Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức"

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Bất đẳng thức. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ

BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

B ất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Ví dụ 1: Cho a1, a2,…,an là n số dơng, với tích a1a2…an = 1 Chứng minh:

(a1 + a2)(a2 + a3)…(an-1 + an) (an + a1) ≥ 2n

Hớng dẫn: Sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

Nhân các vế tơng ứng của n bất đẳng thức này, thì đợc

(a1 + a2)(a2 + a3)(an-1 + an)(an + a1) ≥ 2n 2 n

1 2 n(a a a ) =2 Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Và bằng việc Sử dụng bất đẳng thức cơ bản a + b ≥ a + b ta chứngminh ngay đợc:

lời giải chi tiết: Trớc tiên, ta đi chứng minh :

VÝ dô 3: Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c, d tho¶ m·n:

VÝ dô 4: Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn x + y + z = 0 vµ

x2 + y2 + z2 = 1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = x5 + y5 + z5

Đánh giá và định hớng thực hiện: Cần biết cách định hớng đa biểu thức P vềdạng một ẩn dựa vào hai biểu thức điều kiện, cụ thể:

 Nếu lựa chọn sử dụng một trong ba biến x, y, z Giả sử là x thì ta cần thực hiệnbiến đổi:

P = x5 + (y2 + z2)(y3 + z3) − y2z2(y + z)

= x5 + (y2 + z2)[(y + z)3 − 3yz(y + z)] − y2z2(y + z)Trong đó, với giả thiết ta có ngay:

y + z = −x; y2 + z2 = 1 − x2

Nh vậy, còn phải tìm cách biểu diễn yz theo x Việc này đợc thực hiện:

0 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x(y + z) + 2yz = 1 − 2x2 + 2yz

2 1

yz x

2

⇔ = −Tới đây, bài toán đợc chuyển về việc tìm gtln của hàm số f(x) nên cần tìm tậpgiá trị của biến x Việc này đợc thực hiện:

y + z = −x; y2 + z2 = 1 − x2

Nh vậy, còn phải tìm cách biểu diễn yz theo x Việc này đợc thực hiện:

0 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2x(y + z) + 2yz = 1 − 2x2 + 2yz

2 1

yz x

2

⇔ = −Tới đây, bài toán đợc chuyển về việc tìm gtln của hàm số f(x) nên cần tìm tậpgiá trị của biến x Việc này đợc thực hiện:

 Hớng dẫn: Sử dụng phép tách trong bất đẳng thức Côsi với định hớng làm

xuất hiện biểu thức a + b

Ta có biến đổi:

A = 4.(4ab)(a − b)2

2 2

 Chú ý : Bài toán trên cũng có thể đợc thực hiện theo cách:

A = 16ab[(a + b)2 − 4ab] = 16ab(1 − 4ab) = 4.(4ab)(1 − 4ab)

2

C 4ab (1 4ab)4

Tới đây, bài toán đợc chuyển về việc tìm gtnn của hàm số f(t) trên tập D = [0; 8].lời giải chi tiết: Biến đổi biểu thức điều kiện về dạng:

A 1 log a 1 log b= + ≤ (1 1) log a log b+ ( 2 + 2 )

= 2log ab2 = 4log2 ab 4log2 a b

Khi đó, ta nhận đợc:

2 2

g(t)

2t

2 t (4t 3) 3t(2t 1) 9

0(2t 3) (1 t)

Bài toán đợc chuyển về việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

số f(t) = 4t3 − 9t2 − 12t + 18 với t thoả mãn điều kiện:

2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) (*)

Nh vậy, cần biến đổi (*) về một bất phơng trình theo t, cụ thể:

2(a2 + b2) + ab = (a + b)ab + 2(a + b)

Chia cả hai vế của đẳng thức trên cho ab, ta đợc:

⇔ 2(a2 + b2) + ab = (a + b)ab + 2(a + b).

Chia cả hai vế của đẳng thức trên cho ab, ta đợc:

4

− đạt đợc khi:

Hớng dẫn: Vì biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất không có tính đối xứng đợc

kết với các căn có nghĩa nên chúng ta định hớng đợc ngayrằng cần sử dụng phép biến đổi riêng cho từng toán tử:

ab c 2, bc a 3, ca b 4− − −

Và vì MS = abc nên cần tạo ra nhân tử chung abc cho mỗi biến

đổi trên, để thực hiện đợc điều này chỉ cần khử hệ số tự do, cụthể với:

abc abc abc

a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca, 3(a2b2 + b2c2 + c2a2) ≥ (ab + bc + ca)2.

Từ đó, với việc lựa chọn ẩn phụ t = ab + bc + ca ta sẽ chuyển đợc M về dạng f(t)

Và việc tìm giá trị nhỏ nhất của M đợc chuyển thành việc tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

số f(t) với điều kiện ẩn t đợc suy ra từ điều kiện 1 = a + b + c, cụ thể:

1 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) = 3t

Ngoài ra, theo Côsi ta có:

t2 = (ab + bc + ca)2 ≤ 3(a2b2 + b2c2 + c2a2) ⇒ M t≥ + +2 3t 2 1 2t−

Hớng dẫn: Đây là dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức nhiều

biến dựa trên điều kiện cho trớc, và để thực hiện đợc nó các em

học sinh cần biết linh hoạt trong việc đánh giá đồng thời hai biểuthức, cụ thể:

 Cần biến đổi biểu thức điều kiện (x + y)xy = x2 + y2 − xy về dạnggiống các toán tử chứa trong A, nên chúng ta thực hiện chiahai vế của biểu thức cho x2y2 để nhận đợc:

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Cách giải tổng quát cho dạng toán này là sửdụng đạo hàm, bằng việc thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho hàm số, ta đợc tập xác định D = [a; b]

Bớc 2: Tính đạo hàm y’, rồi giải phơng trình y’ = 0 để tìm các nghiệm x1,

x2, thuộc D

Bớc 3: Tính y(a), y(b), y(x1), y(x2), Từ đó, suy ra:

yMin = Min{y(a), y(b), y(x1), y(x2), }

 Chú ý: Với các em học sinh khá, giỏi thì bài toán này còn đợc thực hiện với

Từ đó, suy ra yMin = k, đạt được khi A '= B'

lời giải chi tiết: Điều kiện

(x 3 5 x) ( ) (x 2 7 x) ( )

⇔ + − = + − ⇔ 3x − 1 = 0 x 1

3

⇔ =

 Nhận xét: Lời giải trên thực hiện theo chú ý trong phần định hớng và dựa trên

nguyên tắc giao hoán tơng thích

Ví dụ 15: Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x, y, z thoả mãn :

và khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với:

a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ⇔ (a + b)(a2 + b2 − ab) + 3abc ≤ 5c3 (1)Tới đây, chúng ta cần chuyển biểu thức điều kiện theo a, b, c, thì bằng việcgiaie hệ (*), chúng ta sẽ nhận đợc:

Công việc còn lại chỉ là tận dụng triệt để (2) để chứng minh (1)

lời giải chi tiết: Đặt:

y (a b c) 2

1

z ( a b c)2

Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với:

a3 + b3 + 3abc ≤ 5c3 ⇔ (a + b)(a2 + b2 − ab) + 3abc ≤ 5c3

Cộng theo vế (4) và (5) ta đợc bất đẳng thức cần chứng minh (3)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

d 1 dab

c 1 cda

b 1 bcd

a F

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

≤

1 abcd

d 1 abcd

c 1 abcd

b 1 abcd

a F

1abcd

dcba

+

+++ (1)

 Nh ận xét : Phơng pháp trên cũng đợc sử dụng để giải hai bài toán tổng quát

hơn sau:

Bài toán 1: Xét các số a1, a2, , an ∈ [0, 1], n > 1 Hãy tìm giá trịlớn nhất của biểu thức:

} i {

\ } , , 1

i

1 a

}i

\ } , , 1

 Từ K suy ra điều kiện cho biến t

 Từ đó, xét hàm số f(t) ứng với điều kiện của t vừa tìm đợc

Nh vậy, với bài toán đã cho chúng ta sẽ lần lợt định hớng biến đổi nh sau:

4

Đặt t = x2 + y2, ta có:

29

A t 2t 1 f (t)

4

Từ đó, dẫn tới việc cần tìm điều kiện cho biến t từ giả thiết (x + y)3 + 4xy ≥ 2,

và để thực hiện công việc này chúng ta chỉ cần kết hợp nó với bất đẳng thức:(x + y)2 ≥ 4xy

Bằng cách cộng theo vế, chúng ta sẽ nhận đợc:

(x + y)3 + 4xy + (x + y)2 ≥ 2 + 4xy ⇔ (x + y)3 + (x + y)2 ≥ 2 ⇔ x + y ≥ 1Khi đó:

x +y ≥ (x y)+ ≥ ⇒ ≥t 1

Công việc còn lại chỉ là xét hàm số f(t) với 1

= 16t2 − 2t + 12

 Đó chính là một tam thức bậc hai theo t và vì yêu cầu "Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của A" nên dễ hiểu rằng chúng ta cần tìm điều kiện cho

t, và công việc này khá đơn giản bởi ta có đánh giá:

 Bài toán đợc chuyển thành việc "Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Bớc 1: Tính đạo hàm y’

Bớc 2: Tìm các điểm tới hạn thuộc (a; b) của hàm số (thông thờng là

giải phơng trình y' = 0 để tìm các nghiệm x ∈ (a; b)) Giả sử cácnghiệm là x1, x2,

Bớc 3: Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1) , f(x2),

Bớc 4: Từ đó:

 x [a,b]Min y∈ = Min{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), }

 x [a,b]Max y∈ = Max{f(a), f(b), f(x1) , f(x2), }

Quay lại bài toán, vì chúng ta phải sử dụng phơng pháp gián tiếp nên cần tìm x,

x y 11xy16

x y 11xy4

c ) b a ( 11 778

767

1945 2

= 1470906,25Vậy, ta đợc (abc)Max = 1470906,25 đạt đợc khi và chỉ khi:

c

b 11

778 a

11

778

55 b

2

55 b a

(thỏa mãn)

Ví dụ 20: Trong tất cả các nghệm (x, y) của phơng trình 2x + 3y = 1 hãychỉ ra nghiệm có tổng 3x2 + 2y2 có nghiệm nhỏ nhất.

2

3.y 2)2

Dấu đẳng thức xảy ra khi ta có:

x 3:

3

2 = y 2:

2

3 (*)

3

y 2 x

1 y x