Mð ¦uH m lçi v tªp lçi ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø l¥u bði Holder, Jensen,Minkowski.. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng... Hadamard cán gåi l b§t ¯ng thùc Hadamard.
Trang 1I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC
Trang 3Möc löc
Ch÷ìng 1 H m lçi v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 4
1.1 H m lçi mët bi¸n v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 4
1.1.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi 4
1.1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi kh£ vi 7 1.2 Ùng döng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 14
1.2.1 Ùng döng trong ¡nh gi¡ c¡c gi¡ trà trung b¼nh 14
1.2.2 Ùng döng chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong ch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng 17
Ch÷ìng 2 H m lçi suy rëng v ùng döng 21 2.1 H m J-lçi 21
2.1.1 H m lçi tr¶n Rn 21
2.1.2 H m J-lçi 23
2.2 H m s-lçi 26
2.2.1 ành ngh¾a V½ dö 26
2.2.2 T½nh ch§t cõa h m s-lçi 28
2.3 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m s-lçi 33
2.3.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard 33
2.3.2 Mët sè b§t ¯ng thùc mîi ÷ñc thi¸t lªp tø b§t ¯ng thùc HermiteHadamard 33
2.3.3 Mët sè ùng döng cho gi¡ trà trung b¼nh °c bi»t 40
Trang 4K¸t luªn 41
Trang 6Mð ¦u
H m lçi v tªp lçi ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø l¥u bði Holder, Jensen,Minkowski °c bi»t vîi nhúng cæng tr¼nh cõa Fenchel, Moreau, Rock-afellar v o c¡c thªp ni¶n 1960 v 1970 ¢ ÷a gi£i t½ch lçi trð th nh mëttrong nhúng l¾nh vüc ph¡t triºn nh§t cõa to¡n håc B¶n c¤nh â, mët sè
h m khæng lçi theo ngh¾a ¦y õ nh÷ng công chia s´ mët v i t½nh ch§t
n o â cõa h m lçi Chóng ÷ñc gåi l c¡c h m lçi suy rëng (generalizedconvex function)
Möc ti¶u cõa · t i luªn v«n l tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n v· tªp lçi,
h m lçi mët bi¸n, h m lçi nhi·u bi¸n, h m J-lçi, h m s-lçi, b§t ¯ng thùcHermiteHadamard cho h m lçi, h m lçi kh£ vi, h m s-lçi v ùng döngtrong chùng minh mët sè b§t ¯ng thùc trong to¡n phê thæng, ¡nh gi¡c¡c gi¡ trà trung b¼nh Luªn v«n công tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc suyrëng cõa b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m kh£ vi n-l¦n, h m
J-lçi, h m s-lçi, h m s-lãm trong c¡c cæng tr¼nh [7], [8] cæng bè n«m 2012
v 2017
Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Ch÷ìng 1 tr¼nh
b y v chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi mëtbi¸n, h m lçi kh£ vi bªc nh§t, bªc hai, bªc n v ùng döng ¡nh gi¡ mët
sè gi¡ trà trung b¼nh v chùng minh mët sè b i tªp b§t ¯ng thùc trongch÷ìng tr¼nh to¡n phê thæng
Ch÷ìng 2 tr¼nh b y kh¡i ni»m v· h m J-lçi v mët sè t½nh ch§t cõa lîp
h m J-lçi, kh¡i ni»m h m s-lçi, t½nh ch§t cõa h m s-lçi, v½ dö v· h m s-lçi.Tr¼nh b y c¡c b§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m s-lçi, tr¼nh b y
Trang 7chi ti¸t c¡c chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc n y, còng mët sè ùng döng chogi¡ trà trung b¼nh °c bi»t.
Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡iNguy¶n Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng ¤ihåc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp, nghi¶ncùu T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y, cætrong Khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡iNguy¶n
°c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi PGS.TS Nguy¹nThà Thu Thõy - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n
n y
Xin c£m ìn nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh ¢ h¸t sùc thæng c£m, chias´ v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi º tæi câ thº håc tªp, nghi¶n cùu v
ho n th nh nhúng cæng vi»c cõa m¼nh
Tæi công xin gûi nhúng líi c£m ìn °c bi»t nh§t tîi t§t c£ nhúng ng÷íib¤n th¥n y¶u, nhúng ng÷íi ¢ y¶u m¸n, chia s´ vîi tæi nhúng khâ kh«ntrong khi tæi thüc hi»n luªn v«n
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018
T¡c gi£ luªn v«n
Nguy¹n Thà Hçng Hoa
Trang 8÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u [1], [3], [4], [7], [8] v [10].
1.1 H m lçi mët bi¸n v b§t ¯ng thùc HermiteHadamard
1.1.1 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi
ành ngh¾a 1.1.1 H m f : [a, b] ⊂ R → R ÷ñc gåi l h m lçi n¸u vîimåi x, y ∈ [a, b] v λ ∈ [0, 1] th¼
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
H m f ÷ñc gåi l h m lãm n¸u h m (−f) l lçi
H» qu£ 1.1.2 ([11, H» qu£ 2.1]) H m f(x) kh£ vi hai l¦n tr¶n kho£ng mð(a, b) ⊆ R l h m lçi n¸u v ch¿ n¸u ¤o h m c§p hai cõa nâ khæng ¥mtr¶n to n kho£ng (a, b)
R§t nhi·u b§t ¯ng thùc quan trång ÷ñc thi¸t lªp tø lîp c¡c h m lçi.Mët trong nhúng b§t ¯ng thùc nêi ti¸ng nh§t l b§t ¯ng thùc Hermite
Trang 9Hadamard (cán gåi l b§t ¯ng thùc Hadamard) B§t ¯ng thùc k²p n y
÷ñc ph¡t biºu trong ành lþ sau
ành lþ 1.1.3 ([3, The HermiteHadamard Integral Inequality]) Cho f l mët h m lçi tr¶n [a, b] ⊂ R, a 6= b Khi â
fa + b2
≤ 1
b − a
Z b a
f (x)dx ≤ f (a) + f (b)
2 . (1.1)B§t ¯ng thùc (1.1) câ thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng:
a
f (x)dx ≤ (b − a)f (a) + f (b)
2 . (1.2)Chùng minh V¼ h m f lçi tr¶n o¤n [a, b], n¶n vîi måi λ ∈ [0, 1] ta câ
0λdλ + f (b)
1Z
0(1 − λ)dλ (1.3)
V¼
1Z
0λdλ =
1Z
0
f λa + (1 − λ)bdλ = 1
b − a
bZ
a
f (x)dx
K¸t hñp vîi (1.3) ta nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc thù hai cõa (1.1)
Công do t½nh lçi cõa h m f,
Trang 10T½ch ph¥n hai v· b§t ¯ng thùc n y theo λ tr¶n o¤n [0, 1] ta nhªn ÷ñc
f a + b
2
≤ 12
1Z
0
f (λa + (1 − λ)b)dλ +
1Z
a
f (x)dx
B§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.1) ÷ñc chùng minh H» qu£ 1.1.4 (xem [3]) N¸u g : [a, b] → R l h m kh£ vi hai l¦n tr¶n[a, b] ⊆ R v m ≤ g00(t) ≤ M vîi måi x ∈ [a, b], m, M l h¬ng sè x¡c ành,th¼
Chùng minh °t f(x) = g(x) − m
2 x
2 vîi måi x ∈ [a, b] Khi â,
f00(x) = g00(x) − m ≥ 0, ∀x ∈ (a, b)chùng tä h m f l lçi tr¶n kho£ng mð (a, b) p döng b§t ¯ng thùcHermiteHadamard cho h m f ta nhªn ÷ñc
g a + b
2
− m2
a + b2
a
hg(x) − m
a
g(x)dx − m
2
b3 − a33(b − a)
= 1
b − a
bZ
2
≤ 1
b − a
bZ
a
g(x)dx − g a + b
2
Trang 11
≤ 1
b − a
bZ
a
g(x)dx − g a + b
2
a
g(x)dx − g a + b
2
Nh÷ vªy, b§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.4) ÷ñc chùng minh
º chùng minh b§t ¯ng thùc thù hai cõa (1.4), ta ¡p döng c¡ch chùngminh t÷ìng tü nh÷ vîi b§t ¯ng thùc thù nh§t cho h m
h(x) = M
2 x
2 − g(x), x ∈ [a, b]
B§t ¯ng thùc thù nh§t trong b§t ¯ng thùc k²p (1.1) câ thº mð rëngnh÷ sau
ành lþ 1.1.5 ([4, ành lþ 18]) Gi£ sû f : R → R l h m lçi tr¶n o¤n[a, b] vîi a < b Khi â vîi måi x ∈ [a, b] v måi λ ∈ [f0
a
f (x)dx (1.5)
1.1.2 B§t ¯ng thùc HermiteHadamard cho h m lçi kh£ vi
Kþ hi»u Lp[a, b] l khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p (1 ≤ p < ∞) tr¶n
o¤n [a, b], ngh¾a l n¸u f(x) ∈ Lp[a, b] th¼
Z b a
a
f (t)dt = 1
b − a
bZ
Trang 12ϕ(x)dx ≥ ϕ a + b
2
Sû döng ành ngh¾a cõa h m ϕ ta thu ÷ñc:
f (x)dx ≥ 0
ành lþ 1.1.8 ([4, ành lþ 26]) Gi£ sû f : [a, b] ⊂ R → R l h m kh£ vitr¶n [a, b] v p > 1 N¸u |f0| l q-kh£ t½ch tr¶n [a, b], trong â 1
p +
1
q = 1,th¼
a
f (t)dt
≤ 12
≤ (x − a)
n+1(n + 2)!
n(n + 1)|f(n)(a)| + |f(n)(x)|o
+ (b − x)
n+1(n + 2)!
n
|f(n)(x)| + (n + 1)|f(n)(b)|
o, (1.14)
ð ¥y x ∈ [a, b]
Trang 16Chùng minh Tø Bê · 1.1.12 v sû döng t½nh ch§t cõa trà tuy»t èi ta
(x − a)k+1f(k)(a) + (−1k)(b − x)k+1f(k)(b)
(k − 1)!
≤ (x − a)
n+1n!
Z 1 0(1 − t)n
f(n)(tx + (1 − t)a)
dt+ (b − x)
n+1n!
Z 1 0(1 − t)n
f(n)(tx + (1 − t)b)
...
f (t)dt
(1.11)(ii) Náu thảm giÊ thiát m f00(x) M, m, M l cĂc hơng số, thẳ
a
f (t)dt ≤ M(b − a)
2
12... a)
3
6 .
Tø ¥y suy (1.12) Sau Ơy l mởt số bĐt ng thực cho h m kh£ vi n-l¦n
Bê · 1.1.12 (xem [7, Bê · 2.1]) Gi£ sû h m f : [a,