Một số vấn đề về đường đối trung trong tam giác

Nó có một số tính chấthình học thú vị như: đường đối trung chia cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề; đường đối trung xuất phát từ một đỉnh củatam giác và đi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

ĐỖ NGỌC BÍCH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG

TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 6/2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

ĐỖ NGỌC BÍCH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG

TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TRẦN VIỆT CƯỜNG

Thái Nguyên, 6/2018

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Một số định lý trong hình học 3

1.1.2 Đường đối song 7

1.1.3 Đường đẳng giác 8

1.2 Đường đối trung 14

1.2.1 Định nghĩa và cách dựng 14

1.2.2 Một số tính chất 17

Chương 2 Một số ứng dụng của đường đối trung 22 2.1 Bài toán chứng minh quan hệ bằng nhau 22

2.2 Bài toán liên quan đến yếu cố cố định 31

2.3 Bài toán chứng minh đồng quy 39

2.4 Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng 41

2.5 Bài toán chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn 45

2.6 Một số bài toán khác 47

Danh mục ký hiệu

SABC Diện tích tam giác ABC

(ABCD) = −1 A, B, C, D là hàng điểm điều hòa

O(ABCD) = −1 OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa

d(L; AB) Khoảng cách từ điểm L tới đường thẳng AB

AB k CD Đường thẳng AB song song với CD

4ABC ∼ 4DEF Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF

Danh sách hình vẽ

1.1 Định lý Menelaus 4

1.2 Định lý Pascal 4

1.3 AP BQ là tứ giác điều hòa 6

1.4 M N là đường đối song với BC 7

1.5 AM và AH là hai đường đẳng giác 8

1.6 AO và AH là hai đường đẳng giác 9

1.7 AD và AE là hai đường đẳng giác 9

1.8 d1 và d2 là hai đường đẳng giác 11

1.9 A1, A2, B1, B2 cùng nằm trên một đường tròn 12

1.10 AD là đường đối trung 14

1.11 AM và AD đẳng giác 16

1.12 AN là đường đối trung của tam giác ABC 17

1.13 AQ là đường đối trung 19

1.14 AQ là đường đối trung của tam giác ABC 21

2.1 AD là đường đối trung của tam giác ABC 23

2.2 AM là trung tuyến của tam giác ABC 24

2.3 AF là đường đối trung của tam giác ABC 26

2.4 AA0 là trung tuyến của tam giác AB0C0 28

2.5 Đường đối song DM và DN bằng nhau 28

2.6 Đường đối song P N và QM bằng nhau 29

2.7 A0 là trung điểm BC 30

2.8 D đối xứng với A qua KM 31

2.9 R không phụ thuộc vào đường tròn Γ 32

2.10 R không phụ thuộc vào đường tròn Γ 33

2.11 M C đi qua trung điểm N P 34

2.12 Q luôn nằm trên đường đối trung từ góc A 36

2.13 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A0B0C0 luôn nằm trên AL 38 2.14 I luôn nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại H 39

2.15 AD, BN, CM đồng quy 41

2.16 S, A, H thẳng hàng 42

2.17 BE chia đôi AC 43

2.18 Đường tròn Lemoine thứ nhất 45

2.19 Đường tròn Lemoine thứ hai 46

2.20 Tứ giác EF N P nội tiếp 47

2.21 L là trọng tâm tam giác P QR 48

2.22 Các tiếp tuyến với (O) tại A, C và BD đồng quy tại S 49

2.23 CD = 3F P 51

2.24 AO là đường đối trung của tam giác BAD 52

2.25 Tam giác ABC có đường đối trung AS 55

2.26 AD là đường đối trung, AM là trung tuyến 56

2.27 AH là đường cao của tam giác ABC 57

2.28 AD là đường đối trung ngoài của tam giác ABC 59

Mở đầu

Trong nội dung Hình học ở bậc phổ thông, tam giác có một vai trò đặc biệt.Việc chứng minh các tính chất hình học, giải bài toán hình học đòi hỏi chúng

ta phải vận dụng những kiến thức về tam giác một cách linh hoạt

Trong tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đườngphân giác trong được gọi là đường đối trung của tam giác Đường đối trung làmột trong những vấn đề hấp dẫn của hình học phẳng Nó có một số tính chấthình học thú vị như: đường đối trung chia cạnh đối diện thành những phần tỉ

lệ với bình phương các cạnh kề; đường đối trung xuất phát từ một đỉnh củatam giác và đi qua giao điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp củatam giác tại hai đỉnh kia; Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại mộtđiểm Vận dụng những tính chất này, ta có thể giải được nhiều bài toán hìnhhọc thú vị

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đường đối trung, chúng tôi lựachọn đề tài “Một số vấn đề về đường đối trung trong tam giác” dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Trần Việt Cường

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm haichương

Chương 1 Một số vấn đề đường đối trung Ngoài việc trình bày một

số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến trong đề tài, chương này được chúngtôi giành để trình bày định nghĩa, cách dựng và cùng một số tính chất thú vịcủa đường đối trung Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảo cáctài liệu [2, 3, 1, 7, 9]

Chương 2 Một số ứng dụng của đường đối trung Trong chương này,chúng tôi áp dụng các tính chất của Đường đối trung trong quá trình giải một

số bài toán hình học phẳng Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảocác tài liệu [2, 3, 1, 5].

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS.Trần Việt Cường Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đápcác thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡtác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo khoaToán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạođiều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, lãnh đạo Trường Trunghọc phổ thông Vũ Văn Hiếu, Hạ Long, Quảng Ninh đã động viên, cổ vũ, tạođiều kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Cuối cùng, tác giả xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiêncứu

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018

Người viết luận văn

Đỗ Ngọc Bích

Chương 1

Một số vấn đề về đường đối trung

Chương 1, trình bày một số kiến thức chuẩn bị như hai đường thẳng đẳnggiác trong tam giác, đường đối song của một cạnh tam giác và trình bày địnhnghĩa, cách dựng và cùng một số tính chất thú vị của đường đối trung Các nộidung được trình bày trên cơ sở tham khảo các tài liệu [1, 2, 3, 7, 9]

1.1.1 Một số định lý trong hình học

Định lý 1.1.1 (Định lý Thales, [2]) Nếu một đường thẳng song song với mộtcạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó nhữngđoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Định lý 1.1.2 (Định lý Menelaus, [2]) Cho tam giác ABC D, E, F lần lượtnằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho ba điểm có một số chẵn điểmthuộc cạnh tam giác ABC Khi đó, D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

F A

F B · DB

DC · EC

EA = 1.

Hình 1.1: Định lý Menelaus

Định lý 1.1.3 (Định lý Pascal, [2]) Cho sáu điểm bất kỳ trên một conic (elip,parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng.Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal

Hình 1.2: Định lý Pascal

Định lý 1.1.4 (Định lý Ceva, [2]) Cho tam giác ABC và ba đường thẳng

AA0, BB0, CC0 xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứacạnh đối diện tại A0, B0, C0 sao cho: hoặc cả ba điểm A0, B0, C0 đều nằm trên bacạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giáccòn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại Điều kiện cần và

đủ để AA0, BB0, CC0 đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức:

đoạn thẳng AA0, BB0, CC0 gọi là các đoạn thẳng Ceva; Giao điểm của cácđường thẳng Ceva gọi là điểm Ceva Từ định lý Ceva, có thể suy ra rằng:Trong một tam giác ABC:

1 Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác)

2 Ba đường phân giác đồng quy (tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác)

3 Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác)

4 Ba đường trung trực đồng quy (tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).Dạng lượng giác của định lý Ceva như sau:

sin ∠ABB0sin ∠CBB0 ·

sin ∠BCC0sin ∠ACC0 ·

sin ∠CAA0sin ∠BAA0 = 1.

2 IA2 = IC · ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton)

3 Gọi J là trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin).Cho hàng điểm điều hòa (ABCD) = −1 và O nằm ngoài hàng điểm điềuhòa trên Khi đó ta gọi bốn tia OA, OB, OC, OC là một chùm điều hòa và kíhiệu O(ABCD) = −1 Cho O(ABCD) = −1 Một đường thẳng bất kì cắt cáccạnh OA, OB, OC, OD lần lượt tại E, F, G, K, khi đó ta có (E, F, G, K) = −1

Định nghĩa 1.1.6 ([4]) Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn AB

AD =

CBCDđược gọi là tứ giác điều hòa

Định lý 1.1.7 Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn M A

và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O) Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và

Q Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa (Hình 1.3)

Hình 1.3: AP BQ là tứ giác điều hòa.

Chứng minh Ta có 4QAM ∼ 4AP M vì ta có AM2 = P M · M Q (theo địnhnghĩa phương tích của đường tròn) Do đó, ta có

Do đó, theo định nghĩa ta có AP BQ là tứ giác điều hòa

Tứ giác điều hòa có một số tính chất như sau:

1 ABCD là tứ giác điều hòa thì AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD

2 Xét tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và D cắt nhautại M, I là giao điểm của AC và BD Khi đó, (M IAC) = −1

3 Xét tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp O, gọi M là giao của hai tiếp tuyếncủa (O) tại B và D Gọi I là giao điểm của OM và BD Khi đó, IB làphân giác của góc AIC

1.1.2 Đường đối song

Định nghĩa 1.1.8 ([7]) Một cát tuyến cắt hai cạnh AB, AC của tam giácABC theo thứ tự tại M , N Nếu ∠AMN = ∠ACB thì ta nói rằng MN đốisong với BC

Hình 1.4: M N là đường đối song với BC

Hệ quả 1.1.9 ([7])

1) Nếu tứ giác CBM N nội tiếp thì M N đối song với BC và ngược lại.2) Nếu M N đối song với BC thì M N cũng đối song với mọi đường thẳngsong song với BC

3) Nếu từ M kẻ cát tuyến M P sao cho ∠BM P = ∠ACB thì MP đối songvới AC

Vậy, từ một điểm trên một cạnh của một tam giác, có thể kẻ được haiđường thẳng lần lượt đối song với hai cạnh còn lại của tam giác

4) Một cát tuyến vuông góc với cạnh huyền của một tam giác vuông thì đốisong với cả hai cạnh của góc vuông

Đặt biệt, đường cao tương ứng với cạnh huyền đối song với cả hai cạnhgóc vuông

1.1.3 Đường đẳng giác

Định nghĩa 1.1.10 ([3]) Cho góc ∠xOy Ta nói hai đường thẳng d1 và d2 làcác đường đẳng giác trong góc đã cho nếu chúng cùng đi qua đỉnh O và đốixứng với nhau qua phân giác của góc đó

Ví dụ 1.1.11

(a) Một trường hợp tầm thường là: Đường phân giác là đẳng giác với chínhnó

(b) Trong một tam giác vuông, đường cao và đường trung tuyến xuất phát

từ đỉnh góc vuông là hai đường đẳng giác

Hình 1.5: AM và AH là hai đường đẳng giác

Thật vậy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường phân giác

AD, trung tuyến AM (Hinh 1.5) Ta có

\

M AC = \M CA = \HAB

\DAC = \DAB (AD là phân giác)

⇒ \M AD = \DAHVậy AM và AH đối xứng nhau qua AD hay AM và AH là hai đường đẳnggiác

(c) Nếu tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) thì AO và đường cao

AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC(Hình 1.6)

Hình 1.6: AO và AH là hai đường đẳng giác

Chú ý 1.1.12 Góc giữa các đường đẳng giác với hai cạnh của góc đã cho làbằng nhau Cho nên nói hai đường thẳng đẳng giác là đối với đường phân giáchoặc đối với hai cạnh của góc

Định lý 1.1.13 (Định lý Steiner, [8]) Cho tam giác ABC và hai điểm D, Etrên cạnh BC Khi đó, AD và AE là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC khi

Hình 1.7: AD và AE là hai đường đẳng giác

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử AD và AE là hai đường đẳng giác của góc

∠BAC, AH là đường cao Ta có

BE

EC =

AB · sin ∠BAE

Mặt khác, do AD, AE là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC nên ta có

∠BAD = ∠EAC, ∠DAC = ∠BAE

Từ đây kết hợp với (1.4) và (1.5), ta thu được ngay đẳng thức (1.3)

Điều kiện đủ Giả sử AD, AE thỏa mãn (1.3), ta chứng minh AD và AE là haiđường đẳng giác ứng với góc A Vẽ AD0 là đường đẳng giác của AE, D0 ∈ BC.Khi đó, ta có hệ thức

DC =

BD0

D0C Suy ra D ≡ D

0, tức AD và AE là haiđường đẳng giác

Nhận xét 1.1.14 Định lý 1.1.13 cho ta tiểu chuẩn để kiểm tra hai đườngthẳng có là đường đẳng giác của một góc hay không

Định lý 1.1.15 ([3]) Cho góc∠xOy và đường thẳng d1 qua O, A là một điểmbất kỳ trên d1 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên Ox, Oy Khi đó,đường thẳng d2 là đường đẳng giác của d1 ứng với góc ∠xOy khi và chỉ khi d2qua O và vuông góc với HK

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử d2 là đường đẳng giác của d1, ta sẽ chứngminh d2 ⊥ HK Ta có OHAK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OAnên

∠AOH = ∠AKH

Mặt khác, do d1 và d2 là đẳng giác nên ta có ∠KOB = ∠AOH Do đó, ta có

∠KOB = ∠AKH

Hình 1.8: d 1 và d 2 là hai đường đẳng giác

Vì ∠AKH + ∠HKO = 90◦ nên ta có ∠KOB + ∠HKO = 90◦, từ đó suy ra

OB ⊥ HK

Điều kiện đủ Giả sử d2 đi qua O và vuông góc với KH, ta sẽ chứng minh d2 làđường đẳng giác của d1 Gọi d0 là đường đẳng giác của d1 ứng với góc ∠xOy.Theo phần điều kiện cần, ta có d0 ⊥ HK, suy ra d0 trùng d2 Vậy d2 là đườngđẳng giác của d1

Hệ quả 1.1.16 Cho góc ∠xOy và đường thẳng d1 qua O, A là một điểm bất

kỳ trên d1 Gọi A0 và A01 lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox và Oy Khi

đó, đường trung trực của đoạn A0A01 là đường đẳng giác của OA

Định lý 1.1.17 ([3]) Cho góc ∠xOy A và B là hai điểm sao cho OA và OB

là hai đường đẳng giác ứng với góc ∠xOy A1 và A2 lần lượt là hình chiếu của

A lên Ox và Oy và B1, B2 lần lượt là hình chiếu của B trên Ox, Oy Khi đó,

ta có các điều sau:

(a) Bốn điểm A1, A2, B1, B2 cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trungđiểm của AB

(b) AA1· BB1 = AA2· BB2

Hình 1.9: A1, A2, B1, B2 cùng nằm trên một đường tròn

Chứng minh (a) Ta có

OA1 = OA cos ∠AOA1, OB1 = OB cos ∠BOB1và

OA2 = OA cos ∠AOA2, OB2 = OB cos ∠BOB2

Vì OA và OB là hai đường đẳng giác nên ∠AOA1 = ∠BOB2 và ∠AOA2 =

∠BOB1 Suy ra OA1 · OB1 = OA2 · OB2 Do đó, bốn điểm A1, A2, B1 và B2cùng thuộc một đường tròn Hơn nữa, tâm của đường tròn này chính là trungđiểm của AB

(b) Ta có

AA1 = OA sin ∠AOA1, AA2 = OA sin ∠AOA2và

BB1 = OB sin ∠BOB1, BB2 = OB sin ∠BOB2

Vì OA và OB là hai đường đẳng giác nên ∠AOA1 = ∠BOB2 và ∠AOA2 =

∠BOB1 Suy ra AA1 · BB1 = AA2 · BB2

Định lý 1.1.18 ([3]) Trong một tam giác, những đường thẳng đẳng giác với

bộ đường thẳng Ceva cũng là một bộ ba đường thẳng Ceva

Chứng minh Gọi AA0, AA00; BB0, BB00; CC0, CC00 là những cặp đường thẳngđẳng giác Theo định lý Steiner, ta có

và X0, Y0, Z0 lần lượt là các hình chiếu của P0 trên các cạnh BC, AC, AB Khi

đó, sáu điểm X, Y, Z, X0, Y0, Z0 cùng nằm trên một đường tròn

Định lý 1.1.22 ([3]) Trong một tam giác, chân các đường cao và trung điểmcác cạnh thì cùng thuộc một đường tròn, còn gọi là đường tròn Euler, tâm đườngtròn chính là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tậm và tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác

1.2 Đường đối trung

1.2.1 Định nghĩa và cách dựng

Định nghĩa 1.2.1 ([5]) Trong một tam giác, đường đẳng giác với trung tuyếnxuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác

Ví dụ 1.2.2 Trong một tam giác vuông, đường cao xuất phát từ đỉnh chính

là đường đối trung

Định lý 1.2.3 ([5]) Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC có tâm O Cho D là giao điểm của hai đường tiếp tuyến của (O) tạiđiểm B và C Khi đó AD là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh thứ nhất Ký hiệu M0 là giao của đường đẳng giác của AD với

BC (Hình 1.10) Khi đó, ta có

BM0

M0C =

AM0 sin ∠BAMsin ∠ABC0

AM0 sinsin ∠ACB∠CAM0 =

sin ∠BAM0sin ∠ACD

sin ∠ABDsin ∠CAM0

= sin ∠CADsin ∠ACD

sin ∠ABDsin ∠BAD =

CDAD

AD

BD = 1.

Do đó, AM0 là đường trung tuyến Vì vậy AD là đường đối trung

Hình 1.10: AD là đường đối trung

Chứng minh thứ hai Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

và ký hiệu ω là đường tròn có tâm tại D với bán kính BD Ký hiệu P và Qlần lượt là giao điểm của AB và AC với ω Xét tam giác ABQ, ta có ∠P BQ

là góc ngoài của ∠ABQ nên ta có

Từ (1.6) và (1.7), suy ra ∠ABC = ∠AQP

Tương tự, ta có ∠ACB = ∠AP Q Suy ra hai tam giác ABC và AQP đồngdạng

Hình 1.11: AM và AD đẳng giác

Nếu M là trung điểm của BC và D là trung điểm của QP , tính đồng dạngkéo theo ∠BAM = ∠QAD Từ đó, suy ra AM là phản xạ của AD qua đườngphân giác

Nhận xét 1.2.4 Định lý 1.2.3 cho ta cách dựng đường đối trung một tamgiác thông qua việc tìm giao điểm của hai tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Đểtìm đường đối trung góc A của tam giác ABC, đầu tiên ta dựng đường trònngoại tiếp tam giác ABC, sau đó dựng tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm

B và C Gọi giao điểm của hai tiếp tuyến này là D Khi đó ta có AD là đườngđối trung của tam giác

Mệnh đề 1.2.5 ([8]) Cho tam giác ABC Trên đường thẳng AB lấy một điểm

D và trên đường thẳng AC là một điểm E sao cho DE là đường đối song của

BC thì trung tuyến của tam giác ADE là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh Vì DE là đường đối song của BC nên ta có ∠ADE = ∠ACB và

∠AED = ∠ABC Suy ra tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED Gọi M

là trung điểm của BC, gọi N là trung điểm của ED Do tính đồng dạng của4ABC và ∠AED, kéo theo ∠MAC = ∠NAD Vậy AN đẳng giác với AM.Hay AN là đường đối trung ứng với A của tam giác ABC

Hình 1.12: AN là đường đối trung của tam giác ABC

Nhận xét 1.2.6 Từ mệnh đề trên ta thấy, để dựng đường đối trung ứng vớiđỉnh A của tam giác ABC, ta tìm đường đối song DE của cạnh đối diện BC,khi đó đường thẳng AN đi qua trung điểm của N của DE là đường đối trungcủa tam giác Đó chính là cách 2 đường đối trung của tam giác

Hệ quả 1.2.7 ([8]) Đường đối trung ứng với đỉnh A của tam giác ABC làquỹ tích các trung điểm của các đường đối song với BC bị chặn bởi AB và AC.Chứng minh Trung điểm của đường đối song ứng với BC bị chặn bởi AB và

AC nằm trên trung tuyến của tam giác hợp bởi đỉnh A và đường đối song Nêntheo định lý trên, trung điểm này sẽ nằm trên đường đối trung ứng với đỉnh

A Vậy quỹ tích các trung điểm này chính là đường đối trung

sin ∠DAC =

AB

AC.4) DH

DK =

AB

AC (H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC).

5) A, D, P thẳng hàng, trong đó P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ cácđỉnh B và C của đường tròn (O).

Chứng minh Tính chất thứ hai phát biểu rằng đường đối trung chia trongcạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề Áp dụngđịnh lý Steiner 1.1.13 cho trường hợp E là trung điểm của BC ta suy ra sựtương đương của 1) và 2)

sin ∠ABCsin ∠ACB

DBDC

= ACAB

DB

DC =

ACAB

AB2

AC2 = AB

AC.

Ta suy ra sự tương đương của 2) và 3)

Với H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC, ta có

sin ∠DAB = DH

AD, sin ∠DAC = DK

AD.Suy ra

DH

DK =

sin ∠DABsin ∠DAC =

AB

AC.Vậy 3) và 4) là tương đương nhau

Sự tương đương của 1) và 5) được suy ra từ cách dựng đường đối trung ởphần trên

Định lý 1.2.9 ([2], [8]) Các đường đối trung giao nhau tại một điểm, gọi làđiểm Lemoine

Chứng minh Đây là một trường hợp riêng của Định lý 1.1.18 Vì các đườngtrung tuyến giao nhau tại một điểm nên các đường đẳng giác của chúng là cácđường đối trung cũng giao nhau tại một điểm

Hệ quả 1.2.10 Nếu L là điểm Lemoine của tam giác ABC, thì

trong đó a, b, c lần lượt là độ dài của BC, CA, AB

Định lý 1.2.11 ([2], [8]) Đường đối trung là quỹ tích các điểm mà khoảngcách đến hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với các cạnh đó

Chứng minh Gọi P là một điểm của quỹ tích, tức là một điểm mà các khoảngcách P I, P H đến hai cạnh AB, AC thỏa mãn điều kiện

P I

P H =

c

b.

Hình 1.13: AQ là đường đối trung

Gọi Q là giao điểm của AP với BC Từ Q kẻ những đường thẳng QM vuônggóc với AB, QN vuông góc với AC Ta có

SABQ

SAQC =

BQ

QC.

Vậy, BQ

QC =

c2

b2 Điều này chứng tỏ AQ là một đường đối trung

Đảo lại, lấy một điểm P0 bất kì trên đường đối trung AQ Kẻ P0I0 ⊥ AB

và P0H0 ⊥ AC Ta phải chứng minh

P0I0

P0H0 =

c

b.Thật vậy, vì AQ là một đường đối trung, nên ta có

SABQ

SAQC =

AB · QM

AC · QNnên ta có

Chứng minh Đường tròn (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại

D, E0, F0 Gọi P là giao điểm của đường thẳng E0F0 và đường thẳng BC Dễthấy IP vuông góc với AD Mặt khác, theo giả thiết ta có OI vuông góc với

AD nên ba điểm O, I, P thằng hàng hay OP vuông góc với AD Nên P A là

tiếp tuyến của đường tròn (O) Hay P A là đường đối trung ngoài của tam giác.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến E0F0P ta được:

Suy ra AD là đường đối trung của tam giác ABC

Mệnh đề 1.2.13 ([8]) Cho M N là đường thẳng song song với cạnh BC củatam giác ABC, với M nằm trên cạnh AB và N nằm trên cạnh AC Các đường

BN và CM giao nhau tại P Đường tròn ngoại tiếp tam giác BM P và CN Pgiao nhau tại hai điểm phân biệt P và Q Khi đó AQ là đường đối trung củatam giác ABC

Hình 1.14: AQ là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh Ta có ∠BQM = ∠BP M = ∠CP N = ∠CQN và ∠MBQ =

∠CP Q = ∠CNQ Do đó, tam giác BQM và NQC đồng dạng Suy ra, ta có

d(Q, AB)d(Q, AC) =

d(Q, M B)d(Q, N C) =

BM

CN =

AB

AC.Vậy AQ là đường đối trung

ba điểm thẳng hàng, bài toán về điểm cố định, đường thẳng cố định, Các nộidung được trình bày trên cơ sở tham khảo các tài liệu [1, 2, 3, 5].

Bài toán 2.1.1 ([1]) Cho tam giác ABC và điểm D nằm trên cạnh BC.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt lại AC tại E và đường tròn ngoạitiếp tam giác ACD cắt lại AB tại F Chứng minh rằng DE = DF khi và chỉkhi AD là đường đối trung của tam giác ABC

Giải Do tứ giác AF DC nội tiếp nên ∠F DB = ∠BAC

Suy ra tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC

Tương tự, do tứ giác ABDE nội tiếp nên ∠EDC = ∠BAC

Suy ra tam giác CED đồng dạng với tam giác CBA Ta thu được DE

AB =

DC

AC.

Hình 2.1: AD là đường đối trung của tam giác ABC

EC

BC =

DEABvà

BF

BC =

DF

AC.Suy ra

Bài toán 2.1.3 ([1]) Cho tam giác ABC và AD là đường đối trung của tamgiác ABC (D nằm trên cạnh BC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt

AC tại E và đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt AB tại F Chứng minhrằng đường thẳng EF song song với đường thẳng BC

Chứng minh Vì AD là đường đối trung nên theo Nhận xét 2.1.2, ta có EC

AC =BF

Chứng minh Gọi I là giao điểm của AP với EF , gọi M là giao điểm của APvới BC Vì AD là đường đối trung nên theo Nhận xét 2.1.2, ta có EF k BC

Hình 2.2: AM là trung tuyến của tam giác ABC

Ta có

F I

BM =

EFBC



= AFAB

AD là đường đối trung của tam giác ABC.

Chứng minh Theo phần chứng minh của Bài toán 2.1.1, ta có

BF

BC =

DFACvà

EC

BC =

DE

AB.Suy ra

Bài toán 2.1.6 ([1]) Cho tam giác ABC và D là điểm nằm trên cạnh BC.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt AC tại E và đường tròn ngoại tiếptam giác ACD cắt AB tại F Chứng minh rằng nếu EF song song với BC thì

∠DAB = ∠P AC trong đó P là giao điểm của đường thẳng BE và CF

Chứng minh Vì EF song song BC nên theo Bài toán 2.1.5, AD là đường đốitrung của tam giác Theo Bài toán 2.1.4, AP đi qua trung điểm của BC Vậy

AD và AP là những đường đẳng giác góc ∠BAC Từ đó, suy ra ∠DAB =

Hình 2.3: AF là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh Ta thấy rằng HK là đường đối song của BC nên để chứng minh

AF qua trung điểm của HK thì ta chỉ cần chứng minh AF là đường đối trungcủa tam giác ABC

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABF và tam giác ACF, ta có

AB

AF =

sin ∠AF Bsin ∠ABF =

sin ∠AF C

Do D, E thuộc trung tuyến AM nên ta có

sin ∠DABsin ∠EAC =

∠BF C = ∠F DE + ∠F ED (góc ngoài tại F của tam giác F DE)

= 2∠BAD + 2∠EAC (góc ngoài tại D và tại E của tam giác F DE)

= 2∠BAC,

và

∠AF B + ∠AF C + ∠BF C = 360◦.Kết hợp với trên, ta được

∠AF B = ∠AF C = 180◦ − ∠BAC

Như vậy, ta có

∠F AC + ∠F CA = 180◦ − ∠AF C = ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD

Do ∠F CA = ∠CAD nên ∠F AC = ∠BAD

Vậy AF là đường đối trung của tam giác ABC Từ đó suy ra điều cần chứngminh

Bài toán 2.1.8 ([2]) Trong một tam giác, bất cứ đường thẳng đối song nàocủa một cạnh cũng đều bị đường đối trung tương ứng với cạnh đó chia đôi

Chứng minh Giả sử AA0 là một đường đối trung của tam giác ABC Lấy trên

AC và AB những đoạn thẳng AB0 = AB và AC0 = AC Ta có hai tam giácABC và AB0C0 bằng nhau Đường đối trung AA0 của tam giác ABC (ban đầuhợp với cạnh AB một góc α) thì bây giờ hợp với cạnh AC0 của tam giác AB0C0cũng góc α, tức là đẳng giác với đường đối trung của chính tam giác AB0C0

Hình 2.4: AA0 là trung tuyến của tam giác AB0C0

Do đó AA0 là một trung tuyến của tam giác AB0C0 Suy ra AA0 cắt đôi đoạnthẳng B0C0 Do đó AA0 cắt đôi bất cứ đường thẳng nào song song với B0C0(theo định lý Thales) Ta có B0C0 và những đường thẳng song song với B0C0đều là những đường thẳng đối song với BC Vậy, bất cứ đường thẳng nào đốisong với BC cũng đều bị đường trung AA0 chia đôi

Bài toán 2.1.9 ([2]) Chứng minh rằng các đường thẳng đối song với hai cạnhcủa một tam giác, kẻ từ chân của đường đối trung tương ứng với cạnh thứ bathì bằng nhau

Hình 2.5: Đường đối song DM và DN bằng nhau

Chứng minh DM và DN là hai đường đối song với AC và AB, do đó ta có

∠BM D = ∠ACB, ∠DN C = ∠ABC