Mục lục: Phần 1: Lý thuyết điều chỉnh tự động phần 2: Các thiết bị điều chỉnh tự động phần 3: Một số hệ thống điều chỉnh đối tượng nhiệt trong thực tế
Trang 1CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG
Muốn tìm phương trình vi phân của hệ thống thì ta cần phải xác định phương trình của các khâu tạo nên hệ thống đó
- Để chuyển phương trình vi phân của các khâu thành phương trình vi phân hệ thống thì ta phải loại tất cả các biến số trừ thông số mà ta quan tâm, thường ta giữ lại hằng số của hệ thống và thông số điều chỉnh
- Trong thực tế ta có thể sử dụng 1 trong 3 phương pháp sau:
-
5.1 Phương pháp thế:
Sử dụng hệ thống tự động bể nước có tự cân bằng đầu vào và đầu ra ( trước )
1- Đối tượng điều chỉnh ( bể nước ) 2- Phần tử đo lường (phao )
3- Hệ thống tay đòn Như ta đã biết phương trình vi phân của các khâu trên là:
* Phương trình vi phân của đối tượng :
To ϕ’ + A ϕ = µ - λ (1)
* Phương trình của phần tử đo lường
TP2 ξ’’ + TC ξ’ +δĐL ξ = ϕ (2)
* Phương trình của tay đòn liên hệ :
µ = ξ (3) Viết các phương trình trên dưới dạng thuật toán
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
= +
+
−
= +
ζ µ
ϕ ζ δ ζ ζ
λ µ ϕ ϕ
.
.
.
.
2 2
DL c
P
o
P T P
T
A P
T
(1’) & (2’) & (3’)
Thay 3’ vào 2’ ta có ⇒TP2 P2 µ + TC P µ + δDL µ = ϕ (4) Rút µ từ 4 thay vào 1’ ta được :
2 3
1
ϕ λ
µ
ξ
l
m Ho
∆H
Qr, Pr
∆X
Qv, Pv
m
l
Trang 2λ δ
ϕ
+ +
− +
DL C
P o
P T P T A
P T
.
)
⇒
δ
δ
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+ +
− +
+ +
DL C
p
DL C
p o
P T P
T
P T P
T A T
.
1 )
)(
(
2 2
2 2
[ P C DL]
DL C
DL o P
C o P
o
P T P T
A P AT T
P AT T
T P T T
δ λ
ϕ δ
δ +
+
−
=
− +
+ +
+ +
2 2
2 2 3
2
.
1 )
( ).
(
(5) là phương trình vi phân của hệ thống tự động viết với biến số ϕ dưới dạng thuật toán, nó mô tả tương quan giữa ϕ & λ hay còn gọi phương trình chuyển động có nhiễu của hệ thống
- Khi ta rút nhiễu đi λ = 0 thì ta có phương trình chuyển động tự do của hệ thống và có dạng :
[ To TP2 P3+ ( ToTC + ATP2) P2 + ( To δDL + ATC) P + A δDL − 1 ] ϕ = 0 (6) Phương trình hệ số trước ϕ gọi là phương trình đặc tính của hệ thống
[ To TP2 P3 + ( ToTC + ATP2) P2 + ( To δDL + ATC) P + A δDL − 1 ] = 0 (7)
Giải hệ phương trình 1’ , 2’ , 3’ với biên số µ, lấy (4) thay vào (1’) ( biến µ )
Ta có : T Po { } + A { } = µ λ − trong { } là biểu thức của ϕ từ (4) nhân vào và đặt thừa số chung ta có
⇒ To TP2 P3 ( ToTC ATP2)2P2 ( To. DL ATC) P A DL 1 (5’)
So sánh (5) và (5’) ta thấy dạng phương trình đặc tính của hệ thống không đổi nghĩa là dạng của nó không phụ thuộc vào dạng của biến số mà từ đó phương trình đặc tính thu nhận được
Hệ thống ở đây gọi là hệ thống bậc 3 ( bậc của phương trình đặc tính ) Trong trường hợp chung nhất phương trình mô tả hệ thống tự động bậc n là ( an Pn + an− Pn− + + a P + ao) = ( b Pm m+ bo)
1 1
hoặc A P ( ) ϕ = B P ( ) λ (8’) Nếu hệ thống càng phức tạp thì n càng lớn
Phương pháp này chỉ giải cho trường hợp ít phương trình !
5.2 Phương pháp định thức:
Để thực hiện phương pháp này ta qui ước một số cách viết:
Qui ước : - Tất cả các biến số phụ thuộc của hệ thống viết ở vế trái của phương
trình còn các biến số độc lập viết ở vế phải
- Các phương trình của các khâu được sắp xếp từ trên xuống dưới sao cho những biến số giống nhau nằm trong một cột biến số nào không có trong phương trình của khâu đang xét được viết với hệ số không
(5)
Trang 3Giả sử : hệ thống tự động được mô tả = 1 loạt phương trình sau
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + + + = + + + = + + + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ϕ ϕ1, 2 ϕn - Các biến số phụ thuộc của hệ thống A A1, 2 An - Các biến số độc lập của hệ thống C11 .Cn - Các hệ số trong phương trình động của các khâu Từ lý thuyết của phương trình tuyến tinh thì ta có thể xác định bất kỳ giá trị ϕ nào từ phương trình trên bằng cách : ∆ ∆ = = i nn n n n nn n n n n P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C A P C P C A P C P C A P C ) ( )
( ) (
) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
)
(
) (
)
( ) (
)
( 12 2 22 21 1 12 11 2 2 2 22 1 1 12 1 ϕ ∆ - Là định thức chính từ các hệ số ∆i - Là định thức hình thành tư ìđịnh thức ∆ bằng cách thay cột thứ i = cột hệ số tự do ∆ ∆ = i i ϕ Aïp dụng cho ví dụ trên Viết lại 3 phương trình theo nguyên tắc và chuyển đến dạng thuật toán (1’) ( T Po + A ) ϕ µ − + o ζ = − λ (2’) − 1 ϕ − 0 µ + ( TP2 + TC P + δDL) ζ = 0 (3’) 0 ϕ + 1 µ ζ − = 0 1 1 0 ) ( 0 1 0 1 ) ( 2 − + + − − + = ∆ P C DL o P T T A P T δ ;
1 1
0
) (
0 0
0 1
2
−
+ +
−
−
=
λ
ϕ
Trang 41 0
0
) (
0 1
0 )
(
2
−
+ +
−
− +
=
o
P T T
A P T
δ
λ
0 1 0
0 0 1
1 ) (
−
−
− +
=
∆
λ
ξϕ
A P
T o
Khai triển các định thức này ⇒ ϕ = ∆ ϕ
∆ ; µ = ∆ µ
∆ ; ζ = ∆ ζ
∆
∆ = − T To. P2 P3+ ( T To C + ATP2)2P2 + ( To δDL + ATC) P + A δDL − 1
∆ ϕ λ = ( TP2 P2 + T PC + δDL)
⇒ Ta cũng được phương trình (5) tức là :
[ P C DL]
DL C
DL o P
C o P
o
P T P T
A P AT T
P AT T
T P T T
δ λ
ϕ δ
δ +
+
−
=
− +
+ +
+ +
2 2
2 2 3
2
.
1 )
( ).
(
5.3: Phương pháp dùng hàm số truyền của các khâu và của hệ thống:
Tìm hàm số truyền của các phần tử
- Của đối tượng :
W P ( )dt =
−
ϕ
µ λ
- Các bộ điều chỉnh
W P ( )BDC = µ
ϕ và W P ( )HT = ϕ
λ Nếu hệ trên là hở ( đứt )
⇒ W (P)HTHở = W(P)đt W(P) BĐC Từ trên ⇒ µ = W ( P )BDC ϕ
ϕ λ ϕ
λ ϕ
+
=
) ( )
BDC
P W P
W
dt BDC
P
1
⇒
λ
ϕ µ
Trang 5P
1
⇒ (10)
−
ϕ λ
W P
W P
dt HTH
( ) ( ) 1
Vậy W(P)HTK =
HTH
dt
P W
P W
) ( 1
) (
Thực chất (10) cũng là phương trình vi phân viết dưới dạng thuật toán ⇒ phần trước ϕ cũng là phần đặc tính của hệ thống
⇒ Phương trình đặc tính của hệ thống
1 - W(P) HTH = 0
Vậy từ tính chất của hệ hở ta có thể suy ra đặc tính của hệ kín ( quan trọng ) Thường trong thực tế µ và λ trái dấu nhau do đó phương trình đặc tính của hệ thống là:
1 + W(P) HTH = 0
Ví dụ:
Đối với đối tượng bể nước:
A P T P
+
= 0
1 )
(
dl C P
BDC
P T P T P
W
δ
+ +
= 2 2 1 )
(
=> ( P )( P C dl)
HH
P T P T A P T P
W
δ
+ + +
) (
Vậy phương trình đặc tính hệ thống là 1 ( )( 212 )=0
+ + +
−
dl C P
P P A T P T P