RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN CỦA G. POLYA TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC LỚP 10 THPT

Nhiệm vụ dạy học của nhà trƣờng phổ thông là trang bị cho học sinh hệ thống những tri thức khoa học cơ bản, hiện đại, hình thành và rèn luyện những kỹ năng vận dụng tri thức trong những tình huống, hoàn cảnh tƣơng ứng. Việc đổi mới giáo dục trung học dựa trên những đƣờng lối, quan điểm chỉ đạo giáo dục của nhà nƣớc, đó là những định hƣớng quan trọng về chính sách và quan điểm trong việc phát triển và đổi mới giáo dục trung học. Việc đổi mới phƣơng pháp dạy học, kiểm tra đánh giá cần phù hợp với những định hƣớng đổi mới chung của chƣơng trình giáo dục trung học. Luật Giáo dục số 38/2005/QH11, Điều 28 qui định: "Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS". Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình. Nhờ quá trình này, ngƣời học hiểu đƣợc bản chất của kiến thức, có khả năng vận dụng linh hoạt tri thức và phƣơng pháp đã học, qua đó phát triển năng lực tƣ duy. Chỉ có thông qua các bài tập ở hình thức này hay hình thức khác, mới tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học để giải quyết thành công những tình huống cụ thể khác nhau và những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của học sinh. Tuy nhiên hiện nay việc dạy học ở các nhà trƣờng phổ thông còn có thực trạng: Thầy nặng về thuyết trình nhồi nhét các kiến thức có sẵn, trò thụ động trong việc tiếp thu, nặng về học thuộc, yếu về tƣ duy sáng tạo. Đặc biệt đối với môn toán, thầy còn đƣa ra các bài mẫu yêu cầu học sinh học thuộc và áp dụng một cách máy móc khi giải các bài tập tƣơng tự. Yêu cầu phát triển của đất nƣớc trong thời kì mới đòi hỏi các nhà trƣờng phải đào tạo đƣợc những con ngƣời có kiến thức, có năng lực tƣ duy, hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo. Để đạt đƣợc mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phƣơng 2 pháp giáo dục nói chung và phƣơng pháp giảng dạy từng bộ môn nói riêng. Trong dạy học môn toán, nói riêng là dạy học hình học lớp 10, bản thân nội dung môn học có vị trí quan trọng trong môn toán phổ thông. Nó xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, cũng nhƣ các kì thi THPT Quốc gia. Bởi vậy, quá trình dạy học giải bài tập nếu có phƣơng pháp tốt sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tƣ duy và phẩm chất, nhân cách ở ngƣời học. Đứng trƣớc một bài tập về hình học lớp 10, học sinh phải làm việc gì đầu tiên, ngƣời thầy phải hƣớng dẫn trò nhƣ thế nào để phá vỡ những bế tắc, tìm ra đƣợc hƣớng đi đúng đắn, để dẫn trò từ tình huống lạ về con đƣờng quen thuộc - từ đó tìm ra lời giải của bài toán, giúp học sinh hứng thú trong việc học toán. Việc hƣớng dẫn học sinh tìm hiểu, xác định và vận dụng một số quy trình khi giải các dạng bài tập hình học lớp 10 còn góp phần hình thành và phát triển tƣ duy thuật toán cho các em. G. Polya là một nhà sƣ phạm toán lỗi lạc, có nhiều đóng góp to lớn trong lĩnh vực lý luận dạy học môn toán, đặc biệt là những công trình nghiên cứu về dạy học giải bài tập toán. Tƣ tƣởng sƣ phạm của ông đã đƣợc nhiều nhà nghiên cứu, giáo viên và học sinh quan tâm tìm hiểu và vận dụng vào thực tiễn dạy học toán. Tuy nhiên chƣa có công trình nào tìm hiểu về việc vận dụng quy trình giải bài toán của G. Pôlya vào dạy học giải bài tập hình học lớp 10 THPT. Xuất phát từ những lý do trên đề tài đƣợc chọn là: “Rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài toán của G. Polya trong dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT” làm đề tài nghiên cứu.

NGUYỄN ĐỨC SÁNG

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI BÀI TOÁN CỦA G POLYA TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC LỚP 10 THPT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

PHÚ THỌ, 2018

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 8140111

Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Công Kiên

PHÚ THỌ, 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong các luận văn khác Nếu không đúng nhƣ trên, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về đề tài của mình

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Công Kiên, người đã tận tình hướng dẫn và động viên khích lệ em trong suốt quá trình làm luận văn Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ

bộ môn PPDH đã truyền thụ cho em những kiến thức quý báu về PPDH môn toán, em xin cảm ơn Khoa Toán Trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện giúp em nghiên cứu và hoàn thành luận văn Thạc sĩ Em xin cảm ơn trường PTDTNT – THPT huyện Mường Chà, trường THPT Mường Chà - Điện Biên, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ em trong thời gian học tập và nghiên cứu

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

1.1 Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu 1

1.2 Mục tiêu nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phạm vi nghiên cứu 2

1.5 Giả thuyết khoa học 3

1.6 Nhiệm vụ nghiên cứu: 3

1.7 Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu 3

1.8 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Sơ lược lịch sử vấn đề nghiên cứu 5

1.1.1 Một số công trình trên thế giới nghiên cứu về vấn đề bài tập và giải bài tập 5

1.1.2 Một số công trình ở Việt Nam có liên quan đến đề tài nghiên cứu 6

1.2 Bài tập 7

1.2.1 Khái niệm bài tập 7

1.2.2 Quan hệ giữa bài tập, bài tính, bài toán và vấn đề trong môn toán 8

1.3 Quá trình giải bài tập 10

1.3.1 Giải bài tập là gì? 10

1.3.2 Cấu trúc quá trình giải bài tập theo G.Polya 11

1.3.3 Vai trò của việc vận dụng quy trình giải bài tập toán của G.Polya 21

1.4 Chương trình hình học lớp 10 và thực trạng giải bài tập hình học 10 22

1.4.1 Chương trình hình học lớp 10 22

1.4.2 Thực trạng giải bài tập hình học của học sinh lớp 10 THPT 23

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1 27

Chương 2 RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI BÀI TẬP CỦA G POLYA TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN

HÌNH HỌC 10 THPT 30

2.1 Định hướng rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình G Polya vào dạy học giải tập hình học lớp 10 31

2.2 Vận dụng quy trình G Polya vào dạy học một số dạng toán 32

2.2.1 Tích vô hướng của hai vectơ 32

2.2.2 Hệ thức lượng trong tam giác 39

2.2.3 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 43

2.2.4 Ba đường cônic 65

TIỂU KẾT CHƯƠNG 2 69

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 70

3.1 Mục đích thực nghiệm 70

3.2 Tổ chức thực nghiệm 70

3.2.1 Nội dung thực nghiệm 70

3.3.2 Đối tượng thực nghiệm 70

3.3.3 Triển khai thực nghiệm 70

3.3 Kết quả thực nghiệm 76

3.3.1 Kiểm tra 76

3.3.2 Phân tích đánh giá 77

TIỂU KẾT CHƯƠNG 3 80

KẾT LUẬN 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 PHỤ LỤC

DANH MỤC VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH THUẬT NGỮ

THPT

PTDNT

Trung học phổ thông Phổ thông dân tộc nội trú (?) Câu hỏi hoặc câu dẫn dắt của giáo viên (!) Câu trả lời mong đợi của học sinh

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1 Vị trí khó khăn của ba phân môn: Hàm số - Hình học – Phương trình 24 Bảng 2 Mức độ khó khăn giữa học lý thuyết và giải bài tập hình 10 25 Bảng 3 Mức độ khó khăn của bài tập hình học trong chương trình lớp 10 25 Bảng 4 Kết quả học tập các phân môn toán của học sinh 26 Bảng 5 Những bước thường gặp sai lầm khi giải toán hình học 10 THPT 27

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Tính cấp thiết của đề tài nghiên cứu

Nhiệm vụ dạy học của nhà trường phổ thông là trang bị cho học sinh hệ thống những tri thức khoa học cơ bản, hiện đại, hình thành và rèn luyện những kỹ năng vận dụng tri thức trong những tình huống, hoàn cảnh tương ứng

Việc đổi mới giáo dục trung học dựa trên những đường lối, quan điểm chỉ đạo giáo dục của nhà nước, đó là những định hướng quan trọng về chính sách và quan điểm trong việc phát triển và đổi mới giáo dục trung học Việc đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh giá cần phù hợp với những định hướng đổi mới chung của chương trình giáo dục trung học Luật Giáo dục số 38/2005/QH11, Điều 28 qui định: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS"

Giải bài tập là một trong những tình huống dạy học điển hình Nhờ quá trình này, người học hiểu được bản chất của kiến thức, có khả năng vận dụng linh hoạt tri thức và phương pháp đã học, qua đó phát triển năng lực tư duy Chỉ có thông qua các bài tập ở hình thức này hay hình thức khác, mới tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học để giải quyết thành công những tình huống cụ thể khác nhau và những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc, trở thành vốn riêng của học sinh

Tuy nhiên hiện nay việc dạy học ở các nhà trường phổ thông còn có thực trạng: Thầy nặng về thuyết trình nhồi nhét các kiến thức có sẵn, trò thụ động trong việc tiếp thu, nặng về học thuộc, yếu về tư duy sáng tạo Đặc biệt đối với môn toán, thầy còn đưa ra các bài mẫu yêu cầu học sinh học thuộc và áp dụng một cách máy móc khi giải các bài tập tương tự

Yêu cầu phát triển của đất nước trong thời kì mới đòi hỏi các nhà trường phải đào tạo được những con người có kiến thức, có năng lực tư duy, hoạt động một cách tự giác, tích cực chủ động và sáng tạo Để đạt được mục tiêu trên, cần đổi mới mạnh mẽ phương

pháp giáo dục nói chung và phương pháp giảng dạy từng bộ môn nói riêng Trong dạy học môn toán, nói riêng là dạy học hình học lớp 10, bản thân nội dung môn học có vị trí quan trọng trong môn toán phổ thông Nó xuất hiện nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, cũng như các kì thi THPT Quốc gia Bởi vậy, quá trình dạy học giải bài tập nếu có phương pháp tốt sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc rèn luyện, phát triển tư duy và phẩm chất, nhân cách ở người học

Đứng trước một bài tập về hình học lớp 10, học sinh phải làm việc gì đầu tiên, người thầy phải hướng dẫn trò như thế nào để phá vỡ những bế tắc, tìm ra được hướng đi đúng đắn, để dẫn trò từ tình huống lạ về con đường quen thuộc - từ đó tìm ra lời giải của bài toán, giúp học sinh hứng thú trong việc học toán Việc hướng dẫn học sinh tìm hiểu, xác định và vận dụng một số quy trình khi giải các dạng bài tập hình học lớp 10 còn góp phần hình thành và phát triển tư duy thuật toán cho các em

G Polya là một nhà sư phạm toán lỗi lạc, có nhiều đóng góp to lớn trong lĩnh vực lý luận dạy học môn toán, đặc biệt là những công trình nghiên cứu về dạy học giải bài tập toán Tư tưởng sư phạm của ông đã được nhiều nhà nghiên cứu, giáo viên và học sinh quan tâm tìm hiểu và vận dụng vào thực tiễn dạy học toán Tuy nhiên chưa có công trình nào tìm hiểu về việc vận dụng quy trình giải bài toán của G Pôlya vào dạy học giải bài tập hình học lớp 10 THPT

Xuất phát từ những lý do trên đề tài được chọn là: “Rèn luyện cho học sinh vận

dụng quy trình giải bài toán của G Polya trong dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT” làm đề tài nghiên cứu

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Đề xuất những hướng dẫn để rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya trong dạy học giải một số dạng toán hình học lớp 10 THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học giải bài toán theo quy trình giải bài toán của G Polya trong dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT

1.4 Phạm vi nghiên cứu

Vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya trong dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT

Bài tập toán hình học lớp 10 THPT

1.5 Giả thuyết khoa học

Nếu rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya trong dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập hình học lớp 10 THPT

1.6 Nhiệm vụ nghiên cứu:

1.6.1 Phân tích quy trình giải bài toán của G.Polya và việc vận dụng trong dạy học toán

1.6.2 Nghiên cứu thực trạng dạy học giải bài tập hình học lớp 10 THPT và khả năng vận dụng quy trình của G.Polya

1.6.3 Vận dụng quy trình của G.Polya vào dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT

1.6.4 Thực nghiệm sư phạm

1.7 Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, các phương pháp sau đây đã được vận dụng:

1.7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn toán ở trường phổ thông

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến việc tìm lời giải các bài tập toán học, đặc biệt là công trình của G.Polya

Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa toán ở trường phổ thông trung học, các sách toán sơ cấp, các tài liệu tham khảo

1.7.2 Phương pháp quan sát điều tra

Quan sát giờ học, giờ kiểm tra nhằm tìm hiểu thực tiễn dạy tìm lời giải bài tập toán của giáo viên và việc tìm lời giải bài tập toán của học sinh nhằm phát hiện vấn đề nghiên cứu

Điều tra, xử lý các số liệu điều tra

1.7.3 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế giảng dạy của tác giả và đồng nghiệp

1.7.4 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính thực tiễn của phương án vận dụng quy trình giải bài toán của G.Polya trong dạy học giải bài tập hình học lớp 10 THPT

Đối tượng thực nghiệm: Học sinh thực nghiệm (chọn ngẫu nhiên lớp 10 nào đó trong trường thực nghiệm)

1.7.5 Phương pháp thống kê toán học:

1.8 Cấu trúc luận văn

Mở đầu

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Vận dụng quy trình giải bài toán của G.Polya để dạy học một số dạng toán hình học 10 THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phục lục

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Sơ lược lịch sử vấn đề nghiên cứu

Do tính chất của đề tài nghiên cứu, tham khảo một số công trình có liên quan chúng tôi quan tâm tới các thành tựu cơ bản sau đây:

1.1.1 Một số công trình trên thế giới nghiên cứu về vấn đề bài tập và giải bài tập

Nghiên cứu những vấn đề có tính chất lý luận và thực tiễn về bản chất, cấu trúc bài tập và quy trình giải bài tập trên nhiều phương tiện khoa học khác nhau như:

+ Khái niệm bài tập là gì ( UP.Reyman, A.Ph.Exaulôv, G.A.Ball, A.N.Leonchiev, A.Niuell,…)

+ Bản chất cấu trúc và quy trình giải bài tập nói chung (G.Polya, L.M.Phritman, A.M.Machiuskin, I.laLecne )

Nghiên cứu quá trình giải bài tập dưới góc độ như là phương tiện để xác định cấu trúc và quy luật hoạt động tư duy của con người

Trong lịch sử tâm lý học với các đại diện như O Đenxo, Quynpe của trường phái Vutxbua (Đức) lần đầu tiên xem quá trình giải bài tập như là tính đặc thù của tư duy O Đenxo trong tác phẩm “Lý thuyết thao tác trí tuệ” đã đề cập đến tính nguyên nhân, tính điều kiện và tính kiểm tra của bài tập trong quá trình tư duy Tuy nhiên, mối quan hệ giữa bài tập và tư duy, theo ông chỉ có tính chất bề ngoài, bản thân nội dung của bài tập không được đưa vào quá trình tư duy Nó chỉ được xem như một yếu tố đóng vai trò của cơ chế khởi động ([22], tr.271)

Dựa vào nguyên tắc cấu trúc, các nhà tâm lý học Ghestal (C.Côpca, V Kôle, M.Vêchgeyme, Dunker ) cho rằng giải bài tập là đặc điểm của tư duy sáng tạo, là bước chuyển từ cấu trúc “xấu” sang một cấu trúc “tốt” Việc so sánh giữa cái đã cho và cái cần tìm, giữa các điều kiện và yêu cầu của bài tập được họ coi như mối tương quan lẫn nhau (Dunker), giữa bản thân các điều kiện với yêu cầu của bài tập do tính cơ động của tình huống tạo ra, bỏ qua hoạt động tạo ra mối tương quan đó của chủ thể đang tư duy

Các nhà tâm lý học hành vi mà đại diện là Manxman nghiên cứu quá trình giải bài tập dựa trên nguyên tắc “thử và sai” Họ đã di chuyển từ nghiên cứu hành vi động vật sang nghiên cứu tư duy con người Và cho rằng quá trình tìm tòi lời giải bài tập như sự lựa chọn dần các kỹ năng và coi trọng việc hình thành các kinh nghiệm quá khứ là tập hợp các thao tác để nghiên cứu bất kỳ tình huống nào

Thực nghiệm của P.M.Ecđơnhiev, V.Zanbôttin, Đ.Turrôpxkai cho thấy việc sử dụng các bài tập đặc biệt (bài tập đảo ngược, bài tập chứa thông tin bất ngờ, bài toán mẹo ) đã nâng cao tính tích cực trí tuệ, giúp học sinh lĩnh hội sâu sắc các quy tắc đang nghiên cứu đồng thời phát triển năng lực đặt vấn đề một cách logic

Nghiên cứu khá sâu sắc sự phát triển của tư duy - một hoạt động tâm lý phức tạp của học sinh ở các lứa tuổi đầu, giữa và cuối tuổi học, M.N.Sacđacôp đã tổng hợp lại sự nghiên cứu của nhiều công trình tâm lý học về quá trình tư duy do các tác giả Xô Viết cũng như các học giả, những người dạy giáo học pháp nghiên cứu thông qua quá trình giải bài tập dưới nhiều hình thức khác nhau

M.F Morozop - “Những câu hỏi của giáo viên là phương tiện phát triển tính tích cực hoạt động tư duy của học sinh trên lớp” – (Giáo dục học Xô Viết) số 5-1957 Ông cho rằng tính tích cực tư duy khi học lịch sử của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào cách xây dựng câu hỏi theo những kiểu khác nhau của giáo viên

Các công trình nghiên cứu của G.Pôlya, nhà sư phạm nổi tiếng Mỹ, dù chưa đi sâu nghiên cứu chuyên biệt về quá trình giải bài tập hình học nhưng nghiên cứu của ông đã

đề cập đến khá nhiều lĩnh vực của quá trình giải bài toán Với sự hiểu biết uyên bác kết hợp với những kinh nghiệm dạy và nghiên cứu của bản thân, G.Pôlya đã phân tích một cách sinh động quá trình sáng tạo toán học qua việc giải toán ở nhiều trình độ khác nhau qua đó đưa tới bạn đọc những lời khuyên bổ ích cho quá trình dạy và học toán

1.1.2 Một số công trình ở Việt Nam có liên quan đến đề tài nghiên cứu

Vấn đề bài tập và giải bài tập được các tác giả tập trung xu hướng cơ bản sau:

Xem xét bài tập và giải bài tập dưới góc độ của phương pháp giải toán, của việc dạy học giải toán, tiêu biểu như trong các công trình của Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Thái Hoè, Tôn Thân, Trần Thúc Trình, Thái Sính

Nhìn chung, các tác giả đều xem xét bài toán cũng như quá trình giải bài toán trên

cơ sở lý luận của G.Pôlya Trong đó, đặc biệt chú trọng đến việc hình thành từng bước ở

học sinh phương pháp chung để giải một bài toán: Tìm hiểu đề toán, xây dựng chương

trình giải bài toán, thực hiện chương trình giải bài toán, nghiên cứu và kiểm tra kết quả bài toán

Như vậy, trên bình diện lý luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề tài nghiên cứu: bài tập, quá trình giải bài tập đã được nghiên cứu tương đối sâu sắc Đây là những tư liệu quý báu, đặt nền tảng cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu thực tiễn sau này Tuy nhiên việc triển khai hệ thống lý luận vào thực tiễn còn gặp nhiều khó khăn và hiệu quả chưa cao Điều đó gây những khó khăn trở ngại ảnh hưởng không nhỏ tới quá trình giải bài tập

ở những dạng khác nhau của học sinh Việc nghiên cứu chủ yếu nhằm cụ thể hoá việc

rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya trong dạy học một số dạng toán hình học lớp 10 THPT góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

toán nói chung và phân môn hình học nói riêng

1.2 Bài tập

1.2.1 Khái niệm bài tập

Khái niệm bài tập thông thường được mô tả theo xu hướng sau đây:

Theo lý thuyết thông tin, bài tập được hiểu như là hệ nhất định các quá trình thông tin trong đó có sự mâu thuẫn và sự tương quan không phù hợp giữa các quá trình này tạo

ra nhu cầu cần phải biến đổi chúng

Bài tập và tình huống có vấn đề

Nhiều tác giả cho rằng bài tập được xem như tình huống có vấn đề trong đó chủ thể cần phải hành động (G.A.Ball, A.N.Leeonchiev, Ia.A.Pônômarec, C.A.Xlapxkaia ) Theo họ thiếu chủ thể thì không có bài tập và cùng một đối tượng, một tình huống có thể

là bài tập của chủ thể này nhưng không phải là bài tập với chủ thể khác Vì vậy nghiên cứu đối tượng bài tập phải gắn liền với hoạt động của chủ thể

Trong lĩnh vực toán học, khái niệm bài tập được phân tích dựa vào các yếu tố liên quan trực tiếp đến hành vi giải quyết của học sinh

G.Polya cho rằng: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay” ([19], tr.169) Ông chỉ rõ các thành phần cấu tạo của bài toán: “Trong bất cứ bài toán nào cũng có ẩn - nếu tất cả đều đã biết rồi thì không còn phải tìm gì nữa Trong mỗi bài toán lại còn phải có một điều gì đó đã biết, hoặc đã cho (dữ kiện) - nếu không cho trước cái gì

cả thì không có một khả năng nào để nhận ra cái cần tìm, cho dù nó có ở ngay trước mắt

ta thì ta cũng không thể nhận ra được Sau cùng, trong bất kỳ bài toán nào cũng phải có điều kiện để cụ thể hoá mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện Điều kiện là yếu tố căn bản của bài toán” ([19], tr.19)

Việc phân tích các quan niệm trên về bài tập cho thấy tuy có điều khác nhau do cách tiếp cận khác nhau song giữa chúng có những điểm thống nhất cơ bản Theo chúng tôi, bài tập là một tình huống có vấn đề có tính xác định cao được hình thành từ tình huống này trong hoàn cảnh cụ thể (nhưng không phải mọi tình huống có vấn đề đều trở thành bài tập) Cấu trúc của một bài tập nói chung bao giờ cũng chứa đựng các yếu tố xác định: Dữ kiện (cái đã cho, đã biết) - Ẩn số (cái phải tìm) - Điều kiện (mối quan hệ giữa

ẩn và dữ kiện) Với tư cách là một tình huống tâm lý, bài tập đòi hỏi chủ thể phải có hành động phù hợp để giải quyết tốt nhiệm vụ do bài tập đưa ra qua đó phát triển những cấu tạo tâm lý mới ở bản thân chủ thể

1.2.2 Quan hệ giữa bài tập, bài tính, bài toán và vấn đề trong môn toán

Về mặt ngôn ngữ, trong Tiếng Việt có ba thuật ngữ gần với nhau: bài tập, bài toán

và bài tính “Bài tập là bài ra cho học sinh làm để tập vận dụng những điều đã học bài toán là vấn đề cần giải quyết bằng phương pháp khoa học, chẳng hạn Bài toán số học còn bài tính là bài toán chỉ đòi hỏi thực hiện một số phép tính ([23], tr.25)

Với cách hiểu trên rõ ràng ba thuật ngữ này đã có nội hàm rộng hẹp khác nhau Bài tập có phạm vi rất rộng liên quan đến mọi hoạt động cá nhân con người (bài tập toán, bài tập thể dục, bài tập lao động ) Trái lại, bài toán và bài tính chủ yếu được sử dụng trong những tình huống xác định thực hiện theo một quy trình bằng những phương pháp nhất định Do vậy, chúng có nội hàm hẹp hơn nhưng mang yếu tố nhận thức rõ rệt

Theo Nguyễn Bá Kim trong ([8]), khái niệm vấn đề và một số khái niệm có liên quan có thể được xây dựng bắt đầu từ khái niệm hệ thống theo sơ đồ dưới đây:

Hệ thống  Tình huống  Tình huống bài toán  Bài toán  Vấn đề

Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ giữa

những phần tử của tập hợp đó

Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào đó

Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của khách thể thì

tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ thể

Trong một tình huống bài toán, nếu trước chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần tử chưa biết

nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách thể thì ta có một bài toán

Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào để tìm ra

phần tử chưa biết của bài toán

Cách tiếp cận như vậy đã làm rõ được một số hàm ý của khái niệm vấn đề:

 Không đồng nhất "vấn đề" với "bài toán" Những bài toán nếu chỉ yêu cầu học

sinh đơn thuần trực tiếp áp dụng một thuật giải, chẳng hạn giải một phương trình bậc hai dựa vào các công thức đã học, thì không phải là những vấn đề

 Phân biệt khái niệm vấn đề trong giáo dục với vấn đề trong nghiên cứu khoa học Sự khác nhau là ở chỗ đối với vấn đề trong nghiên cứu khoa học, việc “chưa biết một số phần tử” và “chưa biết thuật giải để tìm một phần tử chưa biết” là mang tính khách quan chứ không phụ thuộc chủ thể, tức là nhân loại chưa biết chứ không phải chỉ

là một học sinh nào đó chưa biết

Từ những quan niệm như trên, trong đề tài nghiên cứu của mình, để cho đơn giản

và thống nhất, chúng tôi xem xét “bài tập” và “bài toán” với tư cách là bài tập toán học

1.3 Quá trình giải bài tập

1.3.1 Giải bài tập là gì?

Vấn đề giải bài tập được tiến hành nghiên cứu hai hướng cơ bản sau:

- Một là, thông qua nghiên cứu việc giải bài tập để xác định cấu trúc quy luật hoạt động tư duy của con người X.L.Rubinstêin cho rằng thực chất cơ chế của giải bài tập là quá trình tư duy Giải bài tập là quá trình phân tích thông qua tổng hợp nghĩa là quá trình liên tục phân tích điều kiện và yêu cầu của bài tập nhờ đối chiếu chúng với nhau để tìm

ra cách giải Đây chính là sơ đồ chung, tổng quát nhất để giải toán của X.L.Rubinstêin

Sơ đồ này chỉ ra rằng “lời giải là quá trình phân tích và tổng hợp trong mối liên hệ và phụ thuộc lẫn nhau” ([23], tr 293) Và nó đã được ông sử dụng như một tư tưởng chủ đạo xuyên suốt nội dung khi ông lý giải các vấn đề từ việc tiếp nhận bài tập, biến đổi tìm kiếm cách giải

- Hai là, nghiên cứu việc giải bài tập như một dạng hoạt động học của học sinh Phải kể đến công trình nghiên cứu của L.M.Phritman và G.Polya Nhìn từ góc độ tâm lý học sư phạm trong một phạm vi hẹp (nghiên cứu việc giải bài tập toán), L.M.Phritman cho rằng: Giải bài tập toán, điều đó có nghĩa là tìm kiếm sự hợp lý (hợp logic) của các luận điểm (quy tắc) chung của toán học (định nghĩa, định lý, lý thuyết, quy tắc, định luật, công thức) mà khi vận dụng chúng vào các điều kiện của bài tập hay các kết quả trung gian của nó, ta thu được cái mà bài tập yêu cầu - lời giải của bài tập ([17], tr 22)

G.Polya trong nhiều tác phẩm cuả mình: Giải bài toán như thế nào; Toán học và những suy luận có lý; Sáng tạo toán học tuy ông không đưa ra một định nghĩa chính xác về giải bài tập nhưng rải rác trong các tác phẩm này ông có nêu khá nhiều ý kiến Theo ông, giải bài toán là sự “ tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” ([19], tr 169)

Rõ ràng quan điểm của L.M.Phritman và G.Polya có những điểm tương đồng Đó

là việc xem giải bài tập như là sự tìm kiếm một phương pháp thích hợp để đạt được kết quả “Phương tiện thích hợp” của hai ông trên phương diện toán học chính là các điều

kiện của đầu bài được sử dụng biến đổi sao cho phù hợp với quy luật logic để tìm đến kết quả Quá trình ấy có thể có được trong hoạt động học tập của học sinh Các thuật ngữ G.Polya sử dụng đã phản ánh sâu sắc các thao tác tư duy sử dụng trong quá trình giải bài toán làm nổi bật hoạt động trí tuệ trong quá trình này

1.3.2 Cấu trúc quá trình giải bài tập theo G.Polya

G.Polya và L.M.Phritman cho rằng nhất thiết phải có sự phân biệt cách sử dụng thuật ngữ giải bài tập Nói chung trong nhiều trường hợp, giải bài tập được hiểu như một quá trình được bắt đầu từ khi tiếp nhận bài tập đến khi hoàn thành trọn vẹn lời giải Tuy nhiên, giải bài tập cũng có sự hiểu như là việc trình bày (ghi chép) lại quá trình thực hiện

kế hoạch theo một số bước nào đó Trong nội dung này, chúng tôi sử dụng thuật ngữ theo nghĩa thứ nhất làm công cụ

Theo cách phân chia các giai đoạn của quá trình giải bài tập của L.M.Phritman, giải bài tập là một quá trình bao gồm bốn bước (tài liệu trước 1977)

1) Phân tích bài tập (hay hiểu cách đặt bài toán - G.Pôlya)

2) Tìm kiếm kế hoạch giải bài tập hay vạch ra một chiến lược giải

3) Thực hiện kế hoạch giải và chứng minh rằng kết quả nhận được thoả mãn yêu cầu bài tập hay thực hiện chương trình và thử lại từng bước của chương trình

4) Kiểm tra cách giải hay nhìn lại cách giải

i) Về cơ bản cách phân loại của G.Polya giống L.M.Phritman Sau này L.M.Phritman có thay đổi cách phân chia trên một cách tỉ mỉ hơn bao gồm tám bước trong đó năm bước là bắt buộc (1,3,4,5,7)

(8) Phân tích kết luận bài giải

Với đề tài nghiên cứu thấy rằng cách phân chia theo bốn bước là hợp lý hơn Sau đây ta đi sâu vào từng bước giải bài toán cùng với bảng gợi ý của G.Polya

 Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài tập toán

Bước này bắt đầu từ sự làm quen với bài tập Thực chất đó việc xác định đối tượng của bài tập, làm rõ thành phần cũng như tính chất của mỗi yếu tố: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện và mối quan hệ của chúng (điều kiện của bài tập) Trong trường hợp bài tập có nhiều ẩn, dữ kiện và điều kiện thì phải phân chia chúng thành các phần cơ bản riêng biệt Nghĩa là tách những ẩn, dữ kiện và điều kiện thành nhiều nhóm khác nhau phục vụ cho mục đích giải Bởi nếu không có động tác này các yếu tố trên sẽ lẫn lộn với nhau và người giải khó có thể phân biệt và xác định hướng đi cho mình Bên cạnh đó việc xem xét bài toán có nghĩa hay không cũng là điều cần thiết Đặc biệt đối với những bài toán

có tính chất khoa học và các bài toán mẹo Chẳng hạn với những bài toán mẹo thường là bài toán với các điều kiện khiến cho việc phân tích đi chệch hướng, dẫn đến chỗ giải sai Thông thường việc xem xét đó để dẫn đến việc thiết lập kế hoạch giải Khi người giải phân tích các yếu tố của bài tập và không phát hiện được mối liên hệ giữa chúng hoặc rơi vào tình trạng bế tắc thì không tìm ra cách giải Bài toán lấy sáu que diêm bằng nhau xếp thành bốn hình tam giác đều là một ví dụ Yếu tố tam giác là một hình phẳng đã đẩy người giải đến chỗ đi tìm lời giải trong mặt phẳng là bế tắc Và buộc họ phải quay trở lại giai đoạn ban đầu phân tích các điều kiện để xác định kế hoạch dựng hình trong không gian Bước tìm hiểu nội dung bài tập được tiến hành trong đầu người giải thông qua việc xem xét bài tập nhiều lần và các thành phần của bài tập được ghi lại dưới dạng ký hiệu toán học (hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ ) làm cho bài toán trở nên tường minh, là cơ sở cho các bước phân tích tiếp theo Để thực hiện tốt được bước này nhất thiết ta phải sử dụng bảng gợi ý của Polya

Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thoả mãn được điều kiện hay không? Điều kiện

có đủ để xác định được ẩn không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?

Vẽ hình Sử dụng một ký hiệu thích hợp

Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điều kiện đó thành công thức không? ([17], tr 224) Chúng ta minh hoạ một số điểm nói trên bằng một ví

dụ

Ví dụ Cho hình vuông ABCD và nửa đường tròn đường kính AD và vẽ cung

AC, tâm là D Nối D với P là điểm bất kì trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính ADtại K Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB

Cuộc đối thoại giữa thầy giáo và học sinh có thể bắt đầu như sau:

(?) Bài toán yêu cầu gì?

(!) Chứng minh PK bằng khoảng cách từ P đến AB

(?) Bài toán cho biết gì?

(!) Cho hình vuông ABCD và nửa đường tròn đường kính AD và vẽ cung AC, tâm là

D Nối D với P là điểm bất kì trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính

ADtại K

(?) Hãy vẽ hình đi

Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình giải toán Nó phản ánh sự thông hiểu, sự sáng tạo của người thiết lập xây dựng kế hoạch giải Người giải chỉ có thể lập được kế hoạch giải khi chủ thể có được ý nghĩ, tư tưởng về con đường cũng như khả năng đạt đến mục đích của bài tập Từ chỗ hiểu bài toán đến lúc vạch ra được kế hoạch giải là cả một chặng đường quanh co, phức tạp Bởi chủ thể phải tiến hành một quá trình

tư duy tích cực và huy động tối đa vốn kiến thức kinh nghiệm đã được tích luỹ

Theo Lanđa, những kiến thức đó có thể chia làm hai loại:

- Những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán khi đọc kỹ đầu bài

- Những kiến thức nằm trong kinh nghiệm của người giải

Dễ dàng nhận thấy những kiến thức này là một cầu nối hết sức quan trọng giúp người giải đi từ điều kiện đến kết luận của bài toán Nghĩa là từ các dữ kiện, điều kiện cùng với vốn tri thức được huy động giúp người giải gắn kết chúng lại với nhau để nhìn thấy mối liên hệ giữa ẩn, dữ kiện, điều kiện để đi đến kết quả của bài toán

Vấn đề là những kiến thức, kinh nghiệm đã có được xuất hiện theo cơ chế nào, có phải hoàn toàn quy về trí nhớ hay không?

Theo X.L.Rubinstêin, vốn kinh nghiệm cũ (bao gồm các tri thức, khái niệm, cũng như cách giải các bài tập khác) chỉ quy định khả năng giải bài tập, còn việc phân tích bài tập sẽ quy định việc vận dụng chính những định lý, tri thức này vào quá trình giải Tất nhiên việc nhớ lại định lý, tri thức nào đó tùy thuộc vào chỗ trong quá trình phân tích thông qua tổng hợp, các yếu tố cơ bản của bài toán xuất hiện trong những thuộc tính nào trong những chất lượng nào và theo đó trong những đặc tính có tính khái niệm nào ([22],

tr 319) Có thể coi sản phẩm của quá trình tổng hợp đầu tiên ấy là những hình ảnh tổng hợp sơ bộ ban đầu Như vậy, rõ ràng có mối liên hệ giữa cái bên ngoài và cái bên trong của quá trình tư duy, quá trình giải bài tập như X.L.Rubinstêin khẳng định

“Thử và sai” đây là những khái niệm chủ nghĩa hành vi hay dùng Tuy nhiên, khái niệm này được dùng ở đây không phải với nghĩa là những “phản ứng loạn xạ”, vô hướng, ngẫu nhiên mà nó được xem xét như những “dạng ban đầu của phân tích tổng hợp” ([22],

tr 310) Chẳng hạn khi giải toán hình học, học sinh vẽ thử trên hình thêm một đường nào đó và lấy nó thay tình huống có vấn đề, nhờ vậy sẽ tạo nên những yếu tố và những mối liên hệ mới trong bài toán giúp người giải phát hiện vấn đề Phép thử và sai không trực tiếp tìm ra lời giải của bài toán nhưng nó có thể dẫn người giải đến việc phân tích tình huống có vấn đề, nảy sinh câu hỏi vì sao không giải được cũng như việc phát hiện nguyên nhân thất bại Vì vậy khi thất bại, phép thử lại được tiến hành để đối chiếu với điều kiện mà động tác tổng hợp đó phân tích được Sự phân tích này phát hiện ra các điều kiện chưa được tính đến lúc đầu

Đôi khi sự bế tắc trong lời giải lại đưa đến một ý tưởng đột ngột và bất ngờ làm thay đổi cả hướng phân tích, bài toán trở nên sáng tỏ, rõ ràng và tường minh Chính sự xuất hiện bất ngờ của ý hay theo G.Polya là “ánh sáng bừng lên bất thình lình, chiếu rọi vào những chi tiết trước đó tưởng chừng như mơ hồ, tản mác, lộn xộn, không tài nào nắm được, khiến chúng trở nên sáng tỏ, có trật tự, mạch lạc và hợp lý hơn” ([19], tr.294) Và bài toán trở nên dễ dàng Tóm lại giai đoạn thiết lập chương trình, kế hoạch, chiến lược giải là giai đoạn quan trọng nhất, huy động tối đa tính tích cực hoạt động trí tuệ của cá nhân Phân tích thông qua tổng hợp giúp người giải động viên, huy động, tổ chức kiến thức kết hợp với thử và sai để dự đoán phương hướng giải và xây dựng tư tưởng chỉ đạo cho quá trình giải bài tập Sau đây là bảng gợi ý của Pôlya trong bước này

- Xây dựng một chương trình

Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? hay đã gặp ở một dạng hơi khác?

Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?

Xét kỹ cái chưa biết (ẩn), và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay

có ẩn tương tự

Đây là một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương pháp? Có cần phải đưa thêm một yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?

Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? Quay về các định nghĩa

Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra, thì hãy thử giải một bài toán có liên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần của điều kiện, bỏ qua phần kia

Khi đó, ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Bạn có thể nghĩ ra những dự

kiến khác có thể giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thay đổi ẩn, hay các dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điều kiện hay chưa?

Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? ([17], tr.224-225)

Trở lại ví dụ đã xét ở trên (trang 15 của luận văn ) ta có thể xây dựng bước hai của

ví dụ đó như sau:

(!) Không

(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận tương tự này không

(!) Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau

(?) Rất đúng Có cách nào đưa bài toán đã cho về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau? (!) Gắn các tam giác bằng nhau

(?) Hoàn toàn chính xác Em hãy tìm các cặp tam giác đó đi

(!) Ta kẻ PIAB, khi đó ta sẽ đi chứng minh APK = API.

(?) Bây giờ các em có một cái đích mới là chứng minh hai tam giác APK = API.

(?) Hãy xét kỹ kết luận và thử nghĩ tới một định lý quen thuộc đối với các em có cùng một kết luận như vậy hay có một kết luận tương tự

(!) Hai tam giác bằng nhau thì các góc, các cạnh nào tương ứng bằng nhau

(?) Các em hãy tìm trên hình vẽ rồi dự đoán cặp góc, cặp cạnh nào bằng nhau để hoàn thành bài toán này

(!) Hai tam giác vuông co chung cạnh AP và KPA API

(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận

này không ?

(!) Không

(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận

tương tự này không

(?) Các em có gặp bài toán nào cũng có kết luận

(?) Tôi nghĩ bây giờ các em đã có một chương trình giải bài toán này rồi đấy

 Bước 3 Thực hiện chương trình giải bài tập toán

Theo G.Polya, kế hoạch giải thường là những nét tổng quát xuất hiện dưới dạng các ý nghĩa, tư tưởng Do vậy cần phải đưa vào và hoàn thiện những chi tiết phù hợp với những nét tổng quát đó Đấy chính là việc thực hiện chương trình giải ([17], tr.22)

Thực hiện chương trình giải dễ dàng hơn nhiều so với việc tìm ra nó Tuy nhiên, giai đoạn này cũng đòi hỏi người giải phải tích cực rất nhiều Bên cạnh khả năng nắm vững các bước thực hành, thực hiện đúng các thao tác và quy trình mang tính kỹ thuật người giải phải thực hiện sự kiên trì, nghiêm túc và khoa học Trong mỗi phép tính, lập luận, lời giải phải khúc chiết, rõ ràng Và nhất thiết phải có sự kiểm tra, thử lại mỗi bước thực hiện chương trình

Ta có: DAP cân tại D, nên DAPDPA mà DAPIPA ( hai góc so le trong) suy

ra hai tam giác vuông APK = API( Cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra PKPI

Giáo viên đưa ra câu hỏi

(?) Khi chứng minh PKPIta gắn chúng vào các tam giác bằng nhau

(?) Việc dự đoán được các tam giác bằng nhau có chứa 2 đoạn thẳng trên vô cùng quan trọng

(?) Luôn vẽ hình thật chính xác để có thể dự đoán tốt nhất, rồi vận dụng các giả thiết để chứng minh

(?) Vậy các em đã thực hiện hoàn chỉnh chương trình giải bài toán rồi đấy

 Bước 4 Nghiên cứu kết quả và lời giải của bài tập toán

Cuối cùng khi đã tìm ra lời giải của bài toán, còn điều gì phải làm nữa không? Giống như sau khi làm xong công việc gì dù lớn hay nhỏ, ta thường sơ kết, tổng kết hoặc rút kinh nghiệm Phân tích cách giải là việc làm cần thiết sau mỗi quá trình thực hiện kế hoạch giải Nó cho phép người giải nhìn nhận lại cách giải của mình, những cái đã làm

và những cái chưa làm được Người giải phải tin là mình đúng, tuy nhiên sai lầm cũng khó thể tránh khỏi Vì thế phân tích cách giải sẽ khắp phục được tất cả những điều này Hơn nữa, việc phân tích cách giải không phải chỉ có ích cho bài toán đang xét mà quan trọng hơn là người giải có thể nhìn thấy được mối quan hệ giữa nó với những bài tập khác và có thể xây dựng cho mình một phương pháp giải của một loại bài tập nào đó

Trong bước này ta nên dùng các câu hỏi của bảng gợi ý của G.Polya như sau: Bạn có thể kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải của bài toán không?

Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?

Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán nào khác không?” ([17], tr.225-226) Sau khi đã tìm được cách giải của ví dụ ban đầu ta tiếp tục có bước 4

(?) Các em có thể giải bài toán này bằng cách khác

không?

(?) Ngoài cách đưa bài toán về chứng minh hai tam

giác bằng nhau như cách làm trên bạn có thể làm

cách nào khác để đưa bài toán đã cho về bài toán

chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

(?) Ta có thể chứng minh hai gócKAPPAI

(?) Nếu đổi thay đổi thành hình chữ nhật ABCD liệu bài toán còn đúng không?

(!) Không Khi đó sẽ không thể vẽ được đường tròn tâm D có cung AC

(?) Khi thay đổi thành hình thoi thì

Trên đây là bốn bước điển hình theo cách phân chia của G.Polya Việc phân loại này chủ yếu dựa vào tiến trình phát triển của các hành vi giải từ khi tiếp nhận cho đến khi hoàn thành bài tập

Trong công trình nghiên cứu vận dụng tư tưởng sư phạm của G.Pôlya, Trần Luận ([13], tr.92-94) đã tìm hiểu những công trình của một số tác giả khác nhau bàn về việc học giải bài toán Có thể kể đến các tác giả L.M.Phơritman-E.N Turitxki - V.ta.Xtelxencô trong “Học giải các bài toán nh thế nào?” đã đề xuất sơ đồ các bước tìm kiếm lời giải các bài tập toán như sau:

“- Trong khi đọc kỹ bài toán, cần phải cố gắng xác định được bài toán thuộc dạng nào?

- Nếu các bạn đã nhận ra được trong đó bài toán chuẩn của dạng quen biết, thì hãy vận dụng quy tắc đã biết để giải nó

- Nếu bài toán là không chuẩn thì cần phải hành động theo hai hướng: Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ nó ra thành những bài toán nhỏ có dạng chuẩn (thủ pháp chia nhỏ)

- Diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn nó đến một bài toán có dạng chuẩn (thủ pháp mô hình hoá)

- Để thực hiện thủ pháp chia nhỏ hoặc mô hình hoá được dễ hơn, trước tiên cần xây dựng một mô hình trực quan bổ trợ của bài toán, viết nó dưới dạng sơ đồ

- Việc dẫn một bài toán không chuẩn đến các bài toán chuẩn bằng các thủ pháp chia nhỏ hoặc mô hình hoá là một nghệ thuật, mà chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của sự tự phân tích sâu sắc thường xuyên các hành động giải toán và thường xuyên luyện tập giải các loại bài toán khác nhau

Các bạn hãy nhớ rằng giải các bài toán là dạng hoạt động sáng tạo, còn việc tìm ra lời giải là một quá trình phát minh Hãy học sáng tạo và phát minh trong quá trình giải các bài toán

Cũng cần phải thấy rằng, quyển sách “Giải một bài toán như thế nào?” của G.Poya viết ra dành cho nhiều đối tượng bạn đọc khác nhau và đối với tất cả các loại bài toán khác nhau, nên không thể tránh được tính khái quát cả về các chỉ dẫn và gợi ý V.N Puskin trong “Ơvơritika - khoa học về tư duy sáng tạo” đã nhận xét rằng: “ Tác giả G.Polya đã cố gắng đưa ra một số các quy tắc mà tuân thủ theo chúng có thể sẽ đi đến các phát minh, nhưng ông không phân tích hoạt động tâm lý tương ứng với các quy tắc này Vì vậy, nhiều chỉ dẫn và gợi ý mang tích chất rất chung: Quy tắc thứ nhất - phải có khả năng và may mắn Quy tắc thứ hai - phải kiên trì và nhẫn nại, không thoái lui khi chưa xuất hiện ý hay sơ đồ giải toán bao gồm bốn giai đoạn: hiểu cách đặt bài toán; xây dựng chương trình giải; thực hiện chương trình; nghiên cứu kết quả nhận được Trong tiến trình thực hiện các giai đoạn này người giải bài toán cần trả lời các câu hỏi sau: Cái

gì chưa biết? Cái gì đã cho? Đâu là điều kiện? Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa, hay bài toán ở một dạng hơi khác? v.v Không khó thấy rằng sơ đồ này nhấn mạnh đến một nguyên tắc hay một thành phần của hoạt động Ơritxtic, đó chính là sử dụng kinh nghiệm

đã có ở dạng này hay dạng khác” Nhận xét này của Puskin không phải là không hợp lý khi chỉ đề cập đến một tác phẩm “Giải một bài toán như thế nào?” riêng biệt Tuy nhiên, trên thực tế các suy nghĩ và các ý tưởng chính trong đó đã được G.Polya triển khai đầy

đủ và có cơ sở trong hai bộ sách tiếp theo “Toán học và những suy luận có lý” và “Sáng tạo toán học”

Đặc điểm nổi bật trong tư tưởng của G.Polya là trong các công trình sư phạm của mình ông không chỉ đề xuất các quan điểm lý thuyết mà luôn kèm theo các biện pháp thực hiện rất có giá trị thực tiễn Nếu tác phẩm “Giải một bài toán như thế nào?” chỉ mới

đề cập chủ yếu đến quy trình tổng quát của hoạt động giải toán (và hoạt động Ơritxtic nói chung), thì trong hai tác phẩm tiếp theo ông đã đi sâu phân tích bản chất của quá trình giải toán cùng với quá trình dạy giải toán, cũng như trình bày hầu như đầy đủ các phương tiện và biện pháp cần thiết (đặc biệt là các thủ pháp cơ bản của suy luận có lý) trong quá trình giải toán, trong quá trình sáng tạo toán học, mà học sinh (thậm chí cả giáo viên) cần được trang bị và bồi dưỡng ở một mức độ thích hợp

Đặc điểm nổi bật trong tư tưởng của G.Polya là trong các công trình sư phạm của mình ông không chỉ đề xuất các quan điểm lý thuyết mà luôn kèm theo các biện pháp thực hiện rất có giá trị thực tiễn Nếu tác phẩm “Giải một bài toán như thế nào?” chỉ mới

đề cập chủ yếu đến quy trình tổng quát của hoạt động giải toán (và hoạt động Ơritxtic nói chung), thì trong hai tác phẩm tiếp theo ông đã đi sâu phân tích bản chất của quá trình giải toán cùng với quá trình dạy giải toán, cũng như trình bày hầu như đầy đủ các phương tiện và biện pháp cần thiết (đặc biệt là các thủ pháp cơ bản của suy luận có lý) trong quá trình giải toán, trong quá trình sáng tạo toán học, mà học sinh (thậm chí cả giáo viên) cần được trang bị và bồi dưỡng ở một mức độ thích hợp

1.3.3 Vai trò của việc vận dụng quy trình giải bài tập toán của G.Polya

Thông qua việc vận dụng quy trình giải bài tập toán của G.Polya, giúp học sinh thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định

lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Giải bài tập toán bằng quy trình G Polya giúp học sinh nhìn nhận và tiếp cận bài toán một cách đơn giản hơn thông qua các câu hỏi gợi mở của giáo viên Đứng trước một bài tập toán, học sinh phải làm việc gì đầu tiên, người thầy phải hướng dẫn trò như thế nào để phá vỡ những bế tắc, tìm ra được hướng đi đúng đắn, để dẫn trò từ tình huống

lạ về con đường quen thuộc - từ đó tìm ra lời giải của bài toán, giúp học sinh hứng thú trong việc học toán Việc hướng dẫn học sinh tìm hiểu, xác định và vận dụng một số quy trình khi giải các dạng bài tập toán thông qua việc vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya còn góp phần hình thành và phát triển tư duy thuật toán cho các em

1.4 Chương trình hình học lớp 10 và thực trạng giải bài tập hình học 10

1.4.1 Chương trình hình học lớp 10

Chương trình hình học lớp 10 nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về vectơ, phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Tuy nhiên về hình học từ trước đến nay, học sinh được tiếp cận chủ yếu là hình học sơ cấp trong suốt thời gian từ lớp 6 đến hết lớp 9 Nội dung kiến thức liên quan tới vectơ cũng như phương pháp tọa độ trong phẳng là hoàn toàn mới mẻ Do vậy bước vào chương trình hình học lớp 10, học sinh gặp rất nhiều khó khăn Chẳng hạn ở hình học THCS chỉ là các bài toán liên quan tới đoạn thẳng, góc, các hình, còn khi sang hình học 10 nội dung hoàn toàn khác khi học sinh phải tiếp cận với các nội dung liên quan tới vectơ, phương pháp tọa độ trong phẳng, nên các mối quan hệ trở nên phức tạp hơn

Với phương pháp tọa độ trong phẳng có mối liên kết vô cùng chặt chẽ với hình học THCS Việc phát hiện và chứng minh được tính chất hình học là vô cùng quan trọng,

nó như là “chìa khóa” để tháo gỡ các bài toán liên quan tới phương pháp tọa độ trong phẳng Tuy nhiên, việc đa số học sinh “ sợ” học hình từ THCS, dẫn đến việc mất gốc nên việc dạy học hình học 10 gặp rất nhiều khó khăn Đây là trở ngại lớn nhất đối với tất cả học sinh và giáo viên khi học và dạy hình học 10.Xuất phát từ đặc điểm nội dung môn học này, luận văn nghiên cứu sâu hơn về hành động giải bài tập - bài tập hình học lớp 10 Xét theo quan điểm cấu trúc dưới hai góc độ:

- Số lượng các phần tử tham gia cấu thành sự vật

+ Bài tập chứng minh: 59 bài (43,4%)

+ Bài tập dựng hình: 14 bài (10,3%)

+ Bài tập quĩ tích: 4 bài (2,9%)

+ Bài tập tổng hợp 30 bài (22,1%)

Nhưng nhìn chung đây là những bài tập mang tính khái quát và tổng hợp Thường

để giải được bất kỳ một bài tập nào, người học không thể chỉ đơn điệu sử dụng một phương pháp nhất định Ví dụ để tính toán hoặc chứng minh bắt buộc học sinh phải thực hiện tốt được thao tác vẽ hình, dựng hình Đặc biệt nhiều khi tất cả những thao tác này đều được sử dụng trong cùng một bài giảng Đó chính là điểm khác biệt nổi trội của bài tập hình học lớp 10 so với các chương trình học trước đây Tính phức tạp, đa dạng đã gây nên những khó khăn nhất định trong quá trình phân tích và tổng hợp dữ liệu đối với người giải Tuy nhiên nó cũng là cơ sở phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

1.4.2 Thực trạng giải bài tập hình học của học sinh lớp 10 THPT

* Thực trạng của giáo viên khi dạy học vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya

Qua khảo sát 16 giáo viên Toán tại hai trường PTDTNT THPT huyện Mường Chà

và trường THPT Mường Chà – Điện Biên, hầu hết giáo viên chưa chú trọng vào việc vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya, có rất ít giáo viên để ý tới

- Giáo viên đôi khi vẫn còn mơ hồ trong việc đưa ra hệ thống các câu hỏi, còn chưa hiểu sâu sắc về các bước của giải bài toán của G Polya

* Thực trạng giải bài tập hình học của học sinh

Nghiên cứu vấn đề này chúng tôi sử dụng phiếu hỏi đối với 150 học sinh (câu hỏi

1 trong phụ lục 1), kết quả thu được:

Bảng 1 Vị trí khó khăn của ba phân môn: Phương trình, hệ phường trình - Hình

học – Góc lượng giác và cung lượng giác

+ Hình học ở vị trí thứ nhất có 115 ý kiến (76,7%) trong khi:

+ Phương trình, hệ phương trình ở vị trí khó khăn thứ nhất có 18 ý kiến (12%) + Góc lượng giác và cung lượng giác ở vị trí thứ nhất có 17 ý kiến (11,3%)

* So sánh mức độ khó khăn giữa học lý thuyết và giải bài tập hình không gian đối với học sinh (kết quả thể hiện ở bảng 2):

Vị trí khó khăn Phân môn

Bảng 2 Mức độ khó khăn giữa học lý thuyết và giải bài tập hình 10

Bảng 3 Mức độ khó khăn của bài tập hình học trong chương trình lớp 10

- Những bài tập hình học có trong chương trình đối với học sinh chủ yếu mang tính vừa sức và ở mức độ cao hơn một chút Nó hoàn toàn không phải là những dạng bài tập quá khó đối với các em Trường hợp xuất hiện ý kiến cho rằng quá dễ và quá khó rơi vào hai học sinh cá biệt trái ngược nhau, một học sinh nổi trội về môn toán (học sinh giỏi cấp tỉnh) và một học sinh quá kém ở bộ môn này

Trao đổi với giáo viên bộ môn về nội dung chương trình môn học, chúng tôi được biết những bài tập dành cho học sinh có trong chương trình là những bài tập mang tính vừa sức, phù hợp với trình độ nhận thức của các em Theo họ, chương trình đã được chỉnh lý và giảm tải rất nhiều so với trước đây Vì thế, chúng không phải là những bài tập

có yêu cầu quá cao đối với học sinh Nhưng trong quá trình giải bài tập, các em vẫn gặp không ít khó khăn, nhất là đối với phân môn hình học

Từ những kết quả nêu trên, chúng tôi có một số kết luận sơ bộ sau:

+ Trong các nội dung môn học, môn toán đặc biệt phân môn hình học là những lĩnh vực học sinh gặp khá nhiều khó khăn trong quá trình tiếp thu lĩnh hội tri thức và vận dụng chúng vào quá trình giải bài tập Mức độ khó khăn này diễn ra theo nhiều góc độ khác nhau, ở những đối tượng khác nhau là khác nhau

+ Bài tập có trong chương trình môn học dành cho học sinh là những bài tập mang tính vừa sức, phù hợp với trình độ nhận thức của các em Tuy nhiên trong quá trình giải bài tập có không ít những vướng mắc xảy ra gây nên khó khăn đối với học sinh Vậy thực trạng của những khó khăn trong quá trình giải bài tập của học sinh như thế nào, đâu

là nguyên nhân của thực trạng đó, luận văn tiếp tục nghiên cứu để trả lời các câu hỏi này

* Thực trạng giải bài tập hình học của học sinh lớp 10, THPT

Nghiên cứu vấn đề này, bắt đầu từ việc tìm hiểu và đánh giá sơ bộ chất lượng học toán nói chung, phân môn hình học nói riêng để xây dựng một bức tranh tổng thể về thực trạng giải toán nói chung và giải bài tập hình học nói riêng của học sinh

Với việc thống kê điểm số của các bài kiểm tra ở từng phân môn: Phương trình, hệ phường trình - Hình học – Góc lượng giác và cung lượng giác của học sinh năm học

2017 - 2018, tính theo giá trị trung bình chúng tôi thu được

Bảng 4 Kết quả học tập các phân môn toán của học sinh

Phân môn Phương trình, hệ

phương trình (4 bài) Hình học (4 bài)

Góc lượng giác và cung lượng giác (4 bài)

Kết quả bảng 4 cho phép chúng tôi rút ra một số nhận xét

+ Chất lượng giải toán nói chung, giải bài tập hình học nói riêng của học sinh chỉ đạt trung bình so với yêu cầu của chương trình đề ra

+ Trong ba phân môn, hình học là phân môn có chất lượng giải bài tập thấp nhất, phù hợp với ý kiến cho rằng nó là phân môn có nhiều khó khăn nhất trong quá trình giải bài tập của học sinh

Những nhận xét này chưa thể phản ánh đầy đủ chất lượng giải toán của học sinh,

nó chỉ là những định hướng ban đầu trong tiến trình nghiên cứu Vấn đề đặt ra ở đây là

vì sao trong cùng điều kiện khách quan như nhau, cùng một chủ thể hoạt động, việc giải bài tập hình học của học sinh lại có chiều hướng khó khăn đến vậy so với giải bài tập phương trình, hệ phương trình và góc lượng giác và cung lượng giác

* Để thấy rõ hơn thực trạng giải bài tập hình học của học sinh lớp 10, chúng tôi tiến hành phân tích các kết quả của bài giảng thông qua việc tổng hợp và thống kê những lỗi, những sai lầm mắc phải trong quá trình giải các bài tập thực nghiệm của học sinh (kết quả được thể hiện ở bảng 5)

Bảng 5 Những bước thường gặp sai lầm khi giải toán hình học 10 THPT

Hiểu đề Mô tả dưới dạng

hình vẽ

Vận dụng kiến thức

Số liệu ở bảng 5 cho thấy: Nhìn chung con số học sinh mắc sai lầm trong quá trình giải bài tập toán là khá cao với tỉ lệ chung là 54% Điều này chứng tỏ khó khăn mà các

em gặp phải trong tiến trình giải bài tập

* Qua khảo sát 150 học sinh được hỏi đều trả lời có “khó khăn” trong quá trình giải bài tập hình học nhưng ở nhiều mức độ khác nhau, trong những giai đoạn khác nhau

Cụ thể, những khó khăn thường xảy ra là:

+ Không hiểu đầu đề bài toán : 24 ý kiến (16 %)

+ Không vẽ được hình : 15 ý kiến (10%)

+ Hiểu bài nhưng không biết vận dụng kiến thức đã học: 62 ý kiến (41,3%)

+ Không biết dựng hình: 52 ý kiến (34,6%)

+ Không biết chứng minh: 92 ý kiến (61,3%)

+ Thường xuyên mắc lỗi trong tính toán, suy luận: 74 ý kiến (49,3%)

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1

Môn toán nói chung, phân môn hình học lớp 10 nói riêng là “mắt xích” quan trọng của chương trình THPT Bản thân nội dung môn học có tính khái quát, trừu tượng khá cao đòi hỏi người học phải có khả năng tư duy linh hoạt, trí tưởng tượng phong phú Do vậy quá trình giải bài tập toán nói chung, bài tập hình học nói riêng góp phần quan trọng Học sinh mắc sai lầm

Bước tiến hành

vào việc rèn luyện tư duy độc lập, sáng tạo cũng như nhiều phẩm chất tốt đẹp của người học: tính tích cực, sáng tạo, tinh thần kiên trì vượt khó

Tuy nhiên cũng từ những đặc điểm của môn học mà trên thực tế học sinh gặp không ít khó khăn trong quá trình tiếp nhận bài giảng và nhất là khi tiến hành giải bài tập hình học, đặc biệt là hình học 10, từ đó làm hạn chế kết quả dạy - học cũng như lòng say

mê, ham thích bộ môn của các em học sinh Tìm cách khắc phục khó khăn trên để nâng cao chất lượng giải bài tập toán nhằm nâng cao chất lượng dạy toán luôn luôn là vấn đề thường trực, bức thiết đặt ra đối với mỗi giáo viên toán THPT (từ đó cũng thu hút được

sự quan tâm của các nhà giáo dục học, các nhà tâm lý học sư phạm) Trong một số phương pháp giải quyết hiện nay, phương pháp rèn luyện cho học sinh thường xuyên vận dụng quy trình giải bài toán của G.Polya vào giải một số bài toán hình học 10 THPT, có một ý nghĩa thiết thực và hết sức hiệu quả Vận dụng tốt quy trình này giúp cho học sinh giảm bớt khó khăn trong việc giải bài tập hình học nói riêng, bài tập toán nói chung

Bảng gợi ý của G.Polya rõ ràng là “rất có ích cho giáo viên trong quá trình dạy

học giải bài tập toán Người giáo viên cần suy nghĩ, vận dụng linh hoạt bảng này để có thể xác định những câu hỏi, những việc làm đúng lúc, đúng chỗ và phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh; mang lại hiệu quả và đạt mục đích của việc dạy học giải bài tập” ([9], tr 215)

Có thể thấy rằng: Trong mỗi bước hướng dẫn giải bài tập toán theo quy trình của

G.Polya, giáo viên cần thiết sử dụng bảng gợi ý của ông

Nhất trí với quan điểm của Trần Luận khi nghiên cứu vận dụng tư tưởng sư phạm của G.Polya ([13], tr 95), chúng tôi thấy rằng: Do tầm vóc lý luận cao cũng như tính khái quát của các thủ pháp suy luận không cho phép tác giả sử dụng nhiều ví dụ phù hợp với trình độ học sinh phổ thông Vì vậy cần có các công trình nghiên cứu trung gian để chuyển các ý tưởng và biện pháp sư phạm của ông vào thực tiễn dạy học toán phổ thông

Và trên thực tế, từ ngày các công trình của ông xuất hiện đã có nhiều công trình nghiên cứu theo hướng đó Tuy nhiên, có rất ít công trình nghiên cứu các biện pháp đưa lần lượt các thủ pháp suy luận có lý này một cách thích hợp vào tiến trình dạy học toán chính

khoá (hoặc vào chương trình) Các công trình đã có đều chủ yếu đi theo hướng xuất phát

từ các thủ pháp cụ thể để đưa vào các ví dụ minh hoạ và vào bài luyện tập (Thường là tản mạn, không gắn vào từng chủ đề kiến thức trong chương trình) Vì vậy, các công trình này chủ yếu phục vụ cho việc đọc thêm hoặc ngoại khoá và do đó chưa phát huy đầy đủ sức giáo dục vốn có của chúng.Vì vậy đề tài này cũng nghiên cứu theo hướng đưa tư tưởng sư phạm của Polya vào thực tiễn dạy học toán phổ thông và cụ thể là dạy học hình học lớp 10 với mong muốn giúp giáo viên và học sinh phổ thông có thể lựa chọn và vận dụng một cách thuận lợi

Với ý nghĩa làm cơ sở lí luận và thực tiễn, chương 1 của luận văn tìm hiểu về bản chất và cấu trúc của quá trình giải bài tập, đặc biệt là những tư tưởng sư phạm quan trọng của G.Polya về dạy học giải bài tập toán Đồng tìm hiểu thực trạng dạy và học môn hình học ở trường phổ thông, tập trung vào việc giải bài tập hình học lớp 10 Những nghiên cứu về lí luận và thực tiễn đó cho thấy cần thiết và có thể vận dụng quy trình G.Polya vào dạy học giải toán hình học 10 THPT

Chương 2 RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH VẬN DỤNG QUY TRÌNH GIẢI BÀI TẬP CỦA G POLYA TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC 10 THPT

Trong chương này, sẽ trình bày các dạng bài tập hình học 10 mỗi dạng bài tập được thông qua các ví dụ tiêu biểu để phân tích lời giải Qua đó đưa ra các tri thức phương pháp hoặc những kết luận sư phạm lời giải mỗi dạng bài tập cụ thể

Hệ thống bài tập trong chương này nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình giải bài toán của G Polya thông các bài tập hình học 10.Tìm đường lối giải bài toán là khâu quan trọng trong quá trình giải toán, yêu cầu học sinh phải từ các

dữ liệu của bài toán bao gồm: giả thiết, điều kiện có trong bài toán để xác định:

- Thể loại bài toán

- Phát hiện được mối liên hệ có tính tất yếu giữa giả thiết và kết luận, giữa những điều đã cho và những điều bài toán đòi hỏi

- Vạch ra phương hướng giải bài toán

- Tìm được công cụ và phương pháp thích hợp để giải bài toán

Khi giải toán cần chú ý tìm kiếm những bài toán có liên quan và đề xuất ra những bài toán mới Trong quá trình tiến hành giải một bài toán, học sinh có thể sử dụng các phương pháp khác nhau, các suy luận khác nhau và tìm ra các lời giải khác nhau Vì vậy, để tìm được lời giải hay cho một bài toán, học sinh cần phải kiểm tra và nghiên cứu kỹ lời giải

Đặc biệt đối với những bài toán không có thuật giải, đòi hỏi học sinh phải tích cực suy nghĩ tìm tòi lời giải và có phương pháp suy luận hợp lý đồng thời cần có kinh nghiệm trong việc sử dụng các công cụ để giải toán

Để phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh, hệ thống bài tập được đưa ra từ

dễ đến khó Có những bài tập cơ bản có thể dùng các công thức, định lý đã học để chứng minh và kết quả của những bài tập này có thể vận dụng vào chứng minh các bài toán khác Có những bài tập phải sử dụng kiến thức tổng hợp nhằm rèn luyện kĩ năng, khả năng vận dụng kiến thức, khả năng phát triển tư duy cho học sinh

2.1 Định hướng rèn luyện cho học sinh vận dụng quy trình G Polya vào dạy học giải tập hình học lớp 10

2.1.1 Nguyên tắc: Để dạy học giải một số dạng toán hình học lớp 10 THPT, chúng tôi

vận dụng quy trình giải bài toán của G.Polya theo ba nguyên tắc

- Chỉ dựa vào những kiến thức có trong sách giáo khoa

- Với 27 bài tập trong luận văn thuộc kiến thức ở SGK hình học lớp 10 được phân loại thành 9 dạng cơ bản dựa vào phân phối chương trình Do vậy việc phân loại này mang tính chất tương đối nên có những dạng tưởng như lặp đi lặp lại nhưng thực chất là

có sự phân biệt, chẳng hạn đối với dạng toán “Xác định tọa độ các điểm, viết phương

trình đường thẳng” Tuy trong chương trình hình học lớp 10 còn một số dạng khác,

nhưng do khuôn khổ hạn chế của luận văn không thể giải quyết triệt để được

- Việc giải bài toán phải thực hiện đúng quy trình của G.Polya

2.1.2 Trình bày: Dựa trên quy trình bốn bước giải bài toán và bảng gợi ý của G.Polya

sắp xếp và khai thác các dạng bài toán theo cách thức sau:

Trong mỗi dạng đưa ra số lượng bài vừa đủ để rút ra những chú ý sư phạm cần thiết khi dạy học mỗi dạng đó và cấp độ từ dễ đến khó được chia thành hai loại

Loại 1: Các bài tập dẫn dắt học sinh phát hiện lời giải và qua đó hình thành quy

trình hoặc phương pháp giải từng dạng

Đối với những bài tập đơn giản chỉ ra ngay kết quả hoặc chỉ dẫn ngắn

Đối với những bài tập không quá đơn giản thì đưa ra những gợi ý để hướng dẫn học sinh giải bài tập đó theo quy trình bốn bước của G.Polya

Qua mỗi bài tập đều nhận xét tạo tiền đề để xây dựng phương pháp hoặc quy trình giải ở từng dạng bài

Loại 2: Các bài tập áp dụng cho dưới dạng kết quả hoặc hướng dẫn giúp cho học

sinh tự luyện tập sau mỗi dạng bài

Trong luận văn có 27 bài trình bày theo quy trình bốn bước của G.Pôlya 27 bài tập này giúp cho giáo viên có thể xác định được những câu hỏi, những việc làm đúng lúc, đúng chỗ trong việc hướng dẫn học sinh giải bài tập hình học lớp 10 nói riêng và bài tập

toán nói chung Các bài tiêu biểu này cũng giúp cho học sinh hứng thú trong học tập, lôi cuốn học sinh vào các hoạt động củng cố kiến thức cơ bản, lĩnh hội được kiến thức mới bằng các câu hỏi dẫn dắt của giáo viên và từ đó học sinh khắc phục dần thói quen lười suy nghĩ, tiếp thu kiến thức thụ động Qua các bài toán này giáo viên không chỉ giúp cho học sinh giải được các bài toán đã nêu mà còn có phương pháp suy nghĩ để giải những bài toán tương tự, góp phần nâng cao năng lực giải toán

Do đặc thù của bước 1 (tìm hiểu nội dung bài toán) trong quy trình giải toán của G.Polya khá đơn giản nên với đa số các bài tập, chúng tôi không nêu bước này trong luận văn

Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh biết vận dụng phép tương tự

Biện pháp 4: Rèn luyện cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và hệ thống hóa

phương pháp

2.2 Vận dụng quy trình G Polya vào dạy học một số dạng toán

2.2.1 Tích vô hướng của hai vectơ

Các dạng toán liên quan tới tích vô hướng của vectơ gồm: Tính tích vô hướng, chứng minh đẳng thức nhờ tích vô hướng, chứng minh hai vectơ vuông góc, tìm tập hợp điểm

Dạng 1: Tính tích vô hướng

Tùy theo giả thiết ta có thể dùng các phương pháp: Dùng định nghĩa, dùng định lí hình chiếu, phân tích tích vô hướng thành nhiều tích dưới dạng tổng, hiệu (nhờ các quy tắc vectơ) mà mỗi tích vô hướng thành phần đều tính được

Bài 1([3], tr.25): Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh bằng 1 Tính: