SKKN. TOAN. RÈN NĂNG GIẢI TOÁN 11 QUA DẠY HỌCGIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

Tên sáng kiến: Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 11 qua dạy họcgiải phương trình lượng giác có điều kiện.. TÓM TẮT SÁNG KIẾNCung cấp được cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp d

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 11 qua dạy họcgiải phương trình lượng giác có điều kiện

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học tự nhiên

3 Tác giả:

Họ và tên: Nguyễn Phú Thành Nam

Ngày tháng/năm sinh: 07/07/1984

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên toán, trường THPT Kinh Môn IIĐiện thoại: 0396131542

4 Đồng tác giả ( Không có)

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: (Không có)

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THPT Kinh Môn II; XãHiệp Sơn, Huyện Kinh Môn , Tỉnh Hải Dương; Điện Thoại

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh có lực học từtrung bình khá trở lên

8 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:

Từ ngày 10/09/2014 đến ngày 01/10/2015

VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

Cung cấp được cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học theohướng rèn luyện kỹ năng giải toán; Phân tích thực trạng, khó khăn sai lầm củahọc sinh khi giải phương trình lượng giác có điều kiện; Hệ thống và phân loạicác phương pháp kết hợp điều kiện thường dùng trong giải phương trìnhlượng giác có điều kiện

Một số điểm mới trong sáng kiến:

- Sáng kiến đã nêu được phạm vi áp dụng, điểm hạn chế của mỗiphương pháp (4 phương pháp), từ đó giúp học sinh, đồng nghiêp nhanh chóngnắm vững được căn bản của kĩ năng, phương pháp tránh được sai lầm trongkhi sử dụng

- Bổ sung vào hệ thống kĩ năng một kĩ năng mới mà chưa tài liệu thamkhảo, đồng nghiệp nào đề cập trong hệ thống kĩ năng kết hợp nghiệm của

phương trình lương giác: “Kĩ năng tách điều kiện, nghiệm về cùng đuôi”.

- Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết, quy trình giải phương trìnhlượng giác có điều kiện và kỹ thuật trình bày lời giải phương trình lương giác

có điều kiện; Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi Đại học,Cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây;

- Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêmnhiều kinh nghiệm trong dạy học; Nâng cao khả năng giải toán cho học sinhthông qua các phương pháp mới, có chú trọng đến việc bồi dưỡng học sinhkhá giỏi;

- Đánh giá kết quả áp dụng sáng kiến bằng định tính, định lượng, kiểmtra được độ tin cậy và nêu ra được những hướng phát triển của sáng kiến

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 HOÀN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN

1.1 Những khó khăn và sai lầm của học sinh

Khi giải phương trình lượng giác có điều kiện học sinh thường gặp nhữngsai lầm và khó khăn về mặt kĩ năng Ta xét một số bài tập sau:

Khó khăn ở đây không phải vấn đề phân chia trường hợp mà lại rơi vàoviệc kết hợp điều kiện cho từng trường hợp và lấy nghiệm cuối cùng Câu hỏi đặt

ra là: “Làm thế nào để công việc giải toán, kết hợp điều kiện của bài toán

được thực hiện được một cách dễ dàng mà học sinh chấp nhận được, hiểu được?”

cos cos 2 cos3

23

k x

x

k m Z x

Bài tập trên đây có thể dùng đường tròn lượng giác để kết hợp nghiệm Xong

câu hỏi đặt ra là “có phải bài tập nào cũng dùng đường tròn lượng giác để kết hợp

nghiệm?” Đây là một vấn đề khó, bài tập 3 dưới đây sẽ trả lời câu hỏi trên.

Bài toán 3 Gải phương trình

2cos 1

sin

x x

là 2 (đuôi là 2k k Z,  ) Vậy trong bài viết này tác giả xin giới thiệu phương

pháp đổi đuôi và tách nghiệm để xử lý kết hợp điều kiện

Lời giải

1cos cos 2 cos 4 cos8 (1)

16

TH1 Xét sinx 0 x k k Z ,  Không thỏa phương trình (1)

TH2 Xét sinx 0 x m m Z ,  Nhân hai vế của (1) cho sinx :

Phương trình (1) sin cos cos 2 cos 4 cos8 sin1

17 17

n x

n l Z l

17 17

k x

m x

1.2 Những khó khăn của giáo viên

- Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi và xây dựng hệ thống bài tập

- Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví

dụ ứng dụng

- Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một

hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhau của học sinh

- Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập cho học sinh không nhiều

- Đối với giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn ít có cơ hội dạyđội tuyển và dạy luyện thi Đại học thì việc phân loại bài tập, trình bày lời giảicòn hạn chế và đôi lúc còn mắc sai lầm.

1.3 Lý do chọn sáng kiến

Qua phân tích khó khăn của giáo viên, khó khăn và sai lầm của học sinhtrong giải phương trình lượng giác có điều kiện Quan trọng hơn cả là chọn chohọc sinh, bản thân một phương pháp chính trong nhiều phương pháp kết hợpđiều kiện để sử dụng trong quá trình dạy và học

Để giải quyết các khó khăn của đồng nghiệp, khắc phục khó khăn, sai lầmcủa học sinh

Chính vì những lý do trên nên tôi chọn tên sáng kiến là:

“Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 11 qua dạy học giải phương trình lượng giác có điều kiện.”.

2 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

2.1 Khái niệm kỹ năng

Theo giáo trình Tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …)

để giải quyết một nhiệm vụ mới”

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nóirằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phươngpháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

2.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bàitoán cần giải về dạng tương đương đơn giản

Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giải toán:

 Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng

cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra những quy tắc cho riêng mình Đây làphương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian, khó đánh giá và không đầy

đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

 Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về những

kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nângcao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

2.3 Phân loại kỹ năng trong môn Toán

Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thức vàohoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trong Toán họchoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sống thực tiễn.

2.3.3 Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có kếhoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bản thânnhằm phấn đấu đạt được mục đích

2.3.4 Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra từphía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy màchưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân

Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, … đã xét kỹ năng tự kiểmtra đánh giá trên các phương diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ mônToán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác, kỹ năng vậndụng toán học vào đời sống

3 THỰC TRẠNG DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN Ở BẬC HỌC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

3.1 Thực trạng dạy học rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác của giáo viên ở trung học phổ thông

- Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và ônluyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp

- Nội dung của sáng kiến chưa có một phần cụ thể nào trong sách giáokhoa trung học phổ thông

- Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức và các ví

dụ ứng dụng

- Đối với giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn ít có cơ hội dạyđội tuyển và dạy luyện thi Đại học thì việc phân loại bài tập, trình bày lời giảicòn hạn chế và đôi lúc còn mắc sai lầm

3.2 Thực trạng kỹ năng giải phương trình lượng giác của học sinh ở cấp học trung học phổ thông

- Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắtđầu giờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các định lý, hệquả thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu và mơ hồ khi vận dụng làm bài tập.Những học sinh trung bình thì chưa thể hiểu kỹ về lý thuyết và vận dụng ngayvào bài tập

- Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ các khái niệm, định nghĩa và các ví dụ mẫu dẫnđến trình bày lời giải bài toán chưa khoa học và còn mắc nhiều sai lầm

- Khả năng tìm tòi tự học của đa số học sinh còn hạn chế và khi học chưa

có khả năng rút kinh nghiệm, hệ thống dạng bài tập

- Nhiều học sinh chưa biết nhiều về các phương pháp giải toán, các kỹnăng kỹ xảo để xử lý những dạng bài tập phức tạp

4 HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN

4.1 Cơ sở lý thuyết

4.1.1 Các công thức lượng giác thường dùng

Phân môn lượng giác có rất nhiều công thức thường dùng, trong chươngtrình lớp 11 ta thường dùng các công thức sau

4.1.1.1 Các công thức lượng giác cơ bản

cos1

1+cot ; tan cot 1;

a) Cung đối. sinx  sin ; cosx  x cos ;x

b) Cung bù sin  x sin ; cosx   x  cos x

c) Cung phụ sin cos ; cos sin ;

cos a b- cos cosa bsin sin ;a b

sin(a b ) sin cos a bcos sin ;a b

sin( - ) sin cos - cos sin ;a b  a b a b

4.1.1.4 Công thức nhân đôi

sin 2a2sin cos ;a a

cos 2acos a sin a2cos a1 1 2sin ;  a 4.1.1.5 Công thức nhân ba

3 3

sin 3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos ;

21sin sin cos( ) cos( ) ;

21sin cos sin( ) sin( ) ;

4.1.2 Các phương trình lượng giác cơ bản

4.1.2.1 Phương trình sin ( ) f x  m

 Nếu m  thì phương trình vô nghiệm.1

 Nếu m  ta để ý có 1  arcsin m mà sin m

Phương trình sin ( ) sin ( ) 2 ,

 Nếu m  thì phương trình vô nghiệm.1

 Nếu m  ta để ý có 1  arccos m mà cos m

Phương trình cos ( ) cos ( ) 2 ,

Chú ý: Nếu m  ta cũng có thể dùng công thức 0 cot ( )f x tan ( )1f x để chuyểnphương trình về phương trình tan ( )f x m

4.1.3 Một số phương trình lượng giác thường gặp

Ngoài những hương trình rất đơn giản ta quan tâm các phương trình sau

4.1.3.1 Phương trình dạng sin ( ) a f x bcos ( )f x c

Điều kiện: Phương trình có nghiệm khi a2b2 c2

Phương pháp giải cơ bản:

 Chia 2 vế cho a2b2 được 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

 Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không

 Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos x với n là lũy thừa lớn nhất của n

phương trình để được phương trình bậc cao theo tanx

 Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx

4.1.3.3 Phương trình đối xứng: (sin f xcos ;sin cos ) 0x x x 

 Đặt 2 sin( )

4

t sinx cosx   t x  t  2và

2 12

t sinxcosx 

 Thay vào phương trình ta được phương trình bậc cao theo t

4.2 Hệ thống bài tập dạy học rèn kỹ năng giải phương trình lượng giác có điều kiện

Có rất nhiều phương pháp kết hợp điều kiện của một phương trình lượnggiác, vậy trong nội dung sáng kiến này tác giả giới thiệu 4 phương pháp chủ yếu,thường dùng sau đây

4.2.1 Kỹ năng biểu diễn điều kiện, nghiệm về cùng một hàm số lượng giác Nội dung phương pháp

 Đặt điều kiện, giải đến điều kiện của một hàm số lương giác(ta sẽ đưa nghiệm vê hàm số này).

 Giải phương trình, kết hợp điều kiện và giải nghiệm.

Phạm vi áp dụng của phương pháp: Phương pháp này chỉ áp dụng cho những

phương trình có điều kiện và nghiệm có thể chuyển về cùng một hàm số lượng giác.

Hạn chế của phương pháp: Không triệt để( nhiều bài không giải được).

- Nhận thấy bài tập này thì nghiệm của phương trình, điều kiện chuyển

được về được hàm số y cos x

- Giải điều kiện, nghiệm đến cos x

- Kết hợp điều kiện, giải nghiệm và kết luận

1

2cos

32

Nhưng không phải bài tập nào cũng có được điều kiện và cách giải đơn

giản như vây Ta xét ví dụ 2 sau:

cosx sin 2x sin 4x

Phân tích

- Ta hoàn toàn có thể chuyển bài tập về hàm số y sinx và có lời giải tương ứng như sau:

Lời giải

cos 0

2sin 2 0 sin 1;1 \ 1;0;

2sin 4 0

26

Có đôi lúc điều kiện của phương trình lại không phải lúc nào cũng tồn tại

mà nó chỉ xuất hiện trong các bước giải toán Ta xét ví dụ 3 và ví dụ 4 sau:

Phân tích

- Rõ ràng trong “Bài toán 1” việc nhận dạng, giải phương trình là vất vả.

- Ta giải bài tập trên theo hướng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốithì lại thật đơn giản

Lời giải

Phương trình  2 3 cosx  1 4sinx  2 3 cosx  1 4sinx

 2

2

1sin

412cos 1 4sin

428sin 8sin 11 0

- Rõ ràng trong bài tập này có ngay điều kiện sin x  0

- Điều kiện này là điều kiện giả, điều kiện chính của bài toán sẽ xuất hiện trong quá trình giải toán Ta xem lời giải của bài tập nhé:

1 4 3sin

1sin sin sin

2

23

2

sin x sinx, từ đó sẽ đẫn đễn việc kết luận ngay phương trình vô nghiệm

Ví dụ 5 (Đề thi học sinh giỏi lớp 12 – Bình Phước – năm 2014)

Giải phương trình sin 2 3tan 2 x sin 4 x 2

- Bài tập này cần để ý đặt điều kiện cho mẫu số, hàm số tan x 2

- Giải bài tập này cần lưu ý rút gọn phân số để tránh nghiệm ngoại lai

Lời giải

Điều kiện: tan 2 sin 2 0 tan 2 sin 2 0 sin 2 0

không giải được bằng phương pháp biểu diễn điều kiện, nghiệm về cùng một hàm số lượng giác thì ta sẽ giải quyết chúng như thế nào?” Ta sẽ đi tìm hiểu

nội dung tiếp theo 2.2.2 trong nọi dung

4.2.2 Kỹ năng kết hợp điều kiện trên đường tròn lượng giác

Nội dung phương pháp

 Đặt điều kiện, giải triệt để điều kiện.

 Giải phương trình đến nghiệm x

 Biểu diễn nghiệm, điều kiện trên cùng một đường tròn lượng giác, lấy nghiệm và kết luận chung cho phương trình

Quy tắc biểu diễn nghiêm, điều kiện trên đường tròn lượng giác:

- Biểu diễn điểu kiện bởi X

- Biểu diễn nghiệm bởi O

Phạm vi áp dụng của phương pháp: Phương pháp này chỉ áp dụng cho những

phương trình có điều kiện và nghiệm x không vượt quá 2 

Hạn chế của phương pháp: Không triệt để(nhiều bài không giải được).

cos cos 2 cos3

- Trong bài tập này không thể áp dụng phương pháp kết hợp điều kiện trên

- Áp dụng phương pháp kết hợp trên đường tròn lượng giác

k x

- Trong bài tập để ý ta có điều kiện sin x  0

- Kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác với điều kiện

Lời giải

Điều kiện sinx 0 x k ; k Z

Phương trình 2sin cos 2sin 2 1

     

sin 2sin 1 cos 2sin 1 2sin 1 0

2sin 1 sin cos sin cos 1 0

261

 Kết hợp

265

26

Biểu diễn nghiệm, điều kiện trên đường tròn

lượng giác ta được nghiệm:

24

- Dùng đường tròn lượng giác để kết hợp nghiệm với điều kiện

26

Ví dụ 10 (Đề thi đại học khối A – năm 2010)

Giải phương trình (1 sin cos 2 )sin( 4) 1 cos

x x

- Để ý ta có điều kiện tanx1; cosx0;

- Để ý công thức sin( ) 1 sin cos ;tan 1 sin cos

cos (1 sinx x cos 2 ) cosx x 1 sinx cos 2x 1 (do cosx 0)

2

261

6sin 1

22

 2 2

2

2 sin cos 2sin

những phương trình có điều kiện và nghiệm x không vượt quá 2 thì áp dụng

được phương pháp này Ngược lại thì sao, giải những phương trình đó như thế nào?

Ta sẽ đi tìm hiểu nội dung tiếp theo 2.2.3 trong nội dung

4.2.3 Kỹ năng tách điều kiện, nghiệm về cùng “đuôi”

Nội dung phương pháp

 Đặt điều kiện, giải triệt để điều kiện.

 Giải phương trình đến nghiệm x

 Tách nghiệm, điều kiện về cùng một “đuôi”, kết hợp nghiệm, lấy nghiệm

và kết luận chung cho phương trình

Quy tắc tách điều kiện về cùng “đuôi”:

Đổi hai họ nghiệm nghiệm x  f(k)2 ;  x  g(k)2 ;  k Z về cùng đuôi:

- Chọn đuôi chung cho hai họ nghiệm:

Đuôi chung là đuôi chia hết cho các đuôi riêng;

Lấy đuôi chung chia đuôi riêng sẽ được hệ số riêng m là số họ nghiệm tách được về đuôi chung của họ nghiệm đó khi thay k 0;(m 1)

- Đổi từng họ nghiệm(đổi đuôi, đổi về góc ban đầu không âm.)

cos 15