Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu.. Trong trường hợp các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy n
Trang 1Các hướng dẫn ở đây chỉ mang tính gợi ý rút gọn, không phải là bài trình bày mẫu Trong trường hợp các em đã suy nghĩ rất nhiều mà chưa ra cách giải thì được phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp Sau khi đã xem gợi ý mà các em vẫn còn gặp khó khăn thì lên lớp để hỏi các thầy cô
Hình học lớp 7 CB Bài 31: Chứng minh bất đẳng thức hình học: Bất đẳng thức tam giác
Bài 1: Có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không:
a) 5cm; 10cm; 12cm
b) 1m; 2m; 3,3m
c) 1,2m; 1m; 2,2m
d) 3cm; 4cm; 8cm
e) 5cm; 8cm; 2cm
f) 6cm; 8cm; 9cm
Hướng dẫn :
a) Có tam giác mà ba cạnh là 5cm, 10cm, 12cm vì mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia
b) Không có tam giác nào mà ba cạnh là 1m, 2m, 3,3m vì có một cạnh lớn hơn tổng hai cạnh kia: 3,3>1+ 2 c) Không có tam giác nào mà ba cạnh là 1,2m; 1m; 2,2m vì có một cạnh bằng tổng hai cạnh kia: 2,2=1,2+1 d) Không có tam giác nào mà ba cạnh là 3cm, 4cm, 8cm vì có một cạnh lớn hơn tổng hai cạnh kia: 8>3+4 e) Không có tam giác nào mà ba cạnh là 5cm, 8cm, 2cm vì có một cạnh lớn hơn tổng hai cạnh kia: 8>2+5 f) Có tam giác mà ba cạnh là 6cm, 8cm, 9cm vì mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia
Bài 2: Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác ABC, BM cắt AC tại D Chứng minh rằng:
a) MB + MC < DB + DC
b) MB + MC < AB + AC
c) MA + MB + MC < AB + AC + BC
Hướng dẫn:
a) Xét ∆DMC có: MC < MD + DC (bất đẳng thức tam giác)
Do đó MB + MC < MB + MD + DC
MB + MC < DB + DC
b) Xét ∆ABD có: DB < AB + AD (bất đẳng thức tam giác)
� DB + DC < AB + AC
Mà MB + MC < DB + DC
Suy ra MB + MC < AB + AC (1)
c) Tương tự cũng có MC + MA < BC + AB (2)
MA + MB < AC + BC (3)
Từ (1), (2) và (3) có MA + MB + MC < AB + AC + BC
Bài 3: Cho góc nhọn xOy Trên Ox lấy hai điểm M và N (điểm M nằm giữa hai điểm O và N), trên Oy lấy hai
điểm E và F (điểm E nằm giữa 2 điểm O và F) Chứng minh rằng MN + EF < MF + NE
Trang 2Hướng dẫn:
Gọi I là giao điểm của MF và NE
Xét ∆MIN có: MN < MI + IN (1)
Xét ∆EIF có: EF < EI + FI (2)
Từ (1) và (2), ta có MN + EF < MI + IN + EI + FI
Do đó MN + EF < (MI + IF) + (NI + IE) hay MN + EF < MF + NE
Bài 4: Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác
a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và các cạnh AC Chứng minh: MA + MB < IA + IB < CA + CB b) Chứng minh rằng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của ∆ABC
Hướng dẫn:
a) Trong tam giác AMI có: MA < IA + IM
� MA + MB < IA + IM + MB � MA + MB < IA + IB (1)
Trong tam giác BCI, ta có: IB < CI + CB
� IA + IB < IA + CI + CB � IA + IB < CA + CB (2)
Từ (1) và (2) ta nhận được MA + MB < IA + IB < CA + CB
b) Trong ∆MAB, ta có: MA + MB > AB (3)
Trong ∆MBC, ta có : MB + MC > BC (4)
Trong ∆MAC, ta có : MA + MC > AC (5)
Cộng theo vế (3), (4) và (5) ta được :
2(MA + MB + MC) > AB + BC + AC
� MA + MB + MC > ½ (AB + BC + AC) (*)
Mặt khác, dựa theo kết quả câu a, ta có :
MA + MB < CA + CB (6)
MB + MC < AB + AC (7)
MA + MC < BA + BC (8)
Cộng theo vế (6), (7), (8) ta được:
2(MA + MB + MC) < 2(AB + BC + AC)
�MA + MB + MC < AB + BC + AC (**)
Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh
Bài 5: Cho ABC và M nằm giữa B và C.
a) Chứng minh rằng MA nhỏ hơn nửa chu vi ABC.
b) Trong trường hợp M là trung điểm BC Chứng minh rằng
1
MA (AB AC) 2
Hướng dẫn:
a) Ta lần lượt xét:
Trong tam giác MAB, ta có: MA < AB + BM (1)
Trong tam giác MAC, ta có: MA < AC + CM (2)
Từ (1) và (2), ta được:
2MA < AB + AC + BM + CM
1
MA (AB AC BC) 2
�
, đpcm
b) Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = KM
Xét hai tam giác AMC và KMB, ta có:
Trang 3AM = KM; M �1 M �2 (đối đỉnh); CM = BM (gt)
� AMC = KMB (c.g.c)
BK AC
Trong ABK, ta có: AK < AB + BK � 2AM < AB + AC �
1
MA (AB AC)
2
Hướng dẫn:
Gọi I là trung điểm của đoạn AD Trên tia đối của tia IM, lấy điểm N sao
cho IN = IM
Ta có: ∆MAI = ∆NDI (c.g.c)�MA = DN (1)
Lại có ∆MIB = ∆NIC (c.g.c)�MB = CN (2)
Xét ∆MND có C là điểm thuộc miền trong tam giác
Ta có : CM + CN < DM + DN
⇔ MC + MB < MD + MA (do (1) và (2))
Bài 6*: Cho hai điểm B, C nằm trên đoạn thẳng AD (B nằm giữa A và C) sao cho AB = CD M là
điểm nằm ngoài đường thẳng AD Chứng minh rằng MA + MD > MB + MC