Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banach (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banachPhương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử trong không gian banach

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

o0o

H€ V‹N DÜ

PH×ÌNG PHP HI›U CHŸNH H› PH×ÌNG TRœNH TON TÛ TRONG KHÆNG GIAN BANACH

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUY–N, 10/2018

TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

o0o

H€ V‹N DÜ

PH×ÌNG PHP HI›U CHŸNH H› PH×ÌNG TRœNH TON TÛ TRONG KHÆNG GIAN BANACH

Möc löc

Ch÷ìng 1 B i to¡n °t khæng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u

1.1 B i to¡n °t khæng ch¿nh 4

1.1.1 Khæng gian Banach 4

1.1.2 To¡n tû trong khæng gian Banach 7

1.1.3 B i to¡n °t khæng ch¿nh 15

1.1.4 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh 16

1.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 17

1.2.1 To¡n tû hi»u ch¿nh 17

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov 19

Ch÷ìng 2 Hi»u ch¿nh h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh 21 2.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh 21

2.1.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû 21

2.1.2 Mët sè b i to¡n li¶n quan 22

2.2 Hi»u ch¿nh h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh 24 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 24

2.2.2 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p 25

2.2.3 X§p x¿ húu h¤n chi·u 28

K¸t luªn 35

D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A

R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A

A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A

I to¡n tû çng nh§t

L(X, Y ) tªp t§t c£ c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø

khæng gian Banach X v o khæng gian Banach YC[a, b] khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b]

lp khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p

Lp[a, b] khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b]d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C

lim supn→∞xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn}

lim infn→∞xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn}

xn → x0 d¢y {xn} hëi tö m¤nh v· x0

xn * x0 d¢y {xn} hëi tö y¸u v· x0

Js ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t

J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c

Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T

Mð ¦u

Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh ÷ñc nh  To¡n håc JacquesHadamard ng÷íi Ph¡p ÷a ra v o n«m 1932 khi nghi¶n cùu £nh h÷ðngcõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Æng l  ng÷íi ¢ ch¿

ra nhúng b i to¡n khæng ên ành l  "b i to¡n °t khæng ch¿nh" (xemwikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard)

X²t b i to¡n ng÷ñc: t¼m mët ¤i l÷ñng vªt lþ x ∈ X ch÷a bi¸t tø

bë dú ki»n (f0, f1, , fN) ∈ YN +1, ð ¥y X v  Y l  c¡c khæng gianBanach, N ≥ 0 Tr¶n thüc t¸, c¡c dú ki»n n y th÷íng khæng ÷ñc bi¸tch½nh x¡c, m  ch¿ ÷ñc bi¸t x§p x¿ bði fδ

i ∈ Y thäa m¢n

kfiδ− fik ≤ δi, i = 0, 1, , N, (1)vîi δi > 0(sai sè cho tr÷îc) Bë húu h¤n dú ki»n fδ

i ∈ Y, i = 0, 1, , Nnhªn ÷ñc b¬ng vi»c o ¤c trüc ti¸p tr¶n c¡c tham sè B i to¡n n y

÷ñc mæ h¼nh hâa to¡n håc bði

Möc ti¶u cõa luªn v«n l  tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov

hi»u ch¿nh h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû (2) trong tr÷íng hñp to¡n tû A0 ìn

i»u, hemi-li¶n töc, cán c¡c to¡n tû Ai, i = 1, , N câ t½nh ch§t ng÷ñc

ìn i»u m¤nh trong khæng gian Banach thüc ph£n x¤ X trong b i b¡o[9] cæng bè n«m 2018

Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng Ch÷ìng 1giîi thi»u kh¡i ni»m v· khæng gian Banach, to¡n tû ìn i»u, ìn i»ucüc ¤i, to¡n tû li¶n töc, kh£ vi Fr²chet trong khæng gian Banach còngmët sè t½nh ch§t; ành ngh¾a v  v½ dö v· b i to¡n ng÷ñc °t khængch¿nh; tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh BrowderTikhonov hi»u ch¿nhph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u Ch÷ìng 2 giîi thi»u v· h» ph÷ìng tr¼nhto¡n tû °t khæng ch¿nh, tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh h» ph÷ìngtr¼nh to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh v  x§p x¿ húu h¤n chi·u nghi»mnghi»m ch¿nh trong khæng gian Banach còng c¡c ành lþ hëi tö m¤nh.Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håcTh¡i Nguy¶n Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng

¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp,nghi¶n cùu T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡cth¦y, cæ trong khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîiPGS.TS Nguy¹n Thà Thu Thõy - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡cgi£ ho n th nh luªn v«n n y T¡c gi£ công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn tîiBan gi¡m hi»u Tr÷íng PTDTBT THCS Trung H , x¢ Trung H , huy»nChi¶m Hâa, t¿nh Tuy¶n Quang ¢ luæn t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho t¡cgi£ ho n th nh khâa håc Ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, çng nghi»p,b¤n b± ¢ luæn cê vô, ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu./

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018

T¡c gi£ luªn v«n

H  V«n Dü

1.1 B i to¡n °t khæng ch¿nh

Möc n y tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v·: khæng gian Banach, b i to¡nng÷ñc °t khæng ch¿nh v  v½ dö v· b i to¡n ng÷ñc °t khæng ch¿nh.1.1.1 Khæng gian Banach

Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m v· khæng gian ành chu©n v khæng gian Banach (xem [3])

ành ngh¾a 1.1.1 Cho X l  mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng sèthüc R nh x¤ k.k : X → R ÷ñc gåi l  mët chu©n tr¶n X n¸u nâ thäam¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) ||x|| ≥ 0 vîi måi x ∈ X; ||x|| = 0 khi v  ch¿ khi x = 0;

(ii) ||kx|| = |k|||x|| vîi måi x ∈ X, vîi måi k ∈ R;

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vîi måi x, y ∈ X

Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi chu©n k.k x¡c ành nh÷ tr¶n ÷ñcgåi l  khæng gian ành chu©n, kþ hi»u l  (X, ||.||)

ành ngh¾a 1.1.2 D¢y {xn} trong khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi

l  hëi tö y¸u tîi ph¦n tû x0 ∈ X, kþ hi»u l  xn * x0, n¸u vîi måi

f ∈ X∗, khæng gian li¶n hñp cõa X, ta câ f(xn) → f (x0) khi n → ∞.Nhªn x²t 1.1.3 Mët d¢y hëi tö m¤nh th¼ hëi tö y¸u, nh÷ng i·ung÷ñc l¤i khæng óng V½ dö, trong khæng gian Hilbert l2 ta l§y d¢y(e1, e2, , en, ) sao cho

Sau ¥y ta dòng kþ hi»u k.k cho chu©n trong X v  X∗ v  vi¸t t½ch

èi ng¨u hx∗, xi thay cho gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh x∗ ∈ X∗ t¤i

iºm x ∈ X, tùc l  hx∗, xi = x∗(x)

V½ dö 1.1.6 C¡c khæng gian sau ¥y l  khæng gian Banach:

(i) khæng gian húu h¤n chi·u Rn vîi chu©n x¡c ành bði:

, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn;

(ii) khæng gian C[a, b] c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] vîi chu©n x¡c

x∗(x) = x∗∗(x∗) ∀x∗ ∈ X∗.V½ dö 1.1.8 (i) Khæng gian Rn, khæng gian Hilbert H, khæng gian lp

v  Lp[a, b] vîi 1 < p < ∞ l  c¡c khæng gian ph£n x¤

(ii) Måi d¢y bà ch°n trong X ·u câ d¢y con hëi tö y¸u

ành ngh¾a 1.1.10 Khæng gian Banach X ÷ñc gåi l 

(i) lçi ch°t n¸u vîi måi x, y thuëc m°t c¦u ìn và SX cõa khæng gianBanach X, SX := x ∈ X : kxk = 1 , x 6= y, th¼

(ii) Khæng gian Rn, n ≥ 2 vîi chu©n kxk1 x¡c ành bði

kxk1 = |x1| + |x2| + + |xn|, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn,khæng ph£i l  khæng gian lçi ch°t

(iii) Khæng gian lp, Lp[a, b] vîi 1 < p < ∞ l  c¡c khæng gian lçi ·u.(iv) C¡c khæng gian l1, L1[a, b] khæng lçi ·u

ành ngh¾a 1.1.12 Khæng gian Banach ph£n x¤ X ÷ñc gåi l  câ t½nhch§t ES (EphimovStechkin) n¸u X lçi ch°t v  vîi måi d¢y {xn} ⊂ Xhëi tö y¸u ¸n x ∈ X (xn * x), kxnk → kxk th¼ d¢y {xn} hëi tö m¤nh

¸n x (xn → x)

1.1.2 To¡n tû trong khæng gian Banach

Cho X v  Y l  c¡c khæng gian Banach Trong luªn v«n n y ta x²tto¡n tû ìn trà A : X → Y vîi

Mi·n x¡c ành: D(A) := x ∈ X | A(x) 6= ∅

Mi·n gi¡ trà: R(A) := y ∈ Y | ∃x ∈ D(A) : A(x) = y

ç thà: Gr(A) := (x, y) ∈ X × Y : x ∈ D(A), y = A(x)

Trong tr÷íng hñp A l  to¡n tû tuy¸n t½nh ta s³ vi¸t Ax thay cho A(x).Sau ¥y l  kh¡i ni»m v· to¡n tû li¶n töc (xem [4])

ành ngh¾a 1.1.13 To¡n tû A : X → Y ÷ñc gåi l 

(i) li¶n töc t¤i x ∈ D(A) n¸u måi d¢y {xn} ⊂ D(A) v  xn → x th¼A(xn) → A(x);

(ii) li¶n töc theo tia hay hemi-li¶n töc t¤i x ∈ D(A) n¸u vîi måi y ∈ X,

tn ∈ R sao cho x + tny ∈ D(A) th¼

A(x + tny) * A(x) khi tn → 0+;(iii) b¡n li¶n töc hay demi-li¶n töc t¤i x ∈ D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn} ⊂D(A) v  xn → x khi n → ∞ th¼ A(xn) * A(x) khi n → ∞;

(v) li¶n töc Lipschitz tr¶n D(A) n¸u tçn t¤i h¬ng sè L > 0 sao cho vîimåi x, y ∈ D(A) ta câ

kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk;

(vi) ho n to n li¶n töc tr¶n tªp ω ⊂ D(A) n¸u A li¶n töc v  compacttr¶n ω

Kþ hi»u tªp t§t c£ c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc A : X → Y l L(X, Y )

Nhªn x²t 1.1.14 (i) N¸u to¡n tû A li¶n töc Lipschitz th¼ nâ li¶n töc;n¸u to¡n tû A li¶n töc th¼ nâ demi-li¶n töc; n¸u to¡n tû A demi-li¶ntöc th¼ nâ hemi-li¶n töc; chi·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng.(ii) N¸u to¡n tû A li¶n töc Lipschitz vîi L = 1 th¼ A l  to¡n tû khænggi¢n; n¸u L ∈ [0, 1) th¼ A l  to¡n tû co

(iii) N¸u to¡n tû A l  ho n to n li¶n töc trong khæng gian væ h¤n chi·uth¼ to¡n tû ng÷ñc cõa nâ nâi chung khæng li¶n töc

(vi) N¸u A l  to¡n tû tuy¸n t½nh th¼ t½nh ho n to n li¶n töc v  compact

ành ngh¾a v  mët sè t½nh ch§t cõa to¡n tû ìn i»u ÷ñc tr¼nh b yd÷îi ¥y (xem [4], [5]).

ành ngh¾a 1.1.17 To¡n tû A : X → Y ÷ñc gåi l 

(i) ìn i»u n¸u hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 vîi måi x, y ∈ D(A); ìn

i»u ch°t n¸u d§u "=" cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ch¿ x£y ra khi x = y;(ii) d-ìn i»u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m d(t), khæng gi£m vîi

t ≥ 0, d(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t

hA(x)−A(y), x−yi ≥ d(kxk)−d(kyk)

kxk−kyk

∀x, y ∈ D(A);(iii) ìn i»u ·u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£m vîi

(v) th¸ n«ng n¸u A(x) l  ¤o h m cõa phi¸m h m lçi ϕ(x), tùc l A(x) = ϕ0(x)

Kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u ÷ñc tr¼nh b y trong ành ngh¾a 1.1.17cán ÷ñc mæ t£ düa tr¶n ç thà nh÷ sau

ành ngh¾a 1.1.18 To¡n tû A ÷ñc gåi l  ìn i»u n¸u

hx∗ − y∗, x − yi ≥ 0 ∀(x, x∗), (y, y∗) ∈Gr(A)

Trong tr÷íng hñp n y, ç thà Gr(A) cõa A ÷ñc gåi l  tªp ìn i»u.N¸u Gr(A) khæng bà chùa thüc sü trong mët tªp ìn i»u kh¡c trong

X × Y th¼ A ÷ñc gåi l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

Mët to¡n tû ìn i»u hemi-li¶n töc x¡c ành tr¶n to n khæng gianho°c câ t½nh th¸ n«ng l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

ành lþ 1.1.19 (xem [5, ành lþ 1.4.6, H» qu£ 1.7.16])

(i) N¸u to¡n tû A : D(A) = X
→ X∗ ìn i»u, hemi-li¶n töc th¼ A

l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

(ii) N¸u A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u v  th¸ n«ng th¼ A l  to¡n tû

ìn i»u cüc ¤i

Bê · 1.1.20 (xem [5, M»nh · 1.4.3]) To¡n tû ìn i»u A : X → X∗

l  ìn i»u cüc ¤i tr¶n D(A) ⊆ X khi v  ch¿ khi tø b§t ¯ng thùc

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ D(A),

ta suy ra x0 ∈ D(A) v  A(x0) = f

Sau ¥y l  mët k¸t qu£ li¶n quan ¸n Bê · 1.1.20 cho tr÷íng hñpto¡n tû hemi-li¶n töc

Bê · 1.1.21 (xem [7], [12]) Cho X l  mët khæng gian Banach thüc,

X∗ l  khæng gian li¶n hñp cõa X, f ∈ X∗ v  A : X → X∗ l  mët to¡n

tû hemi-li¶n töc Khi â, n¸u tçn t¤i x0 ∈ X thäa m¢n b§t ¯ng thùc

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ X,th¼ A(x0) = f

N¸u A l  to¡n tû ìn i»u tr¶n X th¼ i·u ki»n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ X

Bê · tr¶n ÷ñc gåi l  Bê · Minty, t¶n cõa nh  to¡n håc Mÿ, ng÷íi

¢ chùng minh k¸t qu£ tr¶n trong tr÷íng hñp X l  khæng gian Hilbert.Sau n y công ch½nh æng v  Browder ¢ chùng minh mët c¡ch ëc lªptrong khæng gian Banach

ành lþ 1.1.22 (xem [5, H» qu£ 1.4.10]) N¸u to¡n tû A : X → X∗ l 

ìn i»u cüc ¤i tr¶n D(A) th¼ tªp hñp c¡c ph¦n tû {x ∈ D(A) : f ∈A(x)} vîi måi f ∈ R(A) l  mët tªp lçi v  âng trong X

Tø ành lþ tr¶n suy ra n¸u A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

v  ph÷ìng tr¼nh A(x) = f, f ∈ X∗ câ nghi»m th¼ tªp nghi»m cõa nâ l tªp con lçi, âng trong X

ành lþ 1.1.23 (xem [5, ành lþ 1.7.5, ành lþ 1.8.8])

(i) N¸u A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v  bùc th¼ R(A) = X∗.(ii) N¸u A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i, B : X → X∗ l  to¡n

tû ìn i»u, hemi-li¶n töc v  bùc th¼ R(A + B) = X∗

Tø ành lþ 1.1.23(i) ta suy ra n¸u to¡n tû A l  ìn i»u cüc ¤i v bùc, th¼ ph÷ìng tr¼nh A(x) = f câ nghi»m vîi måi f ∈ X∗ cho tr÷îc.T½nh ch§t tr¶n công câ thº ÷ñc ph¡t biºu l¤i nh÷ sau

ành lþ 1.1.24 (xem [5, ành lþ 1.7.5, Chó þ 1.7.10]) N¸u A : D(A) =

X
→ X∗ l  mët to¡n tû ìn i»u, hemi-li¶n töc v  bùc tø khæng gianBanach thüc ph£n x¤ X v o X∗ th¼ ph÷ìng tr¼nh to¡n tû A(x) = f cânghi»m vîi måi f ∈ X∗; Ngo i ra n¸u A l  to¡n tû ìn i»u ch°t th¼ph÷ìng tr¼nh A(x) = f câ nghi»m duy nh§t vîi måi f ∈ X∗

ành ngh¾a 1.1.25 To¡n tû A : D(A) ⊆ X
→ Y ÷ñc gåi l 

(i) kh£ vi Fr²chet (kh£ vi m¤nh) t¤i x ∈ D(A) n¸u tçn t¤i to¡n tûtuy¸n t½nh li¶n töc T ∈ L(X, Y ) sao cho vîi måi h ∈ X thäa m¢n

x + h ∈ D(A) ta câ

A(x + h) − A(x) = T h + r(x, h),

ð ¥y kr(x, h)k/khk → 0 khi khk → 0 N¸u tçn t¤i th¼ T ÷ñcgåi l  ¤o h m Fr²chet cõa A t¤i x v  ta vi¸t A0(x) = T T÷ìngùng A0(x)h = T h ÷ñc gåi l  vi ph¥n Fr²chet cõa to¡n tû A t¤i x.To¡n tû A ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet n¸u nâ kh£ vi Fr²chet t¤i måi

¤o h m G¥teaux cõa mët h m lçi câ t½nh ch§t ìn i»u, â l  nëidung cõa m»nh · sau.

M»nh · 1.1.26 (xem [8, M»nh · 5.5]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} l mët h m kh£ vi G¥teaux tr¶n X Khi â, i·u ki»n c¦n v  õ º h m ϕlçi tr¶n X l  ¤o h m G¥teaux ϕ0 cõa nâ l  mët to¡n tû ìn i»u tø X

v o X∗

Nhªn x²t 1.1.27 To¡n tû kh£ vi Fr²chet th¼ kh£ vi G¥teaux v  khi â

¤o h m m¤nh v  y¸u tròng nhau Ng÷ñc l¤i n¸u ¤o h m G¥teaux tçnt¤i v  li¶n töc trong l¥n cªn cõa x ∈ D(A) th¼ ¤o h m y¸u tròng vîi

¤o h m m¤nh t¤i x

nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t Js ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau (xem [5])

ành ngh¾a 1.1.28 nh x¤ Js : X → 2X∗, s > 1 (nâi chung l  a trà)x¡c ành bði

Js(x) = {us ∈ X∗ : hx, usi = kxkkusk, kusk = kxks−1},

÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach X Khi

s = 2, ¡nh x¤ J2 ÷ñc kþ hi»u l  J v  ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©nt­c cõa X Tùc l 

(ii) J l  to¡n tû ìn i»u v  bùc;

(iii) N¸u X∗ lçi ch°t th¼ J ìn trà;

(iv) N¸u X lçi ch°t th¼ J ìn i»u ch°t;

(iii) N¸u X ph£n x¤ v  X∗ lçi ch°t th¼ J demi-li¶n töc

ành lþ 1.1.30 (xem [5, ành lþ 1.7.13]) Gi£ sû A : X → X∗ l  to¡n

tû ìn i»u, J : X → X∗ l  ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa X Khi â,

A l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i n¸u v  ch¿ n¸u vîi måi α > 0, R(A + αJ)

l  to n bë khæng gian X∗

Tø ành lþ 1.1.30 ta th§y n¸u A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u cüc

¤i th¼ vîi méi α > 0 ph÷ìng tr¼nh A(x) + αJ(x) = f câ nghi»m vîimåi f ∈ X∗ (xem [5, H» qu£ 1.8.9])

Ta công câ mèi li¶n h» giúa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i v  t½nh

demi-âng nh÷ sau

Bê · 1.1.31 (xem [5, Bê · 1.4.5, ành lþ 1.4.7])

(i) ç thà cõa to¡n tû ìn i»u cüc ¤i A : X → X∗ l  demi-âng.(ii) N¸u to¡n tû A : D(A) = X
→ X∗ l  ìn i»u v  demi-âng th¼

A l  to¡n tû ìn i»u cüc ¤i

D÷îi ¥y l  kh¡i ni»m v  v½ dö v· to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh (xem[11])

ành ngh¾a 1.1.32 To¡n tû A : X → X∗ ÷ñc gåi l  λ-ng÷ñc ìn i»um¤nh n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng λ sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ λkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ X

(iii) Måi to¡n tû λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh ·u l  to¡n tû b¡n âng Thªtvªy, gi£ sû xn * x, xn, x ∈ D(A) v  A(xn) → y Tø t½nh λ-ng÷ñc

ìn i»u m¤nh cõa to¡n tû A suy ra

λkA(xn) − A(x)k2 ≤ hA(xn) − A(x), xn− xi

= hA(xn) − y, xn− xi − hA(x) − y, xn− xi → 0,khi n → ∞

Chó þ 1.1.34 To¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh xu§t hi»n nhi·u trongthüc t¸ (xem [11, V½ dö 1, V½ dö 2]:

(i) Måi to¡n tû tuy¸n t½nh A : H → H trong khæng gian Hilbert thüc

H tü li¶n hñp, ho n to n li¶n töc v  x¡c ành khæng ¥m l  to¡n tû

λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh, trong â 1

λ l  gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t cõato¡n tû A

(ii) Ph²p chi¸u m¶tric PC chi¸u khæng gian Hilbert thüc H l¶n tªp conlçi âng C cõa H v  to¡n tû A := I −PC l  1-ng÷ñc ìn i»u m¤nh.Chó þ r¬ng, c¡c to¡n tû n y khæng ìn i»u m¤nh trø khi C = H.(iii) N¸u F : X → R l  mët phi¸m h m lçi, kh£ vi li¶n töc theo Fr²chettrong khæng gian Banach X v  gradient ∇F cõa nâ l  1

λ-li¶n töcLipschitz, th¼ ∇F l  to¡n tû λ-ng÷ñc ìn i»u m¤nh

V½ dö 1.1.35 X²t to¡n tû A : L2[0, 1] → L2[0, 1] x¡c ành bði

(Ax)(t) =

Z 1 0

K(t, s) x(s) ds,

ð ¥y K(t, s) l  nh¥n t½ch ph¥n, gi£ thi¸t li¶n töc v  èi xùng trong h¼nhvuæng Ω := [0, 1] × [0, 1] Khi â to¡n tû t½ch ph¥n A ÷ñc x¡c ành nh÷tr¶n l  tü li¶n hñp v  compact (xem [3]) N¸u to¡n tû A x¡c ành khæng

¥m, tùc l 

hAx, xi =

Z 1 0

Z 1 0

K(t, s) x(t) x(s)dt ds ≥ 0 vîi måi x ∈ L2[0, 1],th¼ A l  to¡n tû ng÷ñc ìn i»u m¤nh

1.1.3 B i to¡n °t khæng ch¿nh

Ta x²t b i to¡n ð d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach

X: vîi f ∈ X∗, khæng gian li¶n hñp cõa X, cho tr÷îc, t¼m ph¦n tû x∗ ∈ Xthäa m¢n

(ii) nghi»m n y l  duy nh§t;

(iii) nghi»m phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u

ành ngh¾a 1.1.37 N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n trong ànhngh¾a 1.1.36 khæng thäa m¢n th¼ b i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l  b i to¡n °tkhæng ch¿nh

Chó þ 1.1.38 (a) èi vîi h¦u h¸t c¡c b i to¡n phi tuy¸n th¼ i·u ki»n(ii) cõa ành ngh¾a 1.1.36 g¦n nh÷ khæng thäa m¢n Hìn núa, i·uki»n (iii) công khâ thüc hi»n ÷ñc

(b) Trong luªn v«n n y ta s³ x²t b i to¡n °t khæng ch¿nh trong tr÷ínghñp khæng duy nh§t nghi»m v  nghi»m khæng phö thuëc li¶n töc

v o dú ki»n ban ¦u

V¼ t½nh khæng duy nh§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khængch¿nh (1.1), n¶n ta c¦n ph£i câ mët ti¶u chu©n cho sü lüa chån cõanghi»m C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn v«n s³ sû döng nghi»m x0 câ

x∗-chu©n nhä nh§t, ngh¾a l  ta t¼m nghi»m x0 ∈ S, tªp nghi»m cõa b ito¡n (1.1), thäa m¢n

kx0 − x∗k = minkx − x∗k : A(x) = f (1.2)

Ph¦n tû x∗ âng vai trá nh÷ mët ti¶u chu©n cho sü lüa chån nghi»m.B¬ng c¡ch chån x∗ ta câ thº câ ÷ñc nghi»m m  ta mong muèn.

1.1.4 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh

Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët l  b i to¡n °tkhæng ch¿nh Kh¯ng ành n y ÷ñc tr¼nh b y trong v½ dö sau ¥y.V½ dö 1.1.39 (xem [1]) B i to¡n t¼m nghi»m x0(s) cõa ph÷ìng tr¼nht½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët câ d¤ng

Z 1 0

K(t, s) x0(s) ds = f0(t), (1.3)

ð ¥y f0(t) l  h m li¶n töc cho tr÷îc trong khæng gian L2[0, 1] Ph÷ìngtr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët (1.3) l  b i to¡n °t khængch¿nh Thªt vªy, gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ nghi»m x0(s) Khi â, vîiv¸ ph£i

f1(t) = f0(t) + N

Z 1 0

K(t, s) sin(ωs)ds,ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ nghi»m

 Z 1 0

K(t, s) sin(ωs)ds

2

dt

12, (1.4)

câ thº l m nhä tòy þ Thªt vªy, cho tr÷îc ε > 0, tçn t¤i Kε(t, s) ∈ C1(Ω),

Ω := [0, 1] × [0, 1], sao cho

kKε− KkC1 ≤ ε

2N.Hìn núa, do nh¥n Kε(t, s) kh£ vi li¶n töc tr¶n mi·n Ω, n¶n tçn t¤i

Mε > 0, sao cho

2kKεk∞+ ∂Kε

∂s ∞ ≤ Mε