Tuyển tập các đề Olympic toán sinh viên cấp trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tuyển tập các đề thi olympic qua các năm môn toán của trường đại học bách khoa hà nội.

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG (2012 – 2018)

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2012

Môn: Giải tích

6 6 6

n

x     n lâ n Tìm giới hạn 6n2 n



 

Câu 2: Cho hàm f :  thỏa mãn:  x0 , tòn tại giới hạn hữu hạn    

0

0

x li m x f x g x

Liê ̣u hàm g x  có liên tục trên R không?

Câu 3: Tìm tát cả các hàm liên tục f :  thỏa mãn 3f 2x 1 f x 5 ,x  x R

Câu 4:Cho f x  liên tục trên  0;1 và khả vi hai làn trên  0;1 thỏa mãn

 0  1 0

f  f  và

   

x min f x

   Chứng minh ràng

   

0;1 " 8

x

max f x

 

Câu 5: Cho hàm f khả vi và liên tục trên đoạn  0;1 Chứng minh ràng:

'

f     f x dx f x dx

Câu 6: Cho f x khả vi hai là n trên đoạn  0;1 Chứng minh ràng tòn tại c 0;1 sao cho

1

0

0 ' 0 "



Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2013

Môn: Giải tích

Câu 1: Tìm giới hạn:

6

1 2

n

n lim

n



Câu 2: Tìm m

n

L lim



 0;1 m

m x max x x





Câu 3: Cho hàm u x  dương liên tục trên 0;, hàm  x tăng và khả vi

trên 0;  ; 0 1 Biết rằng với mọi x0 ta có:        

0

' 1

x t

t





minh: u x  x trên 0;

1 4 3 , n 1 1 n

f x  x  x f   f f Tính: 1 2 

1

n n

lim f x dx





Câu 5: Tìm tất cả hàm f x  xác định trên 0; Và khả vi 2 lần thỏa mãn:

 

 

'

f x

f f x f x







 



Môn: Đại số

Câu 1: Cho 2 ma trận 1 3

1 2

  

  và

3 1

1 2

B





a Cmr 2

0

2013

1

k



   với E là ma trận đơn vị cấp 2

b Tính 2016

B

Câu 2: Cho ma trận A là một ma trận thực, vuông cấp n CMR det A A t0 với t

A là ma trận chuyển vị của ma trận A

Câu 3: Cho ma trận A là ma trận vuông cấp n Vết của A, kí hiệu tr A  là tổng các phần tử chéo của A Ma trận A gọi là ma trận lũy đẳng nếu 2

A  A CMR:

a Nếu A là ma trận lũy đẳng thì A chéo hóa được

b A là ma trận lũy đẳng khi và chỉ khi rank A tr A  và rank E Atr E A

Câu 4: Tính định thức của ma trận vuông cấp 2013 A   a ij với:

, , ,

ij

b i j

b i j







 

 



Câu 5: Cho đa thức f x R x  có ít nhất 2 nghiệm thực Chứng minh rằng đa

thức p x  f x 4026f x 2013f x cũng có ít nhất 2 nghiệm

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2014

Môn: Giải tích

Câu 1 Cho x0, tính giới hạn: 2n n 1 

n lim n x  x

 

Câu 2 Cho hàm f x sinxsin 2x ,xR Chứng minh rằng không tồn tại số T0 sao cho: f x  f x T  , x R

Câu 3 Cho hàm số f x  liên tục trên R, giả sử tồn tại 2 số x x1, 2 sao cho f x f x( ) ( )1 2 0 Chứng minh rằng: Tồn tại ba số a b c, , sao cho a b c a c,  2b đồng

Câu 4 Tìm tất cả các hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f  0 0 và

( ) 2014 ( ) ,

f x  f x xR

Câu 5 Cho hàm số f x  có đạo hàm trên 0; Chứng minh rằng:

Nếu    2013 '   2014



x l m i f x



 

Câu 6 Cho hàm số f x  liên tục trên    0,1 ; f x 0,x[0,1] Chứng minh

1 1

0,1 0

n n

n lim f x dx max f x x



Môn: Đại số

Câu 1 Cho 3 dãy số      x n n0, y n n0, z n n0 xác định như sau:

0 , 0 , 0

x a y b z c và

1 1 1













n

n

x

z

 

 

   

 

a) Xác định ma trận A sao cho U n1 AU n, n 0 Chéo hóa ma trận A

3

lim x lim y lim z a b c

       

Câu 2 Ma trận AM n R ,  gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương kk sao cho A k 0 Cho P Q, M n R ,  là các ma trận lũy linh

a) Tìm các trị riêng của P Từ đó suy ra đa thức đặc trưng của P

b) Chứng minh rằng nếu PQQP thì PQ cũng là ma trận lũy linh

c) Giả sử PQ  P Q 0 Tính det I 2P3Q

Câu 3 Cho A là ma trận cấp 3 2,  B là ma trận cấp 2 3  sao cho

1 1 2

2 1 3

2 1 1

AB

a) Chứng minh rằng:  3  2

3

AB  AB b) Tìm BA

Câu 4 Cho ma trận A   aij vuông cấp 2014, trong đó 0, , 0

,

i j

b i j







rằng: A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của A

Câu 5 Cho đa thức   2014 2013

2014

f x  x a x  a xa có 2014 nghiệm thực x x1, 2, ,x2014 và   2013 2012

2014

g x  x a x  a xa Chứng minh rằng:

 

 

2014

1

1

'

i

g x

f x







Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015

Môn: Giải tích



Câu 2 Tính tích phân:

2

2

01

dx tanx







Câu 3 Tìm tât cả các hàm số f(x)f(x) thỏa mãn   1

1

x

  



Câu 4 Cho các hàm số f f1, 2, ,f n, thỏa mãn  

 

2 1

1 1

f x x

f  f f x n





trình f n x 0

Câu 5 Cho hàm số f x  xác định và khả vi hai lần trên 0,, thỏa mãn các điều kiện sau

 

 

'

f x

x

f f x f x





 

Câu 6 Cho hàm số liên tục trên  0;1 thỏa mãn 1  

0

0,

n

f x x dx  n N

rằng f  1 0

Môn: Đại số

Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp 2015 Chứng minh tồn tại hai ma trận B, C thỏa mãn

A B C và detBC0

2

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2

0 0

3

0

n n

n n

n









, trong đó

ij

a  i j ij

a) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm không tầm thường

b)Tìm số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình trên

Câu 3: Cho V V V1, 2, 3 là các không gian con hữu hạn chiều V Chứng minh rằng

dim V V V dimV dimV dimV dim V V dim V V dim V V dim V  V V

Câu 4: Cho không gian véc tơ thực V , với dimV 2015 và f k:V R là các dạng tuyến tính, với k 1, 2, ,5000 Chứng minh tồn tại các số thực: x x1, 2, ,x5000 sao cho:

1 1 2 2 5000 5000 0

x f x f  x f 

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a b c d, , , cho trước thì luôn tồn tại duy nhất đa thức bậc hai p x  hệ số thực sao cho   2   2   2   2

ap  bp  cp  d p

đạt giá trị nhỏ nhất

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2016

Môn: Giải tích

Câu 1: Cho dãy hàm số fn(x)fn(x) xác định bởi:  

     

3 1

f x x x

f  x f f x









Tính giới hạn: 1   2

1

n n

lim f x dx





1 0

0

x

n

x dx







Câu 3: Cho hàm số f R: R khả vi ba lần CMR tồn tại   1;1 thỏa mãn:

"'   1  1  

' 0

f

Câu 4: Xác định tất cả các hàm số f R: R liên tục thỏa mãn: 3f 2x 1 f x 5x

Câu 5: Tìm hàm số f có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn  0;1 thỏa

mãn: f  0  f  1 0, f ' 0 1 sao cho 1  2

0

"

f x dx

 đại giá trị nhỏ nhất

Câu 6: CMR với mọi x0 phương trình 3

8

z xz xác định duy nhất hàm số thực z x  Tính 7 2 

0

I z x dx

Môn: Đại số

Câu 1: Cho các số phức 2 2 , 0,1, 2, , 2015

2016 2016

k

cos  isin  k

thức: 2015

0

1 2

A









Câu 2: Tính định thức của ma trận

2016 2016

2,

ij

i j

i j

  



   



Câu 3: Cho ij

mxn

A   a là một ma trận có hạng bằng m Chứng minh tồn tại ma

trận ij

nxm

B   a sao cho ABI m (trong đó I m là ma trận đơn vị cấp m)

Câu 4: Kí hiệu P x2  là không gian vêcto các đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ hơn bằng 2 Cho toán tử tuyến tính: f P x: 2 P x2  xác định bởi:

0 1 2 5 0 4 1 2 2 0 1 2 10 0 10 1 6 2

f a a xa x   a  a a   a  a a x a  a  a x

Xác định vêcto: 2016 2

3 6 7

f  x x , trong đó 2016

f  fofo of

Câu 5: Có bao nhiêu bộ có thứ tự n n n1, 2, 3 các số tự nhiên thỏa mãn:

1 1, 2 2, 3 3

n  n  n  và n1 n2 n3 2016

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2017

Môn: Giải tích

Câu 1: Tính giới hạn:

0

1 2

x

x

lim sin x xsin

x





0

1

x

x



        

1

4

    với mọi n N Chứng minh dãy hội tụ và tìm giới hạn của dãy

0

f x dx



 , trong đó f là hàm số liên tục trên

đoạn  0, và thỏa mãn    

1

f x sinxdx f x cosxdx

1 2, n 1 n n 1

a  a   a a  với mọi *

nN Tính tổng

1

1

n a n







Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2018

Môn: Giải tích

Câu 1: Cho dãy số  a n bị chặn và thỏa mãn điều kiện: 1 1

2

a  a  với mọi n N Chứng minh rằng dãy  a n hội tụ

Câu 2: Tính tổng 2

1

2

n

arctan

n







Câu 3: Cho hàm số f x  khả vi liên tục cấp hai trên 0, và thỏa mãn

  0, "  0

lim xf x lim xf x

    Tính giới hạn '  0

x

lim xf x

Câu 4: Cho hàm số f : 0,   R lồi và thỏa mãn  

0

0

x

lim f x

  Chứng minh rằng hàm số

 

f x

x

x

 là hàm tăng trên 0,

Câu 5: Tìm tất cả các hàm số f x  khả vi liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện

  2,    '

f x  f x f x sinx với mọi x R

Câu 6: Cho hàm số f x  khả vi liên tục hai lần trên đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện

 0  1 0, ' 0  1

f  f  f  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1  2

0

"

f x dx



Môn: Đại số

Câu 1: Cho ma trận:

A

a)Chéo hóa ma trận A

b) Đặt

1

1

!

n k n

k

k



  với E là ma trận đơn vị cấp 3 Tính n

n limV



Câu 2: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp 2018 thỏa mãn: AB2018A2019B0 Chứng minh rằng:

a) ABBA

b) rank A rank B  ở đó rank X  là hạng của ma trận X

Câu 3: Giải hệ phương trình:

1

2 3 2018

2018 3

2 3 4 2019

2018 5

3 4 5 2020

2018

4035

2018 2019 2020 4035

2018



















Câu 4: a) Cho S1; 2;3; ; 2018 và T là tập hợp các tập con khác rỗng của S Với mỗi tập

XT , kí hiệu m X  là trung bình cộng các phần tử của X Tính  

X T

m X m

T



 

ở đó T là

số các phần tử của T

b) Với r s, là hai số nguyên dương, gọi R r s , là số người tối thiểu sao cho trong đó luôn

tìm được r người đôi một quen nhau hoặc s người đôi một không quen nhau Chứng minh rằng R r s , R r 1,sR r s , 1 với mọi số nguyên r s, 2

Câu 5: Cho các đa thức f x   ,g x với hệ số thực, thỏa mãn

 2019  2  2019 

xf x  x g x  chia hết cho đa thức  2 

1

x  x Đặt h x  f x g x    Chứng minh rằng h' 2019 0