Tính giá trị nguyên của x để: a Biểu thức E có giá trị nguyên.. Cho ABCcân tại A, điểm M là trung điểm của BC.. Gọi E là một điểm thuộc đoạn thẳng AH.. Chứng minh FM là tia phân giác củ
Trang 1UBND HUYỆN TAM DƯƠNG
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8
Năm học: 2011 – 2012 Môn: Toán 7.
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi này gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1 (2 điểm) Tìm x biết:
2 2 2
3 2 1
2 7
5 2
7 7 7 7
x x x
x
b) 9 7 x 5x 3
Câu 2 (2,5 điểm).
a) Tìm các số x, y khác 0 thoả mãn 1+3y 1+5y 1+7y
12 5x 4x .
b) Cho 2a = by + cz; 2b = ax + cz; 2c = ax + by và a + b + c ≠ 0 Tính giá trị
của biểu thức P 1 1 1
Câu 3 (2 điểm)
a) Cho
a b cb a c c a b
Chứng minh rằng x2a y z y2b x z z4c x4y , (với a, b, c là các số khác 0
và các mẫu số khác 0)
b) Cho 4 số nguyên phân biệt a, b, c, d Chứng ming rằng
(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) chia hết cho 12
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), gọi M trung điểm cạnh BC, kẻ phân giác
AD của tam giác ABC (D thuộc BC) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt
AB, AC lần lượt tại E, F Kẻ BH, CI vuông góc với đường thẳng EF
a) Chứng minh BI = CH và ∆AEF cân
b) Chứng minh
2
AB AC
AE
Câu 5 (1 điểm)
Cho đa thức f(x) có bậc lớn hơn 1, có hệ số nguyên thoả mãn f(5) chia hết cho
7, f(7) chia hết cho 5 Chứng minh rằng f(12) chia hết cho 35.
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh……….SBD:………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD& ĐT LẬP THẠCH ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 7 Năm học 2009-2010 Thời gian 120 phút
Câu 1.(2đ)
a) Rút gọn biểu thức A= 7 5 248 30 298 85 7 23048 49 10
5 2 7
b) Cho
3 5
x y
Tính giá trị biểu thức: B = 5 22 3 22
10 3
x y
x y
Câu 2.(2đ)
Cho biểu thức E = 5
2
x x
Tính giá trị nguyên của x để:
a) Biểu thức E có giá trị nguyên
b) Có giá trị nhỏ nhất
Câu 3.(2đ)
Cho ABCcân tại A, điểm M là trung điểm của BC Kẻ MH vuông góc với AB Gọi E là một điểm thuộc đoạn thẳng AH Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho �AEE = 2
�
EMH Chứng minh FM là tia phân giác của �EFC
Câu 4.(2đ)
a) Tìm x biết: 1 1 1 2 2009
3 6 10 x x( 1) 2011
b) Cho biết (x-1)f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x
Chứng minh f(x) có ít nhất 2 nghiệm
Câu 5.(2đ)
a) Cho x,y,z �0 và x-y-z =0
Tính giá trị biểu thức A = 1 z 1 x 1 y .
� �� �� �
b) Cho x,y,z thoả mãn x.y.z =1
y
xy x yz y xyz yz y
Trang 3PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
TRỰC NINH
*****
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2008 - 2009
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang
Bài 1: (3,5 điểm)
Thực hiện phép tính:
a) 3 4 : 7 4 7 : 7
7 11 11 7 11 11
99.97 97.95 95.93 5.3 3.1
Bài 2: (3,5 điểm)
Tìm x; y; z biết:
a) 2009 – x 2009 = x
b) 2008 2 2008
5
x ��y �� x y z
Bài 3: (3 điểm)
Tìm 3 số a; b; c biết: 3 2 2 5 5 3
a b c a b c
và a + b + c = – 50
Bài 4: (7 điểm)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho
CI = CA
Câu 1: Chứng minh:
a) ABD ICE
b) AB + AC < AD + AE
Câu 2: Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo
thứ tự tại M; N Chứng minh BM = CN
Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN.
Bài 5 (3 điểm):
Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 4ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 7
Bài 1: 3 điểm
Câu a: 1 điểm (kết quả = 0).
Câu b: 2 điểm
99.97 97.95 95.93 5.3 3.1
99.97 1.3 3.5 5.7 95.97
99.97 2 3 3 5 5 7 95 97
1 99.97 2 97
1 48
99.97 97
4751
99.97
� �
Bài 2: 3,5 điểm
Câu a: 2 điểm
- Nếu x � 2009 � 2009 – x + 2009 = x
� 2.2009 = 2x
� x = 2009
- Nếu x < 2009 � 2009 – 2009 + x = x
� 0 = 0 Vậy với x < 2009 đều thoả mãn
- Kết luận : với x � 2009 thì 2009 x 2009 x
Hoặc cách 2:
2009
x
�
�
Câu b: 1,5 điểm
1
2
x ; 2
5
10
z
Bài 3: 2,5 điểm
15 10 6 15 10 6
�
Trang 52 3
a b
a c
�
�
�
�
� Vậy
a b c
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau
10 15 25
a b c
�
�
� �
�
�
Bài 4: 7 điểm
O
N
M
A
D
E
I
Câu 1: mỗi câu cho 1,5 điểm
Câu a: Chứng minh VABD VICE cgc
Câu b: có AB + AC = AI
Vì VABDVICE �AD EI (2 cạnh tương ứng)
áp dụng bất đẳng thức tam giác trong V AEI có:
AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC
Câu 2: 1,5 điểm
Chứng minh VvBDM = VvCEN (gcg)
� BM = CN
Câu 3: 2,5 điểm
Vì BM = CN � AB + AC = AM + AN (1)
có BD = CE (gt) � BC = DE
Gọi giao điểm của MN với BC là O ta có:
Trang 6 2
MO OD
MO NO OD OE
NO OE
�
�
�
�
Từ (1) và (2) � chu vi VABC nhỏ hơn chu vi AMNV
Bài 5: 2 điểm
Theo đề bài � 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ Nếu a � 0 � 2008a + 2008a là số chẵn
để 2008a + 2008a + b lẻ � b lẻ
Nếu b lẻ � 3b + 1 chẵn do đó
2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn)
Vậy a = 0
Với a = 0 � (3b + 1)(b + 1) = 225
Vì b � N � (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5 45 = 9.25
3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1
8
1 9
b
b b
�
Vậy a = 0 ; b = 8
http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 tài nguyên giáo dục
Trang 7ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN – LỚP 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu1.
a.Tính:
0
b So sánh: A 2 6 12 20 30 42 và B 24
Câu 2:
Cho
a b c a b c a b c
Chứng minh rằng:
x y z x y z x y z
(Với abc� 0và các mẫu khác o)
b Cho hàm số: f x xác đinh với moi giá tri của x R � Biết rằng với mọi x� 0ta
đều có 1 2
2
x
� �
� �
� � Tính f 2
Câu 3
a Tìm x biết: 1 11
x x
b Tìm tất cả các giá tri nguyên dương của x và y sao cho:
1 1 1
5
x y
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A x x y x
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC Gọi H là trung điểm BC
a Chứng minh: AM=AN và AHBC
b Chứng minh �MAN �BAM
c Kẻ đường cao BK Biết AK= 7cm; AB=9cm Tính độ dài BC
Trang 8
-HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN – LỚP 7 Câu 1(4đ)
1.a(2đ)
1.b(2đ)
Câu 2(4đ)
2.a(2đ)
2.b(2đ)
Câu 3(4đ)
3.a(2đ)
Ta có:
1 5 7 9 9
1 8
1 16
5 1 7 9 3
1 8
1 2
1 : 8
5 25
14 7 9 3 8
1 2
1 : 2
2
0 2
3
Ta có:
42 30
20 12
6
A
B
24 5 , 6 5 , 5 5 , 4 5 , 3 5 2 5 , 1
25 , 40 25 , 30 25 , 20 25 , 12 25 , 6 25 , 2 Vậy A<B
Từ giả thiết suy ra:
1
2
3
a b c a b c a b c a
a b c a b c a b c b
a b c a b c a b c c
Từ (1), (2), (3) ta có:
c
z y x b
z y x a
z y x
9
4 4 9
2 9
Hay x a y z x b y z x c y z
9 2
9 2
9
Vậy x a y z x b y z x c y z
Với x=2 ta có: 4
2
1 2
f f
Với
2
1
4
1 2 2 2
1
f
Giải ra tỡm được
6
7
2
f
1 10
5 1
x x
x x
x x x
x x x
x
�
�
�
�
�
�
0,5 0,5
0,5 0,5
0,25 0,25 0,25
0,5
0,25 0,5 0,5 0,5 1 0,5
0,5
Trang 9H M
B
A
C N
K
Câu4(2đ)
Câu 5(6đ)
5.a(2đ)
5.b(2đ)
5.c(2đ)
Từ
5 5 25
25 5 5 5
0 5 5 5
1 1 1
y x
y y
x
y x xy
y x
Vỡ x, y nguyờn dương x 5 ;y 5 thuộc ước của 25
Giải ra tỡm được các cặp giá trị x; y nguyên dương thoả món điều kiện bài toán là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30)
Áp dụng tính chất a a và a b ab , dấu “=” xảy ra khi 0
ab và a 0 dấu “=” xảy ra khi a=0 Ta có:
3 2011
2008 2011
2008 2011
x
Dấu “=” xảy ra khi 2008 x 2011
và x 2009 0 dấu “=” xảy ra khi x=2009
0
2010
y dấu “=” xảy ra khi 2010
A 3 2008 2011 dấu “=” xảy ra khi x=2009 và y=2010
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2011 khi x=2009 ; y=2010
-Chứng minh đựơc ABM=ACN(cgc)�AM=AN
- Chứng minh đựơc ABH=ACH(cgc)�
0
90
AHB AHC AH BC
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA Chứng minh được AMN DMB cgc � �MAN �BDM và AM=AN=BD
-Chứng minh được BA>AM�BA>BD -Xét BAD có BA>BD � BDA� �BAD hay �MAN �BAM
Vì AK��й 0 A 90 0 nên chỉ có hai trường hợp xảy ra TH1:
-�BAC nhọn � k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB �AC 9cm�KC AC AK 2
-AKB vuông tại K �BK2 AB2 AK2 32
-AKC vuông tại K nên ta có BC= BK2 KC2 6cm
TH2:
-�BAC tù � A nằm giữa hai điểm K,C �KC=AK+AC=16cm
-ABK vuông tại K �BK2 AB2 AK2 32
-BKC vuông tai K �BC BK2 KC2 288 Vậy BC=6cm hoặc BC= 288cm
0,5 0,5 1
0,5 0,5
0,5 0,5
1đ 1đ 1đ
0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ