Phương pháp tìm chữ số tận cùng theo môđun và lũy thừa

có liên quan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực

MỤC LỤC

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 3

1.3 Phạm vi, đối tượng áp dụng 3

PHẦN II: NỘI DUNG 4

2.1 Thực trạng của việc tìm chữ số tận cùng 4

2.2 Cơ sở lý thuyết của việc tìm chữ số tận cùng 5

2.2.1 Đồng dư thức 5

2.2.2 Tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa 6

2.3 Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính Casio 7

2.3.1 Tìm một chữ số tận cùng 7

2.3.2 Tìm hai chữ số tận cùng 9

2.3.3 Tìm ba chữ số tận cùng 11

2.3.4 Tìm bốn chữ số tận cùng trở lên 12

2.3.5 Một số dạng toán khác liên quan đến chữ số tận cùng 13

PHẦN III: KẾT LUẬN 15

3.1 Ý nghĩa của đề tài 15

3.2 Kiến nghị 15

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Môn Toán là một trong những môn học chiếm một vị trí quan trọng và then chốt trong nội dung các chương trình môn học phổ thông Các kiến thức kĩ năng của môn Toán ở THCS có nhiều ứng dụng trong cuộc sống Bất cứ ngành nào nghề nào cũng đòi hỏi phải có sự tính toán Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán,

từ những con số, rồi thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tính khó.v.v Vì vậy ngoài việc làm cho mọi đối tượng học sinh nắm rõ kiến thức cơ bản trong chương trình THCS thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi là nhiệm vụ hàng đầu của mỗi người giáo viên trong nhà trường Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết thầy, cô giáo chúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt và thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nội dung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học tập của các em ở nhà trường

Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & Đào tạo ban hành cho các trường học phổ thông, giáo viên cũng như học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơi thân thiện, từ đó các em mới tích cực tham gia các hoạt động học tập, rồi có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và giải toán được thuận lợi hơn Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương pháp được coi là tốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo

phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích” Với mỗi bài toán ta cũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn và thường xuyên thực hành

Tuy nhiên trong suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức

cơ bản trong sách giáo khoa, sách nâng cao đối với những bài toán như “Tìm chữ

số tận cùng của một số tự nhiên viết dưới dạng lũy thừa” có bậc thấp thì học sinh

dễ tìm ra, còn những lũy thừa ở dạng bậc cao thì học sinh vô cùng lúng túng, khó giải Các bài toán về lũy thừa thật là đa dạng, phong phú và hấp dẫn, thế nhưng không ít học sinh khi làm loại toán này thường chưa phân được dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc hoặc có những cách giải còn phức tạp, chưa tối ưu Tận dụng sức mạnh với nhiều chức năng của máy tính Casio 750VnPlus tôi đã giúp học sinh giỏi bộ môn máy tính cầm tay Casio giải quyết các bài toán tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa một cách dễ dàng Chính vì vậy, tôi

mạnh dạn đưa ra “Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính cầm

tay Casio”

1.2 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Sử dụng máy tính cầm tay Casio cùng với kiến thức đồng dư thức để tìm một hoặc nhiều chữ số tận cùng

1.3 Phạm vi, đối tượng áp dụng

Phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính cầm tay Casio này áp dụng cho học sinh lớp 6 và học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi môn máy tính cầm tay Casio

PHẦN II: NỘI DUNG

2.1 Thực trạng của việc tìm chữ số tận cùng

Lớp 6 là lớp đầu cấp THCS, học sinh vừa mới được làm quen với môi trường, phương pháp học tập mới nên quá trình học tập của các em vẫn đang còn

bỡ ngỡ và thụ động Mỗi thầy cô dạy một môn, xong 1 tiết (45 phút) là thầy cô sang lớp khác dạy, không hiểu bài, không chép bài kịp cũng chẳng biết làm sao Nhiều thầy cô ở THCS quen dạy các lớp 8, lớp 9 đến khi dạy lớp 6 vẫn giữ nguyên phong cách đứng lớp, phương pháp giảng dạy mới làm các em thêm lúng túng, mất tự tin Không còn những bài toán chỉ việc áp dụng công thức và những phép toán cộng, trừ, nhân, chia nữa mà thay vào đó là các dạng toán logic hơn Đòi hỏi các em phải lập luận, áp dụng công thức, chứng minh rồi mới tính toán để đưa ra kết quả cuối cùng Trong môn toán còn chia thành 2 mảng riêng là Đại số và Hình học Mỗi phần lại xoay quanh những vấn đề, những bài toán riêng đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức, nội dung

Về mặt tâm sinh lý thì các em trở nên nhút nhát là từ HS lớn nhất của trường tiểu học lại trở thành nhỏ nhất của trường THCS Nhìn các anh chị lớp trên to lớn, lanh lợi, các em bỗng thấy mình sao nhỏ bé, ngờ nghệch, nếu bị các anh chị lớp trên hù dọa lại càng sợ hơn Chưa hết, các nội quy, quy định của nhà trường đều được thực hiện thật nghiêm túc như đi trễ, không có phù hiệu trên áo, không đeo khăn quàng, quên mang dép có quai hậu… sẽ bị nhắc nhở, ghi tên từ ở cổng trường rồi sau đó còn bị giáo viên chủ nhiệm nhắc nhở trong tiết sinh hoạt lớp, bị trừ điểm hạnh kiểm Từ đó dẫn đến tình trạng các em rụt rè, mất tự tin ảnh hưởng không nhỏ đến kết quả học tập của các em

Kiến thức về lũy thừa thật sự rất mới mẻ với các em Trong nội dung chương trình sách giáo khoa chỉ mới cho các em làm quen với việc lũy thừa và nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số Các em chưa có điều kiện nghiên cứu sâu về lũy thừa Do

đó khi gặp các bài tập lũy thừa là học sinh gặp khó khăn mà đặc biệt là dạng toán tìm chữ số tận cùng thì các em còn không chú ý xem nội dung là gì nữa mà chỉ đọc qua loa đề rồi bỏ trống

Kết quả khảo sát học sinh trước khi thực hiện đề tài

35

Giỏi Khá TB Yếu Kém Hứng thú Không hứng thú

Như vậy vấn đề đặt ra là đứng trước những bài tập tìm chữ số tận cùng thì học sinh định hướng cách tìm như thế nào?

2.2 Cơ sở lý thuyết của việc tìm chữ số tận cùng

2.2.1 Đồng dư thức

a Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m � 0 thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a � b (mod m), a � b (mod m) � a – b M m

Ví dụ: 7 � 10 (mod 3), 12 � 22 (mod 10)

b Một số định lý về đồng dư:

Định lý Fermat: Nếu p là số nguyên tố thì np – n chia hết cho p với mọi số nguyên n

n p �n (mod p), p là số nguyên tố

Đặc biệt nếu n, p nguyên tố cùng nhau thì 1

1

p

n  � (mod p)

Định lý Euler: Nếu n là số nguyên dương bất kỳ và a là số nguyên tố cùng nhau với

n, thì

trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler được tính như sau: e k

k e

p

n 1 2

2 1

2

p , …, p klà số nguyên tố, thì

k

n n

c Tính chất của đồng dư thức:

Tính chất phản xạ: a � a (mod m)

Tính chất đối xứng: a � b (mod m) � b � a (mod m)

Tính chất bắc cầu: a � b (mod m), b � c (mod m) thì a � c (mod m)

Cộng , trừ từng vế: a b (mod m) a c b d (mod m)

c d (mod m)

�

�

Mở rộng ta có: a � b (mod m) � a + c � b + c (mod m)

a + b � c (mod m) � a � c - b (mod m)

a � b (mod m) � a + km � b (mod m)

Nhân từng vế : a b (mod m) ac bd (mod m)

c d (mod m)

�

�



�

Mở rộng ta có: a � b (mod m) � ac � bc (mod m) (c � Z)

a � b (mod m) � an � bn (mod m)

Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương, a � b (mod m) � ac � bc (mod mc)

Mở rộng ta có: ac bc (mod m) a b (mod m)

(c, m) = 1

�

�

�

2.2.2 Tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa

Tính chất 1: Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6 khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ

nào thì chữ số tận cùng không thay đổi

Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng

không thay đổi

Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n �N) thì chữ số

tận cùng là 1

Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n �N) thì chữ số

tận cùng là 6

Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n �N) thì chữ

số tận cùng không thay đổi

Tính chất 3: Các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n �N)

thì chữ số tận cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n �N) thì chữ số tận cùng là 3

Các số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n �N) thì chữ số

tận cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n +

3 (n �N) thì chữ số tận cùng là 2

Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n �N)

thì chữ số tận cùng là không đổi

2.3 Một số phương pháp tìm chữ số tận cùng bằng máy tính Casio

2.3.1 Tìm một chữ số tận cùng

Cách 1: Sử dụng các tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa

Cách 2: Sử dụng đồng dư thức

- Nếu a tận cùng là 0, 1, 5 hoặc 6 thì an lần lượt tận cùng là 0, 1, 5 hoặc 6

- Nếu a tận cùng là 2, 3 hoặc 7, ta có nhận xét sau với k N� *:

24k 16k �6(mod10)

34k 81k �1(mod10)

74k 492k �1(mod10)

Do đó để tìm số tận cùng của an với a có tận cùng là 2, 3 hoặc 7 ta lấy n chia cho 4

Giả sử n = 4k + r với r�0,1, 2,3

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 799

Cách 1: Biến đổi trực tiếp theo tính chất của lũy thừa

7 7 7 7 (7 ) ( 3).( 1)  3

Vậy chữ số tận cùng của 799 là 3

Cách 2: Sử dụng đồng dư thức

Trên máy tính Casio 570vnPlus ta sẽ tìm số dư của số mũ cho 4

99Qa4= Kết quả là 24, R = 3

99 4 3

Vậy chữ số tận cùng của 799 là 3

Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của 789324

Cách 1: Biến đổi trực tiếp theo tính chất của lũy thừa

187324= (1874)81 =(….1)81 =(…1)

Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1

Cách 2: Dùng đồng dư thức

324Qa4= Kết quả là 81, R = 0

324 4

Ví dụ 3: Tìm chữ số tận cùng của: 2015 2015 2015

Phương pháp: Ta sẽ tìm chữ số tận cùng của mỗi lũy thừa rồi cộng, trừ lại với nhau 2015Qa4= Kết quả là 508, R = 3

2015 4 3

1112015 chữ số tận cùng là 1

2015 4 3

Do đó chữ số tận cùng của 2015 2015 2015

377  111  1234 là 3 – 1 + 4 = 6 Vậy chữ số tận cùng của 2015 2015 2015

377  111  1234 là 6

Ví dụ 4: Tìm chữ số tận cùng của tổng S      2 1 3 5 4 9 2014 8049

Ta thấy số mũ đều chia cho 4 dư 1 Nên số mũ sẽ có dạng 4k + 1

Sử dụng tính chất: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n �N)

thì chữ số tận cùng không thay đổi

Nên S     1 2 3 2014

Bấm máy tính IQ[R1E2014= Kết quả: 2029105

Vậy chữ số tận cùng của biểu thức trên là 5

2.3.2 Tìm hai chữ số tận cùng

Cách 1: Sử dụng các tính chất chữ số tận cùng của lũy thừa

Cách 2: Sử dụng đồng dư thức

a20k � 00(mod100) nếu a� 0(mod10) ,

a20k � 01(mod100) nếu a� 1;3;7;9(mod10)

a20k � 25(mod100) nếu a� 5(mod10)

a20k � 76(mod100) nếu a� 2; 4;6;8(mod100)

Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an ta lấy số mũ chia cho 20

Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991

Cách 1:

Ta thấy: 74 = 2401, số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng

bằng 01 Do đó:

71991 = 71988 73 =(74)497 343 = ( 01)497.343

= ( 01) 343 = 43

Vậy 71991 có hai chữ số tận cùng là 43

Cách 2:

1991Qa20= Kết quả là 99, R = 11

1991 20 11

7  7 7k Tiếp tục dùng máy tính bỏ túi tính tiếp giá trị của 711

7^11= Kết quả là 19773266743

Do đó 7 1991  7 7 20k 11 � 1.43(mod100) 43(mod100) �

Vậy hai chữ số tận cùng của 71991 là 43

Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100

Cách 1:

Chú ý rằng :210=1024 ,bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76,số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76.Do đó

( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(….76)5 =….76

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76

Cách 2:

100Qa20= Kết quả là 5, R = 0

100 20

Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76

Ví dụ 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 9999 99

Ta có: 9999 99= 992k + 1 = (992)k 99 = (…01)k 99 = 99

� Vậy 9999 99 có hai chữ số tận cùng là 99.

Ví dụ 4: Tìm hai chữ số tận cùng của 3999

999Qa20= Kết quả: 49, R= 19

Nên 3999 3 320k 19

3u19= Kết quả: 1162261467

999 20 19

3 3 3k �01.67(mod100) 67(mod100)�

Vậy hai chữ số tận cùng của 3999 là 67

Ví dụ 5: Tìm hai chữ số tận cùng của 14 14 14

Cách 1 : Ta có 14 14 14  7 2 14 14 14 14

14 14 14

14  2 7 M 4 nên 7 14 14  7 4k � 1(mod100)

2u20Qa100= Kết quả: 10485, R = 76

Ta tìm dư trong phép chia 1414 cho 20 = 4 5

Ta có 14 14  (15 1)  14 � 1(mod 5)

�r0   5 1t , t = 0, 1, 2, 3

14u14Qa20= Kết quả tràn màn hình do đó ta sẽ tính

Ta có 14u2= Kết quả 196

Nên 14 14  (14 ) 2 7 � ( 4) (mod 20)  7 �  16384(mod 20) 16(mod 20) � Nên 1414 = 20k + 16 Suy ra 2 14 14  2 20k 6 � 2 76(mod100) 16

2u16= Kết quả : 65536

Suy ra 2 14 14 � 36.76(mod100) 36(mod100) �

Vậy 14 14 có hai chữ số tận cùng là 36

Cách 2 Ta có 14 14 14 � � 4 14 6(mod10)

� 14 14 14  14 10k 6  14 14 6 10k � 14 76(mod100) 6

14 6  7 2 6 6 � 7 64 36(mod100) 2 �

Vậy hai chữ số tận cùng của 14 14 14 là 36

2.3.3 Tìm ba chữ số tận cùng

a100k � 000(mod10 ) 3 nÕu a� 0(mod10)

a100k � 001(mod10 ) 3 nÕu a� 1,3, 7,9(mod10)

a100k � 625(mod10 ) 3 nÕu a� 5(mod10)

a100k � 376(mod10 ) 3 nÕu a� 2, 4,6,8(mod10)

Vậy để tìm ba chữ số tận cùng của an ta tìm hai chữ số tận cùng của số mũ n

Ví dụ 1: Tìm ba chữ số tận cùng của 2 92003

Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 92003

Ta có: 9 2003  9 9 3 2000  9 (3 ) 3 20 200

9u3= Kết quả: 729 nên 9 (3 ) 3 20 200 � 29.(01) (mod100) 29(mod100) 200 �

Suy ra: 2 9 2003  2 100k 29  2 (2 ) 29 100 k

2u29= Kết quả: 536870912

nên 2 (2 ) 29 100 k � 912.376(mod1000) 912(mod1000) �

Vậy ba chữ số tận cùng của 2 92003 là 912

Ví dụ 2: Tìm ba chữ số tận cùng của số 2 91991

Giải

Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 91991

Ta có 9 1991  9.9 1990  9.(3 ) 20 199 mà 3 20 � 01(mod100)

nên 9.(3 ) 20 199 � 9.(01) (mod100) 9 mod(100) 199 �

9 100 9 100 9

2u9= Kết quả: 512 nên 2 100k.2 9 � 376.512(mod1000)

376O512= Kết quả: 192512

Vậy ba chữ số tận cùng của 2 91991 là 512

2.3.4 Tìm bốn chữ số tận cùng trở lên

Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa, cần chú ý rằng:

Các số có tận cùng bằng 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận

cùng bằng 001, 376, 625

Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng

0625

Nếu đề bài yêu cầu tính nhiều chữ số tận cùng thì có thể tính chính xác số đó rồi

suy ra chữ số tận cùng.

Ví dụ 1: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992

Trên máy tính bỏ túi ta tính thử:

5^2=Kết quả: 25

5^3=Kết quả:1 25

5^4=Kết quả: 625

Dễ thấy 625 lũy thừa bao nhiêu cũng có tận cùng là 0625 nên

51992 =(54)498 =625498 =0625498 =( 0625)

Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625

Ví dụ 2: Tìm bảy chữ số tận cùng của 20720183

2072018^3= Kết quả: 8,895709082.1018

Như vậy ta được các chữ số đầu tiên là: 889570908

Bấm tiếp Mp8,89570908[10u18=

Kết quả:1949980000