Tự động hóa quá trình nhiệt - P1 - Chương 4

Mục lục: Phần 1: Lý thuyết điều chỉnh tự động phần 2: Các thiết bị điều chỉnh tự động phần 3: Một số hệ thống điều chỉnh đối tượng nhiệt trong thực tế

CHƯƠNG 4: CÁC KHÂU TIÊU BIỂU CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG VÀ

CÁC ĐẶC TÍNH ĐỘNG CỦA CHÚNG

4.1: Phân loại các khâu:

Một phần tử có tính chất động học nhất định gọi là khâu Vậy khâu động học là một phần tử của hệ thống tự động mà có một đặc tính động nào đó

Ví dụ

1- Xét mạch điện có phương trình động

L

d q

d t R

d q

d t C q U

2 2

1

hay L.q ' +Rq ' + C1 q =U

2- Xét một hệ cơ khí như hình vẽ:

Khi đặt một tác động f vào vật M thì hệ có phương trình động viết dưới dạng vi phân

d t

d x

2

X - độ chuyển dịch vật M khối lượng m

λ - Hệ số lực giảm chấn

C - Hệ số đặc trưng độ cứng của lò xo Lx Hay: λ.m.X '+X '+C.X = f

Vậy xét về tính chất động học 2 hệ trên cùng loại vậy chúng là một khâu cùng loại và chúng ta chỉ xét mặt biến đổi của hệ chứ không cần biết đó là loại hệ gì Với mỗi khâu ta có thể ký hiệu bằng sơ đồ thuật toán như sau

X (t) - Tín hiệu vào của khâu là tất cả những yếu tố tác dụng lên khâu làm trạng thái của khâu thay đổi

Y (t) - Tín hiệu ra của khâu là thông số đặc trưng cho sự thay đổi trạng thái của khâu

Dựa vào đặc điểm phương trình của các khâu động học mà chúng ta có thể phân khâu thành các loại:

- Khâu nguyên hàm (khâu tỷ lệ hay còn gọi là khâu khuếch đại)

- Khâu vi phân ( khâu quán tính bậc 1, ở đk ổn định lượng ra tỷ lệ với lượng vào)

- Khâu tích phân ( lượng ra tỷ lệ với tích phân lượng vào)

- Khâu hổn hợp

R

L

C (q)

Lx C

λ

f

X

KHÂU

4.2: Các đặt tính động của các khâu trong hệ thống tự động

Để mô tả tính chất động của khâu trong hệ thống tự động ta sử dụng 1 trong số các đặc tính động sau:

4.2.1 Phương trình vi phân :

Xét khâu đối tượng như chương 3 đã nghiên cứu nếu ta qui định vế trái là những gì thuộc thông số ra của khâu còn vế phải là những gì thuộc về nhiễu hay thông số vào, thì phương trình vi phân của khâu có thể viết dưới dạng sau:

* Dạng viết thông thường:

λ µ ϕ

ϕ

−

=

dt

d

dt

d T

* Dạng toán tử: nếu sử dụng toán tử vi phân

Ví dụ : d

d t = P ( toán tử vi phân )

λ µ ϕ

T o hay ( T P + A ) ϕ = K ( µ − λ ) (1) ( ϕ là hàm của biến số thực thời gian t )

* Dạng thuật toán : sử dụng biến đổi Laplace

‘Phép biến đổi Laplace

Giả sử có hàm của biến số thực f (t) gọi là hàm số góc, và F(P) là hàm số của biến số phức P, ( P = C + i ω ) gọi là hàm số ảnh ( ảnh của f(t) hoặc dạng biến đổi laplace của f(t)) thì ta có biểu thức:

o

( ) = ( ). − .

∞

∫

Hay có thể viết dưới dạng ký hiệu: L[f ( )t ]= F (P)

Và hàm ngược f t

p t

C i

C i

−

+

∫

1

ω

C là tọa độ hội tụ, hay viết dưới dạng ký hiệu:

f ( ) t = L− 1[ F ( P ) ]

α > 0

F P e e d t

P t

o

P t

+

−

∞

−

∫ α

α 1

Hay L e[ ]

P

t

+

α

α

1

Hoặc L

t

+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

* Các tính chất của biến đổi Laplace

Nếu thỏa mản đk không ban đầu tức là f(o) = f’(o) = f’’(o) = 0 thì

1 - L[f (n)( )t ]= P n.F ( P )

2 -

P

P F dt t f L

t

o

) ( )

( ⎥=

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∫

3 - L{ f t d t } F P

P

n

n

n

( )

4 - L a f { ( ) t } = a L { f ( ) t } = a F ( P )

5 - L {f1( ) +t f2( )t }= L{f1( )t }+ L{f2( )t }

Trở lại áp dụng cho khâu đối tượng ta có (giả sử ĐK không ban dầu thỏa mản)

⇒ To P ϕ (P) + A ϕ (P) = µ (P) - λ (P)

⇒ ( To P + A ) ϕ (P) = µ (P) - λ (P) (2) (2) là dạng thuật toán của phương trình trên

(2) và (1) giống nhau về hình thức nhưng một bên là hàm thực 1 bên là hàm phức

Kết luận : Dựa vào phương trình (1) ta có thể suy ra cách viết (2) bằng cách thay biến thực t bằng biến phức P

4.2.2 Các đặc tính thời gian:

4.2.2.1.Hàm quá độ

Đây là phản ứng của khâu với nhiễu động đột biến dạng bậc thang đơn vị

t < 0 X = 0

t ≥ 0 X = 1(t) Lúc đó thông số ra thay đổi theo một đường công nào đó và gọi là hàm quá độ của khâu

X

Y

Hàm quá độ 1(t)

Ví dụ: Khâu đối tượng

Từ phương trình vi phân của khâu To ϕ’ + A ϕ = µ - λ Với điều kiện đầu t < 0 λ = 0 , µ = 0

t ≥ 0 µ = 1(t)

⇒ To ϕ’ + A ϕ =1(t), giải phương trình này ta được

ϕ ( ) t

At T

t T

o

⎝

⎝

⎜⎜ ⎞ ⎠

1

Đây là hàm quá độ của khâu

4.2.2.2 Hàm quá độ xung :

Đây là phản ứng của khâu ứng với nhiễu động đột biến dạng xung đơn vị (xung dạng chử nhật) Về mặt hình thức có thể phân tích xung chử nhật thành tổng 2 xung bậc thang trái dấu và lệch nhau 1 khoảng bằng độ rộng hình chử nhật

Ví dụ : Khâu đối tượng To ϕ’ + A ϕ = µ - λ

Từ hàm quá độ ta suy ra hàm xung là tổng hợp của hai nhiễu X1 , X2 4.2.3 Hàm số truyền

Giả sử có một khâu mà tính chất động của nó được miêu tả bằng phương trình bậc hai dạng : a2 y’’ + a1 y’ + ao y = b1 x’ + bo x

Với điều kiện ban đầu bằng 0 ta viết phương trình trên dưới dạng laplace

a2 P2 y P( ) + a1 P y P ( ) + a o y P( ) = b1 P x P( ) + b o.x P( ) (a2 P2 + a1 P + a o)y P( ) = [b P1 + b o ] x P( )

o

o

1 2 2 1

+

1(t)

K T

µ

1(t)

ϕ

ϕ

ϕ 1

ϕ 2

W(P) đặc trưng cho tính chất kết cấu của khâu và gọi là hàm số truyền của

khâu và ta có “ tín hiệu vào nhân với hàm truyền thành tín hiệu ra “

X P o

( ) ( với điều kiện ban đầu bằng 0)

Ta có thể ký hiệu khâu :

Ví dụ : khâu đối tượng

T d

d t A

Khi viết dưới dưới dạng thuật toán ta có

T o.P.ϕ (P) + Aϕ (P) = µ (P) − λ (P)

ϕ

1

4.2.3.1 Hàm số truyền của các khâu mắc nối tiếp :

Giả sử có n khâu mắc nối tiếp, đầu ra của khâu này là đầu vào khâu kia;

Nếu gọi hàm số truyền của cụm khâu là W(P)

X

X X

X X

X X

n n

1 1

2 1 3 2

1

4.2.3.2 Hàm số truyền của các khâu mắc song song

Giả sử có n khâu mắc song song với nhau và có các hàm số truyền đã biết trước như hv

W(P)

W(P)1

W(P)2

W(P)n

Xn+1

W(P)1

W(P)2

W(P)n

Xn

X1

X2

Y1

Y2

Yn

Y X

Gọi hàm truyền chung của hệ thống là W(P)

∑

X

Y X

Y X

n

n

1

Vậy hàm số truyền của các khâu mắc song W(P) = ∑Wi 4.2.3.3 Hàm số truyền của các khâu mắc ngược:

Giả sử có hai khâu W(P)1 và W(P)2 mắc ngược nhau như hình vẽ

Gọi hàm truyền của hệ thống là W(P) thì theo hình vẽ ta có

X

1

Mà ta có:

1 1 2 (1)

( )2 2 2 ( ) 2 (2) Thay (2) vào (1) ⇒ Y = W ( P) (1 X 1 + W (P) 2 Y

⇒ Y (1 − W ( P ) 1 W ( P ) )2 = W ( P )1 X 1 ⇒ = =

−

X

1

1

Trong thực tế thường X2 và X1 trái dấu nhau do đó

+

X 1

( ) ( )

1

1

4.2.4 Đặc tính tần số:

Trong thực tế có thể đưa nhiễu đầu vào có dạng hình sin hay cosin với tần số ω

⇒ Các đặc tính khi nhiễu đầu vào là hàm điều hòa có tần số thay đổi gọi là đặc tính tần số

W(P)1

W(P)2

X1

X2

Y

KHÂU

Dùng công thức Ơle để chuyển về hàm mũ

c o s ω t e ω e ω

i t i t

−

2

sin ω t = eiωt − e iωt

− 2

⇒ Tín hiệu đầu vào : X = A c o sωt = A e iωt + A e−iωt

Tín hiệu đầu ra : Y = ( ) ( )

2 2

) cos( ω + θ = iωt+θ + −iωt+θ

e

B e

B t

Ta xem X = X1 + X2 và Y = Y1 + Y2

Ta không nhất thiết phải theo dõi cả 2 sóng 1 và 2 mà chỉ nghiên cứu X1 và Y1 là đủ

X1 Ư Y1 *

1

1

K e A

B X

=

(1)

K* còn gọi là hệ số khuếch đại phức hay hàm số truyền phức Vậy ta tìm cách biểu diễn K*

thành hàm số truyền

Ví dụ: Giả sử ta có một khâu mà tính chất động được mô tả bằng hàm vi phân bậc ba có dạng

a d Y

d t a

d Y

d t a

d Y

d t a Y b

d X

d t b

d X

d t b X

3 3

2

2

Viết dưới dạng thuật toán

a3.P3.Y + a2.P2.Y + a1.P Y + a o.Y = b2.P2.X +b P X1 + a o.X (2)

X

o o

2 2 1 3

3 2 2 1

(3)

Mặt khác ta có : X1 A e i t

2

Y1 B e i t K X1 K A e i t

(ω θ) ω (4) Thay (4) vào (2) và lấy đạo hàm ta có :

o

o

i t

3

3 2

2 1

2

2 1

∗

∗

3 2

2 1 2

2 1

o o

∗

o

o

2

2 1 3

3 2

2 1

ω ω ω (5)

So sánh 3 và 5 ta thấy hình thức chúng giống nhau chỉ khác một bên là P còn 1 bên là (iω)

⇒ Nếu biết hàm số truyền W(P) thì ta suy ra K*

bằng cách thay P = iω

A e R e

t

A 1

A 2

o

Thực chất K*

là một véc tơ có mô dun = R B

A

= Acgumen θ là góc lệch pha giữa đầu ra và đầu vào, khi cho ω thay đổi 0 ÷ ∞ ⇒ K*

vẽ nên đường cong gọi là đặc tính tần số biên độ pha ĐTBF Ta hoàn toàn xác định được véc tơ K nếu biết đường cong và ω

a r c tg im

=

R e

R e

θ Và nếu biết tọa độ ⊥ ⇒ tọa độ cực

Re = R cos θ và im = R sin θ Trong một số trường hợp ta chỉ cần biết tần số biên độ

R = f(ω) → ĐTB hoặc nếu dùng riêng đặc tính tần số pha

θ = f(ω) → ĐTF Ngoài ra ta còn cần xét riêng phần thực hoặc ảo

Re = f(ω) → ĐTT

im = f(ω) → ĐTA Về mặt toán học để chặt chẽ ta xét toàn dãi ω thay đổi -∞ ÷ ∞ thì ĐTBF đối xứng qua trục thực Re

* Mặt khác nếu lấy logarít 2 vế của biểu thức K*

⇒ ln K*

= ln W(iω) = ln R + iθ ⇒ ta có đặc tính tần số logarít

ln R = f (lnω) → đặc tính biên độ logarít

θ = f (lnω) → đặc tính pha logarít

• Đặc tính pha mà ta xét trên là đặc tính pha bình thường, thường ta sử dụng ĐTTBF này để tính toán sự ổn định cho trước Trong trường hợp khi cần tính toán hệ thống theo độ tắt dần cho trước của quá trình quá độ ta sử dụng tần số biên độ pha mở rộng ĐTTBF mở rộng cũng giống trên nhưng chỉ khác là ta cho tần số đầu vào là ω và tắt dần (biên độ A thay đổi)

Re

im

im

Re

R

θ

ω = 0 ÷ ∞ ĐTBBF

Ví dụ : Xét khâu đối tượng có 1 dung lượng cân bằng ta có :

W P

T o P A

( )

=

+ 1

T i o A

*

+

Ta biến đổi biểu thức này bằng cách nhân tử và mẫu với dạng liên hợp (A−T i0 ω ) như vậy ta có:

T

0

0 2 0

⇒ W ( i ω ) = U ( ω ) + i V ( ω )

A T o

(ω )

ω

=

+

2 2 2 Đặc tính tần số thực

o o

+

2 2 2 Đặc tính tần số ảo

Đặc tính tần số pha

A

T iarctg

o

o

e T

A i

W

ω

ω

+

) (

2 2

2 Đặc tính tần số biên độ pha

‘ Dựng đặc tính :

ω

=

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

0

1 0

U

A V

ω = ∞⎧⎨ ω ω ==

⎩

U V

0 0

ω

1

1

1

1 2 1 2

=

=

= −

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

A T

U

A V

A

o

+

T A

o

o

1 ω

Re 1/2A

-1/2A

ω = 0

ω = Α/Το

ĐTBBF

ω = ∞

jm

- Các đặc tính khác :

‘ Trong thực tế ta có thể thu được các đường đặc tính bằng thực nghiệm nhừ máy hiện sóng

Ta thay đổi tần số sóng vào ω lần lượt

ω1 ωn

A

B A

n n n

1 1 1

&θ θ

4.3: Các khâu tiêu biểu của HTTĐ và các đặc tính động của chúng.

Ta biết rằng một hệ thống dù phức tạp đến đâu chúng cũng đều cấu tạo bằng một số khâu, các khâu đó gọi là các khâu tiêu biểu của hệ thống tự động

ω R

o

o

ω θ

ĐTF

−π/2

o

o 1/A

ω

ω U

V

ĐTT

ĐTA

Y X

KHÂU

x

Y

Máy hiện sóng

K jm

Re

n1

n2

T- Transtor bán dẫn E

C B X

Y

Thường những khâu chọn làm khâu tiêu biểu là khâu mà từ đó ta có thể tạo nên bất kỳ một khâu nào khác, thường chúng được mô tả bằng phương trinh vi phân bậc 1, 2

Sau đây là một số khâu tiêu biểu thường gặp trong hệ thống tự động : 4.3.1 Khâu tỷ lệ: (khâu khuếch đại hay khâu không có quán tính)

Đó là khâu động học mà đại lượng ra tỷ lệ với đại lượng vào theo phương triình Y = K.X

4.3.1.1 Phương trình vi phân : Y = K.X(t)

Ví dụ :

4.3.1.2 Hàm quá độ :

X = 1(t)

Y = K

4.3.1.3 Hàm số truyền:

4.3.1.4 Hàm số truyền phức :

Đường đặc tính khi ω thay đổi 0÷∞ thì nó rơi tại 1 điểm

t

t 1(t)

Κ Y

X

R L

Các đường đặc tính khác

4.3.2 Khâu quán tính bậc 1 ( khâu phi chu kỳ bậc 1 hay khâu một dung lượng )

Là khâu động học mà khi đại lượng vào thay đổi theo xung bậc thang thì đại lượng ra thay đổi theo quy luật hàm mũ

4.3.2.1 Phương trình động : T dY

+ =

T - Hằng số thời gian , K - Hệ số khuếch đại của khâu

Ví dụ:

4.3.2.2 Hàm quá độ:

X = 1(t)

T d Y

+ = có nghiệm

là Y K e

t T

⎝

⎜1 − ⎞⎠⎟

4.3.2.3 Hàm số truyền ⇒ (T P +1)Y = K X

K

ĐTB

ĐTF

Trong sơ đồ cấu trúc của hệ thống khâu tỷ lệ thường được ký hiệu:

K hay

mV

t

t

Y

X

1(t)

T

ω = 0

ĐTBBF

ω = ∞

jm

K

ω R

o

ĐTB

o

ω θ

ĐTF

−π/2

o V

ĐTA

o

ĐTT U

ω

ω K

1/T K

-K/2

hay

T.P+1 K

4.3.2.4 Hàm số truyền phức:

T i

K

K T T

K U (ω ) iV (ω )

+

T

θ = a r c tg V = − ω

U a r c tg T( )

Trong sơ đồ cấu trúc của hệ thống khâu quán tính bậc 1 được ký hiệu như sau:

R C

Lx C

M m λ

X

Y

X

Y

4.3.3 Khâu dao động :

Là khâu động học mà phương trình động của nó được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân bậc 2:

dY

2 2 2

2 + 1 + =

Ví dụ :

4.3.3.1 Phương trình vi phân :

T d Y

d t T

d Y

d t Y K X

2 2 2

4.3.3.2 Hàm quá độ của khâu :

Để tìm hàm quá độ của khâu ta giải phương trình vi phân trên với X = 1(t)

T d Y

d t T

d Y

d t Y

Y Y

2 2 2

1 2 0

⎩

Đặt Y = eZt

ta có d Y

t

1 1 0

2 2 2

T T

a/ T12 − 4T22 < 0 ⇒ T1 < 2T2

⇒ = − +

Ζ Ζ 1 2

α α

iu

iu

α =

⎧

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

T T

1 2 2

1 2

2 2 2

2

4

Nghiệm tổng quát của PTVPTN Nghiệm riêng của PT không TN K

U

t 0

K

2C e-α t

Y1 C1.eΖ1t C e2 Ζ2t C1 e( α iu t) C2.e( α iu t)

Y1 e αt(C e1 iu t C2.e iu t)

Cho hàm đối xứng nên đặt C1 = C2 = C

Y1 e αt.C c o s (2 u t)

Y2 = K

Y t( ) K 2c o s(u t).C e αt

Đây là biểu thức hàm quá độ của khâu

b- T12 T22 T1 T2 1

2

⎩

Ζ Ζ

α β

2

=

⎧

⎨

⎩

Y K C1.e αt C e2 βt

* Trong trường hợp này người ta gọi khâu này là khâu phi chu kỳ bậc 2 nó có thể thay thế bằng 2 khâu quá tính bậc 1 mắc nối tiếp nhau

U T

2 0

0 1

=

=

⎧

⎨

⎪

⎩⎪

Ζ

α

iut iut

2

=

⎧

⎨

⎩

− .

C1 = C2 = C

⇒ Y = K + C c o s2 u t

Đây là một hàm điều hòa và trong trường hợp này ta gọi khâu là khâu bảo thủ

* Vậy muốn có khâu dao động thì phải có điều kiện: T1 < 2T2

(Phương trình có 2 nghiệm thực âm)

t

Y K

y(t)

t 0

K

K

4.3.3.3 Hàm số truyền của khâu dao động:

Viết phương trình vi phân dưới dạng thuật toán ta có:

T P22 2.Y + T P Y1 + Y = K X

2

4.3.3.4 Hàm số truyền phức :

*

ω

2

1 1 ( i

2

= -1) Nhân trên và dưới với biểu thức liên hợp ta có :

)

KT

*

2

2 2 2

2 2 2

1

2 2

1 2

2 2

1

2 2

⇒ K* = U (ω ) + iV (ω )

2

1

1

ω

−

T T

1 2

2 2

1 - ĐTF

Đặc điểm của ĐTB là có điểm cực đại, còn ĐTBF bắt đầu từ điểm (K, j0) trên trục thực và qua 2 góc phần tư thứ III và IV

4.3.4 Khâu tích phân :

Là khâu mà phương trình động của nó có dạng sau

T d Y

d t X

Y

= 1 ∫

.

Re

jm

ω = ∞

.

ĐTBBF

K

ω = 0 R

θ

ω Cộng hưởng

ω R

o

o

ω θ

ĐTF ĐTB

−π

ω cộng hưởng K

Ví dụ :

4.3.4.1 Phương trình :

T d Y

d t X

Y

= 1 ∫

.

4.3.4.2 Hàm quá độ :

X = 1 (t)

T d Y

d t

Y

T t

= 1

4.3.4.3 Hàm số truyền:

W P

T P

( )

4.3.4.4 Hàm số truyền phức:

T i

⇒ R =

T

1

ω ĐTT

θ = a r c tg v = − π

0 2 ĐTF

Q 2

Y=∆H

X=Q 1 -Q 2

Q 1

1(t)

X

tg α = 1/T Y

C

Y

4.3.5 Khâu vi phân:

Là khâu động học mà phương trình động có dạng:

Y T d X

d t

=

(Khâu này gọi là khâu vi phân lý tưởng ) Trong thực tế không có mà có khâu vi phân thực và có dạng

T d Y

d t Y T

d X

d t

Ví dụ :

4.3.5.1 Phương trình vi phân:

T d Y + Y = T d X

jm

ω = 0

ω = ∞

Re

ĐTBBF

ω R

o

o

ω θ

ĐTF ĐTB

−π/2

T.P Trong sơ đồ cấu trúc của hệ thống khâu tích phân được ký hiệu như sau:

X(t) Y(t) X(t) Y(t)

T.P+1

4.3.5.2 Hàm quá độ :

X = 1(t)

T d Y

d t + Y = 0

t T

4.3.5.3 Hàm số truyền: lấy ảnh 2 vế

X

T P

T P

.

+ 1

4.3.5.4 Hàm số truyền phức:

T i

+

( )

1 Biến đổi : ⇒ ∗ = +

K U (ω ) iV (ω )

T

+

1 - ĐTT R

T T

ω

= +

1 2 2 - ĐTB

T

+

1 2 2 - ĐTA - ĐTF

Trong sơ đồ cấu trúc của hệ thống khâu tích phân được ký hiệu như sau:

1(t)

X

t

Y

t

θ ω ( ) = arctg ω

T

1

Re ĐTBBF

ω = ∞

1/2

jm

ω R

o

ĐTB 1

θ

ĐTF

o

ω π/2

X

L

4.3.6 Khâu chậm trể:

Là khâu mà tín hiệu ra lặp lại hoàn toàn so với tín hiệu vào nhưng chậm trể 1 khoảng thời gian T

Ví dụ :

4.3.6.1 Phương trình động :

Y(t) = X ( t -T ) 4.3.6.2 Hàm quá độ :

X = 1(t)

0 < t < T ⇒ Y (t) = 0

t ≥ T Y (t) = 1 (t) 4.3.6.3 Hàm số truyền phức :

Khi ta đưa vào đầu vài tín hiệu điều hòa

X A e

i t

ω

⇒ Y = A e −

i t

−

X

A e

A e

i t

i t

*

( )

.

) ( ) ( sin

cos

iV U

i e

4.3.6.4 Hàm số truyền

Thay iω = P ta được W P( ) = e−Pτ

Dựng các đặc tính :

R = 1 ĐTB U (ω) = cos ωT ĐTT

θ = - ω T ĐTF V (ω) = - sin ωT ĐTA

1(t)

Y

t τ

ω R

o

ĐTB

o

ω θ

θ

1

Re

ω = 0

ĐTBBF jm

R θ cosωτ

-sinωτ