Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4 (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp 4v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

HÀ HOÀNG VIỆT

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHI TUYẾN CẤP 4

THÁI NGUYÊN, 10/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

HÀ HOÀNG VIỆT

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN

CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHI TUYẾN CẤP 4

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 846 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN, 10/2018

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 3

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 9

1.1 Một số kiến thức cơ bản về phương pháp lưới 9

1.1.1 Lưới sai phân 9

1.1.2 Hàm lưới 9

1.1.3 Đạo hàm lưới 10

1.1.4 Quy ước viết vô cùng bé 10

1.1.5 Công thức Taylor 10

1.1.6 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới 11

1.2 Phương pháp số giải bài toán Cauchy 12

1.2.1 Phương pháp Euler 1 13

1.2.2 Phương pháp Euler 2 13

1.2.3 Thuật toán RK4 14

1.3 Phương pháp số giải bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với độ chính xác cấp cao 15

1.3.1 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo 15

1.3.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao 17 1.3.3 Lược đồ sai phân giải bài toán biên cho phương trình cấp hai với độ chính xác bậc cao 21

Chương 2 Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 26 2.1 Mô hình bài toán phi tuyến tổng quát 26

2.2 Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện biên thuần nhất 27

2.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 272.2.2 Phương pháp lặp xây dựng dãy lặp đơn điệu 312.3 Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện

đầu thuần nhất 332.3.1 Mô hình bài toán 332.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm 33Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm 413.1 Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị biên 413.2 Mô hình bài toán cấp 4 phi tuyến với giá trị ban đầu 47

Danh mục các ký hiệu, các chữ

viết tắt

B[O, M ] Hình cầu tâm O, bán kính M

R+ Nửa dương của đường thẳng thực

Danh mục các bảng

Bảng 1.1: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 2; d0 = 2; d1 = 3Bảng 1.2: Sai số ε trên lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = 0Bảng 3.1: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.1)Bảng 3.2: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.2)Bảng 3.3: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.3)Bảng 3.4: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.4)Bảng 3.5: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.5)Bảng 3.6: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.6)Bảng 3.7: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.7)Bảng 3.8: Giá trị sai số ε, số điểm lưới N = 100 (Bài toán 3.8)

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 3.1: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.1)

Hình 3.2: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.2)

Hình 3.3: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.3)

Hình 3.4: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.4)

Hình 3.5: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.5)

Hình 3.6: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.6)

Hình 3.7: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.7)

Hình 3.8: Đồ thị nghiệm dương (Bài toán 3.8)

Lời nói đầu

Bài toán cơ học mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến tính với

hệ điều kiện biên đầy đủ là một bài toán khó, được các tác giả trên thếgiới cũng như trong nước quan tâm Đã có rất nhiều tài liệu đề cập tớiviệc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán, tuy nhiênviệc xác định nghiệm đúng của bài toán bằng phương pháp giải tích làkhó thực hiện, vì vậy người ta chú ý đến việc nghiên cứu các phươngpháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán bằng phương pháp chuyểnbài toán phi tuyến về một dãy các bài toán tuyến tính thông qua một sơ

đồ lặp, từ đó dựa trên phương pháp chuyển các bài toán vi phân tuyếntính về các bài toán sai phân được mô tả bằng các hệ phương trình đại

số sau đó xây dựng các phương pháp giải các hệ đại số tuyến tính Cóhai vấn đề cần quan tâm là cơ sở toán học của việc xây dựng các sơ đồlặp cùng với sự hội tụ của sơ đồ và các thuật toán giải các hệ phươngtrình sai phân với độ chính xác cao

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu cơ sở toán học của việc xây dựngcác sơ đồ lặp dựa trên dãy lặp đơn điệu và phương pháp dựa trên phươngtrình toán tử, tìm hiểu các thuật toán xây dựng và giải các hệ phươngtrình lưới từ đó cài đặt các chương trình tìm nghiệm xấp xỉ của bài toánphi tuyến tính cấp 4 được mô tả bằng các sơ đồ lặp thông qua các ví dụ

cụ thể

Luận văn “Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình viphân phi tuyến cấp 4” gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, kết luận

và tài liệu tham khảo

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về phươngpháp lưới, thuật toán truy đuổi giải hệ phương trình lưới và phương pháp

số giải bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với độchính xác cấp cao.

Chương 2: Phương pháp lặp giải bài toán biên cho phương trình viphân phi tuyến cấp bốn

Chương này, luận văn sẽ giới thiệu một số phương pháp lặp để tìmnghiệm gần đúng cho một số mô hình mô tả bởi phương trình vi phânphi tuyến bậc 4 bao gồm lý thuyết về phương pháp nghiệm trên vànghiệm dưới, phương pháp lặp dựa trên phương trình toán tử áp dụngcho trường hợp tổng quát

Chương 3: Một số kết quả thực nghiệm

Trong chương này luận văn đưa ra một số kết quả số để khẳng định tínhđúng đắn về lý thuyết đối với sự hội tụ của các sơ đồ lặp đã được đưa

ra trong Chương 2 Mô hình các bài toán được tham khảo trong các tàiliệu [5, 6] Các kết quả số được thực hiện bằng các chương trình trongmôi trường MATLAB trên máy tính PC

Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưngluận văn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định Kính mong

sự góp ý của các thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Vũ Vinh Quang.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới ngườihướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dànhnhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích chocông tác và nghiên cứu của bản thân Tác giả cũng xin được gửi lời cảm

ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Caohọc Toán K10A; Nhà trường và các phòng chức năng của trường, KhoaToán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quantâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình và các bạn đồng nghiệp đã

động viên, ủng hộ cũng như tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốtthời gian nghiên cứu và học tập.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018

Tác giả

Hà Hoàng Việt

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Nội dung chính của Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản vềphương pháp lưới, một số thuật toán giải số các phương trình vi phâncấp 1 và cấp 2 với hệ điều kiện đầu và điều kiện biên Các kiến thứctrình bày được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 7, 8]

1.1 Một số kiến thức cơ bản về phương pháp lưới

Cho khoảng [x0, X] Tìm hàm u = u(x) xác định trên [x0, X] và thỏamãn:

u0 = f (x, u), x0 ≤ x < X, (1.1)

u (x0) = η, (1.2)trong đó f (x, u) là một hàm cho trước và η là một số cho trước

Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm u = u(x) đủ trơn, nghĩa là nó cóđạo hàm liên tục đến cấp mà ta cần

1.1.1 Lưới sai phân

Ta chia đoạn [x0, X] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con có

độ dài h = (a − b)

N bởi các điểm xi = x0+ ih, i = 0, 1, , N Tập điểm

xi gọi là một lưới sai phân trên [x0, X] ký hiệu là Ωh

1.1.2 Hàm lưới

Giá trị của hàm lưới v tại nút xi viết là vi Một số hàm u(x) xácđịnh tại mọi x ∈ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới u có giá trị tại nút xi là

ui = u (xi)

vxi = vi− vi−1

h .

Ta sẽ thấy rằng khi h đủ bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàmthường

1.1.4 Quy ước viết vô cùng bé

Khái niệm xấp xỉ liên quan đến khái niệm vô cùng bé Để viết các vôcùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây:

Giả sử đại lượng ρ(h) là một vô cùng bé khi h → 0 Nếu tồn tại α > 0 vàhằng số M > 0 sao cho: | ρ (h) | 6 Mhα thì ta viết: ρ (h) = O (hα).Cách viết như trên có nghĩa là: Khi h nhỏ thì ρ(h) là một đại lượng nhỏ

và khi h → 0 thì ρ(h) tiến đến số 0 không chậm hơn M hα

1.1.5 Công thức Taylor

Giả sử F (x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1trong khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, ∆x có thể âm hay dương Khi

đó ta có công thức khai triển

tức là tồn tại hằng số K > 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho:

6 K(∆x)(m+1).Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:

1.1.6 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới

Giả sử hàm u(x) đủ trơn Theo công thức Taylor ta có:

u(xx + 1) = u(xi+ h) = u(xi) + hu0(xi) + O(h2)

Ta suy ra

ux i = u (xi+1) − u (xi)

0(xi) + O(h) (1.3)Tương tự:

u(x0i − 1) = u(xi− h) = u(xi) − hu0(xi) + O(h2)

Do đó:

uxi = u (xi) − u (xi−1)

0(xi) + O(h) (1.4)Ngoài ra với quy ước:



Ta còn có: u (xi+1) = u



xi+1

2 + h2



= uxi+1

2

+ h

2u

0xi+1

2

+ 12!

 h2

2

u00xi+1

2

+ O h3
,u(xi) = u



xi+1

2 − h2



= u



xi+1 2

 h2

2

u00



xi+1 2

+ O h3

u (xi+1) + u (xi)



xi+1 2

+ O h2
(1.6)

1.2 Phương pháp số giải bài toán Cauchy

Xét bài toán Cauchy, hay còn gọi là bài toán giá trị ban đầu: Tìmy(x) thỏa mãn điều kiện:

y0 = f (x, y), x0 ≤ x ≤ xy(x0) = y0, (y, f ∈ Rm) (1.7)

Ta quan tâm đến phương pháp tìm nghiệm của (1.7) tại điểm x1 = x0+hvới bước h > 0 Hai nhà toán học người Đức Runge và Kutta đã đề xuấtmột phương pháp tìm nghiệm y1, chỉ phải tính một hàm f (x, y) tại một

i+ O hs+1

Runge-Kutta chọn các hệ số αi, βij, prj từ điều kiện:

ϕ(i)r (0) = 0, (i = 0, s); ϕ(s+1)r (0) 6= 0,với s càng lớn càng tốt

Như vậy, ϕ(i)r (0) = y0(i) − hpr1k1(i)(0) + + prrkr(i)(0)i = 0, i = 0, s
,hay ta có phương trình phi tuyến để xác định các hệ số αi, βij, prj:

Để ϕ01(0) = 0 với mọi hàm f , ta phải có p11 = 1.

Với ϕ001(0) = y000 6= 0 và ∆y0 = p11k1(h) = hf (x0, y0) Ta nhận được côngthức Euler:

y1 = y0 + hf (x0, y0) (1.9)Nói chung yn+1 = yn+ hf (xn, yn) , xn = x0 + nh

+ Sai số địa phương của phương pháp:

y0(1) = p21k1(l)(0) + p22k(l)2 (0); l = 1, 2
(1.10)

Vì k1(h) = hf (x0, y0) nên k1(0) = 0; k10 (0) = f (x0, y0) và k001(0) = 0.Tiếp theo k2(h) = hf (ξ2, v2) trong đó ξ2 = x0+α2h; v2 = y0+β21k1(h)

Từ phương trình đầu của (1.11), suy ra: p21+ p22 = 1

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ (1.11), ta được:

Ngoài ra ta còn có: ϕ004(0) = ϕ0004 (0) = ϕ(4)4 (0) = 0 Kết quả là có 11phương trình đối với 10 ẩn: α2, α3, α4, β21, β31, β32, β41, β42, β43, p4i (i =

1.3 Phương pháp số giải bài toán biên cho phương

trình vi phân tuyến tính cấp 2 với độ chính xác cấp cao

1.3.1 Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo

X = (x0, x1, , xn)T: ẩn phải tìm D = (d0, d1, , dn)0: cột vế phải.Các hệ số của ma trận 3 đường chéo cần thỏa mãn các điều kiện sau

đây: |Ci| > |Ai| + |Bi| , i = 1, 2, , n trong đó tồn tại ít nhất một bấtđẳng thức chặt Hệ phương trình trên được gọi là hệ 3 đường chéo Đốivới hệ dạng đặc biệt này, chúng ta có thể tìm nghiệm của hệ bằng thuậttoán sau đây:

Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo

Ta đi tìm nghiệm của hệ (1.15) trong dạng:

xi = αi+1xi+1+ βi+1; i = 0, 1, 2, , n − 1, (1.16)trong đó αi+1, βi+1 được tìm từ điều kiện ràng buộc (1.16), là nghiệmcủa hệ (1.15) Thay (1.16) vào (1.15) và sử dụng đẳng thức:

xi−1 = αixi + βi = αi(αi+1xi+1+ βi+1) + βi

ta được: [αi+1(αiAi − Ci) + Bi] xi+1 + [(αiAi− Ci) Bi+1+ βiAi + di] =0; i = 1, 2, , n − 1

Nên αi+1(αiAi− Ci) + βi = 0, (αiAi− Ci) Bi+1+ βiAi+ di = 0

Từ đó ta có công thức truy hồi:

αi+1 = βi

(Ci − αiAi); Bi+1 =

βiAi + di(Ci− αiAi); i = 1, 2, , n − 1.

Anxn+1− Cnxn = −dn.Lại theo (1.16) ta có: xn−1 = αnxn+ βn

Loại trừ xn−1 từ hệ này, ta suy ra được: xn = βnAn+ dn

Cn − Anαn

Như vậy nghiệm của hệ (1.15) được tìm theo công thức:

xi = αi+1xi+1+ βi+1; i = 1, 2, , n − 1

Chúng ta có thể thấy rằng kết quả của thuật toán là O(n)

1.3.2 Phương pháp xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc caoXét bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f (x), x ∈ [a, b], cho trước(n + 1) mốc nội suy a = x0 < x1 < < xn = b Hãy tìm đa thức

Pn(x) = a0xn + a1xn−1+ + an thỏa mãn tính chất:

Pn(xi) = yi = f (xi); (i = 0, 1, 2, , n)

Ý nghĩa hình học của bài toán nội suy là: Hãy xây dựng đường cong đại

số y = Pn(x) đi qua tất cả các điểm cho trước (xi, yi)(i = 0, 1, 2, , n)

Về mặt toán học, chúng ta chứng minh được: Với hàm số f (x) xác địnhliên tục và các mốc nội suy tùy ý thì đa thức nội suy Pn(x) sẽ tồn tại

và duy nhất Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp xác định đathức nội suy Lagrange

Định nghĩa: Đa thức Lk(x) bậc n sẽ được gọi là nhân tử Lagrangethứ k nếu thỏa mãn điều kiện:

* Sử dụng khái niệm nhân tử Lagrange, chúng ta nhận được công thứcxác định đa thức nội suy Lagrange

Sử dụng lưới sai phân đều với bước lưới h = (b − a)

n bằng các mốc nộisuy a = x0 < x1 < < xn = b trong đó xi = a + ih, i = 0, 1, , n Xuấtphát từ công thức về đa thức nội suy Lagrange, ta sẽ thu được các côngthức tính xấp xỉ đạo hàm như sau:

Một số kết quả trong trường hợp lưới năm điểm:

Giả sử xét lưới năm điểm x0, x1, x2, x3, x4 cách đều

Ký hiệu: fk = f (xk) = f (x0 + kh), k = 0, 1, 2, 3, 4

f0(x0) = f0L00(x0) + f1L01(x0) + f2L02(x0) + f3L03(x0) + f4L04(x0) + O(h4),

f00(x0) = f0L000(x0) + f1L001(x0) + f2L002(x0) + f3L003(x0) + f4L004(x0) + O(h3)

Hoàn toàn tương tự, lần lượt xét tại các mốc nội suy x, x1, x2, x3, x4 ta

sẽ thu được các công thức tương ứng:

áp dụng đa thức nội suy Lagrange với số nút năm điểm.

* Hoàn toàn tương tự, chúng ta thu được các công thức tính xấp xỉ đạohàm bậc bốn với độ chính xác cấp một

vi phân với độ chính xác bậc cao

1.3.3 Lược đồ sai phân giải bài toán biên cho phương trình

cấp hai với độ chính xác bậc cao

Mô hình bài toán: Xét bài toán biên

trong đó c0, c1, d0, d1 > 0, c20 + c21 > 0, d20 + d21 > 0 là các hằng số tùy ý.Chia đoạn [a, b] bằng n + 1 điểm chia với bước lưới h = (b − a)

, i = 1, 2, , n − 1

Hệ có dạng thu gọn

ở đây U = (u0, u1, , un)T; F = (F0, F1, , Fn)T, ma trận hệ số của hệđược kí hiệu

* Trong trường hợp khi điều kiện biên có dạng Dirichlet u(a) = C; u(b) =

D, ta thu được lược đồ sai phân với đội chính xác cấp sáu (do khôngphải sai phân điều kiện biên)

* Ma trận của hệ phương trình không phải dạng ba đường chéo có tínhchất chéo trội, do đó hệ không giải được bằng thuật toán truy đuổi

Bổ đề 1.1: Hệ phương trình AU = F qua hữu hạn phép toán biếnđổi luôn chuyển hệ về dạng ba đường chéo có tính chất chéo trội

Bước 1: Nhân phương trình thứ tư với số K1 = −a0,4

a3,4 sau đó cộng vàophương trình thứ nhất của hệ Qua phép biến đổi ta thu được a0,4 = 0

Hoàn toàn tương tự, nhân phương trình thứ n−2 với số K2 = − an,n−4

sau đó cộng vào phương trình thứ nhất của hệ Qua phép biến đổi tathu được an,n−4 = 0

Bước 2: Biến đổi tương tự, ta thu được a0,3 = 0; an,n−3 = 0

Bước 3: Biến đổi tương tự, ta thu được a0,2 = 0; an,n−2 = 0

Trong các phép biến đổi trên, các thành phần F0, Fn cũng nhận đượcgiá trị thay đổi theo từng bước biến đổi Cuối cùng, sau ba bước biếnđổi, ta nhận được hệ phương trình tương đương trong đó ma trận của

hệ có dạng ba đường chéo với các số hạng được xác định như sau:

|a0,0| > |a0,1| , |an,n| > |an−1,n| , |ai,i| = |ai,i−1| + |ai,i+1| , ∀i = 1, 2, , n − 1tức là hệ thu được là hệ phương trình đại số dạng ba đường chéo có tínhchất chéo trội

Để kiểm tra độ chính xác của lược đồ đã xây dựng, chúng ta kí hiệu

ud là nghiệm đúng của bài toán, u là nghiệm xấp xỉ thu được khi giải

hệ phương trình sai phân, ε = kud− uk∞ là sai số giữa nghiệm đúng vànghiệm xấp xỉ trên toàn lưới sai phân, sử dụng thuật toán truy đuổi bađường chéo giải hệ phương trình sai phân Kết quả kiểm tra độ chínhxác của lược đồ được đưa ra trong các Bảng 1.1 và Bảng 1.2

Giá trị sai số ε trên từng lưới điểm c0 = 1; c1 = 0; d0 = 1; d1 = 0

Kết luận: Bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai luôn luôntìm được nghiệm xấp xỉ với độ chính xác cấp bốn bằng thuật toán truyđuổi ba đường chéo với độ phức tạp tính toán O(n).

Chương 2

Phương pháp lặp giải bài toán

biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn

Trong chương này, luận văn sẽ giới thiệu một số phương pháp lặp đểtìm nghiệm gần đúng cho một số mô hình mô tả bởi phương trình viphân phi tuyến bậc 4 bao gồm lý thuyết về phương pháp nghiệm trên

và nghiệm dưới và phương pháp lặp dựa trên phương trình toán tử ápdụng cho trường hợp tổng quát Nội dung được tham khảo trong các tàiliệu [4, 5, 6]

2.1 Mô hình bài toán phi tuyến tổng quát

Chúng ta xét mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều kiện biênđầy đủ

trong đó f là hàm số vế phải liên tục với tất cả các biến số a0, a1, b0, b1, c0,

c1, d0, d1, A, B, C, D là các hằng số mô tả giá trị điều kiện biên tại haiđiểm đầu mút Trong thực tế, có nhiều mô hình cơ học được mô tả bằngbài toán phi tuyến trên tùy theo các giá trị của các hằng số Mô hìnhtrên chính là mô hình phi tuyến cấp 4 phức tạp nhất Giả sử hàm f thỏamãn các giả thiết để phương trình tồn tại và duy nhất nghiệm Luậnvăn sẽ nghiên cứu lý thuyết và mô hình một số phương pháp lặp tìmnghiệm gần đúng của mô hình trên trong một số trường hợp cụ thể

2.2 Mô hình bài toán phi tuyến cấp 4 với hệ điều

kiện biên thuần nhất

u(4)(x) = f (x, u(x), u00(x)), 0 < x < 1u(0) = u(1) = u00(0) = u00(1) = 0 (2.2)Tại đó f : [0, 1]× R2 liên tục

Bài toán mô tả mô hình cho việc cân bằng uốn của một dầm chịu lựctrên nền đàn hồi, có hai đầu cố định đơn giản Bài toán đã thu hút sựchú ý của rất nhiều tác giả bởi tầm quan trọng của nó trong cơ học Đốivới bài toán trên, năm 1986 tác giả Aftabizadeh đã thiết lập sự tồn tạinghiệm với điều kiện hàm f (x, u, v) được xác định trong miền [0, 1]×

R2 Năm 1997, tác giả R.Y Ma cùng các cộng sự đã xây dựng phươngpháp xác định nghiệm trên và nghiệm dưới của bài toán với điều kiệnhàm f thỏa mãn tính chất tăng theo u và giảm theo v Trong phần này,luận văn nghiên cứu phương lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán thuầnnhất lặp

2.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Đặt

ϕ = f (x, u, u00), v = u00 (2.3)Khi đó bài toán bậc 4 được chuyển thành hai bài toán bậc 2:

(

v00 = ϕ, 0 < x < 1v(0) = v(1) = 0 (2.4)

(

u00 = v, 0 < x < 1u(0) = u(1) = 0 (2.5)

Rõ ràng, nghiệm v và u của hai bài toán phụ thuộc vào ϕ, tức là v = v(ϕ),

u = u(ϕ) Vì vậy chúng ta thu được kết quả

|f (x, u2, v2) − f (x, u1, v1)| 6 Aϕ (2.6)Trong đó:

(Aϕ)(x) = f (x, u(ϕ), v(ϕ)) (2.7)

Chúng ta sẽ nghiên cứu 2 bài toán (2.1) và (2.2) thông qua phương trình(2.6).

Bổ đề 2.1: Đối với hai bài toán (2.4) và (2.5), ta có những khẳngđịnh sau:

kvk 6 1

8kϕk ; kuk 6 1

64 kϕk (2.8)Trong đó k.k là chuẩn trong C[0, 1]

Nếu ϕ(x) ≥ 0/[0, 1] thì −kϕk

8 6 v(x) 6 0 và 0 6 u(x) 6 kϕk

64 /[0, 1].Chứng minh: Đặt G(x, t) là hàm Green của bài toán (2.4) và (2.5)

Có dạng như sau:

G(x, t) =

(x(1 − t), 0 6 x 6 t 6 1,t(1 − x), 0 6 t 6 x 6 1

Hiển nhiên G(x, t) ≥ 0 trong cả 0 ≤ x, t ≤ 1 và có ước lượng

Như vậy, với mỗi M ≥ 0, ta ký hiệu tập hợp:

DM =

(x, u, v)

0 6 x 6 1; |u| 6 M

64, |v| 6 M

8

 (2.10)

Là hình cầu B[O, M ] với tâm O bán kính M trong không gian liên tụcC[0, 1].

Định lý 2.1: Giả sử rằng tồn tại số M, L1, L2 ≥ 0 sao cho:

|f (x, u, v)| 6 M; ∀(x, u, v) ∈ DM (2.11)

|f (x, u2, v2) − (x, v1, u1)| 6 L1|u2 − u1| + L2|v2 − v1| (2.12)Với mọi x, u1, v1 ∈ DM, i = 1, 2

q := 1

64(L1+ 8L2) 6 1 (2.13)Khi đó bài toán có nghiệm duy nhất u(x) ∈ C Ω
thỏa mãn điều kiệnkuk 6 M

co trong B[0, M ] Thật vậy, với mỗi ϕ1, ϕ2 ∈ B[O, M ] xác định bởi

v1, u1, v2, u2 là nghiệm của bài toán (2.4) - (2.5) với i = 1,2

Phương pháp lặp giải tốn

biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn

Trong chương này, luận văn giới thiệu số phương pháp lặp đểtìm nghiệm gần cho số mơ... β32, β41 , β42 , β43 , p4i (i =

1.3 Phương pháp số giải tốn biên cho phương< /h3>

trình vi phân tuyến tính cấp với độ xác cấp cao... tả phương trình viphân phi tuyến bậc bao gồm lý thuyết phương pháp nghiệm

và nghiệm phương pháp lặp dựa phương trình tốn tử ápdụng cho trường hợp tổng quát Nội dung tham khảo tàiliệu [4,