Về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho phương trình parabolic bậc nguyên và bậc phân thứ ngược thời gian

¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian.. ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian vîi h» s

LUŠN •N TI˜N Sž TO•N HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: 1) PGS TS NGUY™N V‹N ÙC 2) PGS

TS INH HUY HO€NG

Ngh» An - 2019

MÖC LÖC

1.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh, ¡nh gi¡ ên ành v ch¿nhhâa 141.2 Mët sè k¸t qu£ bê trñ 15Ch÷ìng 2 ¡nh gi¡ ên ành v ch¿nh hâa cho ph÷ìng tr¼nh

2.1 ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh

ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian 182.2 C¡c v½ dö 422.3 ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh

ng÷ñc thíi gian vîi h» sè khæng phö thuëc thíi gian 502.4 Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gianb¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov câ hi»u ch¿nh 572.5 K¸t luªn Ch÷ìng 2 61Ch÷ìng 3 ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh Burgers ng÷ñc

3.1 ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh Burgers ng÷ñc thíi gian vîih» sè phö thuëc thíi gian 62

h» sè khæng phö thuëc thíi gian 69

3.3 K¸t luªn Ch÷ìng 3 74

Ch÷ìng 4 Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc ph¥n thù ng÷ñc thíi gian 75 4.1 T½nh °t ch¿nh cõa b i to¡n ch¿nh hâa 75

4.2 Tèc ë hëi tö 78

4.3 V½ dö sè 86

4.4 K¸t luªn Ch÷ìng 4 95

Danh möc cæng tr¼nh cõa NCS câ li¶n quan ¸n luªn ¡n 98

LÍI CAM OAN

Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh, d÷îi sü h÷îng d¨n cõaPGS TS Nguy¹n V«n ùc v PGS TS inh Huy Ho ng Tæi xin cam oan

¥y l cæng tr¼nh cõa ri¶ng tæi C¡c k¸t qu£ ÷ñc vi¸t chung vîi c¡c t¡c gi£kh¡c ¢ ÷ñc sü çng þ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v o luªn ¡n C¡c k¸t qu£ ÷ñctr¼nh b y trong luªn ¡n l mîi v ch÷a tøng ÷ñc cæng bè tø tr÷îc ¸n nay

T¡c gi£

Nguy¹n V«n Th-ng

LÍI CƒM ÌN

Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Vinh, d÷îi sü h÷îng d¨n khoahåc cõa PGS TS Nguy¹n V«n ùc v PGS TS inh Huy Ho ng Tr÷îc h¸t,t¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u s-c èi vîi nhúng ng÷íi th¦y cõam¼nh: PGS TS Nguy¹n V«n ùc v PGS TS inh Huy Ho ng, nhúngng÷íi ¢ °t b i to¡n v ành h÷îng nghi¶n cùu cho t¡c gi£ C¡c th¦y ¢ h÷îngd¨n nhi»t t¼nh v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶ncùu

T¡c gi£ công xin ch¥n th nh c£m ìn Vi»n S÷ ph¤m tü nhi¶n, Tê bëmæn Gi£i t½ch, Pháng o t¤o Sau ¤i håc v c¡c pháng chùc n«ng kh¡ccõa Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi º t¡c gi£ ho n th nh nhi»m

vö cõa nghi¶n cùu sinh

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s-c tîi gia ¼nh v nhúng ng÷íi b¤nth¥n thi¸t ¢ luæn s´ chia, gióp ï v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp v nghi¶n cùu

Nguy¹n V«n Th-ng

MËT SÈ KÞ HI›U TH×ÍNG DÒNG TRONG LUŠN •N

TT C¡c kþ hi»u Gi£i th½ch þ ngh¾a cõa kþ hi»u

1 HKhæng gian Hilbert H

2 h ; iT½ch væ h÷îng trong khæng gian Hilbert H

3 k:kChu©n trong khæng gian Hilbert H

L2(0;1) Chu©n trong khæng gian L2(0; 1)

5 ATo¡n tû tuy¸n t½nh khæng bà ch°n, tü li¶n hñp, x¡c

ành d÷ìng

6 A(t)To¡n tû phö thuëc v o thíi gian

7 D(A)Mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A

8 D(A(t))Mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A(t)

9 f igi 1 H» cì sð trüc chu©n trong H

10 f igi 1 H» gi¡ trà ri¶ng cõa to¡n tû A èi vîi h»

v²ctì ri¶ng l cì sð trüc chu©n trong H

11 Mi·n bà ch°n trong khæng gian Rn

12 Rn Khæng gian thüc n chi·u

13 ut ¤o h m ri¶ng c§p mët theo bi¸n thíi gian t

14 ux ¤o h m ri¶ng c§p mët theo bi¸n khæng gian x

18 U(t; s)H» ti¸n hâa sinh bði -A(t)

19 J (g)Phi¸m h m Tikhonov vîi tham sè hi»u ch¿nh

20 v(t; g)Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n

t½nh vîi dú ki»n ban ¦u v(0) = g

21 xn * xD¢y fxng hëi tö y¸u tîi x

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc nguy¶n v bªc ph¥n thù ng÷ñc thíi gian ÷ñcdòng º mæ t£ nhi·u hi»n t÷ñng vªt lþ quan trång Ch¯ng h¤n, qu¡ tr¼nhtruy·n nhi»t [43, 49], qu¡ tr¼nh àa vªt lþ v àa ch§t [22, 37, 58, 59], khoahåc vªt li»u [65], thõy ëng håc [12], xû lþ £nh [15, 16, 48, 63], mæ t£ süvªn chuyºn bði dáng ch§t läng trong mæi tr÷íng xèp [89] Ngo i ra, lîp c¡cph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh d¤ng ut + A(t)u(t) = f(t; u(t)); công

÷ñc dòng º mæ t£ mët sè hi»n t÷ñng vªt lþ quan trång Ch¯ng h¤n: a) f(t;u) = u b ckuk2 ; c > 0 trong mæ h¼nh sinh lþ th¦n kinh cõa c¡c h» thèng t¸

b o th¦n kinh lîn câ ti·m n«ng h nh ëng [38, 47, 67], b) f(t; u) = u= 1 + au +

bu2 vîi ; a; b > 0; trong ëng håc enzyme [62],

c) f(t; u) = jujpu; p > 1 ho°c f(t; u) = up trong c¡c ph£n ùng nhi»t [62],

d) f(t; u) = au bu3 nh÷ ph÷ìng tr¼nh Allen-Cahn mæ t£ qu¡ tr¼nh t¡chpha trong h» thèng hñp kim a th nh ph¦n [6] ho°c ph÷ìng tr¼nh Ginzburg-Landau trong si¶u d¨n [39], ho°c e) f(t; u) = u(u )(1 u)(0 < < 1)

trong b i to¡n d¥n sè [62] B¶n c¤nh â, d¤ng ph÷ìng tr¼nh Burgers ng÷ñcthíi gian công th÷íng xuy¶n ÷ñc b-t g°p trong ùng döng v· çng hâa sèli»u [4, 57, 69], qu¡ tr¼nh sâng phi tuy¸n, trong lþ thuy¸t v· ¥m håc phituy¸n hay lþ thuy¸t nê [64] v trong ùng döng i·u khiºn tèi ÷u [5]

C¡c b i to¡n ¢ n¶u ð tr¶n th÷íng °t khæng ch¿nh theo ngh¾aHadamard [49, 75] èi vîi lîp c¡c b i to¡n ng÷ñc °t khæng ch¿nh, khi dúki»n cuèi cõa b i to¡n thay êi nhä câ thº d¨n ¸n b i to¡n khæng câ nghi»mho°c n¸u câ th¼ nghi»m n y l¤i c¡ch xa nghi»m ch½nh x¡c V¼ vªy, vi»c

÷a ra c¡c ¡nh gi¡ ên ành, ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa công nh÷ c¡c ph÷ìngph¡p sè húu hi»u º t¼m nghi»m g¦n óng cho b i to¡n °t khæng ch¿nhluæn l v§n · thíi sü Vîi c¡c lþ do n¶u tr¶n, chóng tæi chån · t i nghi¶n cùucho luªn ¡n cõa m¼nh l :"V· ¡nh gi¡ ên ành v ch¿nh hâa cho

ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc nguy¶n v bªc ph¥n thù ng÷ñc thíi gian".

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Möc ½ch cõa chóng tæi l thi¸t lªp c¡c k¸t qu£ mîi v· ¡nh gi¡ ên ànhcông nh÷ ch¿nh hâa cho c¡c d¤ng ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc nguy¶n

v bªc ph¥n thù ng÷ñc thíi gian

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc nguy¶n, chóng tæi tªp trung nghi¶ncùu ph÷ìng tr¼nh kiºu Burgers ng÷ñc thíi gian, ph÷ìng tr¼nh parabolicnûa tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian Cán èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic bªcph¥n thù, chóng tæi tªp trung nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh

6 Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n

Luªn ¡n ¢ ¤t ÷ñc mët sè k¸t qu£ v· ¡nh gi¡ ên ành v ch¿nh hâa choph÷ìng tr¼nh parabolic bªc nguy¶n phi tuy¸n v ph÷ìng tr¼nh parabolicbªc ph¥n thù tuy¸n t½nh Do â, luªn ¡n gâp ph¦n l m phong phó th¶mc¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong l¾nh vüc b i to¡n ng÷ñc v b i to¡n °tkhæng ch¿nh

Luªn ¡n câ thº l m t i li»u tham kh£o cho c¡c sinh vi¶n, håc vi¶n caohåc v nghi¶n cùu sinh ng nh to¡n

7 Têng quan v c§u tróc cõa luªn ¡n

7.1 Têng quan mët sè v§n · li¶n quan ¸n luªn ¡n

B i to¡n °t khæng ch¿nh v b i to¡n ng÷ñc xu§t hi»n tø thªp ni¶n 50 cõa th¸ k¿ tr÷îc C¡c nh to¡n håc ¦u ti¶n · cªp tîi b i to¡n n y l Tikhonov A.N., Lavrent'ev M M., John J., Pucci C v Ivanov V K °c bi»t, v o n«m

1963, Tikhonov A N ÷a ra ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa mang t¶n æng cho c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh (xem [75]) Kº tø â, b i to¡n

°t khæng ch¿nh v b i to¡n ng÷ñc ¢ trð th nh mët ng nh ri¶ng cõa to¡nvªt lþ v khoa håc t½nh to¡n

Cho H l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h ; i v chu©n k k X²t

b i to¡n t¼m h m u : [0; T ] ! H sao cho

¢ câ nhi·u k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành v ch¿nh hâa cho b i to¡n (1)trong tr÷íng hñp tuy¸n t½nh f 0 [3, 8, 11, 43, 49], ch¯ng h¤n nh÷ ph÷ìngph¡p tüa £o [40, 42], ph÷ìng ph¡p ph÷ìng tr¼nh Sobolev [21, 23, 41, 68],ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov [33, 75, 76], ph÷ìng ph¡p b i to¡n gi¡ tràbi¶n khæng àa ph÷ìng [9, 28, 30, 31, 32, 33] v ph÷ìng ph¡p l m nhuy¹n[25, 26, 27, 29] Tuy nhi¶n,èi vîi b i to¡n phi tuy¸n, v¨n cán nhi·u v§n ·c¦n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu Ch¯ng h¤n nh÷, t¼m c¡c ¡nh gi¡ ên ành

v ch¿nh hâa cho ph÷ìng tr¼nh câ h» sè phö thuëc thíi gian

V o n«m 1994, Nguy¹n Th nh Long v Alain Ph¤m Ngåc ành ([53]) ¢xem x²t b i to¡n ng÷ñc cho ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh d¤ng(1) B¬ng c¡ch sû döng nûa nhâm co li¶n töc m¤nh sinh bði to¡n tû

vîi f thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz to n cöc Trong [77], c¡c t¡c gi£ ¢ ch¿nh hâa b i to¡n (2) b¬ng b i to¡n

Vîi i·u ki»n

Sau â v o n«m 2010, Phan Th nh Nam ([60]) ¢ ch¿nh hâa b i to¡n

(1) b¬ng ph÷ìng ph¡p ch°t cöt T¡c gi£ x²t A l mët to¡n tû d÷ìng tü li¶nhñp khæng bà ch°n v H câ mët cì sð trüc chu©n f igi>1 l c¡c v²ctì ri¶ngt÷ìng ùng vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng f igi>1 cõa to¡n tû A sao cho

0 <

1 6

2 6 : : : ; v lim i = +1 (5)

i!+1

v f thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz to n cöc Phan Th nh Nam ¢ chùng minh b i to¡n sau l °t ch¿nh

(F0) Tçn t¤i h¬ng sè L0 > 0 sao cho

M°c dò trong [60, 77, 78, 80], c¡c nh to¡n håc ¢ ÷a ra ÷ñc ¡nh gi¡ sai

sè d¤ng Holder nh÷ng i·u ki»n °t l¶n nghi»m l m¤nh v khæng d¹ kiºmtra

¸n n«m 2015, inh Nho H o v Nguy¹n V«n ùc ([34]) ¢ ch¿nh hâa

b i to¡n (1) b¬ng b i to¡n bi¶n khæng àa ph÷ìng

8vt + Av = f(t; v(t)); 0 < t < T; (8)

<v(0) + v(T ) = '; 0 < < 1:

Hai t¡c gi£ tr¶n x²t h m f thäa m¢n i·u ki» n Lipschitz

:kf(t; w1) f(t; w2)k 6 kkw1 w2k (9)vîi h¬ng sè Lipschitz k 2 [0; 1=T ) ëc lªp vîi t; w1; w2

Hìn núa, vîi gi£ thi¸t ku(0)k 6 E; E > "; hai t¡c gi£ n y ¢ ÷a ra ¡nhgi¡ sai sè kiºu Holder

ku( ; t) v( ; t)k 6 C"t=T E1 t=T ; 8t 2 [0; T ]: (10)inh Nho H o v Nguy¹n V«n ùc l hai t¡c gi£ ¦u ti¶n ¤t ÷ñc tèc ë d¤ngHolder khi ch¿nh hâa b i to¡n (1) ch¿ vîi i·u ki»n ku(0)k E Tuy nhi¶n,i·u n y ch¿ óng vîi h¬ng sè Lipschitz k 2 [0; 1=T )

B¶n c¤nh ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh, ph÷ìng tr¼nhBurgers ng÷ñc thíi gian công ÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu.Abazari R., Borhanifar A ([1]), Srivastava V K., Tamsir M., Bhardwaj U.,Sanyasiraju Y ([70]), Zhanlav T., Chuluunbaatar O., Ulziibayar V ([90]),Zhu H., Shu H., Ding M ([93]) ¢ ÷a ra ph÷ìng ph¡p sè cho ph÷ìng tr¼nhBurgers Allahverdi N v c¡c cëng sü ([5]) x²t ùng döng cõa ph÷ìng

tr¼nh Burgers trong i·u khiºn tèi ÷u Lundvall J v c¡c cëng sü ([56]) x²tùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh Burgers trong çng hâa sè li»u Carasso A S

([14]), Ponomarev S M ([64]) dòng ph÷ìng ph¡p lçi logarithmº ÷a ra

¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh Burgers

Kh¡c vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc nguy¶n ng÷ñc thíi gian, ph÷ìngtr¼nh parabolic bªc ph¥n thù ng÷ñc thíi gian xu§t hi»n muën hìn nh÷ngcông l mët h÷îng nghi¶n cùu h¸t sùc sæi ëng trong nhúng n«m g¦n ¥y.C¡c nh to¡n håc ¢ ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ quan trång theo h÷îng nghi¶n cùu

n y Ch¯ng h¤n, Sakamoto K v Yamamoto M ([66]) ¢ ¤t ÷ñc k¸t qu£ v· sütçn t¤i v t½nh duy nh§t ng÷ñc cõa nghi»m Xua X v c¡c cëng sü ([86]) ¢

¤t ÷ñc k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành b¬ng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ Carleman C¡cph÷ìng ph¡p ch¿nh ho¡ v c¡c ph÷ìng ph¡p sè húu hi»u cho ph÷ìng tr¼nhparabolic bªc ph¥n thù ng÷ñc thíi gian công ¢ ÷ñc c¡c nh to¡n håc · xu§tnh÷ ph÷ìng ph¡p b i to¡n gi¡ trà bi¶n khæng àa ph÷ìng ([83, 85, 87]),ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov ([7, 84]), ph÷ìng ph¡p ch°t cöt ([81, 88,

91, 92]), ph÷ìng ph¡p tüa £o ([52]), ph÷ìng ph¡p sai ph¥n ([50, 51]),ph÷ìng ph¡p ph¦n tû húu h¤n ([45]), ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n ([82]) v mët sèph÷ìng ph¡p kh¡c ([13, 17, 44, 54, 55])

7.2 C§u tróc luªn ¡n

Nëi dung luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong 4 ch÷ìng Ngo i ra, luªn ¡n cán

câ Líi cam oan, Líi c£m ìn, Möc löc, Mð ¦u, K¸t luªn v ki¸n nghà,

Danh möc c¡c cæng tr¼nh khoa håc cõa nghi¶n cùu sinh li¶n quantrüc ti¸p ¸n luªn ¡n v danh möc t i li»u tham kh£o.

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì sð v mët sè ki¸n thùc bê trñ choc¡c ch÷ìng sau

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· ¡nh gi¡ ên ành v ch¿nh hâaTikhonov câ hi»u ch¿nh cho ph÷ìng tr¼nh parabolic bªc nguy¶n nûatuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nhBurgers ng÷ñc thíi gian

Ch÷ìng 4 tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa cho ph÷ìng tr¼nh parabolicbªc ph¥n thù tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p l m nhuy¹n

C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc tr¼nh b y t¤i seminar cõa Bëmæn Gi£i t½ch thuëc Vi»n s÷ ph¤m tü nhi¶n - Tr÷íng ¤i håc Vinh,seminar cõa pháng ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n cõa Vi»n to¡n håc thuëc Vi»n

h n l¥m khoa håc v cæng ngh» Vi»t Nam, Hëi th£o khoa håc "Tèi ÷u vT½nh to¡n khoa håc l¦n thù 15" t¤i Ba V¼ ng y 20-22/4/2017 K¸t qu£trong luªn ¡n công ¢ ÷ñc b¡o c¡o t¤i ¤i hëi To¡n håc Vi»t Nam l¦n thù 9t¤i Nha Trang 14-18/8/2018

C¡c k¸t qu£ n y công ¢ ÷ñc vi¸t th nh 04 b i b¡o trong â câ 01 b i «ngtr¶n t¤p ch½ thuëc danh möc SCI (Inverse Problems), 01 b i «ng tr¶nt¤p ch½ thuëc danh möc SCIE (Journal of Inverse and Ill-PosedProblems), 02 b i (01 b i «ng v 01 b i ¢ ÷ñc nhªn «ng) tr¶n t¤p ch½thuëc danh möc Scopus (Acta Mathematica Vietnamica)

T¡c gi£

Nguy¹n V«n Th-ng

CH×ÌNG 1KI˜N THÙC CÌ SÐ

1.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh, ¡nh gi¡ ên

ii) vîi méi y 2 Y tçn t¤i nghi»m x 2 X cõa (1.1),

iii) kx xkX ! 0 khi ky ykY ! 0 vîi y = Ax

N¸u mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng thäa m¢n th¼ b i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l °t khæng ch¿nh

Nghi»m x 2 XM X cõa (1.1) ÷ñc gåi l ên ành câ i·u ki»n tr¶n tªp XMn¸u (xem [43])

¡nh gi¡ (1.2) ÷ñc gåi l ¡nh gi¡ ên ành ([18, 43]) Trong tr÷íng hñp ( ) = ;

> 0 ta câ ¡nh gi¡ ên ành kiºu Holder v ¥y l mët "b i

to¡n tèt" Trong tr÷íng hñp l h m d¤ng logarithm th¼ ta ¤t ÷ñc ¡nh gi¡ ênành kiºu logarithm v ta câ mët "b i to¡n x§u" Cán trong tr÷íng

hñp ta khæng câ mët ¡nh gi¡ n o v· tèc ë ti¸n tîi 0 cõa ( ) khi ! 0 ta câmët "b i to¡n r§t x§u"

Gi£ sû r¬ng, vîi to¡n tû A v hai khæng gian X; Y th¼ b i to¡n (1.1) l °tkhæng ch¿nh Gi£ sû, vîi y l v¸ ph£i ch½nh x¡c cõa (1.1) th¼ (1.1) câduy nh§t nghi»m x sao cho Ax = y, nh÷ng y khæng ÷ñc bi¸t m tach¿ bi¸t g¦n óng cõa nâ l y vîi sai sè ÷ñc x¡c ành

ky ykY :V¼ (1.1) °t khæng ch¿nh n¶n ta khæng thº dòng to¡n tû ng÷ñc A 1 ºt¼m x Tùc l , khæng thº t¼m x b¬ng c¡ch x = A 1y , bði v¼ to¡n tûng÷ñc câ thº khæng x¡c ành t¤i y ho°c l khæng li¶n töc tr¶n Y

º t¼m nghi»m g¦n óng x , ta sû döng to¡n tû ch¿nh hâa

ành ngh¾a 1.1.2 ([18]) To¡n tû R(y; ) tø khæng gian Y v o khæng gian X ÷ñc gåi l ch¿nh hâa cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) ( èi vîi ph¦n tû y) n¸u i) câ mët sè 1 > 0 sao cho R(y; ) x¡c ành tr¶n [0; 1] v vîi y 2 Y ta câ

Trong ành ngh¾a tr¶n, n¸u 0 khæng phö thuëc v o y th¼ ta gåi lch¿nh hâa ti¶n nghi»m Cán trong tr÷íng hñp, 0 phö thuëc v o y th¼ tagåi l ch¿nh hâa hªu nghi»m

Bê · 1.2.2 (B§t ¯ng thùc Holder) Cho ai > 0; bi > 0; i = 1; 2; :::; n v p >0; q > 0 sao cho p 1 + 1

q = 1 Khi â, b§t ¯ng thùc sau óng

vîi z thuëc nûa m°t ph¯ng b¶n ph£i Rez > 0 cõa m°t ph¯ng phùc

Nhªn x²t 1.2.4 ([10]) H m Gamma câ c¡c t½nh ch§t sau

trong â > 0; > 0 v l h m Gamma ÷ñc gåi l h m Mittag-Leffler

Bê · 1.2.6 ([52]) Gi£ sû r¬ng 0 < 0 < 1 < 1 Khi â, tçn t¤i c¡c h¬ng

sè C; C1 > 0 ch¿ phö thuëc v o 0; 1 sao cho

1 1 ; x 6 0; 2 [ 0; 1]:

ành ngh¾a 1.2.7 ([10]) Cho f l h m kh£ vi li¶n töc tr¶n [0; T ] (T > 0)

¤o h m bªc ph¥n thù Caputo vîi bªc 2 (0; 1) cõa h m f tr¶n (0; T ] ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

R n f(y)g(x y)dy; x 2 Rn:(f g)(x) = r

R n D

S (f)(x) = D f = r (y)f(x y)dythäa m¢n

CH×ÌNG 2

TRœNH PARABOLIC NÛA TUY˜N T•NH NG×ÑC THÍI

GIAN

Trong ch÷ìng n y, ¦u ti¶n chóng tæi ÷a ra c¡c k¸t qu£ ¡nh gi¡ ênành cho ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian Sau â,chóng tæi dòng ph÷ìng ph¡p Tikhonov câ hi»u ch¿nh º ch¿nh hâaph÷ìng tr¼nh n y K¸t qu£ trong ch÷ìng n y cõa chóng tæi l nhúng k¸tqu£ ¦u ti¶n ÷a ra ¡nh gi¡ ên ành, công nh÷ ch¿nh hâa cho ph÷ìngtr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian (h¬ng sè Lipschitzkhæng ¥m tòy þ) ch¿ vîi i·u ki»n bà ch°n cõa nghi»m t¤i t = 0 C¡c k¸tqu£ n y ¢ ÷ñc cæng bè trong hai b i b¡o:

- Duc N V , Thang N V (2017), Stability results for semi-linear parabolic equations backward in time, Acta Mathematica Vietnamica 42, 99-111

- H o D N., Duc N V and Thang N V (2018), Backward semi-linearparabolic equations with time-dependent coefficients and locallyLipschitz source, J Inverse Problems 34, 055010, 33 pp

2.1 ¡nh gi¡ ên ành cho ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa

tuy¸n t½nh ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc

thíi gian

Cho H l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h ; i v chu©n k k Gi£

sû r¬ng c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n:

(A1) A(t) l to¡n tû tuy¸n t½nh x¡c ành d÷ìng, tü li¶n hñp v khæng bà ch°n

tr¶n H vîi méi t 2 [0; T ].

(A2) N¸u ui : [0; T ] ! H; i = 1; 2 l

du

Lu = dt + A(t)u = f(t; u); 0 < t T; (2.1)th¼ tçn t¤i h m li¶n töc a1(t) tr¶n [0; T ] sao cho

B¥y gií, chóng ta ÷a ra c¡c ¡nh gi¡ ên ành Tr÷îc h¸t, ta x²t c¡c ¡nh gi¡

ên ành vîi r ng buëc cõa nghi»m tr¶n mi·n [0; T ] Gi£ sû f thäa m¢n i·uki»n (F1) nh÷ sau

(F1) Vîi r > 0, tçn t¤i h¬ng sè K(r) > 0 sao cho f : [0; T ]H ! H thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz àa ph÷ìng

kf(t; w1) f(t; w2)k 6 K(r)kw1 w2k vîi

w1; w2 2 H sao cho kwik 6 r; i = 1; 2:

ành lþ 2.1.2 Gi£ sû r¬ng A(t) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (A1),(A2) v f thäam¢n i·u ki»n (F1) Cho u1 v u2 l hai nghi»m cõa b i to¡n (2.1) thäa m¢n

º chùng minh ành lþ n y, chóng ta c¦n c¡c bê · sau

Bê · 2.1.3 N¸u h l h m kh£ t½ch Riemann v t«ng tr¶n [0; 1], th¼

Chùng minh °t h( (t)) = R0t p(s)ds; t 2 [0; T ] V¼ (t) l h m li¶n töc t«ngng°t tr¶n [0; T ] n¶n h( (t)) l h m t«ng theo bi¸n Tø (2.2) ta th§y 0 6 (t)

Bê · 2.1.5 °t z = u1 u2 v B(t)z = zt + A(t)z N¸u kz(t)k > 0 vîi

måi t 2 [0; T ] v tçn t¤i h¬ng sè K sao cho kB(t)zk 6 Kkzk th¼

dt kzk2kzk22trong â a1(t) v c2 ÷ñc x¡c ành bði (A2)

Chùng minh Tø (A2) ta câ

2 2

zi2 a1(t) hA(t)z; zi kzk2 c2kzk4:

Q(t) = Q(0) + Z0 tp(s)ds 2K2 + jc2j c5t:

1

B¥y gií, ta chùng minh ành lþ 2.1.2.

°t z(t) = u1(t) u2(t) v B(t)z = zt + A(t)z Tø i·u ki»n (F1) v kui(t)k 6

E; t 2 [0; T ]; i = 1; 2 suy ra tçn t¤i h¬ng sè K = K(E) sao cho

kB(t)zk = kzt + A(t)zk = kf(t; u2) f(t; u1)k 6 Kku1 u2k = Kkzk:

(2.6)

°t h(t) = kz(t)k2; t 2 [0; T ] Ta câ

ht(t) = 2 hz; zti = 2 hA(t)z; zi + 2 hB(t)z; zi :N¸u kz(t)k > 0 vîi måi t 2 [0; T ] th¼

ht(t) = 2hA(t)z; zi + 2hB(t)z; zi : (2.7)

kzk2V¼ (t) l h m li¶n töc v t«ng ng°t tr¶n [0; T ] v (0) = 0, (T ) = 1, n¶n(t) câ h m ng÷ñc °t

L§y t½ch ph¥n hai v¸ cõa (2.12), ta÷ñc

Do â,

ln g(T (t)) 6 ln g(0) + 2c4Q(0) (t)

Z (t) Z+ 2c4 p(s)ds d ( ) + 2Kc4c5 (t)

Tø (2.15), t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh (2.13), ta câ

kz(t)k 6kz(0)k1 (t)kz(T )k (t) c4c5 (t)(1 (t)) : (2.19)

exp 2 K 2 T + jc 2 jT + 2K

1

â kz(t)k > 0 vîi 0 6 t 6 s < t0 Sû döng ¡nh gi¡ ên ành (2.19) vîi

T ÷ñc thay th¸ bði s < t0 v cho s " t0 ta ¤t ÷ñc m¥u thu¨n

d÷ìng, tü li¶n hñp v khæng bà ch°n sao cho vîi h» cì sð trüc chu©n f

v limi!+1 i = + 1: Gi£ sû a(t) l h m kh£ vi li¶n töc tr¶n [0; T ] sao cho

0 < a 6 a t0 ( ) 6 a; M1 = t [0;T ] j max a (t) < +j 1 v f thäa m¢n i·u ki»n (F1),

Chóng ta c¦n c¡c k¸t qu£ bê trñ sau.

Bê · 2.1.8 Gi£ sû ui(t); i = 1; 2 thäa m¢n (2.20) N¸u kB(t)zk Kkzk th¼ tçn t¤i h¬ng sè c6 sao cho

T (s) exp 1 + 4K2T 2a01a1 + c7 (1 (s)) ds: (2.23)+ 8K 2

B¥y gií, chóng ta chùng minh ành lþ 2.1.7.

Chùng minh ph¦n i): Tø (2.20) ta câ

v 1 0

n:z(t) = tT a( )d hz(T ); n i T

n i+ =n

R

Chùng minh ph¦n ii): Tø (2.21) ta câ

b i to¡n phi tuy¸n (2.1), th¼ h m h(t) câ thº khæng câ ¤o h m bªc hai.

Do â, chóng tæi ph£i ¡p döng mët kÿ thuªt ho n to n kh¡c º câ ÷ñc c¡c

¡nh gi¡ ên ành trong c¡c ành lþ tr¶n

iii) M°c dò chóng tæi y¶u c¦u h m f ch¿ thäa m¢n i·u ki»n (F1), k¸t qu£cõa chóng tæi trong ành lþ 2.1.7 v¨n m¤nh hìn so vîi k¸t qu£ cõaNguy¹n Huy Tu§n v °ng ùc Trång trong [80], v¼ c¡c t¡c gi£ n y ch¿ x²t b

i to¡n (2.1) vîi h» sè h¬ng v f thäa m¢n c¡c i·u ki»n (F0) (F2) nh÷ sau.(F0) Tçn t¤i h¬ng sè L0 > 0 sao cho