình trong 𝔹𝑛

Năm 2004 các tác giả Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai [14] đã nghiên cứu và đưa ra một số kết quả mở rộng của định lý Forelli đối với

ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu trình bày lại một cách chi tiết, rõ ràng các kết quả nghiên cứu của Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tài Thu, Phạm Ngọc Mai

về định lý Forelli đối với ánh xạ chỉnh hình vào các không gian phức

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương

Trong chương 1 chúng tôi trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2 bao gồm một số kiến thức

cơ bản của giải tích phức như: ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, không gian phức lồi chỉnh hình, không gian phức kiểu Hartogs, không gian K𝑎̈hler phức, không gian Stein

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày các định lý là mở rộng của định lý Forelli bao gồm

 Không gian phức có tính chất Forelli

 Định lý Forelli đối với không gian phức kiểu Hartogs

 Định lý Forelli đối với đa tạp K𝑎̈hler phức compact lồi chỉnh hình

 Định lý Forelli đối với đa tạp phức lồi chỉnh hình

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và tập đa cực

1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới

Định nghĩa 1.1.1 [5]

Giả sử D là một tập con mở trong ℝ𝑛 Hàm 𝑢: 𝐷 → [−∞, ∞), 𝑢 ≠ −∞

trên mọi thành phần liên thông của D được gọi là điều hòa dưới trong D nếu u

thỏa mãn hai điều kiện sau:

i Hàm u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {𝑧 ∈ 𝐷: 𝑢(𝑧) < 𝑠} là mở với mỗi số thực s

ii Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D, với mỗi hàm ℎ: 𝐺 → ℝ điều hòa trong G và liên tục trên 𝐺: ̅ nếu 𝑢 ≤ ℎ trên 𝜕𝐺 thì 𝑢 ≤ ℎ trên G

Định nghĩa 1.1.2 [5]

Giả sử Ω là một tập con mở trong ℂ𝑛 Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) được gọi là

đa điều hòa dưới trong Ω nếu:

i 𝜑 là nửa liên tục trên trong Ω và 𝜑 ≠ −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω

ii Với mỗi điểm 𝑧0 ∈ Ω và mỗi đường thẳng phức 𝑙(𝜉) = 𝑧0+ 𝑤 𝜉 đi qua

𝑧0(ở đó Ω ∈ ℂ𝑛, 𝜉 ∈ ℂ), hạn chế 𝜑 lên đường thẳng này, tức là hàm 𝜑 ∘ 𝑙(𝜉) hoặc

là điều hòa dưới ≡ −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập mở {𝜉 ∈ ℂ: 𝑙(𝜉) ∈ Ω}

Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa dưới như sau:

Hàm 𝜑: Ω → [−∞, ∞) nửa liên tục trên trong miền Ω⊂ ℂ𝑛 là đa điều hòa dưới trong Ω khi và chỉ khi :

với mỗi 𝑧0 ∈ Ω và mỗi 𝑤 ∈ ℂ𝑛, tồn tại 𝑟0 = 𝑟0(𝑧0, 𝑤) sao cho

𝜑(𝑧0) ≤ 1

2𝜋∫02𝜋𝜑(𝑧0+ 𝑤𝑟𝑒𝑖𝑡)𝑑𝑡, với mọi 𝑟 < 𝑟0

Định nghĩa 1.1.3

Giả sử X là không gian phức Một hàm đa điều hòa dưới trên X là hàm

𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) thỏa mãn : Với mỗi 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại lân cận 𝑈 của 𝑥 và một ánh

xạ song chỉnh hình ℎ: 𝑈 → 𝑉, với 𝑉 là một không gian con phức đóng của một miền 𝐺 nào trong ℂ𝑛, tồn tại một hàm đa điều hòa dưới 𝜑̃: 𝐺 → [−∞, ∞) sao cho 𝜑|𝑈 = 𝜑̃ ∘ ℎ

Để ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương

Formaess và Narasimha đã chứng minh rằng: Hàm nửa liên tục trên 𝜑: 𝑋 → [−∞, ∞) là đa điều hòa dưới khi và chỉ khi 𝜑 ∘ 𝑓 là điều hòa dưới hoặc

𝜑 ∘ 𝑓 ≡ −∞ với mọi ánh xạ chỉnh hình 𝑓: ∆→ 𝑋, trong đó ∆ là đĩa đơn vị mở trong ℂ

Ký hiệu PSH(X) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên không gian phức X

1.2.2 Tập đa cực

Định nghĩa 1.2.2

Giả sử X là một không gian phức Một tập 𝐸 ⊂ 𝑋 được gọi là đa cực (đa

cực đầy) nếu với mỗi điểm 𝑎 ∈ 𝐸 tồn tại một lân cận 𝑉 của 𝑎 và một hàm đa điều hòa dưới 𝜑: 𝑉 → [−∞, ∞) sao cho 𝐸 ∩ 𝑉 ⊂ {𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞} (𝐸 ∩ 𝑉 ={𝑧 ∈ 𝑉: 𝜑(𝑧) = −∞})

i Một ánh xạ 𝑓: 𝑋 → ℂ𝑚 có thể viết dưới dạng 𝑓 = (𝑓1, … , 𝑓𝑚), trong đó

𝑓𝑖 = 𝜋𝑖 ∘ 𝑓: 𝑋 → ℂ, 𝑖 = 1, … , 𝑚 là các hàm tọa độ Khi đó 𝑓 được gọi là chỉnh hình trên 𝑋 nếu hàm 𝑓𝑖 chỉnh hình trên 𝑋 với mọi 𝑖 = 1, … , 𝑚

ii Ánh xạ 𝑓: 𝑋 → 𝑓(𝑋) ⊂ ℂ𝑛 được gọi là song chỉnh hình nếu f là song

hàm chỉnh hình 𝜑1, … , 𝜑𝑚 trên 𝑉 sao cho

𝑋 ∩ 𝑉 = {𝑥 ∈ 𝑉|𝜑𝑖(𝑥) = 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚}

Định nghĩa 1.3.2

Giả sử X là một không gian phức trong đa tạp phức Z

- Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 được gọi là điểm chính quy của X nếu a có một lân cận

U trong Z sao cho 𝑈 ∩ 𝑋 là đa tạp phức Tập các điểm chính quy của X được kí

hiệu là Xreg

- Một điểm 𝑎 ∈ 𝑋 được gọi là điểm kỳ dị của X nếu nó không là điểm chính quy Tập các điểm kỳ dị của X được kí hiệu là 𝑋𝑠𝑖𝑛

Định lý 1.3.1

Trong không gian phức X, tập các điểm chính quy 𝑋𝑟𝑒𝑔 là một đa tạp phức

mở và tập các điểm kì dị 𝑋𝑠𝑖𝑛 là một không gian phức với 𝐼𝑛𝑡𝑋𝑠𝑖𝑛 = ∅

Định nghĩa 1.3.3

Giả sử X là một không gian con trong đa tạp phức 𝑍

Hàm 𝑓: 𝑋 → ℂ được gọi là chỉnh hình trên 𝑋 nếu với mỗi điểm 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại một lân cận 𝑈(𝑥) ⊂ 𝑍 và một hàm chỉnh hình 𝑓̂ trên 𝑈 sao cho 𝑓̂|𝑈∩𝑋 =𝑓|𝑈∩𝑋

Định nghĩa 1.3.4

Giả sử 𝑓: 𝑋 → 𝑌 là ánh xạ giữa hai không gian phức 𝑋 và 𝑌 𝑓 được gọi là

chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình 𝑔 trên một tập con mở 𝑉 của 𝑌, hàm hợp

𝑔 ∘ 𝑓 là hàm chỉnh hình trên 𝑓−1(𝑉)

Kí hiệu Hol(X,Y) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ 𝑋 vào 𝑌 được trang bị tô

pô compact mở

Giả sử {𝑓𝑛: 𝑋 → 𝑌} là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức

𝑋, 𝑌 Nếu {𝑓𝑛} hội tụ đều tới 𝑓 trong Hol(X,Y) thì 𝑓 là ánh xạ chỉnh hình

Định lý 1.3.2 (Định lý Hironaka về giải kỳ dị)

Giả sử X là không gian phức Khi đó, với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 tồn tại lân cận mở

U chứa x, tồn tại đa tạp giải tích M và ánh xạ chỉnh hình 𝜋: 𝑀 → 𝑈 lên U sao cho:

i 𝜋 là ánh xạ riêng

Ngoài tập hợp các điểm kỳ dị S của X trong U thì

𝜋: 𝑀\𝜋−1(𝑆) → 𝑈\𝑆

ii là ánh xạ song chỉnh hình

1.4 Không gian phức lồi chỉnh hình

Định nghĩa 1.4.1

Cho 𝑀 là không gian phức, 𝐾 là một tập compact trong 𝑀 Ký hiệu:

𝐾̂ = {𝑧 ∈ 𝑀: |𝑓(𝑧)| ≤ ‖𝑓‖𝐾, với mọi hàm 𝑓 chỉnh hình trên 𝑀}

𝐾̂ được gọi là bao lồi chỉnh hình của 𝐾

Định nghĩa 1.4.2

Cho 𝑀 là không gian phức Ta nói 𝑀 là không gian phức lồi chỉnh hình

nếu với mọi tập compact 𝐾 trong 𝑀, bao lồi chỉnh hình 𝐾̂ của 𝐾 là compact trong 𝑀

Ví dụ 1.4.1

Mọi đa tạp lồi (hình học) trong ℂ𝑛 là không gian phức lồi chỉnh hình

Tính chất 1.4.1

1 Mọi đa tạp Stein là đa tạp lồi chỉnh hình

2 Nếu M, N là các không gian lồi chỉnh hình thì 𝑀 × 𝑁 cũng là không gian lồi chỉnh hình

3 Mọi không gian con phức của một không gian lồi chỉnh hình cũng là không gian lồi chỉnh hình

1.5 Không gian phức có tính chất thác triển Hartogs [14]

Định nghĩa 1.5.1

Cho r > 0 đặt ∆𝑟 = Δ(0,r) ={| 𝑧| < 𝑟} ⊂ ℂ và Δ 1 =Δ Giả sử 𝑋 là một

không gian phức chúng ta nói rằng 𝑋 có tính chất thác triển Hartogs (viết tắt X

là (HEP)) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Reimann 𝛺 trên một đa tạp Stein vào X đều có thể thác triển chỉnh hình tới 𝛺̂ là bao chỉnh hình của 𝛺

Kí hiệu H 2(r) = {(𝑧1, 𝑧2) ∈ ∆2: |𝑧| < 𝑟 ℎ𝑜ặ𝑐 |𝑧| > 1 − 𝑟} (0 < r < 1) H2(r) là miền Hartogs 2 chiều

Định lý 1.5.1

Không gian phức M có tính chất (HEP) khi và chỉ khi mọi ánh xạ chỉnh hình

𝑓: 𝐻2(𝑟) → 𝑀 đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình trên ∆2

Ivashkovich và Shiffman đã chỉ ra rằng X có tính chất Hartogs nếu và chỉ nếu với mọi ánh xạ chỉnh hình f : H 2(r)→X đều thác triển chỉnh hình trên Δ2

Lớp của các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs là rất lớn Fujimoto đã chứng tỏ rằng lớp của các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs chứa lớp các không gian phức taut Adachi, Suzuki và Yoshida đã chỉ ra rằng lớp này cũng chứa lớp các nhóm Lie phức Shiffman cũng chứng minh được rằng lớp này chứa lớp các đa tạp phức Hecmit đầy với độ cong tiết diện chỉnh hình không dương

Đặc biệt, Ivaskovich đã chứng tỏ rằng một đa tạp K𝑎̈hler phức lồi chỉnh hình có tính chất thác triển Hartogs nếu và chỉ nếu nó không chứa các đường cong hữu tỉ Đỗ Đức Thái đã tổng quát hóa kết quả này của Ivaskovich đối với không gian K𝑎̈hler phức lồi chỉnh hình

Định nghĩa 1.5.2

Giả sử M là một không gian phức

i) Một tập con mở A của M được gọi là kiểu Hartogs (kiểu H) nếu tồn tại một ánh xạ song chỉnh hình từ A vào tập con giải tích của một không gian phức

có tính chất thác triển Hartogs

ii) Không gian M được gọi là không gian kiểu Hartogs nếu với mỗi p ∈ M tồn tại một lân cận W p của p với r p >0 và một lân cận Sp của p kiểu (H) Sao cho với mỗi f ∈ Hol(Δ,M), nếu f(0)∈ W p thì f(𝐴𝑟𝑝) ⊂ Sp.

Lớp các không gian phức kiểu Hartogs là rộng hơn lớp không gian phức

có tính chất thác triển Hartogs Dễ thấy nó chứa các lớp các không gian phức có tính chất thác triển Hartogs và các không gian phức hyperbolic

i) χ được gọi là 𝐶∞ (𝑞, 𝑞) - dạng dương nếu tồn tại một phủ mở 𝒰= {𝑈𝛼}

của X mà với mỗi α, phép nhúng 𝑗𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐺𝛼 nhúng Uα vào một miền con Gα trong ℂ𝑛𝛼 và một C∞ dạng dương χα kiểu (𝑞, 𝑞) trên 𝐺𝛼 sao cho

jα∗χα = χ|𝑈𝛼 ii) Một 𝐶∞ (1,1)-dạng dương trên X được gọi là một dạng Hecmit trên X iii) Một dạng Hecmit X được gọi là dạng K𝑎̈hler nếu ở trong định nghĩa trên

là bị chặn

Ivaskovich đã chứng minh rằng một đa tạp K𝑎̈ℎ𝑙𝑒𝑟 lồi chỉnh hình có tính chất thác triển Hartog nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình 𝜎: ℂ𝑃1 →

Cho 𝑀 = {𝑧 ∈ 𝑈 ⊂ ℂ2: 𝜑(𝑧) = 0} là một siêu mặt giả lồi mạnh, trong đó

U là một miền trong ℂ2 và 𝜑 là một 𝐶2 - hàm trên 𝑈 Đặt 𝑈+ = {𝑧 ∈ 𝑈: 𝜑(𝑧) >0} Gọi 𝑓: 𝑈+ → 𝑋 là một ánh xạ chỉnh hình Chúng ta có thể chứng minh được

rằng f có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình vào một lân cận của mỗi điểm

thuộc vào 𝑈+ Với mỗi 𝑛 ta đặt

Vì vậy, theo Bổ đề 1.6.3, 𝐴 = 𝑓(∆10) ∪ ⋃∞𝑗=1𝐵𝑗, trong đó 𝐵𝑗 là các tập con giải tích compact trong 𝑋 Hiển nhiên ⋃∞𝑗=1𝐵𝑗 chứa trong một tập compact trong

𝑋 Do đó tồn tại 𝑞 ∈ 𝑋 và một lân cận 𝑈 của 𝑞 sao cho 𝐵𝑗 ∩ 𝑈 ≠ ∅, 𝑣ớ𝑖 𝑚ỗ𝑖 𝑗 ≥

1 Chúng ta có thể giả thiết rằng tồn tại ánh xạ phủ giải tích 𝜃 từ 𝑈 vào 𝐵𝑘, trong

đó 𝑘 = 𝑑𝑖𝑚𝑋 và 𝐵𝑘 = {𝑧 ∈ ℂ𝑘: ‖𝑧‖ < 1} với 𝜃(𝑞) = 0

Đặt 𝐵̃ = 𝜃(𝐵𝑗 𝑗) Theo Định lý ánh xạ riêng, 𝐵̃ là tập con giải tích của 𝐵𝑗 𝑘với mọi 𝑗 ≥ 1 Do đó theo định lý Alexander, ta có 𝑉𝑜𝑙 𝐵̃ ≥ 𝑐 𝜋, với mọi 𝑗 ≥ 1 𝑗Điều này là không thể, vì 𝑉𝑜𝑙 (⋃∞𝑗=1𝐵̃𝑗)< +∞

Gọi 𝜌 là một metric xác định tô pô của 𝑋 và 𝑆 là một đường cong phức compact trong 𝑋 Đặt

Kí hiệu 𝜋: 𝑁 → 𝑒(𝑆𝜀) là phân thớ chuẩn tắc của 𝑒(𝑆𝜀) trong ℂ𝑛 Khi đó, với 𝛿 > 0 đủ nhỏ, tồn tại một lân cận 𝑁𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀) trong N và 𝑉𝛿 của 𝑒(𝑆𝜀) trong

ℂ𝑛 và một ánh xạ song chỉnh hình 𝜑: 𝑁𝛿 → 𝑉𝛿 sao cho 𝜑|𝑒(𝑆𝜀) = 𝐼𝑑

Đặ𝑡 𝜋̃ = 𝜋 ∘ 𝜑−1: 𝑉𝛿 → 𝑒(𝑆𝜀)

Dễ thấy rằng 𝜋̃2 = 𝜋̃ Theo giả thiết, tồn tại một đĩa giải tích 𝑓: 𝐷̅ → 𝑋 sao cho

𝑓(𝐷̅) ⊃ 𝑆𝜀, 𝑓(𝜕𝐷) ∩ 𝑒−1(𝑉𝛿) = ∅ và 𝑓(𝐷̅) ∩ 𝑒−1(𝜕𝑉𝛿) ⊂ 𝑒−1 ∘ 𝜋̃−1(𝜕𝑒(𝑆𝜀))

1.7 Không gian Stein [4]

Kí hiệu: 𝑋𝒪 là bó các mầm hàm chỉnh hình trên đa tạp 𝑋 𝒪 𝑋 vành các mầm hàm chỉnh hình trên 𝑋

Định nghĩa 1.7.1

Một không gian vành (𝑋, 𝑋𝒪) được gọi là một không gian giải tích nếu

với mọi 𝑥 ∈ 𝑋 có một lân cận U sao cho (𝑈,𝑋𝒪)|U là đẳng cấu tới một không

gian vành (𝑌,𝑌𝒪), ở đó Y là một đa tạp con của một miền trong ℂ𝑛 ,𝑌𝒪 =(𝑛𝒪/ℱ|𝑌) ở đó ℱ là bó idean của Y

Định nghĩa 1.7.2

Cho (X, 𝒪) là một không gian giải tích

 X được gọi là lồi chỉnh hình nếu mọi tập compact K của X, 𝐾 ̂là compact

 X được gọi là không gian Stein nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: a) X có một tô pô đếm được

b) X là lồi chỉnh hình

c) Cho 𝑥 ∈ 𝑋, có 𝑓1, … , 𝑓𝑛 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑟𝑎𝑛𝑘𝑥(𝑓1, … , 𝑓𝑛) = 𝑑𝑖𝑚𝑡𝑥𝑋

d) Cho 𝑥 ≠ 𝑦 ∈ 𝑋, có 𝑓 ∈ 𝒪𝑋 sao cho 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦)

Ví dụ 1.7.1

1 ℂ𝑛 rõ ràng là một không gian Stein

2 𝐶ho X là một không gian giải tích và (a), (b), (c) thỏa mãn (tức là không

gian con giải tích của ℂ𝑛) Cho 𝑓1, … , 𝑓𝑘 ∈ 𝒪𝑋 sao cho tập {𝑥 ∈𝑋; |𝑓𝑖(𝑥)| ≤ 1}

là tập compact Khi đó 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑋; |𝑓𝑖(𝑥)| < 1} là không gian Stein

3 Nếu X là một miền Reiman trên ℂ𝑛 thì bao chỉnh hình E(X) của nó là đa

Mệnh đề 1.7.1

Cho (𝑋,𝑋𝒪) là một không gian giải tích Stein Cho K là một tập con compact lồi chỉnh hình của X Nếu U là lân cận của K, thì tồn tại một miền Oka – Weil W, xác định bởi các hàm toàn cục, sao cho 𝐾 ⊂ 𝑊 ⊂ 𝑊 ̅ ⊂ 𝑈

Định lý 1.7.1

Cho (𝑋,𝑋𝒪) là một không gian Stein, và K là tập con lồi chỉnh hình của

X Khi đó tồn tại các hàm 𝑓1, … , 𝑓𝑡 ∈ 𝒪𝑋 sao cho, nếu 𝒜 là đại số các đa thức

trong 𝑓1, … , 𝑓𝑡 thì khi đó K là A-lồi Hơn nữa 𝒜 là trù mật trong 𝒪(𝐾) (trong đó

A là một đại số các hàm chỉnh hình trên X)

Hệ quả 1.7.1

Cho (𝑋,𝑋𝒪) là một không gian Stein và Y là một tập con mở của X Khi

đó các khẳng định sau là tương đương:

1 (𝑌,𝑋𝒪|𝑌) là một không gian Stein, và 𝒪𝑋 là trù mật trong 𝒪𝑌 trên 𝑌;

2 Nếu 𝐾 là tập con compact của 𝑌, thì 𝐾(𝒪𝑌, 𝑌) = 𝐾(𝒪𝑋, 𝑋);

3 𝑌 là 𝒪𝑋 − 𝑙ồ𝑖

Định lý 1.7.2

Giả sử (𝑋,𝑋𝒪) là một không gian giải tích, và 𝑋 = ⋃ 𝑋𝑖 với 𝑋𝑖 ⊂ 𝑋𝑖+1 Giả sử (𝑋𝑖,𝑋𝒪|𝑋𝑖) là một không gian Stein và là 𝒪𝑋𝑖+1- lồi Khi đó X là một không gian Stein

Chứng minh

Trước tiên, chúng ta chứng minh rằng với mọi i, 𝒪𝑋|𝑋𝑖 là trù mật trong 𝒪𝑋𝑖 Gọi 𝐾0 là tập con compact của 𝑋𝑖 Chọn các tập compact 𝐾𝑗 ⊂ 𝑋𝑖+𝑗 sao cho

𝐾𝑗+1 ⊃ 𝐾𝑗 ⊃ 𝐾0, với mọi 𝑗 > 0 và 𝑋 = ⋃ 𝐾𝑗

Với 𝑓0 ∈ 𝒪𝑋𝑖 Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta chọn một dãy {𝑓𝑗} sao cho

𝑓𝑗 ∈ 𝒪𝑋𝑖+𝑗 và ‖𝑓𝑗 − 𝑓𝑗−1‖𝐾𝑗−1 < 2−𝑗𝜀

Chọn 𝑓1 sao cho

𝑓1 ∈ 𝒪𝑋𝑖+1 và ‖𝑓1− 𝑓‖𝐾0 < 𝜀 2⁄ Nếu 𝑓1, … , 𝑓𝑘 đã được chọn, vì 𝒪𝑋𝑖+𝑘+1|𝑋𝑖+𝑘 là trù mật trong 𝑋𝑖+𝑘,, tồn tại