Một phương pháp tách giải một lớp bài toán cân bằng

Ngay trong n«m â, ành lþ n y ÷ñc mð rëng ratrong khæng gian væ h¤n chi·u bði Br²sis v Stampacchia... Thuªt to¡n ¦u l mët thuªt to¡n t¡chtu¦n tü, thuªt to¡n sau l mët thuªt to¡n t¡ch song

2.1 Thuªt to¡n tu¦n tü v  sü hëi tö 242.2 Thuªt to¡n song song v  sü hëi tö 33

LÍI CƒM ÌN

Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  sü ch¿b£o nghi¶m kh­c cõa th¦y gi¡o GS TSKH L¶ Dông M÷u (Tr÷íng ¤i håcTh«ng Long H  Nëi) Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t ¸nth¦y

T¡c gi£ công xin k½nh gûi líi c£m ìn ¸n cæ gi¡o PGS.TS Nguy¹n ThàThu Thõy còng c¡c th¦y, cæ gi¡o tham gia gi£ng d¤y khâa håc cao håc 2016

- 2018, nhúng ng÷íi ¢ t¥m huy¸t gi£ng d¤y v  trang bà cho t¡c gi£ nhi·uki¸n thùc cì sð

Xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hi»u, pháng  o t¤o, khoa To¡n - TinTr÷íng HKH, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trongqu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng

Xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b± çng nghi»p v  c¡c th nh vi¶ntrong lîp cao håc to¡n K10A ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n, gióp ï tæi trongthíi gian håc tªp v  qu¡ tr¼nh l m luªn v«n

Tuy b£n th¥n câ nhi·u cè g­ng, song thíi gian v  n«ng lüc cõa b£n th¥n

câ h¤n n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât R§t mong ÷ñc sü ânggâp quþ b¡u cõa Quþ th¦y, cæ còng to n thº b¤n åc

T¡c gi£

LÍI NÂI †U

Cho H l  mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng h., i v  chu©n

k.k t÷ìng ùng Cho C l  mët tªp lçi, âng, kh¡c réng trong H v  f l  song

h m tø C × C v o R sao cho f (x, x) = 0 vîi måi x ∈ C Trong luªn v«n n y

ta s³ x²t b i to¡n c¥n b¬ng sau ¥y, ÷ñc kþ hi»u l  EP(C, f ):

T¼m x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (1)

B i to¡n EP(C, f ) cán ÷ñc gåi l  b§t ¯ng thùc Ky Fan º ghi nhªn sü

âng gâp cõa æng trong l¾nh vüc n y

B§t ¯ng thùc (1) l¦n ¦u ti¶n, n«m 1955, ÷ñc Nikaido v  Isoda dòngtrong trá chìi khæng hñp t¡c N«m 1972, Ky Fan gåi (1) l  b§t ¯ng thùcminimax v  ÷a ra mët ành lþ v· sü tçn t¤i nghi»m cho b i to¡n n y trongkhæng gian húu h¤n chi·u Ngay trong n«m â, ành lþ n y ÷ñc mð rëng ratrong khæng gian væ h¤n chi·u bði Br²sis v  Stampacchia N«m 1984, L.D.Muu gåi (1) l  b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  nghi¶n cùu t½nh ên ànhcho b i to¡n n y N«m 1992, l¦n ¦u ti¶n (1) ÷ñc gåi l  b i to¡n c¥n b¬ngtrong t i li»u [9]

C¡c nghi¶n cùu v· b i to¡n c¥n b¬ng câ thº chia theo hai h÷îng ch½nhbao gçm nhúng nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c thuªt to¡n gi£i b ito¡n c¥n b¬ng Cho ¸n nay ng÷íi ta ¢ ÷a ra nhi·u ph÷ìng ph¡p º gi£i

b i to¡n c¥n b¬ng ch¯ng h¤n nh÷ ph÷ìng ph¡p chi¸u v  c¡c bi¸n d¤ng cõa

nâ Tuy nhi¶n, º t«ng c÷íng sü hi»u qu£ ng÷íi ta ¢ nghi¶n cùu c¡c ph÷ìngph¡p t¡ch(splitting method) º gi£i b i to¡n c¥n b¬ng

Möc ½ch cõa b£n luªn v«n n y l  giîi thi»u nhúng ki¸n thùc cì b£n nh§tcõa b i to¡n c¥n b¬ng v  tr¼nh b y mët ph÷ìng ph¡p t¡ch gi£i mët lîp b ito¡n c¥n b¬ng mîi ÷ñc cæng bè g¦n ¥y

Luªn v«n bao gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng, k¸t luªn v  danh möc c¡c

t i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n li¶n quan ¸n · t i C¡cv§n · li¶n quan ¸n sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n

c¥n b¬ng công ÷ñc · cªp ¸n.

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y hai thuªt to¡n t¡ch gi£i b i to¡n c¥n b¬ng trong âsong h m l  têng cõa hai song h m Thuªt to¡n ¦u l  mët thuªt to¡n t¡chtu¦n tü, thuªt to¡n sau l  mët thuªt to¡n t¡ch song song

xn → x: D¢y {xn} hëi tö m¤nh tîi x;

xn * x: D¢y {xn} hëi tö y¸u tîi x;

x := y: Ngh¾a l , x ÷ñc ành ngh¾a b¬ng y;

PC(x): H¼nh chi¸u cõa x l¶n C

thäa m¢n c¡c i·u ki»n:

1 hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ H; hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

2 hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ H;

3 hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈R, ∀x, y ∈ H;

4 hx + y, zi = hx, zi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ H

÷ñc gåi l  khæng gian ti·n Hilbert

Khæng gian ti·n Hilbert ¦y õ ÷ñc gåi l  khæng gian Hilbert

V½ dö 1.1 L2[a,b] l  khæng gian c¡c h m b¼nh ph÷ìng kh£ t½ch tr¶n [a,b]vîi f ∈ L2[a,b] sao cho Rb

v  chu©n

kf kL2 [a,b] =

Tr¶n H câ hai kiºu hëi tö ch½nh sau:

ành ngh¾a 1.2.(xem [4]) X²t d¢y {xn}n≥0 v  x thuëc khæng gian Hilbertthüc H Khi â:

• D¢y {xn} ÷ñc gåi l  hëi tö m¤nh tîi x, kþ hi»u xn → x, n¸u nh÷

• N¸u {xn} hëi tö m¤nh ¸n x th¼ công hëi tö y¸u ¸n x

• Måi d¢y hëi tö m¤nh (y¸u) ·u bà ch°n v  giîi h¤n theo sü hëi tö m¤nh(y¸u) n¸u tçn t¤i l  duy nh§t

• N¸u khæng gian Hilbert thüc H l  khæng gian húu h¤n chi·u th¼ sü hëi

X²t C l  tªp con kh¡c réng trong khæng gian Hilbert thüc H

ành ngh¾a 1.3.(xem [10]) Tªp C trong khæng gian Hilbert thüc H ÷ñcgåi l  mët tªp lçi n¸u

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C

ành ngh¾a 1.4.(xem [10]) iºm a ÷ñc gåi l  iºm bi¶n cõa C n¸u måil¥n cªn cõa a ·u câ iºm thuëc C v  iºm khæng thuëc C;

Tªp C ÷ñc gåi l  tªp âng n¸u C chùa måi iºm bi¶n cõa nâ;

Tªp C ÷ñc gåi l  mët tªp compact n¸u C l  mët tªp âng v  bà ch°n

ành ngh¾a 1.5.(xem [10]) Cho C l  mët tªp lçi cõa khæng gian Hilbert

H v  x ∈ C

Nân ph¡p tuy¸n ngo i cõa C ÷ñc kþ hi»u v  ành ngh¾a bði:

NC(x) := {w| hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}

ành ngh¾a 1.6.(xem [10]) X²t h m f : H → R∪ {+∞} Khi â:

(i) H m f ÷ñc gåi l  h m lçi tr¶n H n¸u

Ta nâi δC l  h m ch¿ cõa C Do C lçi n¶n δC l  h m lçi

3 H m kho£ng c¡ch Gi£ sûC l  mët tªp âng, kh¡c réng H m kho£ng c¡ch

dC(y) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:

dC(y) = inf

x∈Ckx − yk

Khi â, n¸u C l  tªp lçi th¼ dC l  h m lçi.

Thªt vªy, x²t x, y ∈ H v  λ ∈ (0, 1) b§t ký °t z = λx + (1 − λ)y Theo

ành ngh¾a tçn t¤i c¡c d¢y {xk} , {yk} trong C sao cho

Kþ hi»u h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C l  PC(y) Khi â, π = PC(y)

Ti¸p theo ta s³ chùng minh sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa h¼nh chi¸uxuèng mët tªp lçi âng Sau â ta s³ kh£o s¡t mët sè t½nh ch§t cì b£n cõato¡n tû chi¸u ÷ñc sû döng trong ch÷ìng sau cõa luªn v«n

M»nh · 1.2.(xem [10]) Gi£ sû C l  lçi, âng kh¡c réng trong H Khi â:(i) Vîi måi y ∈ H, π ∈ C hai t½nh ch§t sau t÷ìng ÷ìng:

(iv) nh x¤ y 7→ PC(y) câ c¡c t½nh ch§t sau:

(a) kPC(x) − PC(y)k ≤ kx − yk, ∀x, ∀y (t½nh khæng gi¢n);

(b) hPC(x) − PC(y), x − yi ≥ kPC(x) − PC(y)k2 (t½nh çng bùc)

Chùng minh

(i) Gi£ sû câ (a), tùc l  π l  h¼nh chi¸u cõa y tr¶n C L§y x ∈ C °t

xλ := λx + (1 − λ)π

Do C lçi n¶n xλ ∈ C vîi måi λ ∈ (0, 1) Theo ành ngh¾a h¼nh chi¸u ta câ

Chùng minh Thªt vªy, °t d = inf

u∈Ckx − uk Khi â, tçn t¤i {un} ⊂ C saocho kx − unk −→ d, n −→ ∞ Tø â ta câ

Suy ra u = v Vªy tçn t¤i duy nh§t mët ph¦n tû PCx ∈ C sao cho

kx − PCxk = infu∈C kx − uk

(iv) (a) Theo ph¦n (ii) ¡nh x¤ x 7→ PC(x) x¡c ành kh­p nìi.

Do z − PC(z) ∈ NC(PC(z)) vîi måi z, ¡p döng vîi z = x v  z = y, ta câ

Kþ hi»u tªp t§t c£ c¡c d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x l  ∂f (x)

Khi ∂f (x) 6= ∅ th¼ ta nâi h m f kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i iºm x

f ÷ñc gåi l  kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n mët tªp n¸u f kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i måi

Ta câ m»nh · sau nâi l¶n t½nh kh£ d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi

M»nh · 1.3.(xem [10]) N¸u f : H → R l  h m lçi th¼ ∂f (x) 6= ∅ vîi måi

x ∈ X hay l  f kh£ d÷îi vi ph¥n kh­p nìi

ành ngh¾a 1.8.(xem [10]) H mf : H → R ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi t¤i

mët iºm x, n¸u vîi måi d¢y xk ⊂ E; xk → x ta câ lim

H m f ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i mët iºm x n¸u nh÷ nâ vøa nûa li¶n töc tr¶n

v  nûa li¶n töc d÷îi t¤i x

Khi E l  to n khæng gian, ta nâi ìn gi£n l  nûa li¶n töc d÷îi, nûa li¶n töctr¶n hay li¶n töc

ành ngh¾a 1.9.(xem [10]) Mët h m sè thüc ϕ ÷ñc gåi l  tüa lçi tr¶n tªplçi C, n¸u vîi måi sè thüc γ tªp mùc d÷îi

{x ∈ C|ϕ(x) ≤ γ}

lçi T÷ìng tü, h m mët h m ϕ ÷ñc gåi l  tüa lãm tr¶n C, n¸u −ϕ l  h mtüa lçi tr¶n C

N¸u ϕ tüa lçi tr¶n C th¼ ∀x, y ∈ C v  λ ∈ [0, 1] ta câ

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ max {ϕ(x), ϕ(y)} ;

T÷ìng tü, n¸u ϕ tüa lãm tr¶n C th¼ ∀x, y ∈ C v  λ ∈ [0, 1] ta câ

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ min {ϕ(x), ϕ(y)}

C¡c ành ngh¾a v· t½nh ìn i»u cõa song h m v  ¡nh x¤ ÷ñc sû döng trongvi»c tr¼nh b y t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng (xem [1], [7])

Trong c¡c ành ngh¾a sau x²t C l  tªp kh¡c réng, âng, lçi trong khæng gianHilbert thüc H.

ành ngh¾a 1.10.(xem [7]) Gi£ sû f : C × C → R Ta nâi

(i) f ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi h» sè β > 0, n¸u

1 f (x, y) := h(x) − h(y) l  ìn i»u nh÷ng khæng ìn i»u ch°t

2 g(x, y) := h(x) − h(y) − 1 l  ìn i»u ch°t nh÷ng khæng ìn i»u m¤nh.Thªt vªy, x²t g(x, y) + g(y, x) = −2 < 0 vîi måi x, y ∈ H n¶n g ìn

Cho t → ∞ th¼ i·u ki»n tr¶n ch¿ x£y ra khi β ≤ 0 (m¥u thu¨n) 2

C¡c kh¡i ni»m v· ìn i»u èi vîi song h m câ li¶n quan ch°t ch³ vîi c¡ckh¡i ni»m v· ìn i»u cõa ¡nh x¤ (to¡n tû), r§t quen thuëc trong gi£i t½chphi tuy¸n

ành ngh¾a 1.11.(xem [1-7]) nh x¤ F : C → H ÷ñc gåi l 

(i) ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi h» sè β > 0, n¸u

Tø ành ngh¾a ta câ (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv)

V½ dö 1.5 Cho C l  tªp lçi, h m f : C →R Khi â:

• N¸u f l  h m kh£ d÷îi vi ph¥n, lçi tr¶n C th¼ ∂f l  ìn i»u tr¶n C.Thªt vªy, l§y tòy þ x, y ∈ C v  u ∈ ∂f (x), v ∈ ∂f (y) theo ành ngh¾a cõad÷îi vi ph¥n n¶n

N¸u F l  L - Lipschitz tr¶n C th¼ vîi méi x, y ∈ C, f (x, y) = hF (x), y − xi

câ t½nh ch§t li¶n töc kiºu Lipschitz vîi h¬ng sè c1 = c2 = L

2 tr¶n C

Do vªy, f l  li¶n töc câ t½nh ch§t kiºu Lipschitz tr¶n C 2

1.2 Sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa b i to¡n c¥n

b¬ng

Trong ph¦n n y ta nh­c l¤i mët sè ành lþ quen thuëc trong gi£i t½ch phituy¸n C¡c ành lþ n y l  cæng cö s­c b²n º nghi¶n cùu, °c bi»t l  º chùngminh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng

B i to¡n c¥n b¬ng

Ta nh­c l¤i b i to¡n c¥n b¬ng (cán ÷ñc gåi l  b§t ¯ng thùc Ky Fan):X²t H l  khæng gian Hilbert thüc; C l  tªp lçi, âng, kh¡c réng cõa H v 

f : C × C →R∪ {+∞} Khi â, b i to¡n c¥n b¬ng l  b i to¡n

T¼m x ∈ C sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C EP (C, f )

Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc kþ hi»u l  Sol(C, f )

D÷îi ¥y ta s³ luæn gi£ thi¸t f (x, x) = 0 vîi måi x ∈ C Mët song h mtho£ m¢n i·u ki»n n y ÷ñc gåi l  song h m c¥n b¬ng C ÷ñc gåi l  tªpch§p nhªn ÷ñc hay l  tªp chi¸n l÷ñc v  f l  h m c¥n b¬ng cõa b i to¡n

EP(C, f )

Ti¸p theo ta x²t sü tçn t¤i nghi»m v  c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa b i to¡nc¥n b¬ng

º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng, ta c¦n ¸n c¡c

ành lþ iºm b§t ëng trong gi£i t½ch h m l  ành lþ Brouwer º ti»n theodãi, ta nh­c l¤i c¡c ành lþ n y trong khæng gian Euclide húu h¤n chi·u, m°c

dò c¡c ành lþ n y ¢ ÷ñc chùng minh trong khæng gian væ h¤n chi·u.

Ta công s³ sû döng ành lþ quen thuëc sau, l  ành lþ cüc ¤i Berge

ành lþ Cho X, Y l  c¡c khæng gian tæ-pæ, F : X → 2Y l  ¡nh x¤ nûali¶n töc tr¶n tr¶n X sao cho F (x) compact, hìn núa F (X) compact Gi£ sû

f : X × X → R l  h m sè nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X Khi â h m gi¡ trà tèi

Düa v o ành lþ iºm b§t ëng Brouwer v  ành lþ cüc ¤i Berge, ta câm»nh · sau nâi v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng

M»nh · 1.4 Cho C l  mët tªp lçi, compact kh¡c réng v  song h m c¥nb¬ng f : C x C → R∪ {+∞} câ c¡c t½nh ch§t:

(i) f (., y) nûa li¶n töc tr¶n vîi måi y ∈ C;

(ii) f (x, ) lçi, nûa li¶n töc d÷îi v  kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n C vîi måi

x ∈ C

Khi â, b i to¡n EP(C, f ) câ nghi»m

Chùng minh Vîi méi x ∈ C, ta gåi S(x) l  tªp nghi»m cõa b i to¡n

min {f (x, y) : y ∈ C} (CO)

Do C compact v  f (x, ) nûa li¶n töc d÷îi n¶n theo ành lþ Weistrass, b ito¡n n y tçn t¤i nghi»m Hìn núa, do C lçi, compact, f (x, ) lçi, n¶n S(x)

lçi, compact Theo ành lþ cüc ¤i Berge, ¡nh x¤ S nûa li¶n töc tr¶n Vîi S

l  mët ¡nh x¤ tø C v o C Vªy theo ành lþ iºm b§t ëng Brouwer, tçnt¤i x∗ ∈ C tho£ m¢n x∗ ∈ S(x∗)

B¥y gií ta s³ ch¿ ra x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) Thªtvªy, do f (x, ) lçi, kh£ d÷îi vi ph¥n tr¶n C, theo i·u ki»n c¦n v  õ tèi ÷ucõa quy ho¤ch lçi, ta câ

0 ∈ ∂2f (x∗, x∗) + NC(x∗)

Theo ành ngh¾a cõa d÷îi vi ph¥n v  nân ph¡p tuy¸n, tø ¥y ta câ v∗ thuëc

Tçn t¤i tªp compact B sao cho

C ∩ B 6= ∅, ∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C : f (x, y) < 0

Khi â, b i to¡n EP(C, f ) câ nghi»m

Chùng minh Theo m»nh · tr¶n, b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp compact

C ∩ B vîi h m c¥n b¬ng f câ nghi»m, tùc l  tçn t¤i x∗ ∈ C ∩ B Tø i·uki»n bùc (C1) v  t½nh lçi cõa tªp C, ta suy ra nghi»m x∗ công l  nghi»m cõa

M»nh · tr¶n l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa ành lþ sau ¥y cõa Ky Fan

ành lþ (Ky Fan) Cho f : C × C → R∪ {+∞} l  mët song h m c¥n b¬ng

câ c¡c t½nh ch§t sau:

(i) f (., y) nûa li¶n töc tr¶n vîi måi y ∈ C;

(ii) f (x, ) tüa lçi tr¶n C vîi måi x ∈ C

Khi â, b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) câ nghi»m, n¸u nh÷ C compact, ho°c

i·u ki»n bùc (C1) tho£ m¢n

B¥y gií ta x²t t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng

M»nh · 1.5 Cho C l  tªp lçi, âng kh¡c réng v  f : C × C →R∪ {+∞}

l  song h m c¥n b¬ng Khi â:

(i) N¸u f l  ìn i»u ch°t tr¶n C, th¼ b i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) cânhi·u nh§t mët nghi»m;

(ii) f (., y) nûa li¶n töc tr¶n vîi måi y ∈ C v  f (x, ) lçi, nûa li¶n töcd÷îi vîi méi x ∈ C v  f ìn i»u m¤nh tr¶n C, th¼ b i to¡n EP(C, f ) luæn

câ v  câ duy nh§t nghi»m

Chùng minh

(i) Gi£ sû EP(C, f ) câ hai nghi»m x∗ v  y∗ Khi â f (x∗, y∗) ≥ 0 v 

f (y∗, x∗) ≥ 0 Th¸ nh÷ng, n¸u f (x∗, y∗) ≥ 0, th¼ theo t½nh ìn i»u ch°t, taph£i câ f (y∗, x∗) < 0 i·u n y m¥u thu¨n vîi f (y∗, x∗) ≥ 0

(ii) L§y x0 ∈ C b§t ký Do f (x0, ) nûa li¶n töc d÷îi v  f (x0, x0) = 0,n¶n tçn t¤i µ sao cho

f (x0, v) ≥ µ, ∀v ∈ B(x0, 1) ∩ C,

trong â B(x0, 1) kþ hi»u qu£ c¦u âng t¥m x0, b¡n k½nh b¬ng 1 Ta s³ ch¿

ra f tho£ m¢n i·u ki»n bùc (C1)

Thªt vªy, vîi b§t ký x ∈ C\B(x0, 1), th¼ λ = 1

kx0 − xk < 1.Vªy

ra tø ph¦n (i) do t½nh ìn i»u m¤nh k²o theo ìn i»u ch°t

B i to¡n c¥n b¬ng EP(C, f ) câ mèi li¶n h» ch°t ch³ vîi b i to¡n sau,

÷ñc gåi l  b i to¡n èi ng¨u cõa EP(C, f )

T¼m y∗ ∈ C : f (x, y∗) ≤ 0, ∀x ∈ C (DEP )

Ta kþ hi»u tªp nghi»m cõa b i to¡n èi ng¨u l  DS Mèi quan h» giúa hai

b i to¡n n y ÷ñc thº hi»n ð m»nh · d÷îi ¥y

M»nh · 1.6 Gi£ sû f : C × C → R∪ {+∞} l  song h m c¥n b¬ng Khi

â:

(i) N¸u f (x, ) l  lçi tr¶n C vîi måi x ∈ C th¼ tªp nghi»m DS lçi;

(ii) N¸u f gi£ ìn i»u tr¶n C, f (., y) l  nûa li¶n töc tr¶n theo méi tia(b¡n li¶n töc) vîi méi y ∈ C v  f (x, ) lçi vîi méi x ∈ C th¼

Gi£ sû x∗ l  nghi»m cõa b i to¡n èi ng¨u, tùc l  f (x, x∗) ≤ 0 vîi måi

x ∈ C N¸u x∗ khæng ph£i l  nghi»m cõa b i to¡n gèc (EP), th¼ s³ tçn t¤i

1.3 C¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n c¥n b¬ng

V· m°t h¼nh thùc b i to¡n c¥n b¬ng kh¡ ìn gi£n, tuy nhi¶n nâ bao h m

÷ñc nhi·u lîp b i to¡n quan trång kh¡c nhau thuëc nhi·u l¾nh vüc D÷îi

¥y l  mët sè tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n n y

1 B i to¡n tèi ÷u X²t b i to¡n

min {ϕ(x)|x ∈ C}

°t

f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x)

Khi â

ϕ(x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Vªy b i to¡n tèi ÷u tr¶n l  mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n (EP)

2 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n X²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n atrà sau:

Cho C l  mët tªp lçi âng, kh¡c réng trong H v  F : C → H l  mët ¡nhx¤ a trà ( tùc l  vîi méi x ∈ C, gi¡ trà F (x) l  mët tªp kh¡c réng) X²t b ito¡n:

T¼m x∗ ∈ C, v∗ ∈ F (x∗) sao cho hv∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C (V I)

Ta câ thº minh ho¤ b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (V I) d÷îi gâc ë mæ h¼nh kinht¸ nh÷ sau: Gi£ sû C l  tªp hñp c¡c chi¸n l÷ñc (tªp r ng buëc) c¡c ph÷ìng

¡n s£n xu§t câ thº lüa chån Vîi méi ph÷ìng ¡n s£n xu§t x ∈ C, tªp (¡nhx¤ gi¡) F (x) l  tªp hñp c¡c gi¡ th nh chi ph½ câ thº, ùng vîi ph÷ìng ¡n x.Khi â b i to¡n (V I) ch½nh l  b i to¡n t¼m ph÷ìng ¡n s£n xu§t x∗ trong tªpchi¸n l÷ñc C v  gi¡ v∗ ùng vîi x∗ sao cho chi ph½ l  th§p nh§t Trong tr÷ínghñp ¡nh x¤ gi¡ khæng phö thuëc v o ph÷ìng ¡n s£n xu§t, tùc l  F (x) = c

vîi måi x, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (V I) trð th nh b i to¡n quy ho¤ch quenthuëc

mincTx : x ∈ C (LP )

Trong b i to¡n quy ho¤ch n y, vec-tì gi¡ c khæng phö thuëc v o ph÷ìng ¡ns£n xu§t

V· m°t h¼nh håc, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (V I) l  b i to¡n t¼m mët iºm

x∗ ∈ C sao cho tªp F (x∗) câ mët ph¦n tû l  vec-tì ph¡p tuy¸n (ngo i) cõatªp C t¤i iºm x∗

Gi£ sû vîi méi x ∈ C, tªpF (x) lçi, compact kh¡c réng Vîi méix, y ∈ C,

º mæ t£ b i to¡n (V I) v· b i to¡n c¥n b¬ng, ta °t

Mët tr÷íng hñp ri¶ng quan trång cõa b i to¡n (V I) l  khi C = Rn+ v  F

ìn trà Khi â b i to¡n (V I) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n sau, ÷ñc gåi l  b ito¡n bò:

T¼m x ≥ 0 sao cho F (x) ≥ 0, xTF (x) = 0 (CP )

Ta ch¿ ra r¬ng b i to¡n (CP) n y t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n:

T¼m x ≥ 0 sao chohF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ≥ 0