LÝ THUYẾT KIẾN TẠO TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

ĐÂY LÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO NỘI DUNG BÀI TIỂU LUẬN VỀ VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO VÀO DẠY HỌC MỘT SỐ NỘI DỤNG CỦA BỘ MÔN TOÁN TRONG TRƯỜNG TRÌNH THPT, GIÚP ANH CHỊ HỌC VIÊN CAO HỌC CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN CÓ KÊNH THAM KHẢO.

UBND TỈNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC

- -TIỂU LUẬN

HỌC PHẦN PHÁT TRIỂN LÝ LUẬN DẠY HỌC MÔN TOÁN

ĐỀ TÀI: LÝ THUYẾT DẠY HỌC KIẾN TẠO

Giảng viên hướng dẫn :

Lớp :

, tháng 8 năm 2019

NỘI DUNG CƠ BẢN

1 Thuyết phát triển nhận thức của Jean Piaget

Jean Piaget ( 1896- 1980) là nhà tâm lí học Thụy Sĩ Ông là một trong nhữngngười sáng lập môn tâm lí học phát triển và chuyên nghiên cứu về tâm lí học tư duy vàtâm lí học trẻ em

Dựa trên những dữ liệu từ thực nghiệm, J.Piaget xây dựng học thuyết về sựhình thành và phát triển trí tuệ Học thuyết này coi trí tuệ là sự phối hợp các hành độngbên trong của chủ thể, đó là những thao tác Theo ông trí tuệ không bất biến mà pháttriển theo từng cấp độ phụ thuộc vào giai đoạn và thời kỳ được hòa nhập kế tiếp nhaubởi các điều kiện sinh lí của sự phát triển Nó là sản phẩm của sự tác động qua lại giữachủ thể và môi trường

Kiến tạo theo nghĩa từ điển có nghĩa là xây dựng nên một cái gì đó

Theo học thuyết của J Piaget, mỗi lứa tuổi có đặc trưng riêng về chất lượng trítuệ và được coi là một giai đoạn phát triển Mỗi giai đoạn trí tuệ có những đặc trưngsau: Thứ nhất, các thành tựu trí tuệ giai đoạn này là sự kế tiếp giai đoạn trước; thứ hai,

là sự kết hợp thống nhất các cấu trúc đã có từ giai đoạn trước; thứ ba, mỗi giai đoạn làmột cấu trúc tổng thể các sơ đồ chứ không phải là sự xếp chồng các sơ đồ lên nhau;thứ tư, mỗi giai đoạn đều gồm các cấu trúc đã có, dang có và các yếu tố chuẩn bị chogiai đoạn tiếp sau Dựa vào các dấu hiệu trên, Piaget chia quá trình phát triển trí tuệcủa trẻ em thành các giai đoạn lớn, và trong mỗi giai đoạn lớn bao gồm các thời kỳnhỏ

Theo J Peaget, sự xuất hiện và phát triển của trí tuệ là kết quả của hai cơ chế

cơ bản: đồng hóa (assimilation) và điều ứng ( accommodation) Đồng hóa là sự thống

nhất thông tin mới vào cấu trúc tinh thần đang sẵn có Có thể hiểu, cơ chế đồng hóanhững yếu tố của môi trường vào những cơ cấu sẵn có của mình Điều ứng là sự thayđổi một cấu trúc tinh thần để thu vào thông tin mới Điều đó có nghĩa là có sự điềuchỉnh những cơ cấu ấy để thích ứng với những biến đổi của môi trường Khi hai quátrình đồng hóa và điều ứng ở thế cân bằng là đã có sự thích nghi và ở mỗi thời kì tạo ranhững cơ cấu và những cơ chế đặc biệt Chính nhờ hai cơ chế này mà trí tuệ của conngười được phát triển

Như vậy, quá trình nhận thức của học sinh về thực chất là quá trình học sinh

xây dựng nên những kiến thức cho bản thân thông qua các hoạt động đồng hóa và điều ứng các kiến thức và kỹ năng đã có để thích ứng với môi trường học tập mới Đây chính

là nền tảng của lý thuyết phát triển nhận thức trong dạy học

Qua đó có thể thấy tất cả những tri thức đều là sản phẩm của những hoạt động nhậnthức của chúng ta Bằng cách xây xựng trên những kiến thức đã kiến tạo được, học sinh cóthể nắm bắt tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó Kiến thứcđược kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp các khái niệmtheo theo nhiều cách khác nhau Khi đó học sinh có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo

vệ, phê phán về khái niệm đã xây dựng Giao viên đóng vai trò quan trọng trong việc giúphọc sinh xây dựng kiến thức chính xác, tao ra những tình huống để cho học sinh thiết lập cáccấu trúc nhận thức cần thiết Học sinh học toán tốt nhất khi các em được đặt trong một môitrường xã hội tích cực ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về toán theo cáchriêng của chính mình

2 Xu hướng ứng dụng thuyết phát triển nhận thức của J Peaget trong dạy học môn Toán.

a) Các khái niệm cơ bản

- Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức, không tiếp thu mộtcách thụ động từ môi trường bên ngoài

- Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗingười

- Học là một quá trình mang tính xã hội trong đó trẻ em trẻ em dần tự hòa mình vàocác hoạt động trí tuệ của những người xung quanh

- Những tri thức mới của mỗi cá nhân nhận được từ việc điều chỉnh lại thế giới quancủa họ để đáp ứng được những yêu cầu mà tự nhiên và thực trạng xã hội đặt ra

- Kiến tạo vừa mang tính cá nhân (tự mỗi người) vừa mang tính xã hội (trong sự giaolưu với những người khác, trong cộng đồng)

- Học sinh đạt được tri thức mới theo chu trình: tri thức đã có dự đoán kiểm nghiệm(thất bại) thích nghi tri thức mới

b) Xu hướng ứng dụng lí thuyết phát triển nhận thức nhận thức của J.Peaget trong

Theo thuyết kiến tạo, ta có thể quan niệm về dạy học môn Toán như sau:

- Dạy toán là quá trình giáo viên phải tao ra những tình huống học tập cho học sinh,còn học sinh cần phả kiến tạo cách hiểu riêng của mình đối với nội dung toán học

- Dạy toán là quá trình giáo viên giúp học sinh xác nhận tính đúng đắn của tri thức vừađược kiến tạo

- Dạy toán là quá trình giáo viên phải luôn luôn giao cho học sinh những bài toánnhằm giúp các em tái tạo kiến thức một cách thích hợp

- Dạy toán là quá trình giáo viên tạo ra bầu không khí tri thức và xã hội trong lớp học

Để vận dụng lí thuyết kiển tạo trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông ta phảikhai thác từ nội dung dạy học xem chỗ nào có thể cho học sinh tham gia vào quá trìnhkiến tạo tri thức, kĩ năng cho họ Từ đó giáo viên thiết kế tình huống, chuẩn bị các hoạtđộng, câu hỏi, hướng học sinh tham gia vào quá trình kiến tạo Trong quá trình này,học sinh có thể trình bày quan niệm, nhận thức của mình, có thể tranh luận để đi đếnthống nhất ý kiến, giáo viên có thể gợi ý, phân tích các ý kiến, uốn nắn nhận thức chohọc sinh

Các bước thiết kế một pha dạy học theo thuyết kiến tạo:

+ Chọn nội dung dạy học

+ Thiết kế tình huống kiến tạo

+ Thiết kế câu hỏi hoạt động

+ Tổ chức hướng dẫn học sinh tham gia kiến tạo

+ Hợp thức những tri thức kĩ năng mới

HS như là tiền đề quan trọng để tạo ra các tình huống dạy học Việc tạo ra các tìnhhuống dạy học này có thể khai thác theo các hướng:

Thứ nhất: Xuất phát từ các kiến thức mà HS đã biết, dùng các phép khái quát hoá hoặc tương tự hoá để tạo ra tình huống học tập mới.

Ví dụ 1: Khi dạy kiến thức ứng dụng đạo hàm của hàm số để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, để học sinh kiến tạo và khám phá tri thức, chúng ta cần xuất

phát từ các kiến thức học sinh đã được học từ Đại số lớp 10: Nếu hàm số f(x) có tính

đồng biến (tương ứng, nghịch biến) trên (a, b) và kiến thức về giới hạn: nếu hàm số

f(x) > 0 (f(x) < 0), với mọi x thuộc (a, b) và x0 thuộc (a, b) khi đó nếu tồn tại giới hạncủa f(x) khi x dần tới x0 thì giới hạn đó không âm (không dương)

Từ các kiến thức đó có thể tổ chức cho HS suy đoán mối liên hệ giữa dấu đạohàm của hàm số trên một khoảng với tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ 2: Khi dạy học định lý Lagrange, để HS kiến tạo và khám phá tri thức

chúng ta cần xuất phát từ các kiến thức mà HS đã được học trước đó: nếu cho hai điểmA(a; f(a)) và B(b; f(b)) thì ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm đó là

; cho đường cong (C) và điểm M(m; f(m)) thuộc đường cong (C), khi đó hệ

số góc của tiếp tại tiếp điểm M là f ' ( m ); nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số

a ln a

b

Nhìn vào bài toán này thì HS chưa có sự liên tưởng nào đến định lý mà ta vừahọc, nhưng nếu có một chút sự gợi ý của GV thì sự liên tưởng của HS sẽ xuất hiện

Nếu biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh thành bất đẳng thức tương đươngvới nó lần lượt qua từng bước:

b

b

a b

a ln a

b

 b

b a b ln a ln a

b

 b

1 b

a

b ln a

ln a

b a

) b ( f )

1 a

1





, từ đó rút ra điềuphải chứng minh

Thứ ba: Khi dạy một kiến thức Toán học cần khai thác kiến thức đó dưới nhiều góc độ khác nhau nhằm giúp học sinh giải quyết quá trình nhận thức Chẳng hạn, khi dạy định lý Lagrange: “Cho hàm số f ( x )liên tục trên đoạn [a; b], có đạo hàm trên

khoảng (a; b) Tồn tại một số c  (a; b) sao cho: f ' ( c )

a b

) a ( f ) b ( f

Ví dụ 4: Chứng minh rằng ln(x + 1) < x với mọi x > 0

Cho học sinh viết lại bất đẳng thức trên để làm xuất hiện hàm F(x)

Ln(x + 1) - 0 < (x + 1) – 1

1 1

) 1 x (

) 1 ln(

) 1 x ln(

x

) 1 x ln(

c

1 1

) 1 x

(

) 1 ( F ) 1 x

 điều phải chứng minh

Góc độ 2: Có thể sử dụng định lý Lagrange để chứng minh phương trình có nghiệm Nghĩa là từ định lý, nếu F(b) – F(a) = 0 thì  c ( a ; b ) sao cho:

) a ( f )

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình: acosx + bcos2x + ccos3x = 0 có

nghiệm thuộc khoảng ( 0 ;  )với moi a, b, c

Yêu cầu HS tìm nguyên hàm của hàm f(x) = acosx + bcos2x + ccos3x? (F ( x )

3

c x 2 sin 2

b

x

sin

) Rõ ràng hàm F(x) có đạo hàm và liên tục trên [0; ]

và F ' ( x )  a cos x  b cos 2 x  c cos 3 x; F (  )  F ( 0 )  0

Khi đó theo kết quả trên học sinh nhận thấy x0 (0; )

Phươngtrình có nghiệm x0 ( 0 ;  )

Qua ví dụ này có thể yêu cầu học sinh khái quát các bước chứng minh phươngtrình có nghiệm bằng cách sử dụng định lý Lagrange.

Bước 1: Xác định hàm F(x) có đạo hàm và liên tục trên [a; b], thỏa mãn: +

F’(x) = f(x)

+ F(a) – F(b) = 0

Bước 2: Khi đó x0 (a;b) sao cho: f ( x 0 ) 0

a b

) a ( F ) b ( F ) 0 x ( '

Góc độ 1: Có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức Nghĩa là, như HS đã biết dùng đạo hàm có thể xét được tính đồng biến, nghịch

biến của một hàm số trên một miền nào đó, vì vậy có thể ứng dụng để chứng minh khánhiều bất đẳng thức Cụ thể:

Xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b]: Nếu f ' ( x )  0 ;  x   a ; b   hàm số f(x)

đồng biến trên [a; b]  f ( x )  f ( a ) hoặc f ( x )  f ( b )

Nếu f ' ( x )  0 ;  x   a ; b  hàm số f(x) nghịch biến trên [a; b]

) a ( f

Nếu để nguyên dạng điều cần chứng minh thì có thể HS chưa hình dung được

sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài này như thế nào, nhưng nếu có sự gợi ýcủa GV thì các em sẽ khám phá được lời giải của bài toán này; bằng cách hãy biến đổi

tương đương bất đẳng thức đã cho về dạng: 0

2

2xx1x

, lúc này các em

2xx1xe)x(

và có:

x 1 x e )

 với x > 0  f ' ( x )  0 với x > 0  (x) (0) với x > 0

02

2xx1

x



với x > 0 suy ra điều phải chứng minh

Góc độ 2: Có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình Nghĩa là: nếu hàm số y = f( x) tăng trên khoảng (a; b) và y = g(x) giảm

trên khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng(a; b) Do đó nếu có x 0 (a;b)

: f(x0) = g(x0) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệmduy nhất Hay hàm số y = f(x) đơn điệu trên D ta có f(x1) = f(x2)  x1 = x2

Ví dụ 7: Tìm các cặp số x; y thuộc khoảng (0; ) thỏa mãn hệ:

y x gy cot gx

cot

Nếu để hệ phương trình như trên thì có thể HS chưa nghĩ ra được áp dụng kếtquả nào trong hai kết quả trên, nhưng nếu có sự gợi ý của GV rằng: các em hãy biếnđổi phương trình (1) sao cho mỗi vế chỉ chứa một biến (

y gy cot x

1)

t('

 f(t) luôn nghịch biến trên (0;

) nên từ (3) suy ra: f(x) = f(y)  x = y

(2) (1)

Thay x = y vào (2) ta có x = y = ( 0 ; )

13

Trên đây chúng tôi đã chỉ ra một số hướng ứng dụng các tính chất của chủ đề

ứng dụng đạo hàm trong việc giải quyết một số bài toán Tuy nhiên các ứng dụng của

nó còn nhiều mà trong khuôn khổ luận văn không có điều kiện để nêu ra hết được,nhưng trong mục 2.1.2 phần nào chúng tôi đã chỉ ra một cách khá khái quát các ứngdụng của chủ đề này trong việc giải Toán

Thứ ba: Khai thác các quan niệm sai lầm của học sinh làm tiền đề cho việc xây dựng các tình huống học tập mới

Thuyết kiến tạo về học tập quan niệm rằng, trí tuệ của HS không bao giờ trốngrỗng Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó chưa được giảng dạy, thì họ cũng đã

có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn liên quan tới đối đượngkiến thức này Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của HS tạo nên những điềukiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới Nhưng cũng có những biểu tượng, dạngthức hành động khá bền vững tạo nên những chướng ngại và thường là nguyên nhândẫn HS tới những sai lầm

Nói cách khác, theo thuyết kiến tạo “Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra … mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây

đã từng có hữu ích và đem lại thành công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa Trong hoạt động của giáo viên cũng như của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình thành nên kiến thức mới”

“Sai lầm là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay đã có từ trước) của học sinh, kiến thức mà cần phá hủy làm mất sự ổn định để thay thế nó bằng kiến thức thích ứng hơn” [49, tr 12 - 14].

Như vậy, thuyết kiến tạo đặc biệt nhấn mạnh đến vai trò chủ động của chủ thể(người học) trong việc sữa chữa sai lầm Điều này hoàn toàn phù hợp với quan điểmnền tảng của thuyết kiến tạo như V Glaserfeld đã nhấn mạnh: “Tri thức được tạo nênmột cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách thụ động từbên ngoài …”

Do đó, để khai thác các quan niệm sai lầm của HS làm tiền đề cho việc xâydựng các tình huống học tập mới giáo viên có thể:

+ Soạn các câu hỏi ngắn và tiền hành điều tra để biết được các quan niệm củaHS.

+ Dự đoán các sai lầm của HS dựa vào kinh nghiệm của GV và nội dung kiếnthức đó

Khi đó GV chỉ cho HS thấy, y  ' 0 với  x  ( a ; b ) chỉ là điều kiện đủ để hàm

số y đồng biến trên ( a ; b ), chứ không phải là điều kiện cần, bằng cách đưa ra ví dụ

hàm số y  x 3

đồng biến trên R nhưng y '  3 x 2  0 khi x= 0 Lúc này, HS tự điềuchỉnh lại sự nhận thức của mình và có thể rút ra được điều: Nếu hàm số y = f(x) xác

định trên (a; b), f ( x ')  0 với  x   a ; b  nhưng ( x ') chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm

thuộc (a; b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) và đi đến lời giải đúng

Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi y  ' 0 với  x  R 

0 2 m mx





với x    2 ; 0 

Có rất nhiều HS đã làm như sau: Ta có:

3 x 2 2 x ' y







và lập bảng biến thiêncủa y với x    2 ; 0 

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy vô lí: Khi x tăng từ - 2

- Hãy tìm tập xác định của hàm số đã cho?

GV tổng hợp các ý kiến của HS rồi đưa ra kết luận

3.2 Phát triển năng lực hình thành và chứng minh các định lý toán học

Xuất phát từ luận điểm thứ ba và thứ tư của LTKT về học tập Theo quan điểmkiến tạo, quá trình dạy học một định lý thường trãi qua các giai đoạn sau: Dự đoán –Kiểm nghiệm – Phát biểu định lý – củng cố định lý

a Dự đoán định lý:

Khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng phươngpháp tiên đề: Xuất phát từ những khái niệm nguyên thủy và các tiên đề rồi dùng cácquy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm và chứng minh các mệnh đề khác (dẫn theo[54, tr 59 - 60])

x - 2 2

3 0

'

y - - 0 + +8 0

Nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìmtòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán; vẫn có thựcnghiệm và quy nạp.

Theo G Polia: “Toán học được coi như là một môn khoa học chứng minh Tuynhiên đó mới chỉ là một khía cạnh của nó Toán học hoàn chỉnh, được trình bày dướihình thức hoàn chỉnh, được xem như chứng minh thuần túy, chỉ bao gồm các chứngminh Nhưng Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhânloại Bạn phải dự đoán về một định lý Toán học trước khi chứng minh nó Bạn phải dựđoán về ý chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết … Nếu việc dạy Toánphản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào, thì trong việc đó,phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có lý” [37, tr 6]

Theo Nguyễn Cảnh Toàn: “Trong việc dạy Toán ở trường hiện nay, do chỉ chú ýtruyền thụ kiến thức mà không chú ý cho học sinh tìm tòi kiến thức nên các phươngpháp thực nghiệm, quy nạp bị coi rất nhẹ” (dẫn theo [54, tr 60])

Để việc dự đoán định lý diễn ra một cách có hiệu quả có thể theo các hướng:

Thứ nhất: Giúp học sinh có những cảm nhận trực quan trước khi phát biểu định lý.

Ví dụ 10: Khi dạy định lý Lagrange: “Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b],

có đạo hàm trên khoảng (a; b) Tồn tại một số c  (a; b) sao cho: b a f (c)

) a ( ) b

GV có thể yêu cầu HS trả lời các câu hỏi sau:

Giả thiết f(x) liên tục trên [a; b] phản ánh đặc điểm gì về đồ thị của hàm số trên[a; b]?

Giả thiết f(x) có đạo hàm trên (a; b) phản ánh đặc điểm gì về tiếp tuyến với đồthị của hàm số trên (a; b)?

y

C f(c)

B f(b)

A

y = f(x) f(a)